María de Lourdes Nazco Peralta - DSpace@UCLV

i
FFA
DE
AC
E IIN
CU
NG
UL
GE
LT
EN
TA
NIIE
AD
DD
ER
RÍÍA
AE
EL
LÉ
ÉC
CT
TR
RIIC
CA
A
Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica
TRABAJO DE DIPLOMA
Método de Elementos Finitos en
Electromagnetismo
Autor: María de Lourdes Nazco Peralta
Tutor: Ing. David Beltrán Casanova
Santa Clara
Curso 2006-2007
“Año 49 de la Revolución"
ii
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica
TRABAJO DE DIPLOMA
“Método de Elementos Finitos en
Electromagnetismo”
Autor: María de Lourdes Nazco Peralta
Tutor: MSc. David Beltrán Casanova
Prof. Dpto. de Telecomunicaciones y Electrónica
Facultad de Ing. Eléctrica. UCLV.
e-mail: dbeltranc@uclv.edu.cu
Santa Clara
Curso 2006-2007
“Año 49 de la Revolución"
iii
Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central
“Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad
de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, autorizando a que el mismo sea
utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial
como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización
de la Universidad.
Firma del Autor
Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de
la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un
trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.
Firma del Autor
Firma del Jefe de Departamento
donde se defiende el trabajo
Firma del Responsable de
Información Científico-Técnica
iv
PENSAMIENTO
El hombre instruido lleva en sí mismo sus riquezas.
Fredo.
v
DEDICATORIA
A mis padres, mi hermana, mi abuela, mi esposo
y a todas las personas que me quieren.
vi
AGRADECIMIENTOS
Le agradezco mucho a mis padres por ser los más maravillosos de este mundo,
a mi abuela que me ha dedicado su vida entera,
a mi hermana que siempre ha estado a mi lado
a mi tutor por brindarme su apoyo
y a muchas personas que me han ayudado a lo largo de mi vida.
vii
TAREA TÉCNICA
1. Búsqueda bibliográfica sobre los temas relacionados con la aplicación del Método de
Elementos Finitos en Electromagnetismo.
2. Descripción de los métodos clásicos, Método de Ritz y Método de Galerkin.
3. Descripción de los pasos básicos del Método moderno de Elementos Finitos.
4. Solución de ejemplos que demuestren la aplicación.
Firma del Autor
Firma del Tutor
viii
RESUMEN
El Método de Elementos Finitos es una técnica numérica para obtener soluciones
aproximadas de los problemas de los valores de frontera, constituyendo un instrumento de
diseño fundamental para dispositivos electromagnéticos, el trabajo introduce conceptos
básicos del método: se repasan los métodos clásicos para solucionar problemas de valores
de frontera, que incluye los métodos de Ritz y de Galerkin, se muestran ejemplos simples
para introducir el Método de Elementos Finitos y se realiza la descripción de los pasos
básicos del Método de Elementos Finitos. Finalmente, se da solución a varios problemas
que ponen de manifiesto la aplicación del método.
ix
TABLA DE CONTENIDOS
PENSAMIENTO ...................................................................................................................iv
DEDICATORIA .....................................................................................................................v
AGRADECIMIENTOS .........................................................................................................vi
TAREA TÉCNICA.............................................................................................................. vii
RESUMEN ......................................................................................................................... viii
INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................1
CAPÍTULO 1.
Introducción al Método de Elementos Finitos............................................3
1.1 Base del Método de Elementos Finitos............................................................................4
1.2 ¿Para qué sirve el Método de Elementos Finitos? ...........................................................5
1.3 ¿Qué aplicaciones tiene?..................................................................................................6
1.4 Introducción al Método de Elementos Finitos: Métodos clásicos para análisis de los
valores de fronteras.................................................................................................................6
1.4.1 Problemas de valores de fronteras. ...............................................................................6
1.4.2 Método de Ritz..............................................................................................................8
1.4.3 Método de Galerkin. ...................................................................................................11
1.4.4 EJEMPLO...................................................................................................................12
1.4.4.1 Descripción del problema. .......................................................................................12
1.4.4.2 Solución del ejemplo por la vía del método de Ritz. ...............................................14
1.4.4.3 Solución del ejemplo por la vía del método de Galerkin.........................................17
x
CAPÍTULO 2.
Método de Elementos Finitos. ..................................................................19
2.1 Solución del ejemplo usando funciones de subdominios de expansión. .......................19
2.2 Puntos básicos del Método de los Elementos Finitos. ...................................................25
2.3 Discretización del dominio. ...........................................................................................25
2.4 Selección de las funciones de interpolación. .................................................................28
2.5 Formulación del sistema de ecuaciones.........................................................................29
2.5.1 Formulación por el método de Ritz. ...........................................................................29
2.5.2 Formulación por el método de Galerkin. ....................................................................33
2.6 Solución del sistema de ecuaciones. ..............................................................................36
2.7 Una alternativa de la formulación del Método de Elementos Finitos............................37
CAPÍTULO 3.
Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.............................41
3.1 Ejemplo # 1: Onda plana uniforme...............................................................................41
3.1.1 Solución analítica........................................................................................................44
3.1.2 Solución por los elementos finitos..............................................................................46
3.2 Ejemplo # 2: Guías de onda coaxiales. .........................................................................51
3.3 Ejemplo # 3: Discontinuidad de guías de onda en planos paralelos............................53
3.4 Ejemplo # 4: Radiación por un patch microcinta en una cavidad. ...............................60
3.4.1 Modelos de alimentadores y cargas de antenas. .........................................................61
3.4.2 Resultado numérico. ...................................................................................................63
3.5 Ejemplo # 5: Diseño de una antena bocina corrugada..................................................67
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................................70
Conclusiones.........................................................................................................................70
Recomendaciones .................................................................................................................70
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................71
xi
ANEXOS ..............................................................................................................................74
TU
UT
Anexo I
Ecuación de Poisson. ......................................................................................74
TU
UT
Anexo II
TU
UT
TU
Ecuaciones de onda escalares. ........................................................................74
UT
Anexo III
Ecuaciones de onda vectoriales. ......................................................................74
Anexo IV
Ecuación escalar de Helmholtz .......................................................................75
Anexo V
Ecuación diferencial. .......................................................................................75
Anexo VI
Ecuación de frontera para
Anexo VII
Ecuación de Poisson para el potencial. ............................................................75
TU
TU
TU
TU
TU
UT
UT
UT
UT
φ . ........................................................................75
TU
UT
UT
Anexo VIII Ecuación de la matriz ......................................................................................76
TU
UT
INTRODUCCIÓN
1
INTRODUCCIÓN
El Método de Elementos Finitos tiene una historia de alrededor de 50 años, propuesto por
primera vez en los años 40 y su uso comenzó en los 50 en el diseño de aeronaves.
Posteriormente, el método fue desarrollado y aplicado ampliamente a problemas de análisis
estructurales y de forma cada vez más creciente en otros campos. Actualmente se ha
convertido y reconocido como un método general ampliamente aplicable a los problemas
matemáticos e ingenieriles.
Muchos son los textos que se han escrito sobre el tema, en particular, en el texto escrito
por Silvester y Ferrari (Silvester, Ferrari, 1996) se ha desarrollado, de forma muy simple y
con una cobertura bastante amplia por la cantidad de tópicos que abarca, la introducción a
los temas de los Elementos Finitos de una manera muy comprensiva. Ciertos textos suplen
la carencia de un texto sobre el Método de Elementos Finitos para el empleo en cursos
computacionales electromagnéticos. El Método de Elementos Finitos aplicable también en
el contexto de campos estáticos o cuasi estáticos potenciales y
para el análisis de
microonda y guías de onda óptico.
El Método de Elementos Finitos ha atraído mucha atención en el electromagnetismo y las
comunidades de ingeniería microondas en años recientes. El método ha disfrutado de
amplia popularidad y se hace un instrumento de diseño principal para dispositivos
electromagnéticos.
El presente trabajo tiene como objetivo principal describir el empleo del Método de
Elementos Finitos en Electromagnetismo. Para lograr dicho objetivo se desarrollaron las
siguientes tareas: primera, una búsqueda bibliográfica sobre los temas relacionados con la
aplicación del Método de Elementos Finitos en este campo; segunda, descripción de los
métodos clásicos; tercera, descripción de la aplicación del Método de Elementos Finitos;
INTRODUCCIÓN
2
cuarta, solución de ejemplos que demuestren la aplicación. Para ello se ha estructurado en
tres capítulos en los que se abordan los siguientes temas:
En el primer capítulo luego de una revisión bibliográfica minuciosa y amplia, se definen
problemas de valores de fronteras y se realiza a través de un ejemplo un recuento de dos
métodos clásicos para la solución de dichos problemas, el método variacional de Ritz y el
método de Galerkin, los cuales constituyen la base del Método de Elementos Finitos. El
método de Ritz, conocido además por el método de Rayligh-Ritz es un método de variación
en el cual el problema del valor de frontera es formulado en términos de la función,
mientras que el método de Galerkin pertenece a la familia del método del residuo
ponderado, el cual, como su nombre indica, busca la solución por peso ponderados de la
ecuación diferencial del residuo.
En el segundo capítulo ya se introduce el Método de Elementos Finitos como un método
que usa funciones de base de subdominio para tratar con problemas complejos de valores
de frontera, el principio del método debe sustituir un dominio entero continuo por un
número de subdominios en los cuales la función incógnita es representada por funciones de
interpolación con coeficientes desconocidos, los sistemas de ecuaciones algebraicos son
obtenidos aplicando el procedimiento variacional de Ritz o de Galerkin, y finalmente, en
este capítulo se describen los pasos básicos a seguir para obtener la solución del método sin
hacer referencia a un problema en específico.
En el tercer capítulo son considerados problemas tanto estáticos como dinámicos, escalares
y vectoriales, en dominios cerrados y abiertos, problemas de radiación y dispersión; a
través de los cuales se pone de manifiesto la aplicación del Método de Elementos Finitos en
Electromagnetismo.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
3
CAPÍTULO 1. Introducción al Método de Elementos Finitos.
Muchos son los textos que se han escrito sobre el tema (Axelsson, Barker, 1994; Bethe,
1992; Bickford, 1990; Burnett, 1997; Carey, Martin, 1983; Cook, 1991; Grandin, 1996;
Huebner, Thornton, Byrom, 1995; Livesley, 1993; Mitchell, Wait, 1995; Norrie, De Vries,
1983; Rao, 1992; Reddy, 1994; Strang, Fix, 1983; Taylor, Zienkiewicz, 1999). Otros han
sido publicados dentro de la década pasada. En particular, en el texto escrito por Silvester y
Ferrari (Silvester, Ferrari, 1996) se ha desarrollado, de forma muy simple y con una
cobertura bastante amplia por la cantidad de tópicos que abarca, la introducción a los temas
de los Elementos Finitos de una manera muy comprensiva. El libro “The Finite Element
Method in Electromagnetics” según manifiesta su autor fue escrito porque él sintió la
carencia de un texto sobre el Método de Elementos Finitos para el empleo en cursos
computacionales de electromagnetismo, el texto acentuó el análisis del método en
aplicaciones de altas frecuencia y el análisis de radiación. La IEEE reimprimió un volumen
donde recogió muchos artículos importantes sobre el análisis de elementos finitos en
problemas electromagnéticos. Esto también contuvo una bibliografía muy extensa anotada,
que es conveniente y bastante provechosa. Hay también libros que presentan el Método de
Elementos Finitos principalmente en el contexto de campos estáticos o cuasi estáticos
potenciales (Hoole, 1999; Hoole, 2005; Sabonndiere, Coulomb, 1997) y dos libros
expresamente para el análisis de microonda y guías de onda óptico (Fernandez, Lu, 2006;
Koshiba, 2002). De modo interesante, 1998 era probablemente el año más fructuoso,
durante el cual cuatro libros fueron publicados. Entre aquellos, el primero es un texto
introductoria (Pelosi, Coccioli, Selleri, 1998), el segundo enfocado a la aplicación del
método de los mínimos cuadrados en el Método de Elementos Finitos (Jiang,1998), y el
tercero abarca principalmente antenas, circuitos microondas y aplicaciones de interferencias
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
4
(Volakis, Chatterjee, Kempel, 1998). Otro cubre el tema más grande de electromagnetismo
computacional e incluyen los elementos finitos (Peterson, Ray, Mitra, 1998). Finalmente,
hay varios otros libros que contienen capítulos sobre el análisis de elementos finitos de
problemas electromagnéticos,(Binns, Lawrenson, Trowbridge, 2002; Ida, Bastos, 2002;
Sadiku, 2003; Steele, 1997; Zhou, 2003).
