Esfuerzo y deformación

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José Alfredo Rivas Martínez
A01370680
Mecánica de Materiales
Maestro: Miguel Ángel Ríos
Esfuerzo y deformación. Carga axial Capitulo 2
En este capítulo se consideraran las deformaciones que tienen lugar en dicho
elemento estructural como una varilla, barra o placa sometida a carga axial.
Primero se definirá la deformación normal 𝝐 en un elemento o también es
conocida como la deformación normal unitaria o deformación del elemento
por unidad de longitud.
Respecto a ala grafica del esfuerzo 𝜎 contra la deformación 𝜖, a medida que la
carga aplicada al elemento se incrementa se obtendrá el diagrama de esfuerzo
deformación para el material utilizado. Gracias ah ese diagrama será posible
determinar algunas propiedades importantes del material como el modulo de
elasticidad y si el material es dúctil o frágil.
Del diagrama esfuerzo deformación también se determinara si las
deformaciones en la muestra desaparecerán después que la carga se haya
retirado, en este caso se dice que el material se comporta elásticamente o si
sería una deformación plástica o deformación permanente.
También se estudiara el fenómeno de fatiga que causa que los componentes
estructurales o de maquinas fallen después de un número muy grande de
cargas repetidas aunque los esfuerzos permanezcan dentro del rango elástico.
Deformación normal bajo carga axial
Considere una varilla BC, de longitud L y con un Área uniforme de sección
transversal A, si se aplica una carga P en el extremo C, la varilla se alargara. Al
graficar la magnitud P de la carga contra la deformación total 𝜹 se obtiene un
determinado diagrama de carga –deformación.
La deformación unitaria normal = 𝝐
=
𝜹
𝑳
Es necesario definir la deformación unitaria en un punto dado Q considerando
un pequeño elemento bajo la carga dada, la deformación normal en el punto Q
se define como
𝝐 = 𝐥𝐢𝐦 (
∆𝒙→𝟎
∆𝜹
𝒅𝜹
)=
∆𝒙
𝒅𝒙
Como la deformación y la longitud se expresan en las mismas unidades la
deformación normal 𝜖 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟
𝛿
𝐿
es una cantidad adimensional.
Diagrama esfuerzo-deformación
Para obtener el diagrama esfuerzo-deformación de un material comúnmente se
hace un ensayo o una prueba de tensión sobre una probeta del material. Los
diagramas de esfuerzo-deformación de los materiales varían en forma
considerable por lo que diferentes ensayos de tensión se elaboran.
Sin embargo es posible distinguir algunas características comunes entre los
diagramas esfuerzo-deformación de distintos grupos de materiales y dividir los
materiales en dos amplias categorías con base a sus características
materiales dúctiles y materiales frágiles.
Los materiales dúctiles como el acero estructural se caracterizan por su
capacidad de fluir a temperaturas normales.
Al someter la probeta a una carga hay un alargamiento que hace que la grafica
sea recta, no obstante después de alcanzar un valor crítico 𝜎𝛾 del esfuerzo la
probeta experimenta una gran deformación
La estricción es el fenómeno que por alargarse la probeta disminuye su
diámetro.
En el caso del aluminio y de muchos otros materiales dúctiles el inicio de la
cedencia no se caracteriza por una porción horizontal de la curva de esfuerzodeformación. En estos casos el esfuerzo continúa aumentando aunque no
linealmente hasta alcanzar la resistencia ultima.
Una medida estándar de la ductilidad de un material es el porcentaje de
alargamiento
Porcentaje de alargamiento =100
𝐿𝐵−𝐿0
𝐿0
Otra medida de ductilidad que se emplea es:
Porcentaje de reducción de área = 100
𝐴0 −𝐴
𝐵
𝐴0
Esfuerzo y deformación verdaderos
La deformación unitaria elemental ∆𝜖 =
∆𝐿
𝐿
Sumando los valores sucesivos de
∆𝜖 se define la deformación unitaria real
𝜀𝑡=∑ ∆𝜖 =∑(∆𝐿/𝐿)
Al remplazar la sumatoria por la integral
𝐿 𝑑𝐿
𝜖 t=∫𝐿𝑜
𝐿
𝐿
=In 𝐿𝑜
Ley de Hooke. Módulo de elasticidad
La mayor parte de estructuras de ingeniería se diseñan para sufrir
deformaciones relativas pequeñas, que involucran sólo la parte recta del
diagrama de esfuerzo-deformación. El esfuerzo 𝜎 es directamente proporcional
a la deformación 𝜖.
𝜎=𝐸𝜖
Esta relación se conoce como ley de Hooke, el coeficiente E se denomina
módulo de elasticidad del material involucrado o modulo de Young.
Cargas repetidas. Fatiga
Cuando las cargas se repiten millares de veces, la fractura ocurrirá aun cuando
el esfuerzo sea el más bajo que la resistencia estática a la fractura.
La fatiga debe de ser considerada en el diseño de todos los elementos
estructurales y de máquinas que se encuentran sometidas a cargas repetitivas.
