Cuadernillo Criterios de semejanza de triángulos

Programa
Acompañamiento
Matemática
Cuadernillo de ejercitación
Ejercitación Criterios de semejanza de triángulos
Mapa conceptual
¿Cuándo dos
figuras son
semejantes?
SEMEJANZA
Criterios de
semejanza
En TRIÁNGULOS
Cuando tienen igual
forma, aunque sean
de distinto tamaño.
Si dos figuras son
semejantes, los lados
de una figura son
proporcionales a los
lados de la otra figura, y
los ángulos respectivos
tienen igual medida.
¿Cuál es su
símbolo?
~
Si ∆ ABC ~ ∆ DEF
Entonces, según sus
lados,
ángulos,
AB BC AC
=
=
=k
DE EF DF
∠ ABC ≅ ∠ DEF
Con k un valor real
positivo.
LLL
LAL
AA
∠ BCA ≅ ∠ EFD
∠ CAB ≅ ∠ FDE
La razón entre las
medidas de los elementos
secundarios es k.
¿Qué otras relaciones
proporcionales se
establecen?
La razón entre
los perímetros es k.
La razón entre
las áreas es k2.
CUACAC035MT22-A16V1
1
MATEMáTICA
Ejercicios PSU
1.
¿Cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos es (son) siempre semejante(s)?
I)
4
6
6
A)
B)
C)
D)
E)
5
25º
6
65º
10
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
2.
Si en un triángulo cualquiera las medidas de los lados se triplican, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es FALSA respecto a este nuevo triángulo?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos es (son)
siempre semejante(s)?
El perímetro aumenta al triple en comparación con el triángulo inicial.
El área es nueve veces el área del triángulo inicial.
Las medianas miden el triple que las medianas del triángulo inicial.
Los ángulos interiores miden el triple que los ángulos del triángulo inicial.
Las alturas miden el triple que las alturas del triángulo inicial.
I)
∆ ABE y ∆CDE
II)
∆ AED y ∆ BEC
III)
∆ ACD y ∆ ACB
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
2
3
75º
75º
II)III)
9
D
C
E
A
B
CUADERNILLO DE EJERCITACIóN
4.
¿Cuál de las siguientes alternativas es siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
Al trazar ambas diagonales en un paralelógramo se forman cuatro triángulos semejantes
entre sí.
Dos triángulos semejantes son también congruentes.
Al trazar alguna mediana de cualquier triángulo, se forman dos triángulos semejantes.
Basta con conocer la medida de solo dos lados en un par de triángulos, y que sean
respectivamente proporcionales, para decir que los triángulos son semejantes.
Un cuadrilátero de lados congruentes es semejante a otro cuadrilátero de lados congruentes.
En la figura, A, B, C y D son puntos colineales, al igual que E, F y G. Si AG // BF // CE y BG // CF // DE,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
∆ ABG ~ ∆ CDE
G
II)
∆ BCF ~ ∆ EFC
F
III)
∆ GFB ~ ∆ FEC
E
A) Solo I
B) Solo III
A
B
C
D
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
5.
6. ¿En cuál(es) de los siguientes casos las figuras mencionadas son siempre semejantes?
I)
Dos circunferencias de radios distintos.
II) Dos triángulos equiláteros de alturas distintas.
III) Dos cuadrados de áreas distintas.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo en II
Solo en I y en II
Solo en I y en III
Solo en II y en III
En I, en II y en III
3
MATEMáTICA
7.
En la figura, el triángulo ABC es isósceles en C. Si los segmentos BD y AE son transversales de
gravedad, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
C
I) ∆ ABF ~ ∆ EDF
II) ∆ ABC ~ ∆ DEC
III)
∆ AFD ~ ∆ ABE
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
A
E) I, II y III
D
E
F
B
8.Si a, b y c son valores mayores que dos, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos siempre es (son)
semejante(s) al triángulo de la figura?
b
c
a
g
a
b
I)
II)III)
a
c–2
a–2
b
b–2
a
0,5 b
A)
B)
C)
D)
E)
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
9.
En la figura, ∆ ABC ~ ∆ EFD. Si los lados homólogos están en la razón 3 : 5, ¿cuánto mide el
segmento DF?
A)15
B)21
C)25
D)32
E)35
4
1
c
2
E
C
15
9
A
21
B
D
F
CUADERNILLO DE EJERCITACIóN
10. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ DEF. Si el área del triángulo DEF mide 36 cm2, ¿cuál es el área del
triángulo ABC?
C
A)
16 cm2
B)
24 cm2
C)
54 cm2
D)
81 cm2
E) 108 cm2
F
A
12 cm
8 cm
D
B
E
11. Si las medidas de los lados de los triángulos ABC y DEF de la figura están en la razón 2 : 1, y b ≠ g,
entonces el valor de (2u + v) es
A)20
B)19
C)13
D)38
E)26
C
F
a
18
A
a
u
12
14
b
v
γ
B
E
D
12. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ AED. Si AC = 20, BC = 25, AB = 30 y ED = 15, ¿cuál es el perímetro del
cuadrilátero DBCE?