1.1 Base del Método de Elementos Finitos.
Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del
complejo mundo que la rodea en una sola operación global. Por ello, una forma natural de
proceder ingenieros, científicos, consiste en separar los sistemas en sus componentes
individuales, o elementos, cuyo comportamiento pueda conocerse sin dificultad, y a
continuación reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir de dichos componentes.
En muchos casos se obtiene un modelo adecuado utilizando un número finito de
componentes claramente definidos. Tales problemas se denominan discretos. En el caso,
por ejemplo, del análisis de estructura de un edificio en el que cada viga constituye una
entidad aislada bien definida.
En otros la subdivisión prosigue indefinidamente y el
problema sólo puede definirse haciendo uso de la ficción matemática de infinitésimo. Ello
puede conducir a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes con un número
infinito de elementos implicados. Tales sistemas serán llamados continuos. Su análisis
resulta mucho más complejo, por lo que se hace referencia al cálculo estructural, el Método
de Elementos Finitos puede ser entendido como una generalización al análisis de sistemas
continuos.
El principio del Método consiste en la reducción del problema con infinitos grados de
libertad, en un problema finito en el que intervenga un número finito de variables asociadas
a ciertos puntos característicos (nodos). Las incógnitas del problema dejan de ser funciones
matemáticas del problema, para pasar a ser los valores de dichas funciones en un número
infinito de puntos. El cálculo se efectúa también restringiendo el análisis de corrimientos
de los nodos. La diferencia estriba en que el análisis del continuo, la segmentación en
elementos y la correcta posición de los nodos es, hasta cierto punto, arbitraria.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
5
Así pues, en el Método de Elementos Finitos se supone que el comportamiento de cada
parte o elemento, en los que se subdivide queda definido por un número finito de
parámetros asociados a los puntos que en dicho momento se unen al resto de los elementos
de su entorno (nodos). Para definir el comportamiento en el interior de cada elemento se
supone que dentro del mismo, todo queda perfectamente definido a partir de lo que sucede
en los nodos a través de una adecuada función de interpolación.
Como puede apreciarse en el Método de Elementos Finitos son casi esenciales los
conceptos de "discretización": acción de transformar la realidad de la naturaleza continua
en un modelo discreto aproximado y de "interpolación": acción de aproximar los valores de
una función a partir de su conocimiento en un número discreto de puntos. Por lo tanto el
Método de Elementos Finitos es un método aproximado desde múltiples perspectivas:
a) Discretización.
b) Interpolación.
c) Utilización de métodos numéricos.
La presentación aproximada de la realidad en forma de un modelo numérico permite la
resolución del problema. Actualmente el Método de Elementos Finitos ha sido generalizado
hasta constituir un potente método de cálculo numérico, capaz de resolver cualquier
problema de la física formulable como un sistema de ecuaciones.
1.2 ¿Para que sirve el Método de Elementos Finitos?
A pesar de su carácter aproximado, el Método de los Elementos Finitos es una herramienta
muy útil que permite realizar una gran cantidad de análisis en componentes y estructuras
complejos, difícilmente realizables por los métodos analíticos clásicos.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
6
1.3 ¿Qué aplicaciones tiene?
Las aplicaciones actuales del método son muy extensas e incluyen sistemas lineales y no
lineales, estáticos, dinámicos tales como:
•
Electromagnetismo.
•
Mecánica de Sólidos.
•
Teoría de la Elasticidad.
•
Mecánica de Fluidos.
•
Transmisión de Calor.
El Método de Elementos Finitos ha atraído mucha atención en el electromagnetismo y las
comunidades de ingeniería microondas en años recientes. El método ha disfrutado de la
amplia popularidad y se hace un instrumento de diseño principal para dispositivos
electromagnéticos.
1.4 Introducción al Método de Elementos Finitos: Métodos clásicos para análisis de
los valores de fronteras.
En esta sección primero se definen problemas de valores de fronteras y luego se repasan
dos métodos clásicos para su solución, el método variacional de Ritz y el método de
Galerkin, ambos métodos forman la base del Método moderno de Elementos Finitos. Para
introducir el Método de Elementos Finitos, es necesario hablar de estos dos métodos
primero.
1.4.1 Problemas de valores de fronteras.
Los problemas de valores de fronteras surgen en el modelado matemático de sistemas
físicos, y su solución mucho tiempo ha sido un tema principal en la física matemática. Un
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
7
problema típico de valor de frontera puede ser definido por una ecuación diferencial en el
dominio
Ω
:
£φ = f
(1.1)
Junto con el límite condiciona sobre el límite
operador diferencial, la
f
es la excitación, y
Γ
que incluye el dominio. En (1.1), £ es un
φ
es la incógnita. En electromagnetismo, la
forma de la ecuación diferencial se extiende desde simples ecuaciones de Poisson (Anexo
I), a ecuaciones tan complicadas como las ecuaciones escalares de la onda (Anexo II), y
aún más complicadas como las ecuaciones vectoriales de la onda (Anexo III). Las
condiciones de frontera también se extienden a simples condiciones de Dirichlet y
Neumann, a la complicada impedancia y condiciones de radiación, a condiciones de orden
más alta aún más complicadas.
Es, desde luego, deseable solucionar problemas de valores de fronteras analíticamente
siempre que sea posible. Sin embargo, ya que una solución analítica puede ser obtenida
para sólo unos problemas especiales, la solución analítica es la excepción más bien que la
regla. En electromagnetismo estos casos excepcionales incluyen el potencial estático entre
planos infinitos paralelos, la propagación de onda en guías de onda rectangular, circular, y
elíptico, los resonadores de cavidad dentro de cavidades rectangulares, cilíndricas y
esféricas, y la onda que se dispersa por planos infinitos, cuñas, cilindros circulares, y
esferas. Muchos otros problemas de la importancia práctica de la ingeniería no tienen una
solución analítica. Para vencer esta dificultad, varios métodos aproximados han sido
desarrollados, siendo el método de Ritz y de Galerkin los más utilizados.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
8
1.4.2 Método de Ritz.
El método de Ritz, conocido además por el método de Rayligh-Ritz es un método de
variación en el cual el problema del valor de frontera es formulado en términos de la
expresión de variación llamada función. El mínimo de esta función corresponde a la
ecuación diferencial evaluada bajo las condiciones de frontera dadas.
La solución
aproximada es obtenida minimizando la función con respecto a las variables que definen
con cierta aproximación esta solución.
A continuación se ilustrará el procedimiento,
definiendo el producto interno, denotado por corchetes, como:
φ ,ψ =
∫
φψ ∗ ∂ Ω
Ω
(1.2)
Donde el asterisco denota el complejo conjugado. Con esta definición se muestra que si el
operador £ en (1.1) es:
£ φ ,ψ
=
φ ,ψ
(1.3)
Y además se define que si:
⎧> 0
⎩= 0
£ φ ,φ ⎨
φ≠0
φ =0
La solución a (1.1) puede ser obtenida minimizando la función:
(1.4)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
()
~ 1
Fφ =
2
Con respecto a
~ ~
£ φ ,φ −
~
1 ~
1
f ,φ
φ,f −
2
2
9
(1.5)
φ~ , donde φ~ denota la función tanteo.
Una vez encontrada la función, la solución puede ser obtenida por el procedimiento descrito
más adelante.
Suponiendo que
φ~ en
(1.5) puede ser aproximada por:
N
φ = ∑ c j v j = {c}T {v} = {v}T {c}
~
j =1
(1.6)
Donde:
vj
Funciones de expansión seleccionadas definidas en todo el dominio.
cj
Coeficientes constantes a ser determinados.
{ } Denota el vector columna.
T
Denota la traspuesta del vector.
Sustituyendo (1.6) en (1.5) se obtiene:
F =
1 T
{c} ∫Ω {v} £ {v}T d Ω{c} − {c}T ∫Ω {v} fd Ω
2
Al minimizar
()
~
Fφ
(1.7)
, se obtiene el siguiente juego de ecuaciones lineales algebraicas:
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
1 T
T
∂F 1
= ∫ vi £ {v} dΩ{c} + {c}
∂ ci 2 Ω
2
10
∫ {v}£ v dΩ − ∫
Ω
i
Ω
vi fd Ω
1 N
= ∑ c j ∫ (vi £ v j + v j £ vi )dΩ − vi fd Ω
∫Ω
2 j =1 Ω
= 0 i = 1,2,3,..., N
(1.8)
Las cuales pueden ser escritas como una ecuación matricial:
[S ]{c} = {b}
Con los elementos en
Sij =
[S ] dados por:
1
(vi v + v j £ vi )dΩ
2 ∫Ω £ j
Y los elementos en
bi =
(1.9)
∫
Ω
(1.10)
{b} dados por:
v i fd Ω
Es evidente que
del operador £,
[S ]
S ij
(1.11)
es una matriz simétrica. Recurriendo a la propiedad auto-adjunta
puede ser escrita como:
S ij = ∫ vi £ v j dΩ
Ω
Una solución aproximada para (1.1) es dada por (1.6), donde
la ecuación de la matriz (1.9).
(1.12)
ci
son obtenidas resolviendo
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
11
1.4.3 Método de Galerkin.
El método de Galerkin pertenece a la familia del método del residuo ponderado, el cual,
como su nombre indica, busca la solución por pesos ponderados de la ecuación diferencial
del residuo. Suponiendo que
φ~
para
φ
φ~
es una solución aproximada a (1.1).
Se sustituye de
en (1.1) resultando un residuo distinto de cero:
~
r = £φ − f ≠ 0
La mejor aproximación para
(1.13)
φ~
pequeños en todos los puntos de
sería aquella que reduzca el residuo
Ω.
r
a valores más
En este caso, el método del residuo ponderado
fuerza la condición:
Ri =
∫
Ω
w i rd Ω = 0
(1.14)
Donde:
R i Denota la integral del residuo.
wi
Son las funciones de peso seleccionadas.
En el método de Galerkin, las funciones de pesos ponderados son seleccionadas de tal
modo que sean las mismas que serán usadas para la expansión de la solución aproximada.
Esto usualmente conlleva a una solución más exacta y es por lo tanto una aproximación
popular en el desarrollo de las ecuaciones del elemento finito.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
12
Ilustrando el método más explícitamente se asume que la solución es como la representada
en (1.6). Las funciones ponderadas son seleccionadas como:
wi = vi
i = 1 , 2 , 3 ,..., N
(1.15)
De modo que (1.14) sería:
Ri =
∫ (v £ {v} {c} − v f )dΩ = 0
T
Ω
i
i
Esto conlleva nuevamente al sistema dado en
(1.9),
i = 1,2,3,..., N
(1.16)
[S ]
no es
ahora la matriz
necesariamente simétrica a menos que el operador £ sea auto-adjunta.
Si £ es auto-
adjunta, el método de Galerkin resulta el mismo sistema de ecuaciones que el dado en el
método de Ritz.
