2009 - Universidad de los Andes

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL - CÓDIGO: MATE-1203-1204
EXAMEN FINAL - MAYO 2009
NOMBRE:
Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la
trampa o al fraude en las pruebas académicas.
FIRMA:
PARTE II - Tiempo: 75 minutos
Desarrolle los siguientes puntos justificando todos sus pasos
1. Un programa de computador dibuja en la pantalla un rectángulo y lo hace crecer aumentando su
largo a razón de 3 cm por segundo y su alto a razón de 2 cm por segundo. ¿Qué tan rápido
estará variando su área cuando lo largo del rectángulo sea 12 cm y lo alto sea 8 cm? Haga un
buen dibujo.
y
2. Se quiere construir un triángulo rectángulo, situado en el primer
cuadrante, que esté limitado por el eje x , por el eje y y por una
recta que pasa por el punto (1, 2) . Si se quiere que el triángulo
tenga la menor área posible, ¿cuáles deben ser sus vértices?
(1,2)
x
3. Considere la región R limitada por las curvas de las funciones:
a)
b)
c)
d)
e)

f ( x)  3x3  x2  10 x

g ( x)   x2  2 x  ( x  1)2  1
Halle los cortes con el eje x y con el eje y de cada una de estas dos curvas.
Halle los puntos de intersección entre ellas.
Dibuje las dos curvas y sombree la región R.
Plantee una integral que corresponda al área de la región R.
Evalúe la integral anterior.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL - CÓDIGO: MATE-1203-1204
EXAMEN FINAL - NOVIEMBRE 2009
NOMBRE:
Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la
trampa o al fraude en las pruebas académicas.
FIRMA:
PARTE II - Tiempo: 75 minutos
Desarrolle los siguientes puntos justificando todos sus pasos
1. Halle las dimensiones del rectángulo ABCD de mayor área posible que se puede construir de la
siguiente manera: el vértice A  (0,0) está en el origen del sistema de coordenadas. Los
vértices B y D están respectivamente sobre el eje x y el eje y . El vértice C está situado en el
primer cuadrante sobre la curva de la función y  e x . Haga un buen dibujo.
2
2. Haga un análisis de la función f ( x) 
2x
que comprenda los siguientes puntos:
( x  1)2
1) Dominio de f ( x) .
2) Cortes con los ejes coordinados.
3) Simetría.
4) Asíntotas horizontales y verticales.
5) Crecimientos y decrecimientos: f ( x) 
6) Concavidades: f ( x) 
7) Máximos y mínimos.
8) Puntos de inflexión.
9) Gráfica de y  f ( x).
10) Rango de f ( x) .
4(2  x)
.
( x  1)4
2(1  x)
.
( x  1)3
Departamento de Matemáticas
Universidad de los Andes
EXAMEN FINAL
Cálculo Diferencial MATE-1203
Vacaciones 2009
NOMBRE:
Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la trampa o al fraude en las
pruebas académicas.
Firma:
PARTE II : Tiempo: 50 minutos
Desarrolle los siguientes puntos justificando todos sus pasos
1. Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen y su base (que no es uno de los lados iguales) es paralela al
eje x. Si los dos vértices de la base se encuentran en la curva y = 27 – x2, encuentre el área máxima que puede
tener el triángulo. Justifique su respuesta.
2. Considere la función f ( x) 
2
x 2  x 1
x 2 1
cuyas 1ª y 2ª derivadas son f ' ( x)  2 y f " ( x)  3 .
x
x
x
a) Encuentre todos los valores de x donde f tiene máximos y mínimos relativos. Justifique su respuesta.
b) Encuentre los intervalos donde f es creciente o decreciente. Justifique su respuesta.
c) Encuentre todos los valores de x donde f tiene puntos de inflexión y analice su concavidad. Justifique su
respuesta.
d) Encuentre las ecuaciones de las asíntotas de f, horizontales, oblicuas y/o verticales. Justifique su
respuesta.
e) Haga un esbozo de la gráfica de f que tenga todas las características encontradas.