El Teorema del Indice de Atiyah-Singer

EL TEOREMA DEL ÍNDICE DE ATIYAH-SINGER
JESÚS F. ESPINOZA
Resumen. El Teorema del Índice de Atiyah-Singer, establecido en la
década de los 60’s por Michael F. Atiyah e Isadore M. Singer, iguala
una cantidad analı́tica con cierto número caracterı́stico de la topologı́a
de la variedad. En éstas notas introducimos en forma superficial las
herramientas que fueron necesarias para poder establecer el Teorema
del Índice. Mostramos también algunos teoremas clásicos como casos
particulares de éste y comentamos algunas de sus generalizaciones más
estándar.
Introducción
En mayo del 2004 se celebró la segunda edición de la entrega del premio
Abel de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, y fueron merecedores
de dicho galardón Michael F. Atiyah (University of Edinburgh) e Isadore
M. Singer (Massachusetts Institute of Technology) “por haber descubierto
y probado el teorema del ı́ndice, que une la topologı́a con la geometrı́a y
el análisis, y por su destacado papel en la construcción de nuevos puentes
entre la matemática y la fı́sica teórica”.
Quizá en las matemáticas de la década de los 60’s, el Teorema del Índice
de Atiyah-Singer fue de los resultados más elegantes pues vino como la
culminación y el logro supremo de una evolución de ideas de más de un
siglo, desde el teorema de Stoke, hasta sofisticadas teorı́as modernas como
la Teorı́a de Hodge sobre las integrales armónicas y el Teorema de Signatura
de Hirzebruch. En análisis de variedades y operadores diferenciales, éste es
un profundo resultado que llegó al final de un largo desarrollo en la teorı́a
de operadores elı́pticos. Trazó y relacionó varios campos en matemáticas,
explicando y ampliando relaciones entre estos y a su vez, contribuyendo a
la estructura interna de cada uno de ellos.
El Teorema del Índice de Atiyah-Singer iguala una cantidad analı́tica, el
ı́ndice de un operador diferencial elı́ptico D sobre una variedad diferenciable
cerrada X, con cierto número caracterı́stico de la topologı́a de X. Más precisamente, consideremos una variedad Riemanniana diferenciable compacta
sin frontera y un operador diferencial elı́ptico D. Por elementos básicos de
análisis, tenemos que D es un operador de Fredholm. Tales operadores tienen
un ı́ndice analı́tico definido como la diferencia entre la dimensión del kernel
y del cokernel de D. La propiedad de ser elı́ptico es expresada mediante un
Plática impartida en el Seminario de Becarios el dı́a 22 de febrero de 2005.
1
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JESÚS F. ESPINOZA
homomorfismo de haces sobre X, llamado el sı́mbolo de D y denotado por
σ (D).
El problema del ı́ndice es el siguiente: calcular el ı́ndice analı́tico de D
usando solamente el sı́mbolo σ (D) y datos topológicos derivados de la variedad.
Este problema fue atacado por una gran cantidad de matemáticos tales
como Gelfand y Seeley, entre otros, pero desde un punto de vista analı́tico.
Incluso se conocı́an algunos casos especiales, como la fórmula de la Signatura
de Hirzebruch, pero fueron Atiyah y Singer quienes tuvieron la visión de usar
K-teorı́a para formular y resolver finalmente este problema.
Para establecer el Teorema del Índice en forma precisa se requiere Kteorı́a, ası́ como algunos resultados profundos de análisis funcional y operadores diferenciales en variedades (algunas veces llamado análisis global). En
artı́culos escritos y publicados entre 1963 y 1968 el teorema fue establecido
y probado por Michael Atiyah, Raoul Bott e Isadore Singer (ver [5, 6, 7]).
La prueba requirió el redescubrimiento de la ecuación de Dirac, y el uso de
complejos de operadores. Atiyah promovió una noción de topologı́a elı́ptica
durante algún tiempo, en la cual el Teorema del Índice fue la noción central.
Se encontraron bastantes aplicaciones, por ejemplo a la teorı́a de punto fijo
y representaciones de grupos de Lie. En posterior desarrollo, se introdujo
la ecuación de calor para dar otra demostración del teorema. Este fue un
acercamiento analı́tico mas estándar.
