Valencia - MasMates

Álgebra lineal
Selectividad CCSS Valencia
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Colecciones de ejercicios
1. [2014] [EXT-A] Dos matrices A y B satisfacen las siguientes igualdades: A+B =
5 3
1 1
, A-B =
.
3 0
-1 0
a) Calcular A y B.
b) Calcular la matriz X sabiendo que AXA = B.
2. [2014] [EXT-B] Cierta persona invierte un total de 7000 € en acciones de las empresas A y B y en un depósito a 12 meses al 1 %.
Pasado un año, vende sus acciones, obteniendo una rentabilidad del 5 % en las acciones de la empresa A y del 3 % en las de B. El
beneficio total de sus tres inversiones es 202 €. Determina qué cantidad destinó a cada inversión si sabemos que el dinero total
destinado a comprar acciones superó en 2600 € al dinero del depósito.
3. [2014] [JUN-B] Después de aplicar un descuento del 10% a cada uno de los precios originales, se ha pagado por un rotulador, un
cuaderno y una carpeta 3,96 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que el precio de la
carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula el precio original de cada objeto.
4. [2013] [EXT-A] Sean las matrices A =
2 -1
0 1
1 2
,B=
yC=
. Resuelve la ecuación XAB - XC = 2C.
1 2
-1 2
0 3
5. [2013] [JUN-A] a) Calcula las matrices X e Y sabiendo que X+Y =
3 1
4 3
y 2X-Y =
0 5
.
-7 -3
3 2
.
2 2
1 0
c) Obtén la matriz X tal que XA =
.
8 6
b) Obtén la inversa de la matriz A =
6. [2013] [JUN-B] Una persona adquirió en el mercado cierta cantidad de unidades de memoria externa, de lectores de libros
electrónicos y de tabletas gráficas a un precio de 100, 120 y 150 euros la unidad, respectivamente. El importe total de la compra
fue de 1160 € y el número total de unidades adquiridas 9. Además, compró una unidad más de tabletas gráficas que de lectores
de libros electrónicos. ¿Cuántas unidades compró de cada producto?
7. [2012] [EXT-A] Plantea y escribe el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es
2 3 -1
-4 2 1
2 2 -1
y cuyo término
3
independiente es 0 . Resuelve el sistema.
1
8. [2012] [JUN-B] Dadas matrices A =
2 -6
x 0
1 2
y B =
, obtén todas las matrices de la forma X =
que satisfacen la
-1 -2
y z
-1 3
relación AX-XA = B.
9. [2011] [EXT-B] Sean las matrices: A =
-1 2
2 -1
8 8
3 1
,B=
,C=
yD=
.
0 1
1 -2
8 3
2 4
a) Calcula AB+3C.
b) Determina la matriz X que verifica que AX+I = D, donde I es la matriz identidad.
10. [2011] [JUN-A] Un comerciante vende tres tipos de relojes, A, B y C. Los del tipo A los vende a 200 euros. Los del tipo B a 500
euros y lso del tipo C a 250 euros. En un mes determinado vendió 200 relojes en total. Si la cantidad de los que vendió ese mes de
tipo B fue igual a los que vendió de tipo A y tipo C conjuntamente, calcula cuántos vendió de cada tipo si la recaudación de ese
mes fue de 73500 euros.
14 de marzo de 2015
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1 -2
1 0
3 1
,B=
yC=
-1 4
-2 -1
2 -1
a) Calcula la matriz inversa de la matriz C.
11. [2011] [JUN-B] Dadas las matrices A =
b) Obtén la matriz X que verifica AX + Bt = C, siendo Bt la matriz traspuesta de B.
12. [2010] [EXT-B] En un cine se han vendido en una semana un total de 1405 entradas y la recaudación ha sido de 7920 euros. El
precio de la entrada normal es de 6 euros y la del día del espectador 4 euros. El precio de la entrada para los jubilados essiempre
de 3 euros. Se sabe, además, que la recaudación de las entradas de precio reducido es igual al 10% de la recaudación delas
entradas normales. ¿Cuántas entradas de cada tipo se han vendido?
13. [2010] [JUN-B] Obtén la matriz X que verifica: 2
3
2 0 -1
2 2
X=
2
4 -1 3
-1 -3
14. [2009] [EXT] Obtén todas las matrices columna X =
x
y
z
1
5 .
