(Exámenes 2012 2013 3ª evaluación)

IES "Agra de Raíces"
Matemáticas II
EXAMEN I - 3ª EVALUACIÓN
1. a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano π ≡ x − y + 3 z = −3 con los
ejes de coordenadas.
(Selectividad Castilla La Mancha, Junio 2012)
b) Dados los puntos P1 (1, 3, − 1) , P2 (a , 2, 0) , P3 (1, 5, 4) y P4 (2, 0, 2 ) :
b.1. Calcula el valor de a para que los puntos sean coplanarios. Escribe la ecuación general del plano que los
contiene.
b.2. Halla los valores de a para que el tetraedro con vértices P1 , P2 , P3 y P4 tenga volumen igual a 7.
(Selectividad Madrid, Junio 2012)
x = 1 + a t

2. Consideremos el plano π ≡ x − z = 0 y la recta r ≡  y = 1 − t
z = 2 t

t ∈ℜ .
a) Determina el parámetro a ∈ ℜ para que la recta r y el plano π sen paralelos.
b) Para el valor de a determinado, obtén las ecuaciones paramétricas de una recta r' paralela al plano π y que corte
perpendicularmente a r en el punto P (1, 1, 0 ) .
(Selectividad Castilla La Mancha, Junio 2011)
3. a) Se sabe que el plano π ≡ x + y + z = 4 es perpendicular al segmento AB y que lo divide en dos partes iguales. Si
el punto A es (1, 0, 0) obtén, explicando el proceso, las coordenadas del punto B.
(Selectividad País Vasco, Junio 2012)
b) Determina a para que los planos de ecuaciones π1 : x − y + z = 1 , π 2 : 2 x − 3 y + z = 0 y π3 : a x − 4 y + 2 z = 1 se
corten en una recta r. Escribe las ecuaciones paramétricas de dicha recta.
(VER Selectividad La Rioja, Junio 2009)
x − 2 y = −1
4. Dadas las rectas r y s de ecuaciones r ≡ x − 1 = y = 1 − z y s ≡ 
y + z = 1
Estudia su posición relativa. En caso de cortarse, determina su punto de corte y el ángulo que forman.
(Selectividad Andalucía, Junio 2010)
5. Consideremos el plano π ≡ x − 2 y − z = 4 y la recta que pasa por los puntos P (1, 0,3) y Q (− 1,1, 2) .
a) Estudia la posición relativa del plano π y la recta r. ¿Qué ángulo forman?
b) Determina la ecuación implícita del plano que contiene a r y es perpendicular al plano π.
(Selectividad Murcia, Junio 2012)
Curso 2012-2013
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IES "Agra de Raíces"
Matemáticas II
EXAMEN II - 3ª EVALUACIÓN
x = 2 + 3 λ

1. a) Halla la distancia desde el punto P (1, 3, − 2) a la recta r ≡  y = −1 + λ
z = 1 − 2 λ

λ ∈ℜ .
(Selectividad Castilla y León, Junio 2009)
z−4
y P el punto de coordenadas (1, 0,1) , halla el punto de r más próximo a P y
−2
obtén la distancia del punto P a la recta r.
b) Dada la recta r ≡ x − 6 = y − 7 =
(Selectividad Oviedo, Junio 2009)
2. Dadas las rectas s ≡
2 x − y = 0
x −1
z −1
y t≡
, se pide:
=y=
3
2
2 y − z = 4
a) Determina su posición relativa y calcula la distancia entre ambas rectas.
b) Halla, describiendo el proceso seguido, la recta r perpendicular común a s y a t.
(Selectividad Castilla y León, Junio 2010)
3. a) Calcula la distancia del punto A(1, 0, 0) al plano β que pasa por el punto P (1, − 1, − 2) y es paralelo al plano
α : x + 2 y + 3z + 6 = 0 .
(Selectividad Galicia, Junio 2010)
b) Calcula el punto del plano π : x + y + z = 1 más cercano al punto P (1, 2, − 3) .
(Selectividad Murcia, Junio 2009)
c) Comprueba que la recta que pasa por los puntos A (4, 0, 0) y B (0, 2, 2 ) es paralela al plano π : x − 3 y + 5 z = 2 y
calcula la distancia entre la recta y el plano.
(Selectividad Cataluña, Septiembre 2002)
4. a) Encuentra el punto de la recta
P (1, 3, − 2) y Q (3,1, 0) .
r≡
x + 2 y −1 z + 2
=
=
que forma un triángulo isósceles con los puntos
1
−2
1
(Selectividad Navarra, Junio 2009)
b) Calcula los puntos de la recta r ≡
A (1, − 1,1) , B (2, 3, 2) y C (3,1, 0 ) .
x −7 y+6 z+3
=
=
que distan 6 unidades del plano π que pasa por los puntos
2
−1
2
(Selectividad Galicia, Junio 2009)
Curso 2012-2013
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IES "Agra de Raíces"
Matemáticas II
POSIBLES PREGUNTAS DEL EXAMEN DE TEORÍA (3ª EVALUACIÓN)
1. Deduzca las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua e implícitas (o cartesianas) de una recta determinada por un
punto y un vector director.
2. Deduzca las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita (o general) de un plano determinado por un punto y dos
vectores directores.
3. Definición e interpretación geométrica del producto escalar de dos vectores del espacio. Propiedades. Escribe su
expresión analítica.
4. Definición de módulo de un vector. Propiedades.
5. Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores de ℜ3 . Propiedades. Escribe su
expresión analítica
6. Definición e interpretación geométrica del producto mixto de tres vectores. Propiedades. Escribe su expresión
analítica. ¿Puede ocurrir que el producto mixto de tres vectores sea cero sin ser ninguno de los vectores nulo? Razona la
respuesta.
7. Ángulo que forman dos rectas. Condición de perpendicularidad.
8. Ángulo que forman dos planos. Condición de perpendicularidad.
9. Ángulo que forman una recta y un plano. Condición de paralelismo y condición de perpendicularidad.
10. Distancia entre dos puntos. Propiedades.
11. Distancia de un punto a una recta.
12. Distancia entre un punto y un plano.
13. Definición de distancia mínima entres dos rectas en el espacio. Casos posibles.
Curso 2012-2013
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