La finalidad de éstas notas es dar los elementos necesarios para entender y enunciar el Teorema del Índice de Atiyah-Singer, y están divididas
(implı́citamente) en dos partes principales.
En la primera parte damos un ligero repaso a las herramientas de análisis
funcional involucradas en la teorı́a del ı́ndice y consta de tres secciones, en
las cuáles vemos algunos resultados básicos de análisis de operadores, definimos el ı́ndice analı́tico y mostramos algunos ejemplos clásicos de operadores
diferenciales elı́pticos.
La segunda parte, consistente de dos secciones, introducimos los conceptos topológicos necesarios para definir el ı́ndice topológico y enunciamos el
Teorema del Índice
1.
Operadores de Fredholm e Índice
Empezaremos con un pequeño repaso de análisis funcional. Este material
puede encontrarse ampliamente discutido en [11, Cap. 7].
Consideremos dos espacios de Hilbert separables H1 y H2 (i.e., que contienen un subconjunto numerable y denso en la topologı́a inducida por la
norma) y sea B(H1 , H2 ) el álgebra de Banach de operadores lineales acotados
D : H1 → H2 con el operador norma.
Definición 1.1. Un operador D ∈ B(H1 , H2 ) es llamado de Fredholm si
ker D := {u ∈ H1 : Du = 0} y coker D := H2 / Im D
EL TEOREMA DEL ÍNDICE DE ATIYAH-SINGER
3
son subespacios de dimensión finita.
Denotaremos al conjunto de operadores de Fredholm por F(H1 , H2 ) y lo
dotaremos con la topologı́a de subespacio relativa a B(H1 , H2 ).
A cada operador de Fredholm podemos asociarle cierto objeto matemático, a saber, el ı́ndice análitico, el cual es uno de los ingredientes principales
en la teorı́a del ı́ndice.
Definición 1.2. El ı́ndice analı́tico (o simplemente ı́ndice) de un operador
D ∈ F se define por
index D = dim ker D − dim coker D.
En términos del operador adjunto tenemos que un operador lineal acotado
D es un operador de Fredholm precisamente cuando ker D y ker D∗ son de
dimensión finita e Im D es cerrada; por lo tanto, podemos escribir
index D = dim ker D − dim ker D∗ .
En particular, si D es un operador autoadjunto, es decir D = D∗ , entonces
index D = 0.
Algunos ejemplos del cálculo del ı́ndice de operadores de Fredholm son
los siguientes.
Ejemplo. Sean H1 y H2 espacios vectoriales de dimensión finita y A : H1 →
H2 un operador lineal (matriz). Entonces, de la igualdad
dim ker A − dim coker A = dim H1 − dim H2 ,
se obtiene que
index A = dim H1 − dim H2 .
♠
El ejemplo anterior muestra que en dimensiones finitas la teorı́a del ı́ndice es trivial, ya que el ı́ndice de un operador no depende del operador en
sı́, sino de las dimensiones de los espacios involucrados. Sin embargo, en dimensión infinita esto ya no es cierto, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Consideremos el espacio de Hilbert H = `2 (N) dado por el conjunto de sucesiones x = (x1 , x2 , . . .) de números complejos xi ∈ C con norma
1
P
kxk =
|xi |2 2 < ∞. Entonces H es un espacio de Hilbert separable.
Definamos, para k ≥ 0, el operador shift+
k : H → H por
shift+
k : (x1 , x2 , . . .) 7→ (0, . . . , 0, x1 , x2 , ...)
el cual antepone k ceros a x1 . Entonces tenemos
ker shift+
k = {0}
4
JESÚS F. ESPINOZA
y
coker shift+
= H/{(0, . . . , 0, xk , xk+1 , . . .) :
k
= span{e1 , e2 , . . . , ek }
P
kxi k2 < ∞}
donde ei tiene un 1 en la i-ésima coordenada y ceros en las demás. Por lo
tanto, index(shift+
k ) = 0 − k = −k. Análogamente, definiendo el operador
shift−
por
k
shift−
k : (x1 , x2 , . . .) 7→ (xk+1 , xk+2 , . . .),
es fácil verificar que su ı́ndice es k. En consecuencia, tenemos que para cualquier entero existe un operador de Fredholm con tal ı́ndice. ♠
Consideremos ahora un complejo
D• = {Dp : Hp → Hp+1 }
de operadores de Fredholm sobre los espacios de Hilbert Hp , esto es, una
sucesión
D• : · · ·
Dp−1
/ Hp
Dp
/ Hp+1
Dp+1
/ ···
tal que Dp+1 ◦ Dp = 0 para cada p ∈ Z. Entonces, tenemos que Im Dp−1 ⊂
ker Dp y por tanto podemos considerar el p-ésimo grupo de cohomologı́a del
complejo, ker Dp / Im Dp−1 .