-3
que sean solución de la ecuación matricial AX = B, siendo
1 1 1
1
A = 0 1 -1 y B = -1 . ¿Cuáles de esas matrices X tiene la primera fila nula?
0
1 2 0
15. [2009] [EXT] En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma de los
que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan
su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que están encontra
de la citada normativa. Determina cuántos entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y cuántos no
opinaron.
x+y-z = 2
2x+z = 3 .
x+5y-7z = 4
Si (x,y,0) es una solución del sistema anterior, ¿cuáles son los valores de x y de y?
16. [2009] [JUN] Resuelve el sistema
17. [2008] [EXT-A] Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo íntegramente
comprando un ordenador portátil, una cámara digital y haciendo un viaje. El precio del ordenador portátil excede en 140 euros ala
suma de los precios de la cámara y del viaje. Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es lamitad
que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en el caso de que no se comprara la cámara digital ytodavía le
quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje.
18. [2008] [EXT-B] Dada la matriz A =
1 3
4 2
a) Halla su inversa.
b) Resuelve la ecuación XA2 + 5A =
6 8
.
10 -20
19. [2008] [JUN-A] Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganancias
obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 euros, 4.000 euros por una en la urbanización B y
6.000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización
C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la
urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B.
20. [2008] [JUN-B] Determina la matriz X que verifica la ecuación AX+I = ABt , siendo I la matriz identidad, A =
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1 1
2 1
,B=
y
-1 1
-1 1
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Bt la transpuesta de la matriz B.
21. [2007] [EXT-A] Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cadagramo
del complemento A contiene 2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento Bcontiene
2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuántos gramos de cada complemento son necesarios paraproducir
exactamente una dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos?
22. [2007] [EXT-B] Obtén todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
23. [2007] [JUN-A] Dada la matriz A =
x+y+z = -1
2x-y+z = 0 .
-2x+7y+z = -4
1 2
, calcula A·At-5A-1, siendo At y A-1 las matrices transpuesta e inversa de A,
-1 3
respectivamente.
24. [2007] [JUN-B] Los tres modelos existentes de una marca de automóviles cuestan 12.000, 15.000 y 22.000 euros,
respectivamente. Un concesionario ha ingresado 1.265.000 euros por la venta de automóviles de esta marca. ¿Cuántos coches ha
vendido de cada modelo si del más barato se vendieron tantos como de los otros dos juntos y del más caro la tercera parte de los
coches que cuestan 15.000 euros?
25. [2006] [EXT-A] Determina la matriz A que verifica la ecuación AB+A = 2Bt , donde B =
3 -1
0 2
y Bt representa la matriz
transpuesta de B.
26. [2006] [EXT-B] En el primer curso de bachillerato de un instituto hay matriculados un total de 65 alumnos divididos en tres
grupos: A, B y C. Comen en el centro 42 de ellos, que corresponden a la mitad de los del grupo A, las cuatro quintas partes de los
del B y las dos terceras partes de los del C. A una salida fuera del centro acudieron las tres cuartas partes de los alumnos del
grupo A, todos los del B y las dos terceras partes de los del C, sumando en total 52 estudiantes. ¿Cuántos alumnos hay en cada
grupo?
27. [2006] [JUN-A] Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de
euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La segunda, invirtió 125.000,
250.000 y 125.000 euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000
euros en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que
obtiene la primera constructora es del 13,75%, la de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determinala
rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado.
28. [2006] [JUN-B] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer:
x+y-2z = -6
x+z = 5 .
2x-y = 11
29. [2005] [EXT-A] Dos hermanos deciden invertir 10000 € cada uno en distintos productos financieros. El mayor invirtió una
cantidad A en un producto que ha proporcionado un beneficio del 6%, una cantidad B en otro que ha dado una rentabilidad del 5%
y el resto en un plazo fijo al 2% de interés. El hermano menor invirtió esas mismas cantidades en otros productos que le han
proporcionado, respectivamente, unos beneficios del 4, 3 y 7 %. Determinar las cantidades A, B y C invertidas si las ganancias del
hermano mayor han sido 415 € y las del pequeño 460 €.