C
E
A)72
B)60
C)54
D)45
E)30
A
D
B
13. En la figura, ∆ ACG ~ ∆ DEB. Si ∠ FBA = 108º y ∠ DCF = 124º, ¿cuánto mide el ángulo DAG?
G
A)12º
E
B)32º
C)52º
D)56º
F
E)72º
A
B
C
D
5
MATEMáTICA
14. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ DEF . Si AC = 5u cm, DF = 2u cm y la altura que cae sobre DE mide 6 cm,
¿cuánto mide la altura que cae sobre AB ?
A)
B)
C)
D)
E)
C
F
10 cm
15 cm
30 cm
12 cm
Faltan datos para determinarlo.
A
B
D
E
15. En la figura, los puntos A, B y C son colineales. Si el ángulo BAE mide 63º y el ángulo BDC mide
41º, ¿cuál es el valor del ángulo DBE?
E
A)14º
B)27º
C)28º
D)41º
E)54º
D
18
15
10
12
A
B
12
8
C
16. En la figura, ∆ ABE ~ ∆ BDC. Si AB = 2 BE = 1 EA = 4 cm y D es punto medio del segmento
3
2
BE, ¿cuál es el perímetro del polígono ABCDE?
A)
B)
C)
D)
E)
E
25,5 cm
27 cm
31,5 cm
21 cm
28,5 cm
D
A
6
C
B
CUADERNILLO DE EJERCITACIóN
17. En la figura, Δ ABC ∼ Δ CDF. Si el triángulo ABC es isósceles en C, entonces el valor de DC es
C
A) 7
2
50
B)
7
D
10
C)
7
D)
4
E)
14
E
4
6
F
3
A
B
5
18. En la figura, AC es bisectriz del ángulo BAE y AB = 12 cm. Si el triángulo DBC es isósceles en B
y AD : DC = 3 : 1, entonces el segmento AE mide
A)
B)
C)
D)
E)
E
4 cm
6 cm
8 cm
9 cm
16 cm
C
D
A
B
19. En el triángulo de la figura, PT = 4, TQ = 5 y SQ = 6. ¿Cuál es el valor de RS ?
A)
3
2
B)
14
5
C)
10
3
D)
24
5
E)
15
2
R
S
α
P
α
T
Q
7
MATEMáTICA
20. En la figura, Δ TUS ∼ Δ GFH. Para obtener x se debe multiplicar m por
A)
q
r
B)
p
r
C)
r
p
D)
r
q
E)
q
p
U
p
H
G
r
S
x
m
T
q
F
21. En la figura, Δ ABC ∼ Δ PQR. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)Si AB = 15, entonces BC = 12.
II)Si BC = 15, entonces PR = 30.
III)Si PR = 15, entonces AB = 37,5.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
R
C
20
10
A
B
Q
P
25
22. En la figura, PS ⊥ TQ y R es el punto medio de PS. Si PQ = 3 y TS = 4, entonces PS es igual a
T
12
A)
5
B)2�3
24
C)
5
16
D)
3
E)4�3
8
P
R
α
Q
α
S
CUADERNILLO DE EJERCITACIóN
23. En la figura, Δ MPT ∼ Δ NQR. Si N es el punto medio de MP y P es el punto medio de MQ,
entonces la razón entre el área del cuadrilátero MNST y el área del cuadrilátero PQRS es
A)
B)
C)
D)
E)
4:9
1:2
2:3
1:4
3:8
R
T
S
M
N
Q
P
24. En la figura, el triángulo FGH es semejante con el triángulo IFH y HG = 6. Se puede determinar la
medida de IH si:
(1)
IF = 5
(2)
FH = 4
A)
B)
C)
D)
E)
I
H
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
G
F
25. En el triángulo ABC de la figura, se puede determinar que AB // DE si:
C
(1)
∆ABC ~ ∆DEC
1
2
(2)
DA =
AC y CE =
BC
3
3
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
D
A
E
B
9
MATEMáTICA

Tabla de corrección
Ítem
10
Alternativa
Habilidad
1
ASE
2
Comprensión
3
ASE
4
Comprensión
5
ASE
6
ASE
7
ASE
8
ASE
9
Aplicación
10
Aplicación
11
Aplicación
12
Aplicación
13
Aplicación
14
ASE
15
Aplicación
16
Aplicación
17
Aplicación
18
Aplicación
19
Aplicación
20
Aplicación
21
ASE
22
ASE
23
ASE
24
ASE
25
ASE
CUADERNILLO DE EJERCITACIóN
Mis apuntes
11
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