Definición 1.3. Si
D• = {Dp : Hp → Hp+1 }
es un complejo de operadores de Fredholm sobre espacios de Hilbert tal que
las dimensiones de todos sus grupos de cohomologı́a son finitas y solamente
una cantidad finita de estos grupos son no triviales, entonces definimos el
ı́ndice del complejo por
X
index D• :=
(−1)p dim(ker Dp / Im Dp−1 ).
Es claro que si el complejo consta de un solo operador, entonces el ı́ndice
del complejo se reduce al ı́ndice del operador.
2.
Operadores Diferenciales Elı́pticos Sobre Variedades
En esta sección estudiaremos una clase especial de operadores entre espacios de secciones de haces vectoriales sobre variedades, llamados operadores
diferenciales elı́pticos. Este tipo de operadores jugará un papel muy importante en este trabajo, ya que es el tipo de operadores involucrados en las
hipótesis del Teorema del Índice de Atiyah-Singer. De hecho podrı́amos estudiar el ı́ndice de una clase mucho mas grande de operadores, a saber, la
clase de los operadores pseudodiferenciales, pero en este caso necesitarı́amos
entrar en muchos mas detalles técnicos de los que deseamos tratar. Ası́, a
fin de obtener una idea general de los elementos de la Teorı́a del Índice, restringiremos nuestra atención solo a la clase de los operadores diferenciales,
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los cuales son mas sencillos de expresar y manejar.
Sea X una variedad topológica y F el campo de los números reales o
complejos. Un haz vectorial (real o complejo, respectivamente) de dimensión
n sobre X consiste de un espacio topológico E y una aplicación continua
sobreyectiva p : E → X, tales que p−1 (x) ∼
= Fn y se satisface la siguiente
condición de trivialidad local: para cada x ∈ X existe una vecindad abierta
U de x tal que
p−1 (U ) ∼
= U × Fn .
El espacio E es llamado espacio total, p : E → X es la proyección y p−1 (x)
es la fibra en x ∈ X, usualmente denotada por Ex .
Un ejemplo trivial de haz vectorial es el haz vectorial trivial E = X × Fn
con la proyección en el primer factor p : X × Fn → X. Otro ejemplo menos
trivial y bastante estándar es el haz tangente T X a una n-variedad diferenciable X, el cual es un haz vectorial real de dimensión n, pues la fibra en un
punto x ∈ X es el espacio tangente Tx X ∼
= Rn .
Una sección s de un haz vectorial E sobre X es una aplicación continua
s : X → E tal que si p : E → X es la proyección, entonces p ◦ s : X → X
es la identidad. Denotamos al espacio de todas las secciones del haz E mediante Γ(X, E). Es claro que Γ(X, E) es un espacio vectorial lineal con la
suma y multipicación por escalares definidos de manera natural. Si además,
E y X tienen estructura de variedad diferenciable entonces denotamos por
Γ∞ (X, E) al espacio de todas las secciones suaves de E.
De aquı́ en adelante, para economizar un poco llamaremos haz vectorial
a un haz vectorial complejo, y haremos explı́cito el campo F cuando se trate
de otro caso.
Sea X una variedad Riemanniana suave, orientada y cerrada (es decir,
compacta y sin frontera). Consideremos también un haz vectorial E con un
producto interior Hermitiano ( , ), esto es, para cada x ∈ X se tiene un
producto Hermitiano
( , )x : Ex × Ex → C
que depende suavemente de x. Si f, g ∈ Γ∞ (X, E) son dos secciones suaves
definimos su producto interior como
Z
(1)
hf, gi =
(f (x), g(x)) dx,
X
L2 -norma
Γ∞ (X, E).
esto es, la
sobre
Por otro lado, si E y F son haces vectoriales sobre X y usando el hecho de
que variedades y haces vectoriales pueden describirse localmente en términos
de funciones coordenadas, la siguiente definición tiene sentido.