30. [2005] [EXT-B] Calcular la matriz X =
C=
a b
0 c
que verifica la ecuación matricial AXB = C, siendo: A =
1 0
1 2
; B=
1 1
-1 -3
y
-1 -2
.
-3 -8
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31. [2005] [JUN-A] Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados en la
calle. Pedro reparte siempre el 20% del total de la propaganda, Juan reparte 100 hojas más que Elena y entre Pedro y Elena
colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántas hojas reparten,
respectivamente, Elena, Pedro y Juan y calcular estos valores.
1
2 2 1
la
matriz
de
los
coeficientes
de
un
sistema
de
ecuaciones
lineales
y
1
2 3 1
1
2 5 1
independientes. Se pide:
a) Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema.
b) Obtener todas las soluciones del sistema.
32. [2005] [JUN-B] Sea
la matriz de sus términos
-2
3 2 -1
33. [2004] [EXT-A] Obtener la matriz X que verifica: AX-B = 3X, siendo A = 3 0 1 y B = -1 .
1
2 1 3
34. [2004] [EXT-B] Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 € a su madre. Como no tienen suficiente dinero, cuentan con la ayudade
su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre paga el triple de lo que pagan los dos hijos juntos y porcada 2
€ que paga el hijo menor, el mayor paga 3 €. ¿Cuánto dinero ha de poner cada uno?
35. [2004] [JUN-A] Dadas las matrices A =
-1 2
2 0
-4 0
,B=
yC=
, calcular la matriz X que verifica la ecuación AXB = 2C.
2 0
-1 2
1 1
36. [2004] [JUN-B] Juan decide invertir una cantidad de 12.000 euros en bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A,B
y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se ha revalorizado un 4%, lasde
B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Como resultado de ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5 €.
Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas.
37. [2003] [EXT-A] El precio de los billetes de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcionala
los kilómetros recorridos. Por un billete entre las poblaciones A y B se ha pagado 20 € y por un billete entre las poblaciones A yC
se ha pagado 32 €. Si la distancia de A a C es el doble de la distancia de A a B, calcular de forma razonada cuánto se tendráque
pagar por un billete a una población que dista de A la mitad que B.
3 -2
38. [2003] [JUN-A] Dada la siguiente ecuación matricial -2 1
0 1
x
-10
x
+ y = 6 , obtener de forma razonada los valores de x, y, z.
y
z
3
39. [2003] [JUN-B] Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron
pagar 3 €. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3'25 €. El tercer día sólo
acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2'45 €. Calcular de forma
razonada el precio del café, del cortado y del café con leche.
Soluciones
3 2
2 1
1. a)
,
1 0
2 0
k+3 0
1 k
b)
1 0 8
4 1 -11
10. 30, 100, 70
344, 272 18. a)
1 2 -3
10 -4 1
2. (1800,3000,2200)
11. a)
b)
1 1 1
5 2 -3
1 1
2 -3
b)
1 12 12
2 4 3
3. (2,1,1'40)
-1 0
0 2
1 -2 2
2 -6 5
12. 1200, 105, 100
19. 30, 15, 20 20.
20, 10, 5 28. 3, -5, 2 29. 2000, 4500, 3500 30.
4.
1 3 -1
2 1 1
13.
5. a)
1
1
14.
1 2
2 -1
,
-1 0
5 3
2-2k
k-1 ;
k
0
0
1
21. 5, 1 22. (2k+1,k,-3k-2) 23.
2x+2y+z = 1
31. 550, 300, 650 32. 2x+3y+z = 1
2x+5y+z = 1
;
1 -1
-1 3/2
b)
c)
1 -1
2 1
15. 240, 90, 30 16.
2 7
4 9
1-k
,0,k
2
6. (2,3,4)
3-k 1+3k
,
,k ;
2
2
24. 44, 33, 11 25.
33.
1
5
-2
9
28
1 9 3
6 -3 7
34. 75, 15, 10 35.
7
,2,10
2
7.
3 1
, ,0
2 2
8.
17. 756,
26. 24, 20, 21 27.
1 0 -1
2 4 1
36. 8000,
2750, 1250 37. 14 38. -2, 1, 2 39. 0'55, 0'60, 0'70
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