1.4.4 EJEMPLO
Después de conocer el método de Ritz y de Galerkin se ilustrará a través de un ejemplo el
problema de las condiciones de frontera junto a la implementación de dichos métodos.
1.4.4.1 Descripción del problema.
El problema consiste en determinar el potencial estático
infinitos. Un plano es localizado en
φ = 1V
x=0
con
φ =0
φ
entre 2 planos paralelos
y el otro en
x = 1m
y
. El espacio entre los 2 planos está ocupado por el medio que posee una
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
constante
de
permitividad
ε
ρ ( x ) = − ( x + 1)ε C m 3
F/m
y
una
densidad
13
de
carga
eléctrica
.
Este problema puede ser descrito matemáticamente por la ecuación de Poisson (Anexo I),
que simplifica la ecuación diferencial de segundo orden:
d 2φ
= x =1
dx 2
0 < x <1
(1.17)
En conjunto con las condiciones de frontera dadas por:
φ
φ
x=0
x =1
=0
(1.18)
=1
(1.19)
La solución exacta para este problema es:
φ (x ) =
1 3 1 2 1
x + x + x
6
2
3
(1.20)
La cual es fácil de obtener integrando dos veces (1.17) y aplicando (1.18) y (1.19),
determinándose la constante de integración.
Sin embargo, de mucho de los problemas
prácticos no se tiene una solución simple y en muchos casos sólo se obtiene una solución
aproximada.
Por estas razones, se asume que no se conoce una solución exacta, en
cambio, usando el método de Ritz y de Galerkin se pueden encontrar.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
14
1.4.4.2 Solución del ejemplo por la vía del método de Ritz.
Como se vio anteriormente, en el método de Ritz se formula el problema en términos
funcionales cuyo mínimo corresponde a la ecuación diferencial obtenida bajo las
condiciones de frontera dadas. Partiendo de (1.17) y (1.19), se muestra que la función
viene dada por:
2
1
1 1 ⎛ dφ~ ⎞
~
Fφ = ∫⎜
⎟ dx + ∫ ( x + 1)φ dx
0
2 0 ⎝ dx ⎠
(~ )
Para probar esto, se asume que
función
F
. Haciendo
φ (x )
es la función que corresponde al mínimo de la
φ~ ( x ) = φ (x ) + δφ ,
diferenciable que se anula en
x=0
puntos). Esta pequeña variación en
φ
(1.21)
y
donde
x =1
δφ
(ya que
causará variación en
F
es pequeño y una función
φ
es dado en estos dos
, la cual puede ser escrita
como:
(
∆F = F (φ + δφ ) − F (φ ) = δF + O (δφ )
2
)
(1.22)
Donde:
δF
(
Es el término de primer orden en
O (δφ )
δφ .
2
)
δφ .
Representa la suma de los términos de segundo orden u orden superior de
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
δF
El término de primer orden,
15
es referido usualmente a la primera derivada de
F
,
puede ser calculado convenientemente como:
δF (φ ) = lim
e →0
F (φ + eδφ ) − F (φ )
e
(1.23)
De acuerdo con la teoría la condición necesaria para que
φ~ ( x ) = φ ( x )
F
sea mínima cuando
es:
δF (φ ) = 0
(1.24)
Para la función dada en (1.21), se expresa que:
∫
1
0
d φ d δφ
dx +
dx dx
∫ (x + 1 )δφ dx
1
0
= 0
(1.25)
Integrando por parte el primer término, se obtiene:
dφ
δφ
dx
Ya
δφ
que
x =0
x =1
x=0
⎛ d 2φ
⎞
⎟⎟δφ dx = 0
− ∫ ⎜⎜
−
x
−
1
2
0
⎝ dx
⎠
δφ
= δφ
x =1
1
es
= 0,
la
función
arbitraria
se concluye que
φ (x )
que
(1.26)
satisface
las
condiciones
satisface la ecuación diferencial (1.17)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
16
φ (x ) .
De acuerdo con el
Ahora, se procederá con el método de Ritz para encontrar
método, primero se expande
φ~
en términos de polinomios:
φ~ (x ) = c1 + c 2 x + c3 x 2 + c 4 x 3
Donde
c i (i = 1,2,3,4 ) ,
(1.27)
son constantes a ser determinadas.
Aplicando las condiciones de frontera (1.18)
c1 = 0
y
c 2 = 1 − c3 − c 4 ,
y
(1.19), se obtienen las condiciones
las cuales reducen (1.27) a:
φ~ ( x ) = x + c 3 (x 2 − x ) + c 4 (x 3 − x )
(1.28)
Sustituyendo (1.28) en (1.21) y realizando la integración, se obtiene:
F=
2 2 1 2 1
23
1
4
c 4 + c3 + c3 c 4 −
c 4 − c3 +
5
6
2
60
4
3
Las derivadas con respecto a
c3
1
1
∂F 1
= c3 + c 4 −
2
4
∂c 3 3
∂F 1
4
23
= c3 + c 4 −
∂c 4 2
5
60
y
c4
(1.29)
son dadas por:
(1.30)
(1.31)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
17
Igualando a cero (1.30) y (1.31), se obtienen dos ecuaciones lineales con solución
c3 = 1
2
(1.20).
Se obtiene la solución exacta en este caso porque se pudo emplear la función
y
c4 = 1
6
. Estos resultados son los mismos de la expresión dada en
prueba. En muchos casos esto no es posible y solo se obtiene una solución aproximada.
1.4.4.3 Solución del ejemplo por la vía del método de Galerkin.
Se retoma el problema usando el método de Galerkin. La ecuación del residuo ponderado
para (1.17) es:
⎞
⎛ d 2φ~
⎟⎟ dx = 0
⎜
w
x
1
−
−
∫0 i ⎜⎝ dx 2
⎠
1
φ~
Usando la misma expansión para
w2 = x 3 − x
c 4 ),
(siendo
w1
(1.32)
y
dada en (1.28), y dejando
w2
w1 = x 2 − x
la función de expansión asociada con
c3
y
y
se obtiene:
1
1
1
c3 + c 4 − = 0
3
2
4
(1.33)
1
4
23
c3 + c 4 −
=0
2
5
60
(1.34)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
La solución de esta ecuación resulta nuevamente
misma solución exacta.
c3 =
1
2
y
c4 =
18
1
6
, siendo la
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
CAPÍTULO 2.
19
Método de Elementos Finitos.
Después de analizar en el capítulo anterior los dos métodos clásicos ( método variacional
de Ritz y el método de Galerkin) que constituyen la base del Método moderno de
Elementos Finitos se retoma el mismo ejemplo aplicando funciones de subdominios de
expansión, que es lo mismo decir: Método de Elementos Finitos.
2.1 Solución del ejemplo usando funciones de subdominios de expansión.
Se observa que un punto importante en los métodos de Ritz y de Galerkin es la selección de
funciones de prueba definidas sobre la solución en todo el dominio representando
aproximadamente la solución verdadera.
Para muchos problemas esto es una gran
dificultad y en algunos casos imposible, como es en problemas de dos y tres dimensiones.
Para solucionar esta dificultad, se puede dividir todo el dominio en pequeños subdominios
y usar la función tanteo definida en cada subdominio. Tales funciones de prueba son por
lo general más simples que funciones de dominio entero, ya que los subdominios son
menores y permiten obtener
φ (x )
de una manera aproximada y con suficiente precisión.
Se ilustrará este procedimiento, reconsiderando el problema definido por (1.17) - (1.19).
Primero se divide la solución de todo el dominio (0.1) en tres subdominios definidos por
(x1 , x 2 )
,
(x 2 , x3 )
y
(x3 , x 4 )
siendo
x1
y
x4
los puntos extremos
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
x1 = 0
x3 = 2
y
3
x4 = 1
.
Los otros dos puntos pueden ser
φ~ (x ) = φi
φ (x )
e
i = 1,2,3
, donde
(2.1)
φi
son constantes no conocidas a ser
determinadas. Un examen cuidadoso de (2.1) revela que
φ1 = 0
en
y
y
para cada subdominio definido por:
xi +1 − x
x − xi
+ φ i +1
xi +1 − xi
xi +1 − xi
x i ≤ x ≤ x i +1
φ (x )
x2 = 1
3
, resultando una subdivisión igual, aunque esto no es absolutamente necesario.
Se asume una variación lineal de
Para
20
x = xi
φi
representa el valor de
. Para las condiciones de frontera (1.18) y (1.19) se encuentra
φ4 = 1.
Se pueden determinar las dos constantes que restan
φ2
y
φ3
usando el método de Ritz y de Galerkin.
Primero, se aplica el método de Ritz, el cual se alcanza minimizando la función
F
. Para
esto, se sustituye (2.1) en (1.21) encontrando que:
⎡ 1 xi+1 ⎛ φ − φ ⎞2
xi +1
⎛ xi+1 − x
x − xi ⎞ ⎤
i+1
i
⎟⎟dx⎥
⎟⎟ dx + ∫ (x + 1)⎜⎜φi
F = ∑⎢ ∫ ⎜⎜
+ φi+1
xi
xi
2
x
x
x
x
x
x
−
−
−
i=1 ⎢
i+1
i ⎠ ⎥
⎝ i+1 i
⎝ i+1 i ⎠
⎣
⎦
3
(2.2)
Evaluando las integrales, se obtiene:
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
21
⎡⎛ φ − φ ⎞ 2
1
1
1
⎛2
⎞⎤
⎛2
⎞
i +1
i
⎜
⎟
F = ∑ (xi +1 − xi )⎢⎜
⎟ + φi +1 ⎜⎝ 3 xi +1 + 3 xi + 1⎟⎠ + φi ⎜⎝ 3 xi + 3 xi +1 + 1⎟⎠⎥
⎢⎣⎝ xi +1 − xi ⎠
⎥⎦
i =1 2
3
(2.3)
Puede ser escrito además como:
4
22
49
F = 3φ 22 + 3φ 32 − 3φ 2φ 3 + φ 2 − φ 3 +
9
9
27
Después se sustituyen los valores de
derivadas parciales con respecto a
x i , φ1
φ2
y
φ3
y
φ4 .
En
(2.4)
F
minimizada, se toman las
y se igualan a cero:
∂F
4
= 6φ 2 − 3φ 3 + = 0
∂φ 2
9
(2.5)
∂F
22
= −3φ 2 + 6φ 3 −
=0
∂φ 3
9
(2.6)
De las cuales se obtienen:
φ2 =
14
81
y
φ3 =
40
81
(2.7)
El resultado puede ser obtenido además usando el método de Galerkin, en el cual se
escogen las funciones de expansión implicadas por (2.1) como las funciones ponderadas
wi
a ser empleadas en (1.32).
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
⎧ x − x i −1
⎪⎪ x − x
i −1
wi = ⎨ i
x −x
⎪ i +1
⎪⎩ x i +1 − x i
i = 2,3 .
Para
22
x i −1 ≤ x ≤ x i
(2.8)
x i ≤ x ≤ x i +1
La ecuación de línea para
φ2
y
φ3
puede ser obtenida sustituyendo
(2.1) y (2.8) en (1.32). Pero antes de hacer esto, se nota que
φ~
es representado por
(2.1) siendo diferenciado sólo una vez. Se reduce el orden de diferenciación en
φ~
por
integración por partes, procedimiento que resulta de la transferencia de la primera derivada
de la función ponderada:
∫
xi +1
xi −1
Ya que
∫
wi
xi +1
xi −1
⎛ d 2 φ~
w i ⎜⎜
2
⎝ dx
anula a
⎞
d φ~ x i + 1
⎟⎟ dx = w i
−
x
dx
i −1
⎠
x i −1
dw i d φ~
dx +
dx dx
y
x i +1
xi −1
dw i d φ~
dx
dx dx
(2.9)
, (1.32) puede ser escrita como:
∫ (x + 1)w dx
xi +1
xi −1
∫
xi +1
i
=0
(2.10)
Sustituyendo (2.1) y (2.8) en la ecuación anterior y evaluando las integrales, se obtiene:
6φ 2 − 3φ 3 +
4
=0
9
(2.11)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
− 3φ 2 + 6φ 3 −
22
=0
9
23
(2.12)
Figura 2.1 Resultados numéricos comparados con la solución exacta.