6
JESÚS F. ESPINOZA
Un operador lineal D : Γ∞ (X, E) → Γ∞ (X, F ) es llamado operador
diferencial de orden m si localmente tiene la forma
X
(2)
D=
aα ∂ α
|α|≤m
donde α = (α1 , . . . , αn ) es un multi-ı́ndice, aα (x) : Ex → Fx es un homomorP
|α|
fismo lineal de la fibra Ex a la fibra Fx , |α| = ni=1 αi y ∂ α = ∂ α1 ∂∂α2 ···∂ αn .
Para todo x ∈ X y para todo ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Tx∗ X en el espacio
cotangente de X en el punto x (expresado como un vector en coordenadas
locales), el sı́mbolo local σ(D) de D en (x, ξ) es el homomorfismo lineal
de Ex a Fx definido por
X
aα (x)ξ α
σ(D)(x, ξ) =
|α|=m
donde
ξα
=
ξ1α1
· · · ξnαn .
Definición 2.1. Un operador diferencial elı́ptico de orden m es un
operador diferencial D : Γ∞ (X, E) → Γ∞ (X, F ) de orden m tal que
σ(D)(x, ξ) : Ex → Fx
es un isomorfismo para todo x ∈ X y todo ξ ∈ Tx∗ X con ξ 6= 0.
En el caso de un complejo de operadores diferenciales
D• : · · ·
Dp−1
/ Γ∞ (X, Ep )
Dp
/ Γ∞ (X, Ep+1 )
Dp+1
/ ···
donde los Ep son haces vectoriales sobre X, los sı́mbolos locales asociados a
los operadores Dp generan una sucesión
σ(Dp−1 )(x,ξ)
σ(Dp )(x,ξ)
/ (Ep )x
···
para todo x ∈ X y todo ξ ∈ Tx∗ X.
/ (Ep+1 )x
σ(Dp+1 )(x,ξ)
/ ···
Definición 2.2. Decimos que el complejo D• es un complejo elı́ptico si la
sucesión de sı́mbolos asociada al complejo es exacta para todo x ∈ X y todo
ξ ∈ Tx∗ X tal que ξ 6= 0.
Ahora bien, los espacios de secciones de un haz vectorial no son en general
espacios de Hilbert; por lo tanto, dado un operador diferencial elı́ptico D :
Γ∞ (X, E) → Γ∞ (X, F ) no podemos hablar de un ı́ndice analı́tico de D ya
que no podemos aplicar la definición 1.2. Sin embargo, este hecho este es
solo un problema técnico que desaparece al introducir espacios de Sobolev H
asociados a los espacios de secciones de los haces E y F , como se establece
en el siguiente resultado demostrado en [6]:
Teorema 2.1. Sea D un operador diferencial elı́ptico de orden m sobre una
variedad diferenciable cerrada X y sea s ≥ m, entonces
1. Extensión: Existe una extensión de D : Γ∞ (X, E) → Γ∞ (X, F ) a
espacios de Sobolev Ds : Hs (X, E) → Hs−m (X, F ).
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2. Condición Finita: La extensión Ds es un operador de Fredholm
con ı́ndice independiente de s.
∗
.
3. Existencia: Ds∗ es elı́ptico y coker Ds ∼
= ker Ds−m
∼
4. Regularidad: ker Ds = ker D.
5. Invariancia homotópica: index Ds depende solamente de la clase
de homotopı́a de σ(D) en el espacio de isomorfismos de haces suaves,
π ∗ (E) → π ∗ (F ), donde π : S(X) → X es la proyección y S(X) :=
{(x, ξ) | x ∈ X, ξ ∈ Tx∗ X, kxk = 1} es el haz esférico cotangente.
La importancia de este teorema es clara, ya que nos dice que aunque
nuestros operadores elı́pticos no son de Fredholm, podemos aún definirles un
ı́ndice analı́tico. Dicho ı́ndice se da como el ı́ndice del operador de Fredholm
resultante al completar a espacios de Sobolev. Más precisamente, si D :
Γ∞ (X, E) → Γ∞ (X, F ) es un operador diferencial elı́ptico de orden m y
Ds : Hs (X, E) → Hs−m (X, F ), s ≥ m, su extensión a espacios de Sobolev,
definimos
index D := index Ds .