Deformaciones de elementos sometidos o carga axial
Si en un material el esfuerzo axial resultante no excede el límite de
proporcionalidad del material, se aplica la Ley de Hooke.
𝜎=𝐸𝜖
𝜎
𝑃
De donde sigue que 𝜖 = 𝐸 = 𝐴𝐸
𝐿
𝛿=∫
0
𝑃𝑑𝑥
𝐴𝐸
Problemas estáticamente indeterminados
Hay muchos problemas, sin embargo, en los cuales no es posible determinar
las fuerzas internas producidas en las distintas porciones de un elemento bajo
unas condiciones dadas de carga.
Con el método de superposición se observa que una estructura es
estáticamente indeterminada cuando está sostenida por más soportes de los
necesarios para mantener su equilibrio.
Problemas que involucran cambios de temperatura
La deformación 𝜖 T=𝛼∆𝑇 se conoce como deformación unitaria térmica ya que
es causada por el cambio de la temperatura en la varilla aquí no existe
esfuerzo asociado con la deformación.
Relación de Poisson
Los esfuerzos normales de las caras perpendiculares a los ejes y & z son cero,
en todo los materiales de ingeniería la elongación que produce una fuerza axial
de tensión P en la dirección de la fuerza se acompaña de una contracción en
cualquier dirección transversal.
𝛾=−
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
𝛾= −
𝜖𝑦
𝜖𝑧
=−
𝜖𝑥
𝜖𝑥
El uso de un signo menos en la ecuación es para obtener un valor positivo en
nu las deformaciones axiales y laterales de todos los materiales en ingeniería
tienen signos opuestos.
Carga multiaxial. Ley de Hooke generalizada
Considere ahora elementos estructurales sometidos a cargas que actúan en las
direcciones de los tres ejes coordenados y que producen esfuerzos normales
todos distintos de cero. Esta condición se conoce como carga multiaxial.
Para expresar los componentes de la deformación
𝜖𝑥, 𝜖𝑦, 𝜖𝑧 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 se considera
por separado el efecto de cada componente de esfuerzo, el efecto de una
carga combinada dada sobre una estructura puede obtenerse determinando en
forma separada, los efectos de la distancia de cargas y combinando los
resultados obtenidos, siempre que se cumplan las siguientes condiciones.
1. Cada efecto esta linealmente relacionado con la carga que lo produce.
2. La deformación resultante de cualquier carga dada es pequeña y no
afecta las condiciones de aplicación de las otras cargas.
𝜖𝑥 =
𝜎𝑥 𝑣𝜎𝑦 𝑣𝜎𝑧
−
−
𝐸
𝐸
𝐸
Dilatación. Módulo de elasticidad volumétrico
En esta sección se examinará el efecto de los esfuerzos normales sobre el
volumen de un elemento de material isotrópico.
𝜀=
1 − 2𝛾
(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)
𝐸
𝐸
Introduciendo la constante k=3(1−2𝛾)
La constante k se conoce como el modulo de elasticidad volumétrico o modulo
de compresibilidad del material, y se expresa en las mismas unidades que el
modulo de elasticidad E, es decir, en pascales o en psi.
𝜀=−
𝜑
𝑘
Análisis adicional de las deformaciones bajo carga axial. Relación entre E,𝛾 𝑦 𝐺
Mientras un estudio más detallado de las transformaciones de la deformación
se pospondrá hasta el capítulo 7, en esta sección se deducirá una relación
entre la máxima deformación a corte 𝛾´ = 𝛾𝑚
Mientras un estudio más detallado de las transformaciones de la deformación
se pospondrá.
𝐸
= 1+ 𝛾
𝐺
Distribución del esfuerzo y de la deformación bajo carga axial
Se ha supuesto, hasta ahora, que en cualquier elemento cargado axialmente,
los esfuerzos normales se encuentran distribuidos de manera uniforme en
cualquier sección perpendicular al eje del elemento.
Si las cargas se aplican en el centro de cada placa las placas se moverán una
hacia la otra sin girar, acortando el elemento y aumentando su ancho y
espesor.
1. La carga real y la utilizada para calcular los esfuerzos deben ser
estáticamente equivalentes.
2. Los esfuerzos no pueden calcularse, de esta manera, en la cercanía
inmediata de los puntos de aplicación de las cargas. Deben utilizarse
métodos teóricos o experimentales avanzados para determinar la
distribución de esfuerzos en estas áreas.
Concentración de esfuerzos
También ocurrirán concentraciones de esfuerzo cerca de las discontinuidades
en elementos estructurales como agujeros o cambios repentinos en la sección
transversal.
La razón del máximo valor del esfuerzo que ocurre cerca de la discontinuidad
sobre el esfuerzo promedio calculado en la sección crítica se conoce como el
factor de concentración de esfuerzos de la discontinuidad y se denota con K:
K=
𝜎𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚
Ferdinand, B. (2013). Mecánica de materiales. (pp. 41-108). McGrawhill.
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