Cuyas ecuaciones son las mismas dadas en (2.5) y (2.6). La solución, por supuesto, es
la misma que en (2.7).
Una vez que se obtiene la solución en
xi , la solución en otros puntos es obtenida de la
interpolación lineal basada en (2.1). El resultado para este ejemplo es ploteado en la figura.
2.1 y comparado con la solución exacta. Es visto que aunque valores exactos fueran
obtenidos en
xi ,
hay una pequeña discrepancia en otros puntos. Tal discrepancia se hará
aún más pequeña cuando se aumenta el número de subdivisiones.
El procedimiento de solución descrito es exactamente el del Método de Elementos Finitos.
El procedimiento que emplea el método de Ritz por lo general es mencionado como el
Método de Elementos Finitos de Ritz o el Método de Elemento Variacional Finito, mientras
que el que emplea el método de Galerkin por lo general es mencionado como el Método de
Elementos Finitos de Galerkin.
Del ejemplo anterior, se observa que el Método de Elementos Finitos difiere a partir de los
clásicos métodos de Ritz y de Galerkin en la formulación de la función de prueba. En el
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
24
método clásico de Ritz y de Galerkin la función de prueba es formulada como una
combinación de un juego de funciones de base definidas sobre el dominio entero. Esta
combinación debe ser capaz de representar, al menos aproximadamente, la solución
verdadera y también debe satisfacer condiciones apropiadas divisorias. En el Método de
Elementos Finitos, la función de prueba es una combinación de un juego de funciones de
base definidas sobre los subdominios que comprenden el dominio entero. Como se notó
antes, ya que los subdominios son pequeños, la función base definida sobre un subdominio
puede ser bastante simple.
En este punto, cabe preguntar: ¿Por qué se introduce el Método de Elementos Finitos, cómo
se observa en el ejemplo anterior el esfuerzo requerido para solucionar el problema usando
funciones base de dominio completo y funciones base de subdominios?
La respuesta a esta pregunta tiene dos partes:
Primero, en el ejemplo anterior se trataba con un problema dimensional.
Es verdad que
para casi todos los problemas dimensionales siempre se pueden encontrar las funciones de
prueba requeridas. Sin embargo, cuando se analizan problemas de dos o tres dimensiones
es muy difícil y a menudo imposible encontrar las funciones de prueba de dominio enteras
requeridas, en particular para problemas con fronteras irregulares. Segundo, en el ejemplo
anterior, se llega a la solución usando papel y lápiz, procedimiento aplicable sólo a
problemas muy sencillos. Para problemas complicados de interés práctico se empleará la
computadora, escribiendo un programa que describa el procedimiento para la solución del
mismo. Como se verá más adelante, el Método de Elementos Finitos es mucho mejor para
un determinado propósito que el método clásico de Ritz y de Galerkin.
Con este método es posible escribir un programa general determinado que pueda tratar con
límites y muchos problemas diferentes.
A modo de conclusión, la idea de usar un subdominio de la función base hace posible
aliviar el problema de los valores de fronteras lo que hace este método más práctico al
emplear técnicas de cómputo. Por esta razón el Método de Elementos Finitos es el método
de análisis más ampliamente usado en el diseño asistido por computadoras.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
25
2.2 Puntos básicos del Método de los Elementos Finitos.
Después de introducir el Método de Elementos Finitos, se definirá el método de una forma
más abstracta y se describirán sus puntos básicos. Algunos de los conceptos introducidos
en esta sección aparecen con alguna dificultad de comprensión, pero llegarán a ser claros
con los problemas que se enfocarán posteriormente.
El Método de Elementos Finitos es un procedimiento numérico para obtener la solución de
problemas de valor mínimo como se ha visto en algunos ejemplos, el principio del método
debe sustituir un dominio entero continuo por un número de subdominios en los cuales la
función incógnita es representada por funciones de interpolación con coeficientes
desconocidos.
Los sistemas de ecuaciones algebraicos son obtenidos
aplicando el
procedimiento variacional de Ritz o de Galerkin, y finalmente, la solución del problema del
valor límite es alcanzado resolviendo el sistema de ecuaciones. Por lo tanto, el análisis de
elementos finitos en el problema del valor de frontera puede incluir los siguientes puntos
básicos:
•
Discretización o subdivisión del dominio.
•
Selección de las funciones de interpolación.
•
Formulación del sistema de ecuaciones.
•
Solución del sistema de ecuaciones.
2.3 Discretización del dominio.
La discretización del dominio, es decir
Ω , es el primero y quizás el punto más importante
en todo el análisis de elementos finitos porque el modo en el cual es discretizado el
dominio afectará los requerimientos de recursos de cómputo, el tiempo computacional y la
Ω
es subdividido
Ω e (e = 1,2,3,..., M ) , con
M denotando
exactitud de los resultados numéricos. En este punto, el dominio entero
en pequeños subdominios, denotados como
el número total de subdominios. Estos subdominios son usualmente referidos como
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
26
“elementos”. Para el dominio en primera dimensión (líneas rectas o curvadas) los
elementos son segmentos de líneas cortas interconectados para formar la línea original.
(figura. 2.2 a). Para el dominio en 2 dimensiones, los elementos son usualmente pequeños
triángulos y rectángulos (figura. 2.2 b). Los elementos rectangulares son, por supuesto,
mejor opción para discretizar regiones rectangulares, mientras que los triangulares pueden
ser usados para regiones irregulares. En la solución de 3 dimensiones, el dominio puede
ser subdividido en tetraedros, prismas triangulares o cuerpos rectangulares (figura. 2.2 c).
Los tetraedros son más simples y mejor opción para dominios de volumen arbitrario. Se
nota que segmentos de rectas lineales, triangulares y tetraedro son elementos básicos en
una, dos y tres dimensiones que modelan líneas curvadas o superficies por segmentos de
líneas rectas o patches planos.
En la figura. 2.3 se dan dos ejemplos mostrando la
discretización del elemento finito en el dominio de dos y tres dimensiones.
Figura 2.2 Básicos elementos finitos. a) Una dimensión , b) Dos dimensiones ,
c) Tres dimensiones.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
27
Figura 2.3 Ejemplo de discretización del elemento finito. a) Dos dimensiones con
elementos triangulares, b) Tres dimensiones con elementos tetraedros.
En las soluciones de elementos más finitos, el problema es formulado en términos de la
función desconocida
φ
en nodos asociados con los elementos. Por ejemplo, un elemento
de línea linear tiene dos nodos, uno en cada punto final. Un elemento linear triangular tiene
tres nodos, localizados en sus tres vértices, mientras que un tetraedro linear tiene cuatro
nodos, localizados en sus cuatro esquinas. Para la puesta en práctica de los objetivos, es
necesario describir estos nodos. Una descripción completa de un nodo contiene sus valores
de coordenada, el número local y el número global. El número local de un nodo indica su
posición en el elemento, mientras que el número global especifica su posición en el
sistema entero.
Especificar los valores de coordenada, la enumeración de nodos y
elementos requiere alguna estrategia. Será visto que la formulación de elementos finitos
por lo general causa una matriz cuyo ancho de banda es determinada por la diferencia
máxima entre los números globales de dos nodos en un elemento.
correctamente los nodos se puede reducir el ancho de banda.
Numerando
Sin embargo, en el caso
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
28
donde la minimización del ancho de banda es innecesaria, el esquema de enumeración
puede ser arbitrario.
La discretización del dominio por lo general es considerada una tarea previa porque puede
ser completamente separada de otros pasos. Muchos paquetes de programas de elementos
finitos bien desarrollados tienen la capacidad de subdividir una línea formada
arbitrariamente, la superficie, y el volumen en los elementos correspondientes y también
brinda la optimización global.
2.4 Selección de las funciones de interpolación.
El segundo punto del análisis de elementos finitos es la selección de una función de
interpolación que proporciona una solución aproximada de la solución desconocida dentro
de un elemento. La interpolación por lo general es seleccionada para hacer un polinomio
de primer orden, segundo y orden superior. Los elementos de orden superior, aunque muy
exactos, por lo general causan una formulación más complicada que los polinomios de
orden inferior. De ahí que la interpolación lineal simple todavía es usada extensamente.
Una vez que el orden del polinomio es seleccionado, se puede sacar una expresión para la
solución del elemento desconocido, se hablará del elemento
{ } {φ } = {φ } {N }
n
φ~ e = ∑ N ejφ ej = N e
T
e T
e
j =1
Donde:
n
Es el número de nodos del elemento.
φ ej
Es el valor de
φ
en el nodo
j
del elemento.
e , en la forma siguiente:
e
(2.13)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
N ej
Es la función de interpolación para el nodo
29
j , que también conocen como la función
de base o la extensión.
Las funciones de mayor orden
N ej
del elemento, por ejemplo, si el
para un elemento dado se menciona como la orden
N ej
son funciones lineales, el elemento
elemento lineal. Un rasgo importante de las funciones
dentro del elemento
e,
N ej
e
es un
es que ellos son no nulos sólo
y fuera de este elemento ellos desaparecen.
2.5 Formulación del sistema de ecuaciones.
El tercer punto en el análisis de Método de Elementos Finitos es formular el sistema de
ecuaciones. Ambos métodos variacionales (Ritz y Galerkin) pueden ser usados para este
propósito, en una manera similar a las secciones precedentes.
Se verá primero la
formulación por el variacional de Ritz.
2.5.1 Formulación por el método de Ritz.
Se considera nuevamente el problema definido en (1.1) y para simplificar se asumirán
valores reales. La función
F (φ~ ) =
F
dada en (1.5) puede ser expresada como:
∑ F (φ~ )
M
e
e
e =1
Donde:
M
Es el número de los elementos del dominio completo y
(2.14)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
30
( )
~
~ ~
1
~
F e φ e = ∫ e φ e £ φ e dΩ − ∫ e fφ e dΩ
Ω
2 Ω
(2.15)
Sustituyendo (2.13) en (2.15), se obtiene:
Fe =
1 e T
T
{
φ } ∫ e {N e }£ N e dΩ φ e − φ e
Ω
2
{ }
{ } { } ∫ f {N }dΩ
T
e
Ω
e
(2.16)
La cual puede ser escrita en la forma matricial como:
Fe =
{ } [K ]{φ }− {φ } {b }
1 e
φ
2
T
e
e T
e
e
(2.17)
Donde:
[K ] Es una matriz n × n
{b } Un vector columna n × 1 con los elementos dados por:
e
e
K ije = ∫ e N ie £ N ej dΩ
Ω
(2.18)
y
b ie =
∫
Ω
e
fN ie d Ω
Se nota que la matriz elemental
(2.17) en (2.14), se obtiene:
(2.19)
[K ] es simétrica ya que £ es auto adjunta. Sustituyendo
e
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
{ } [K ]{φ }− {φ } {b }⎞⎟
⎛1
F φ = ∑⎜ φe
e =1 ⎝ 2
(~ )
M
31
T
e
e T
e
e
(2.20)
⎠
Realizando la sumatoria y adoptando números de nodos globales, se puede escribir como:
F=
1 T
{φ } [K ]{φ } − {φ }T {b}
2
(2.21)
Donde:
[K ]
N×N
Es la matriz simétrica
, con
N
siendo el número total de incógnitas por
nodos.
{φ }
Un vector incógnita
N ×1
cuyos elementos son coeficientes de expansión no
conocidos.
{b}
El vector conocido
N ×1 .