Por lo tanto, existe una correspondencia bien definida,
Operadores elı́pticos
index /
Z
sobre X
Se puede generalizar el teorema anterior a complejos elı́pticos, por lo tanto
podemos hablar también de un ı́ndice bien definido para complejos.
3.
Ejemplos: Operadores Clásicos
Para aclarar un poco los conceptos dados en la sección anterior, veremos los siguientes ejemplos, los cuales son bastante clásicos en geometrı́a
Riemanniana (para mas detalles, ver [3, 7]).
V
3.1. El complejo de De Rham. Sea ΩP = Γ∞ (X, p T ∗ X ⊗ C) el
espacio de p-formas diferenciales valuadas sobre una variedad Riemanniana suave, cerrada y orientada X de dimensión n. La derivada exterior
d : Ωp → Ωp+1 define una sucesión de operadores diferenciales lineales de
orden 1,
/ Ω1
/ ...
/ Ωn
/0
/ Ω0
Ω• : 0
llamado el complejo de De Rham.
La sucesión de sı́mbolos locales asociada a este complejo para una pareja
(x, ξ) ∈ X × Tx∗ X es dada por el álgebra exterior del haz cotangente y
multiplicación exterior por ξ, esto es,
ξ∧ · Vp ∗
ξ∧ · Vp+1
ξ∧ ·
/
/
/ ...
...
Tx X ⊗ C
Tx∗ X ⊗ C
d
d
d
no es difı́cil probar que ésta sucesión es exacta y por tanto el complejo de
De Rham es elı́ptico.
8
JESÚS F. ESPINOZA
Por otro lado, el Teorema de De Rham nos dice que los grupos de cohomologı́a del complejo Ω• , ker(d : Ωp → Ωp+1 )/ Im(d : Ωp−1 → Ωp ), son
naturalmente isomorfos a los grupos de cohomologı́a ordinarios con coeficientes complejos H p (X; C). Por lo tanto,
index Ω• =
n
X
(−1)p dim H p (X; C),
p=0
es decir, el ı́ndice del complejo de De Rham es precisamente la caracterı́stica
de Euler de X.
3.2. El operador signatura. Sea X una variedad Riemanniana suave,
cerrada y orientada de dimensión par 2l. Si consideramos la derivada exterior
d : Ωp → Ωp+1 y d∗ su adjunto, entonces el operador d + d∗ es un operador
diferencial elı́ptico autoadjunto, por lo tanto tiene ı́ndice cero. De modo que
el estudio del ı́ndice de
d + d∗ : Ω → Ω
sobre el espacio Ω de todas la formas diferenciales sobre X, no resulta ser
muy interesante. Sin embargo, podemos restringir este operador a un subespacio de Ω de tal manera que el ı́ndice de la restricción del operador d + d∗
sea algo de mas valor teórico.
Para hacer ésto, tomamos el operador estrella de Hodge
^p
^2l−p
∗:
Tx∗ X →
Tx∗ X
V
V
el cual envı́a el elemento w ∈ p Tx∗ X al único elemento ∗w ∈ 2l−p Tx∗ X
tal que
e1 ∧ . . . ∧ e2l hv, wi = v ∧ ∗w,
donde e1 , . . . , e2l es una base ortonormal orientada positiva de Tx∗ X y h , i
es el producto interior de formas inducido por la métrica Riemanniana. Éste
operador se extiende a un operador
∗ : Ωp → Ω2l−p
sobre formas diferenciales, de manera puntual
(∗α)(x) = ∗(α(x)) para α ∈ Ωp , x ∈ X.
Ahora consideremos la involución τ : Ω → Ω dada por
τ : α 7−→ ip(p−1)+l ∗ α,
la cual anticonmuta con d + d∗ , esto es,
(d + d∗ )τ = −τ (d + d∗ ).
Luego, si denotamos por Ω+ y Ω− los ±1-eigenespacios de τ tenemos que
d + d∗ intercambia Ω+ y Ω− , y entonces define por restricción un operador
A : Ω+ → Ω−
llamado el operador signatura.
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Dado que d + d∗ es elı́ptico y los espacios Ω+ y Ω− tienen la misma
dimensión, se sigue que el operador signatura es un operador diferencial
elı́ptico.
Como X es una variedad cerrada de dimensión par 2l, podemos usar
Teorı́a de Hodge para probar que (ver [6, 13])
sign(X) si l = 2k
index(A) =
0
si l es impar
donde sign(X) es la signatura de la forma cuadrática sobre H 2k (X; R) dada
por el producto cup.
4.
K-Teorı́a
Antes de entrar de lleno a esta sección reflexionemos un momento sobre
los ejemplos de la sección anterior. Por ejemplo, obtuvimos que el ı́ndice del
complejo de De Rham sobre X es precisamente la caracterı́stica de Euler
de la variedad X, pero por otro lado, un resultado clásico de Geometrı́a
Riemanniana nos muestra que ésta es precisamente la clase de Euler del haz
tangente evaluada en la clase fundamental [X] de X, esto es,
χ(X) = e(T X)[X],
lo cual se reduce al famoso Teorema de Gauss-Bonnet cuando la variedad X
tiene dimensión 2.
Por otro lado, para el operador signatura, obtuvimos que su ı́ndice es la
signatura de la variedad y por el Teorema de Signatura de Hirzebruch, esta
es igual al L-género L[X] del polinomio de Hirzebruch L(p1 , . . . , pl ) en las
clases de pontryagin, es decir,
sign(X) = L[X].
Algo en común que salta a la vista en las igualdades anteriores es el
hecho de que un objeto analı́tico (como lo es el ı́ndice de un operador y el
de un complejo elı́ptico) está siendo expresado en términos de un invariante
topológico concerniente solo a la estructura intrı́nseca de la variedad en
cuestión.
Pues resulta que mucho antes de que apareciera el Teorema del Índice ya
se conocı́an varios resultados como los mencionados anteriormente, lo cual
llevo a I. M. Gelfand (en la década de los 50’s) a conjeturar que el ı́ndice
analı́tico podı́a ser expresado en términos puramente topológicos, es decir,
debı́a existir una “manera topológica” de obtener el mismo resultado que
mediante el camino analı́tico
Operadores elı́pticos
index /
ZO
sobre X
HI
JK
invariantes topológicos de X
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Sin embargo, el problema del ı́ndice permaneció impenetrable por unos
años mas, pues era necesario echar mano de una naciente área de la topologı́a
algebraica, llamada actualmente K-teorı́a (cuyos principales exponentes y
fundadores fueron Atiyah, Grothendieck, Hirzebruch y Segal). Fueron M. F.
Atiyah e I. M. Singer quienes tuvieron la brillante idea de plantear el problema del ı́ndice en términos de K-teorı́a, para dar una respuesta definitiva
a la conjetura de Gelfand.
Después de este preámbulo histórico, procedemos a introducir de manera
superficial los elementos topológicos que involucra el Teorema del Índice de
Atiyah-Singer. El siguiente material es relativamente básico y puede encontrarse en [1, 6].
4.1. El grupo de Grothendieck y K-Teorı́a. Existen varias maneras
de definir la K-teorı́a de un espacio topológico. En esta subsección la definiremos mediante la construcción de Grothendieck, la cual mostramos a
continuación.
Sea A un semigrupo abeliano y sea B = A × A/ ∼, donde ∼ es la relación
de equivalencia en A × A dada por:
(a1 , a2 ) ∼ (a01 , a02 ) si y sólo si existe a ∈ A tal que a1 + a02 + a = a01 + a2 + a.
Es fácil probar que B es un grupo abeliano con identidad (a, a) (a ∈ A,
arbitrario) e inversos −(a1 , a2 ) = (a2 , a1 ). El grupo B es llamado el grupo
de Grothendieck de A o el grupo universal de A y es un funtor de la
categorı́a de semigrupos abelianos a la categorı́a de grupos abelianos.
El grupo B y el homomorfismo φ : A → B, tal que φ(a) = (a, 0), satisfacen
la siguiente propiedad universal:
Sea G un grupo abeliano arbitrario. Todo homomorfismo de semigrupos
h : A → G se factoriza de manera única mediante φ, es decir, existe un
único homomorfismo de grupos h0 : B → G que hace conmutar el siguiente
diagrama
A
h
~~
φ
~
~
/B
~
h0
G
Por lo tanto, el grupo B es único salvo isomorfismo.