El sistema de ecuaciones es obtenido imponiendo el requerimiento estacionario
δF = 0 ,
o colocando la derivada parcial de
F
∂F 1 N
= ∑ (K ij + K ji )φ j − bi = 0
∂φ i 2 j =1
Ya que
[K ] es simétrico, K ij
= K ji ,
N
∂F
= ∑ K ij φ j − bi = 0
∂φ i
j =1
con respecto a
φi
a cero:
i = 1,2,3,..., N .
(2.22)
por lo tanto (2.22) queda:
i = 1,2,3,..., N
(2.23)
O en la forma matricial:
[K ]{φ } = {b}
(2.24)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
32
Un equivalente pero con una derivación ligeramente diferente de (2.24) es primero tomar la
derivada de
Fe
con respecto a
φ ie :
∂F e
T
= ∫ e N ie £ N e dΩ φ e − ∫ e fN ie dΩ
e
Ω
Ω
∂φ i
{ }
{ }
i = 1,2,3,..., n
(2.25)
La cual puede ser escrita en la forma matricial:
⎧ ∂F e ⎫
e
e
e
⎨ e⎬= K φ − b
⎩ ∂φ ⎭
[ ]{ } { }
(2.26)
Donde:
⎧ ∂F e ⎫
⎨ e⎬=
⎩ ∂φ ⎭
⎡ ∂F e ∂F e
∂F e ⎤
⎢ e , e ,..., e ⎥
∂φ n ⎦
⎣ ∂φ1 ∂φ 2
T
Para obtener el sistema de ecuaciones, es necesario primero encontrar
⎧ ∂F ⎫ ⎡ ∂F ∂F
∂F ⎤
=
,
,...,
⎨ ⎬ ⎢
⎥
∂φ N ⎦
⎩ ∂φ ⎭ ⎣ ∂φ1 ∂φ 2
{∂F
T
i
contribuyen a
∂φ e
en un vector
Ya que solo los elementos que son directamente conectados al nodo
{∂F
∂ F ∂φ i
,
columna
N ×1
∂φ }
∂φ }, donde:
puede ser obtenido expandiendo
{∂F
e
}
para cada elemento, usando la relación entre los nodos de números
globales y locales y adicionándolos:
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
33
⎧ ∂F ⎫ M ⎧ ∂F e ⎫
⎨ ⎬ = ∑⎨ e ⎬
⎩ ∂φ ⎭ e =1 ⎩ ∂φ ⎭
∂F e
Donde
(2.27)
es usado para denotar el vector que ha sido expandido o aumentado. El
sistema de ecuaciones es obtenido imponiendo el requerimiento estacionario:
⎧ ∂F ⎫
⎨
⎬ =
φ
∂
⎩
⎭
M
∑
e =1
⎧ ∂F
⎨
⎩ ∂φ
e
e
⎫
⎬ =
⎭
M
∑
e =1
([K ]{φ }− {b }) = {0 }
e
e
e
(2.28)
Donde todos los vectores y matrices seguidos de los signos de sumatoria han sido
[K ]
e
expandidos o aumentados. Siendo más especifico,
de
[K ]
e
a una matriz
N×N
usando la relación entre nodos de números locales y
{φ } {b }
e
globales. Similarmente,
es expandida (rellenos por cero)
e
y
son aumentados a vectores columna
Como resultado, (2.28) puede además ser escrito como (2.24).
alternativa de derivación es menos elegante que la derivación previa.
N ×1 .
Aparentemente, esta
Sin embargo, esto
fue introducido porque es similar a la formulación de Galerkin, como se observa a
continuación.
2.5.2 Formulación por el método de Galerkin.
El sistema de ecuaciones puede además ser formulado por el método de Galerkin. Para
(1.1), el residuo ponderado para este elemento es:
~
Rie = ∫ e N ie ( £ φ e − f )dΩ
Ω
i = 1,2,3,..., n
(2.29)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
34
Sustituyendo (2.13) en (2.29) se obtiene:
{ }
{ }
Rie = ∫ e N ie £ N e dΩ φ e − ∫ e fN ie dΩ
Ω
Ω
T
i = 1,2,3,..., n
(2.30)
La cual puede ser escrita nuevamente en la forma matricial:
{R } = [K ]{φ }− {b }
e
e
e
{R } = [R
e
Aquí
e
1
e
, R 2e ,..., R ne
(2.31)
]
T
y los elementos de la matriz
K ije
y
bie
son
de la misma forma que en (2.18) y (2.19), respectivamente. Porque el operador £ no
tiene necesidad de ser auto adjunta aquí, la matriz elemental
simétrica.
[K ] no es necesariamente
e
Ya que la expansión y por lo tanto la función ponderada asociada al nodo,
abarca todos los elementos conectados directamente al nodo, el residuo ponderado
asociado con el nodo
nodo
i.
i
Ri
es la sumatoria de todos los elementos conectados directamente al
Por lo tanto, si se expande (2.31) relacionando el global y el local y sumando
cada uno de estos elementos se encuentra que:
{R } = ∑ {R
M
e =1
Donde
e
}= ∑ ([K ]{φ }− {b })
M
e
e =1
{R} = [R1 , R2 ,..., R N ]T .
e
e
(2.32)
Nuevamente se nota que todos los vectores y
matrices siguientes al signo de sumatoria en (2.32) han sido aumentados o expandidos del
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
35
mismo modo que el descrito anteriormente. El sistema de ecuaciones puede ser obtenido
colocando (2.32) a cero:
∑ ([K
M
e =1
e
]{φ }− {b }) = {0}
e
e
(2.33)
El cual puede ser escrito nuevamente en la forma de (2.24).
Antes de que el sistema de ecuaciones (2.24) este listo para una solución específica, se
tienen que aplicar las condiciones de frontera requeridas. Existen dos tipos de condiciones
de fronteras como son: Una, la condición de frontera de Dirichlet, que prescribe
φ
en la
frontera tal como (1.18) y (1.19); y la otra, la condición de frontera homogénea de
Neumann, que requiere la derivada normal de
φ
en la frontera.
La primera es una
condición esencial de frontera que debe ser impuesta explícitamente, en contraste con la
segunda, que por lo general se satisface implícitamente y automáticamente en el proceso de
solución.
Por esta razón a menudo llaman a la condición de Neumann la condición de
frontera natural.
Es visto que la formulación de un sistema de ecuaciones en realidad es compuesta de tres
subpasos:
1. Formular la ecuación elemental (2.17) o (2.31) utilizando cualquiera de los dos
métodos.
2. Se suman las ecuaciones elementales sobre todos los elementos para formar el
sistema de ecuaciones, proceso llamado ensamblaje.
3. Se imponen las condiciones de frontera obteniendo la forma final del sistema de
ecuaciones.
En la implementación en la computadora, los tres subpasos por lo general no son separados,
son entrelazados. La generación de la matriz elemental y la imposición de las condiciones
de frontera por lo general ocurren durante el proceso de ensamblaje.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
36
2.6 Solución del sistema de ecuaciones.
La solución del sistema de ecuaciones es el paso final en el análisis del Método de
Elementos Finitos. El sistema resultante tiene una de las dos formas siguientes:
[K ]{φ } = {b}
(2.34)
[A]{φ } = λ [B ]{φ }
(2.35)
La ecuación (2.34) es del tipo determinística, siendo el resultado una ecuación diferencial
no homogénea o condiciones de fronteras no homogéneas o ambas. En electromagnetismo,
el sistema determinista por lo general es asociado con la dispersión, la radiación y otros
problemas donde existe una fuente o la excitación. Al contrario, (2.35) es del tipo de valor
propio, siendo resultado de una ecuación homogénea diferencial gobernante y condiciones
de frontera homogéneas. En electromagnetismo, los sistemas de valor propio por lo general
son asociados con problemas sin fuente como la propagación de ondas de guías de onda y
resonadores de cavidad. En este caso, el vector conocido
[K ] puede ser escrita como [A] − λ [B ] , donde
λ
{b} desaparece y la matriz
es un valor propio.
Una vez que se ha solucionado el sistema de ecuaciones para
{φ }, entonces se pueden
calcular los parámetros deseados, como la capacitancia, la inductancia, impedancia de
entrada y el modelo de radiación; y mostrando el resultado en forma de curva, plots o
cuadros en color, que son más significativos o interpretables.
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
37
2.7 Una alternativa de la formulación del Método de Elementos Finitos.
En la descripción precedente del procedimiento de solución por el Método de Elementos
Finitos, puede ser difícil de comprender el proceso de ensamblaje, que es el paso de (2.20)
a (2.21) o de (2.28) y (2.33) a (2.24). Ya que
[K ] y {b} en (2.21) y (2.24) no tienen
ninguna expresión explícita para sus elementos, el procedimiento completo del Método de
los Elementos Finitos aparece complicado y la simplicidad ilustrada por el ejemplo de la
sección dos ahora se ha degradado. Para restaurar esta simplicidad perdida, se presentará la
formulación del sistema de ecuaciones de elementos finitos desde una perspectiva diferente.
Una característica importante en esta presentación alternativa debe escribir la expansión
para
φ~ en términos de las cantidades de nodos desconocidos etiquetados por un número
global. Ya que
N ej
φ~
ellos desaparecen,
φ~ =
M
son no nulo solo dentro del elemento
e =1 j =1
y fuera de este elemento
en el dominio entero puede ser expresado como:
n
∑∑N
e
e
j
φ ej
(2.36)
Usando la relación entre números de nodos locales y globales, se puede rescribir (2.36), al
menos en principio como:
φ~ =
N
∑N
g
j
j =1
φj
(2.37)
Donde:
N
N jg
Denota el número total de nodos.
Denota la función expansión para
acentuar que la
j
φj
con el índice superior
de subíndice asociado es el número global.
g
empleado para
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
Aparentemente,
N jg
38
es no nulo sólo dentro del elemento conectado al nodo
j,
y un
ejemplo es dado en la figura. 2.4 para elementos lineales triangulares. Sustituyendo (2.37)
dentro de la función
F
.
()
~ 1 ~ ~
~
F φ = ∫ φ £ φ dΩ − ∫ fφ dΩ
Ω
2 Ω
Y tomando la derivada parcial de
F
(2.38)
con respecto a
φi
, se obtiene:
N
∂F
= ∑ φ j ∫ N ig £ N jg dΩ − ∫ fN ig dΩ i = 1,2,3,..., N
Ω
∂φi j =1 Ω
El
sistema
(∂F
de
∂φ i = 0 )
ecuaciones
es
obtenido
usando
el
requerimiento
(2.39)
estacionario
y puede ser escrito en forma de matriz como:
[K ]{φ } = {b}
(2.40)
Donde:
K ij = ∫ N ig £ N jg dΩ
Ω
bi =
∫
Ω
fN ig d Ω
(2.41)
(2.42)
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
Figura 2.4 Ilustración de
N jg
39
en elementos triangulares lineares.
El mismo resultado puede también ser obtenido usando el método de Galerkin sustituyendo
(2.37) en las ecuaciones del residuo ponderado:
~
Ri = ∫ N ig ( £ φ − f )dΩ = 0
Ω
i = 1,2,3,..., N
En esta formulación, al parecer se han encontrado expresiones explícitas para
bi .
K ij
Lamentablemente, este aspecto es engañoso porque la expresión explícita para
no esta fácilmente disponible.
de
(2.43)
N ej
Aunque sea posible encontrar
N jg
y
N jg
con el conocimiento
y la relación entre los sistemas de enumeración locales y globales, el
procedimiento es complicado. Se puede notar que la diferencia principal entre la
formulación presente y la anterior está en la etapa en la cual la relación entre los números
locales y globales es usada.
En la formulación anterior, esto es usado en el proceso de
ensamblaje mientras que en el presente esto es usado en el proceso de encontrar
un número de nodo dado.
N jg
para
La carga obviamente ha cambiado. Pero el antiguo método,
donde cada cantidad es bien definida y fácilmente calculada, requiere menos esfuerzos que
este. Por esta razón, programas en la computadora de elementos finitos por lo general son
CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos.
40
desarrollados basados en la formulación anterior, por lo tanto, es preferible describir el
método de este modo.
Sin embargo, la formulación presente tiene una ventaja muy distinta que no es compartida
con el anterior.
Primero, su formulación es muy simple.
Segundo, y más importante
demuestra claramente el principio básico del Método de Elementos Finitos. En la
formulación, el uso de los métodos variacionales de Ritz y de Galerkin se asemejan más a
los métodos clásicos perfilados en la sección 1.4 que el procedimiento empleado en la
formulación anterior.
Por consiguiente, se puede notar inmediatamente las semejanzas y
diferencias entre el Método de Elementos Finitos y los métodos clásicos de Ritz y de
Galerkin.
En conclusión, en la práctica, la formulación es preferida cuando se describe el
procedimiento del Método de Elementos Finitos, mientras que el presente es más ilustrativo
cuando el principio básico del método está afectado.
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
41
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
Después de analizar en los capítulos anteriores los dos métodos clásicos (método
variacional de Ritz y el método de Galerkin) que constituyen la base del Método moderno
de Elementos Finitos e introducir a través de un ejemplo las funciones de subdominios de
expansión, que es lo mismo decir: Método de Elementos Finitos, y sus puntos básicos, en
este capítulo se dará solución a varios problemas que ponen de manifiesto la aplicación del
método.
3.1 Ejemplo # 1: Onda plana uniforme.
El problema ilustrado en la figura. 3.1 consiste en una onda plana uniforme que incide
sobre una fina capa de dieléctrico no homogéneo sobre un plano conductor. El dieléctrico
tiene un ancho
L , permitividad relativa ε r
pueden ser funciones de
x.
y permeabilidad relativa
El medio circundante es espacio libre con
Se desea encontrar la potencia reflejada.
µr ,
los cuales
ε r = µr = 1.
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
42
Figura. 3.1 Onda plana reflejada sobre una fina capa de dieléctrico.
Conociendo que cualquier onda plana puede ser descompuesta en una onda plana
polarizada
Ez
plana polarizada
teniendo solo una componente
Hz
z
para el campo eléctrico y una onda
teniendo solo a una componente
z
para el campo magnético.
lo tanto, es suficiente considerar solo estos dos casos de polarización.
polarización
Ez ,
Por
Para el caso de
la onda incidente puede ser representada por:
E zinc ( x, y ) = Eo e jko x cos θ − jko ysenθ
Donde:
Eo
Es la constante que denota la magnitud del campo incidente.
θ
Es el ángulo de incidencia definido en la figura. 3.4.
(3.1)
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
43
Obviamente, para satisfacer la condición de continuidad del campo en la interfase
perpendicular del eje
x
el campo total debe tener un factor común
observación, la ecuación (Anexo IV) domina al campo eléctrico
e − jk o ysenθ .
Ez
que es reducida a:
⎛
⎞
1
d ⎛ 1 dE z ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + k o2 ⎜⎜ ε r −
sen 2θ ⎟⎟ E z = 0
µr
dx ⎝ µ r dx ⎠
⎝
⎠
La condición de frontera impuesta a
Ez
x =0
Ez
Con esta
(3.2)
es la condición de Dirichlet:
=0
(3.3)
Similarmente, para el caso de polarización
Hz,
la onda incidente puede ser representada
por:
H zinc (x, y ) = H o e jko x cosθ − jko ysenθ
(3.4)
El campo magnético total satisface la ecuación escalar Helmholtz:
⎛
⎞
1
d ⎛ 1 dH z ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + k o2 ⎜⎜ µ r − sen 2θ ⎟⎟ H z = 0
dx ⎝ ε r dx ⎠
εr
⎝
⎠
(3.5)
Y la condición de límite Neumann:
dH z
dx
=0
x =0
(3.6)
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
3.1.1
44
Solución analítica.
Este problema puede ser resuelto analíticamente primero dividiendo el dieléctrico en
muchas capas ( M
capas)
permeabilidad relativa
por
εr
m
y
µr
m
εr
figura. 3.2. Dentro de cada capa la permitividad y
y
µr
pueden ser aproximadamente constantes, denotadas
(m = 1,2,3,..., M ) .
Por lo tanto, la solución de (3.2) para la m-
ésima capas puede ser expresado como:
(
E z m = Am e
jk x m x
+ Bm e
− jk x m x
)e
− jk o ysen θ
Donde:
Am
y
Bm
son constantes no conocidas y
Figura 3.2 Dieléctrico dividido en M capas.
k xm = k 0 µ rm ε rm − sen 2θ
(3.7)
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
A partir de (3.7) se puede encontrar la expresión para
Maxwell. Exigiendo que
mth
capa
y
Hy
usando las ecuaciones de
sean continuos en la interfase entre dos capas, la
(m + 1)th , se obtiene:
y
R m +1 =
Ez
H ym
45
η m + 1, m + R m e
− 2 jk x m x m + 1
1 + η m +1, m R m e
− 2 jk x m x m + 1
e
2 jk x m + 1 x m + 1
(3.8)
Donde:
x m +1
Denota la posición de la interfase.
R m = B m Am
η m +1, m =
µr kx
m
m +1
− µ rm + 1 k x m
µr kx
m +1
+ µ rm + 1 k x m
m
Debido a la condición de frontera (3.3)
Con esto, se obtiene
obtiene
R M +1 ,
R2
(3.9)
A1 + B1 = 0
R3
a partir de (3.8),
y de este modo
R1 = −1
.
y así sucesivamente. Finalmente, se
coeficiente de reflexión en el cual se está interesado. El porcentaje de la
potencia reflejada por el conductor es
R M +1
2
.
Un procedimiento similar puede ser aplicado al caso de polarización
Hz.
Nuevamente uno encuentra la relación dada en (3.8) excepto que ahora η m +1, m sería:
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
η m + 1, m =
εr kx
m
m +1
− ε rm + 1 k x m
εr kx
m +1
+ ε rm + 1 k x m
m
(3.10)
A partir de la condición de límite (3.6) se encuentra que
R1 = 1 .
46
A1 − B1 = 0 , de este modo
Usando la relación (3.8), se puede encontrar el coeficiente de reflexión
aplicable al caso de polarización
R M +1
Hz.
3.1.2 Solución por los elementos finitos.
Ahora, se analizará la solución del problema por el Método de Elementos Finitos.
Para
ello, primero se identifica el dominio. El dominio para este problema es semi-infinito
(0 ≤ x < ∞ ) ,
el Método de Elementos Finitos no puede ser aplicable directamente a tal
dominio infinito.
Por lo tanto, se necesita reducir el dominio introduciendo un límite
artificial con una condición de límite apropiada.
Por motivos de eficiencia el límite
artificial debe hacer al dominio lo más pequeño posible, para este problema la mejor
elección posible es poner a
x=L
, donde
L
denota el espesor de la capa.
Después se necesita encontrar una condición de frontera apropiada para este límite. Notar
que fuera del dieléctrico, el campo total puede ser expresado como la superposición del
campo incidente y el reflejado. Para el caso de polarización
Ez (x) = Eo e jko x cosθ + REo e− jko x cosθ
Ez
se tiene que:
x>L
(3.11)
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
Donde
R
denota el coeficiente de reflexión y el factor común
suprimido. Realizando la derivada de
Ez
con respecto a
(
dE z
= jk o cos θ E o e jk o x cos θ − RE o e − jk o x cos θ
dx
47
e − jk o ysen θ
ha sido
x , se obtiene:
)
x>L
(3.12)
El cual además puede ser escrito como:
dE z
= 2 jk o cos θE o e jk o x cos θ − jk o cos θE z ( x )
dx
x>L
(3.13)
o
⎤
⎡ dE z
= 2 jk o cos θE o e jk o L cos θ
⎢ dx + jk o cos θE z ( x )⎥
⎦ x= L+0
⎣
Esta condición es válida sólo fuera de la frontera de la superficie donde
(3.14)
µr = 1.
Si se
deseara fijar las condiciones de frontera dentro de la superficie, la condición de frontera
puede ser derivada desde (3.14) teniendo en cuenta que:
Ez
x = L −0
= Ez
x= L+0
y
1 dE z
µ r dx
x = L −0
Ez
Hy.
La cual es el resultado de la condición de continuidad para
y
=
dE z
dx
x=L+o
De este modo se
encuentra que:
⎡ 1 dE z
⎤
(
)
+
jk
cos
θ
E
x
= 2 jk o cos θE o e jk o L cos θ
o
z
⎢
⎥
⎣ µ r dx
⎦ x = L −0
(3.15)
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
48
Siendo válida la condición justo dentro de la frontera de la superficie, (3.14) y (3.15) son
equivalentes y la selección de ellos no afecta la solución. De igual manera para el caso de
polarización
Hz
Hz
se encuentra la condición de frontera a ser impuesta en
⎤
⎡ dH z
jk o L cos θ
(
)
jk
cos
θ
H
x
=
2
jk
cos
θ
H
e
+
o
z
o
o
⎥
⎢ dx
⎦ x= L+0
⎣
como:
(3.16)
o
⎡ 1 dH z
⎤
+ jk o cos θH z ( x )⎥
= 2 jk o cos θH o e jk o L cos θ
⎢
⎣ ε r dx
⎦ x = L −0
(3.17)
Con las ecuaciones diferenciales dadas por (3.2) y (3.5), las condiciones de frontera dadas
por (3.3) y (3.6) en
x = 0,
y sólo se tiene derivada en
x = L , se puede proceder
a
aplicar el Método de Elementos Finitos para obtener la solución numérica del problema.
Primero se divide el dieléctrico, o el dominio
llamado nuevamente
M
(0, L ) , en un número finito de capas,
capas. Cada capa corresponde a un elemento. Comparando
(3.2) con (Anexo V) y (3.14) o (3.15) con (Anexo VI) se reconoce que para el caso de
polarización
Ez
:
φ = Ez ,
α=
⎛
1
µr
β = − k o2 ⎜⎜ ε r −
⎝
,
⎞
sen 2θ ⎟⎟
µr
⎠
1
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
γ = jk o cos θ
49
q = 2 jk o cos θE o e jk o L cos θ
,
Para el caso de polarización H z ,
α=
φ = Hz,
γ = jk o cos θ
⎛
1
εr
β = − k o2 ⎜⎜ µ r −
,
⎝
⎞
sen 2θ ⎟⎟
εr
⎠
1
q = 2 jk o cos θE o e jk o L cos θ
,
Por lo tanto, se puede escribir inmediatamente la expresión para el sistema de ecuaciones
x=L
basado en resultados derivados anteriormente. Una vez el campo en
ha sido
resuelto, el coeficiente de reflexión puede ser obtenido desde (3.11), o más
específicamente, para la polarización
Ez :
E z ( x = L ) − E o e jk o L cos θ
R=
E o e − jk o L cos θ
Un resultado similar puede ser encontrado para la polarización
con
Hz
y
Eo
con
Hz
sustituyendo
Ez
Ho .
Para validar la solución del Método de Elementos Finitos se considera un ejemplo en el
cual
la
permitividad
ε r = 4 + (2 − j 0.1)(1 − x L2 )
µ r = 2 − j 0 .1 .
relativa
y
es
la
seleccionada
permeabilidad
relativa
como
es
El dieléctrico tiene un espesor de cinco longitudes de onda, los
resultados son mostrados en la figura. 3.3. Dos grupos de los resultados de elementos
finitos son presentados y comparados con la solución (analítica) exacta, uno con 50
elementos o celdas (51 nodos) y el otro con 100 elementos (101 nodos). Como se
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
50
observa, en la medida que el número de nodos se incrementa más se aproxima la solución
del Método de Elementos Finitos a la solución exacta. Además, la correspondencia entre
ambas soluciones es mejor mientras mayor sea el ángulo de incidencia
para
β
θ
grandes, corresponde a
β
θ.
Esto es porque
menores y desde el punto de vista físico pequeños
corresponden a grandes períodos del campo en la dirección
Figura 3.3 Coeficiente de reflexión del dieléctrico teniendo.
x.
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
ε r = 4 + (2 − j 0.1)(1 − x L2 ) , µ r = 2 − j 0.1
y
51
L = 5λ
a) Polarización - E z , b) Polarización- H z
3.2 Ejemplo # 2: Guías de onda coaxiales.
Se considera la geometría ilustrada en la figura. 3.4, donde dos guías de onda coaxiales que
tienen diferentes radios se unen. Esta geometría es rotacionalmente simétrica con respecto
al eje
z , de esta manera el potencial satisface
(Anexo VII) en el plano
ρz .
Desde que la
perturbación es limitada cerca de la unión, el potencial alejado a una cierta distancia de esta
unión puede ser el mismo que en el caso no perturbado.
suficientemente alejado de la unión es independiente de
z
Por eso el potencial
o en otras palabras satisface la
condición:
∂φ
=0
∂z
(3.18)
Este caso puede ser usado como la condición de frontera para determinar el dominio de la
solución.
En la figura. 3.5 se aprecia una muestra de malla de elementos finitos y note
que la malla es refinada alrededor de la unión, ya que el potencial tiene una alta variación
allí. Los contornos equipotenciales son graficados en la figura. 3.6.
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
Figura 3.4 Unión entre dos guías de onda coaxiales.
a) Sección transversal en el plano- ρz , b) Dominio de solución.
Figura 3.5 Muestra de subdivisión de elementos finitos.
Figura 3.6 Contornos equipotenciales entre dos guías de ondas coaxiales.
52
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
53
3.3 Ejemplo # 3: Discontinuidad de guías de onda en planos paralelos.
En este ejemplo se discutirá la caracterización de la discontinuidad en guías de onda de
planos paralelos. La geometría genérica es ilustrada en la figura. 3.7, donde la onda
guiada se está propagando de izquierda a derecha.
Debido a la existencia de una
discontinuidad-geométrica, material o ambas solo una porción de la potencia de la onda
incidente puede pasar y continuar su propagación a través de la guía de onda. Otra porción
de la potencia se reflejará y se propagará en dirección opuesta. En el diseño de dispositivos
o mediciones de microondas la determinación de las fracciones de potencia que se reflejan
y se trasmiten son de vital importancia.
Figura 3.7 Discontinuidad en guías de onda de planos paralelos.
Para estudiar este problema matemáticamente se asume que la guía de onda esta operando
en muy baja frecuencia de modo que sólo el modo dominante se puede propagar sin
atenuación. Así, en el lado izquierdo bastante alejado de la discontinuidad la onda puede
ser expresada como la sumatoria de las ondas incidente y reflejada:
H z = H zinc + H zref = H o e − jk0 x + RHo e jk0 x
Donde:
Ho
Es una constante.
(3.19)
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
R
Denota el coeficiente de reflexión.
ko
Es la constante de propagación.
54
En el lado derecho, bastante alejada, de la discontinuidad la onda trasmitida puede ser
expresada como:
Hz = Hztrans = THoe− jko x
(3.20)
Donde:
T
Denota el coeficiente de transmisión.
El problema entonces se convierte en la determinación de
R
y
T , y para esto se necesita
considerar el campo cerca de la discontinuidad. Sin embargo, debido a los altos modos
excitados por la discontinuidad, el campo cercano a la discontinuidad no presenta una
forma específica y puede ser muy complicado. Esto puede ser solo determinado por la
solución de la ecuación diferencial:
∂ ⎛ 1 ∂H z ⎞ ∂ ⎛ 1 ∂H z ⎞
⎟⎟ + k o2 µ r H z = 0
⎟⎟ + ⎜⎜
⎜⎜
∂ x ⎝ ε r ∂x ⎠ ∂y ⎝ ε r ∂ y ⎠
(3.21)
Junto con la condición de frontera en las paredes de la guía:
∂H z
=0
∂n
(3.22)
Y las condiciones de continuidad:
H z+ = H z− ,
1 ∂H z+
1 ∂H z−
= −
ε r+ ∂n
ε r ∂n
(3.23)
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
55
Al lugar donde la permitividad cambia abruptamente. Por lo tanto, el problema discutido
aquí es un caso especial del problema general con:
αx =αy =
φ = Hz,
1
εr
β = − k o2 µ r , f = 0
,
Sin embargo, para aplicar el Método de Elementos Finitos desarrollado previamente, el
dominio infinito puede ser reducido o truncado al dominio finito. Esto puede ser hecho
similar al problema de la figura. 3.4.
Específicamente, truncar el dominio introduce dos
fronteras artificiales: una en el lado izquierdo
discontinuidad. Si
AB
AB
y otra en el lado derecho
CD
de la
está lo suficientemente alejado de la discontinuidad (típicamente
una longitud de onda) el campo puede aproximarse a (3.19) y así se tiene:
∂H z
≈ − jk o H o e − jk o x + jk o RH o e jk o x = jk o H z − 2 jk o H o e − jk o x
∂x
(3.24)
Obviamente esto puede ser usado como condiciones de frontera en
pueden obtener las condiciones de frontera aproximadas en
∂H z
≈ − jk o H z
∂x
CD
AB .
Similarmente se
como:
(3.25)
Con estas condiciones de frontera se puede proceder para obtener la solución por el Método
de Elementos Finitos del problema.
Una vez obtenido el campo los coeficientes de
transmisión y reflexión se derivan usando (3.19) y (3.20). Específicamente ellos pueden
ser calculados como:
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
H z ( x1 ) − H o e − jko x1
R=
H o e jko x1
T =
56
(3.26)
H z (x 2 )
H o e − jk o x2
(3.27)
Donde:
x1
Denota la posición de
AB .
x2
Denota la posición de
CD .
Si no hay pérdidas, los coeficientes de reflexión y transmisión satisfacen la relación:
R +T
2
2
=1
Debido a la conservación de energía. Esta relación puede ser utilizada para la validez de la
solución numérica. Por otra parte, si las pérdidas son considerables el porcentaje de la
potencia incidente disipada en el material puede ser calculada como:
1− R + T
2
2
A modo de ejemplo considérese
la geometría mostrada en la
figura. 3.8 donde un
dieléctrico rectangular es insertado en las guías de onda de planos paralelos. Un ejemplo de
malla de elementos finitos para esta geometría es dada en la figura. 3.9, y en la figura.
3.10 se muestra los contornos equi- H z . Finalmente, en la figura. 3.11 se da el resultado
para los coeficientes de la reflexión y transmisión en función de la altura del dieléctrico.
Un fenómeno interesante de reflexión total es observado para el caso sin pérdidas.
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
Figura 3.8 Dieléctrico rectangular insertado en guías de onda de planos paralelos.
Figura 3.9 Malla de muestra del elemento finito.
57
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
Figura 3.10 Contornos equi- H z para
a)
ε r = 4 .0 ,
b)
h = 0.175cm
ε r = 4.0 − j1.0 ,
c)
ε r = 4.0 − j10 .0
58
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
Figura 3.11 Coeficientes de reflexión y transmisión como funciones del alto del
dieléctrico. a) Reflexión, b) Transmisión.
59
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
60
3.4 Ejemplo # 4: Radiación por un patch microcinta en una cavidad.
La estructura específica a considerar se muestra en la figura. 3.12, donde una antena
microcinta patch o un arreglo de esta reside en un sustrato, que se encuentra alojado en una
cavidad ahuecada en un plano de tierra. En este caso la excitación es debida a fuentes
internas en la cavidad. La formulación para los campos de la cavidad son dados por:
F (E ) =
⎡1
⎤
1
2
(
)
(
)
E
E
k
ε
E
E
∇
×
⋅
∇
×
−
⋅
o r
⎢
⎥dV
2 ∫∫∫V ⎣ µ r
⎦
⎤
⎡
1
M int ⋅ (∇ × E )⎥ dV
+ ∫∫∫ ⎢ jk o Z o J int ⋅ E −
V
µr
⎦
⎣
Donde
(J
−
1
E ⋅ P (E )dS
2 ∫∫S o
int
, M int
(3.28)
) denota las fuentes de corriente eléctricas y magnéticas internas
debido a la alimentación de las antenas. La formulación por elementos finitos para este
problema lleva al mismo sistema matricial (Anexo VIII) excepto que
a la fuente interna, el cual puede ser conformado de
{
}
es ahora debido
{b } dado por:
e
⎡ 1
e
e ⎤
int
int
M
⋅
∇
×
N
−
jk
Z
J
⋅
N
o o
⎢
⎥ dV
Ve µe
⎣ r
⎦
{b } = ∫∫∫
e
{b}
{ }
(3.29)
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
61
Figura 3.12 Geometría del arreglo de microcinta en la cavidad.
3.4.1 Modelos de alimentadores y cargas de antenas.
Cuando se trabaja en el campo de las antenas siempre se encuentra con el problema de
modelar su alimentación e impedancias de carga. Aquí se considera este problema en el
contexto de la formulación por elementos finitos.
A) Alimentador coaxial y generador.
Se consideran dos tipos de modelos para simular una alimentación coaxial, que es una
excitación de antena comúnmente usada. Para sustratos finos la alimentación coaxial puede
ser sustituida por un filamento de corriente, y en este caso, la contribución al vector
{b }
e
es simplemente:
{b } = − jk
e
o
{ }
Z o Iλ∫∫ zˆ ⋅ N e δ (x − x f )δ ( y − y f )dxdy
(3.30)
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
62
Donde:
I
Denota la corriente eléctrica del filamento.
λ
Es su longitud.
(x
f
,yf
) Especifica su posición.
Para sustratos más gruesos un modelo de corrientes magnéticas puede ser empleado. En
ese caso el conductor interno del coaxial es modelado como un poste de conducción y una
corriente magnética equivalente es presentada sobre la abertura del coaxial. Esto es similar
al tratamiento para la abertura de cavidad, pero la región del espacio libre es sustituida
ahora por una guía de onda coaxial. Finalmente, se puede recurrir a un generador simple
para la excitación cuya modelación contribuye a la especificación del campo.
B) Impedancia de carga y de cortocircuito.
Una impedancia de carga
Z LΩ
puede ser modelada como un poste de conductividad
finita que une ambos, el parche y la base de la cavidad. Asumiendo una tirilla de longitud
λ
ser
y de sección transversal
σ = λ (Z L s ) .
[K ] =
e
s , su conductividad requerida para representar la carga debe
En consecuencia su contribución a la matriz
jk o Z o λ
Ne ⋅ Ne
∫∫∫
v
ZLs
{ } { } dv
[K ] es:
e
T
(3.31)
Donde la integración es sobre el volumen del poste. Si el poste es muy delgado, esto se
reduce a:
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
[K ]
e
jk o Z o λ2
=
ZL
63
∫∫ {N }⋅ {N } δ (x − x )δ ( y − y )dxdy
e T
e
L
L
(3.32)
Donde:
(x L , y L )
Es la posición específica de la impedancia de carga.
Además, si la tirilla fina coincide con el borde i-ésimo, esto solo contribuye a
esta contribución esta dada por
jk o Z o λ2 Z L
K ii ,
y
.
La condición de cortocircuito por lo general es realizada con un pin cortocircuitado y dos
enfoques pueden ser usados en este caso. El primero de ellos es representarla con una
tirilla de alta conductividad. El otro debe simplemente poner el campo eléctrico a lo largo
de la tirilla a cero. La solución final debe ser la misma independientemente del modelo que
se utilice.
3.4.2 Resultado numérico.
Para el diseño de antena, por lo general interesa la impedancia de entrada de la antena y el
patrón de radiación. Si el modelo de prueba es usado, la impedancia de entrada puede ser
calculada simplemente como el voltaje observado en el punto de alimentación debido a una
corriente eléctrica localizada entre el parche y la tierra. El modelo de radiación puede ser
obtenido evaluando el campo radiado en un punto distante dado por:
H
rad
e − jk0 r
(r ) = jk oYo
2πr
∫∫ (θˆθˆ + ϕˆϕˆ )⋅ [zˆ × E (x′, y ′)]
Sa
⋅ e jk o sen θ ( x′ cos ϕ + y ′sen ϕ ) dx ′dy ′
(3.33)
La cual es la misma expresión que para el campo disperso en un caso disperso.
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
64
Los resultados siguientes se obtienen de la antena representada en la figura. 3.13, donde un
parche
rectangular
5.0cm × 3.4cm
de
reside
t = 0.08779 cm, permitividad relativa ε r = 2.17
0.0015 .
El
sustrato
está
ubicado
7.5cm × 5.1cm × 0.08779 cm
en
50 Ω
un
sustrato
de
grosor
y una pérdida por la tangente de
una
cavidad
rectangular
ahuecada en un plano de tierra.
de
El parche es
(x = 1.22cm, y = 0.85cm ) y
localizado en (x = −2.2cm, y = −1.5cm ) .
excitado por una corriente de prueba aplicada en
cargado con un resistor de
en
f
f
L
f
La figura. 3.14 muestra la impedancia de entrada para la antena y los resultados de la
aplicación del Método de Elementos Finitos son comparados con los datos obtenidos para
una antena de microcinta alimentada con un cable coaxial. Esta medición fue hecha en un
modelo de sustrato infinito, sin embargo, mediante el incremento del tamaño de la cavidad
los cálculos mostraron que el tamaño de la cavidad empleada tiene un efecto casi
despreciable sobre la impedancia de entrada. Además para demostrar la capacidad del
Método de Elementos Finitos, la figura. 3.15 muestra la impedancia de entrada calculada
cuando el resistor de
50 Ω
es reemplazado por un elemento cortocircuitado, y el
resultado es comparado con el generado sin una impedancia de carga. Por último la figura.
3.16 muestra el patrón de radiación del parche sin carga a su primera frecuencia de
resonancia.
Figura 3.13 Geometría de la antena de microcinta.
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
65
Figura 3.14 Comparación de los valores calculados y medidos de una antena de microcinta
con carga, a) Resistencia, b) Reactancia.
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
Figura 3.15 Impedancia de entrada de una antena de microcinta, con carga y en
cortocircuito, a) Resistencia, b) Reactancia.
66
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
67
Figura 3.16 Patrón de radiación. Línea sólida: patrón del plano E. Línea discontinua:
patrón del plano H.
3.5 Ejemplo # 5: Diseño de una antena bocina corrugada.
Este ejemplo es la radiación por una antena bocina corrugada, la cual es diseñada para
radiar ondas de polarización circular sobre un gran ancho de banda para patrones de
radiación anchos. Un diagrama y una foto de esta antena son mostrados en la figura. 3.17.
La antena es construida sobre unas largas arandelas metálicas con un grosor que alterna
entre 0.07938 cm y 0.3175 cm. En la sección de la guía de onda las arandelas tienen los
radios interiores de 3 cm y 4.8 cm, respectivamente. El patrón de radiación es calculado y
comparado con resultados medidos en varias frecuencias y la correspondencia es excelente.
La comparación en 5.2 GHz es mostrado en la figura. 3.18.
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
Figura 3.17 a) Diagrama , b) Foto de una antena bocina corrugada.
.
68
CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.
Figura 3.18 Patrón de radiación de una antena bocina corrugada a 5.2 GHz
a) FEM, b) Resultados de la medición.
69
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
70
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones
Como resultados del presente trabajo se pueden arribar a las siguientes conclusiones:
1. Se cuenta con la documentación teórica que permite aplicar el Método de Elementos
Finitos en aplicaciones de Electromagnetismo.
2. Se describe el Método variacional de Ritz.
3. Se describe el Método de Galerkin.
4. Se describen los pasos básicos del Método de Elementos Finitos.
5. Se cuenta con un grupo de ejemplos donde se aplica el Método de Elementos Finitos en
Electromagnetismo.
Recomendaciones
Recomendamos la solución de los problemas resueltos en el Capítulo 3 por el Método de
Elementos Finitos mediante la utilización de un software que implemente los resultados de
dichos problemas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
71
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Axelsson O., Barker V. A. (1994). Finite Element Solution of Boundary-Value Problems:
Theory and Computation. New York: Wiley.
Bethe K. J. (1992). Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Englewood Cliffs,
NJ: Prentice-Hall.
Bickford W. B.(1990). A First Course in the Finite Element Method. Homewood, IL:
Richard D. Irwin.
Binns K. J., Lawrenson P. J., Trowbridge C. W. (2002). The Analytical and Numerical
Solution of Electric and Magnetic Fields. Chichester, West Sussey, England: Wiley.
Burnett D. S.(1997). Finite Element Analysis: From Concepts to Applications. Reading,
MA: Addison-Wesley.
Carey G. F.,Martin H.C.(1983). Introduction to finite Element analysis:
Theory and
Application. New York: McGraw-Hill.
Cook R. D,(1991). Concepts and Applications of Finite Element Analysis. New York:
Wiley
Fernández F. A., Lu Y. (2006). Microwave and Optical Waveguide Analysis by the Finite
Element Method. New York: Wiley.
Grandin H.(1996). Fundamentals of the Finite Element Method. New York: Macmillan.
Hoole S. R. H. (1999). Computer Aided Analysis and Design of Electromagnetic Devices.
Amsterdam: Elsevier.
Hoole S. R. H. (2005). Finite Elements, Electromagnetics and Design. Amsterdam:
Elsevier.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
72
Huebner K. H., Thornton E. A., Byrom T. G. (1995). The Finite Element Method for
Engineers. 3rd edition, New York: Wiley.
Ida N., Bastos J. P. A. (2002). Electromagnetics and Calculation of Fields. 1st edition, New
York: Springer- Verlag.
Itoh T., Pelosi G., Silvester P. P.(2006). Finite Element Software for Microwave
Engineering. New York: Wiley.
Jiang B. N. (1998). The Least-Squares Finite Element Method: Theory and Applications in
Fluid Dynamics and Electromagnetics. Berlin: Springer- Verlag.
Jin J. M.(2003). The Finite Element Method in Electromagnetics. New York: Wiley.
Koshiba M. (2002). Optical Waveguide Theory by the Finite Element Method. Tokyo:
KTK Scientific Publishers.
Livesley R K.(1993). Finite Elements:
An Introduction for Engineers.
Cambridge:
Cambridge University Press.
Mikhlin S. G.(1964). Variational Methods in Mathematical Physics.
New York:
Macmillan.
Mitchell A. R., Wait R.(1995). Finite Element Analysis and Applications. New York:
Wiley.
Norrie D. H., De Vries G. (1983). The Finite Element Method:
Fundamentals and
Applications. New York: Academic Press.
Pelosi G., Coccioli R., Selleri S. (1998). Quick Finite Element Method for Electromagnetic
Waves. Boston: Artech House.
Peterson A. F., Ray S. L., Mittra R. (1998). Computational Methods for Electromagnetics.
Piscataway, NJ: IEEE Press.
Rao S. S.(1992). The Finite Element Method in Engineering. Oxford: Pergamon Press.
Reddy J. N. (1994). An Introduction to the Finite Element Method. New York: McGrawHill.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
73
Sabonndiere J. C., Coulomb J. L.(1997). Finite Element Methods in CAD: Electrical and
Magnetic Fields. New York: Springer-Verlag.
Sadiku M. N. O. (2003). Numerical Techniques in Electromagnetics. 1st edition; 2nd edition.
Boca Raton, FL: CRC Press.
Silvester P. P., Ferrari R. L.(1996). Finite Elements for Electrical Engineers. Cambridge:
Cambridge University Press, 1st edition; 2nd edition; 3rd edition.
Silvester P. P., Pelosi G.(2004). Finite Elements for Wave Electromagnetics. New York:
IEEE Press.
Steele C. W. (1997). Numerical Computation of Electric and Magnetic Fields. 2nd edition,
New York: Chapman & Hall.
Strang G., Fix G. J.(1983). An Analysis of the Finite Element Method. Englewood Cliffs,
NJ: Prentice-Hall.
Taylor R. L., Zienkiewicz O. C. (1999). The Finite Element Method. 4th edition, Vol. 1:
Basic Formulation and Linear Problems. New York: McGraw-Hill.
Volakis J. L., Chatterjee A., Kempel L. C. (1998). Finite Element Method for
Electromagnetics:
Antennas, Microwave Circuits, and Scattering Applications.
New
York: IEEE Press.
Zhou P. B. (2003). Numerical Analysis of Electromagnetic Fields. Berlin: Springer-Verlag.
ANEXOS
74
ANEXOS
Anexo I
Ecuación de Poisson.
− ∇ ⋅ (ε ∇ φ ) = ρ
Anexo II
Ecuaciones de onda escalares.
⎡∂ ⎛ 1 ∂ ⎞ ∂ ⎛ 1 ∂ ⎞
⎤
2
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
k
ε
⎢ ⎜
⎟ ∂y ⎜ µ ∂y ⎟ o r ⎥ E z = jk o Z o J z
∂
∂
x
µ
x
⎠
⎝ r
⎠
⎣ ⎝ r
⎦
⎡∂ ⎛1 ∂ ⎞ ∂ ⎛1 ∂ ⎞
⎤
⎞ ∂ ⎛1
⎞
∂ ⎛1
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
µ
k
H
J
J
+
+
=
−
+
⎢ ⎜
⎥
o r
z
y⎟
x⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
∂x ⎝ ε r ⎠ ∂y ⎝ ε r ⎠
⎣ ∂x ⎝ ε r ∂x ⎠ ∂y ⎝ ε r ∂y ⎠
⎦
Anexo III
Ecuaciones de onda vectoriales.
⎛1
⎞
∇ × ⎜⎜ ∇ × E ⎟⎟ − ω 2 ε E = − j ω J
⎝µ
⎠
ANEXOS
75
⎞
⎛1 ⎞
⎛1
∇ × ⎜ ∇ × H ⎟ − ω 2 µH = ∇ × ⎜ J ⎟
⎠
⎝ε ⎠
⎝ε
Anexo IV
Ecuación escalar de Helmholtz.
⎡∂ ⎛ 1 ∂ ⎞ ∂ ⎛ 1 ∂ ⎞
⎤
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ + k o2ε r ⎥ E z = jk o Z o J z
⎢ ⎜⎜
⎣ ∂x ⎝ µ r ∂x ⎠ ∂y ⎝ µ r ∂y ⎠
⎦
Anexo V
−
Ecuación diferencial.
d ⎛ dφ ⎞
⎜α
⎟ + βφ = f
dx ⎝ dx ⎠
Anexo VI
Ecuación de frontera para
x ∈ (0, L )
φ.
⎡ dφ
⎤
⎢⎣α dx + γφ ⎥⎦ = q
x= L
Anexo VII
−
Ecuación de Poisson para el potencial.
1 ∂ ⎛
∂φ ⎞ ∂ ⎛ ∂φ ⎞ ρ c
⎟ − ⎜εr
⎜⎜ ε r ρ
⎟=
ρ ∂ρ ⎝
∂ρ ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ε o
ANEXOS
Anexo VIII
[A]{E } = {b}
Ecuación de la matriz.
76