Es importante destacar que si el semigrupo abeliano A tiene además estructura de semianillo conmutativo, entonces el grupo de Grothendieck de
A es de hecho un anillo.
Por otro lado, consideremos ahora un espacio topológico compacto X.
Decimos que dos haces vectoriales E y F sobre X son isomorfos si existe
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11
un homeomorfismo φ : E → F el cual se restringe a un isomorfismo lineal
φx : Ex → Fx para cada x ∈ X. Podemos asociarle a nuestro espacio
topológico X un semianillo, a saber, el conjunto de clases de isomorfismos
de haces vectoriales sobre X, que denotaremos por Vect(X).
Efectivamente, Vect(X) tiene estructura de semianillo abeliano, pues podemos definir la suma de dos clases de isomorfismo de de haces [E] y [F ]
como la suma al nivel de los representantes de las clases. Esta suma, a nivel
de haces vectoriales, es llamada Suma de Whitney y se define como el haz
cuya fibra en el punto x ∈ X es Ex ⊕ Fx .
Análogamente a la definición de la suma de Whitney de haces es posible
definir el producto tensorial de haces, de modo que Vect(X) adquiere una
estructura de semianillo.
Definición 4.1. Sea X un espacio topológico compacto. Definimos la Kteorı́a de X como el anillo de Grothendieck de Vect(X) y la denotamos por
K(X).
Mediante el producto tensorial de haces vectoriales obtenemos también
un producto en K(X) el cual le da estructura de anillo.
Los elementos de K(X) son clases de equivalencia de parejas ([E], [F ]) ∈
Vect(X) × Vect(X) que denotaremos mediante diferencias formales
[E] − [F ].
Ası́, dos elementos en K(X) son iguales,
[E] − [F ] = [E 0 ] − [F 0 ],
si y sólo si existe un haz vectorial G sobre X tal que
E ⊕ F 0 ⊕ G = E 0 ⊕ F ⊕ G.
Ejemplo. Si X = {pt}, entonces Vect(X) ∼
=Ny
∼
=
K(X) −→ Z
[E] − [F ] 7−→ dim E − dim F
esto es, K(pt) ∼
= Z. Este isomorfismo es llamado el isomorfismo dimensión. ♠
Consideremos ahora una aplicación continua f : X → Y entre espacios
topológicos compactos. Entonces podemos obtener un homomorfismo de semianillos
f ∗ : Vect(Y ) → Vect(X),
dado por el “pull-back” de haces, pues si F es un haz vectorial sobre Y con
proyección p, entonces existe un haz vectorial f ∗ (F ) sobre X dado por
f ∗ (F ) := {(x, e) ∈ X × F : f (x) = p(e)} .
12
JESÚS F. ESPINOZA
Este homomorfismo desciende a un homomorfismo de anillos
f ∗ : K(Y ) → K(X)
de la siguiente manera
Vect(Y )
φX
/ K(Y )
f∗
f∗
Vect(X)
φY
/ K(X)
donde φX y φY son las aplicaciones dadas por la construccón de Grothendieck.
No es difı́cil verificar que K es un funtor contravariante de la categorı́a
de espacios compactos a la categorı́a de grupos abelianos. Además, si f es
homotópica a g, entonces f ∗ = g ∗ .
Cuando X es un espacio con un punto base pt ∈ X, la inclusión i : {pt} ,→
X induce el homomorfismo restricción i∗ : K(X) → K(pt) ∼
= Z. Definimos
e
la K-teorı́a reducida K(X) como el kernel de este homomorfismo.
4.2. K-Teorı́a con soporte compacto. La definición anterior de Kteorı́a fue dada solo para espacios compactos. Sin embargo, es posible debilitar un poco esta condición, pidiendo que el espacio en cuestión sea localmente compacto, como se establece a continuación.
Sea X un espacio topológico localmente compacto y denotemos por X +
la compactificación de X a un punto. Obsérvese que cuando X es compacto,
entonces X + es la unión ajena de X con un punto.
En este caso, definimos la K-teorı́a de X como
e + ),
Kc (X) := K(X
Notemos si X es compacto,
e +) ∼
Kc (X) := K(X
= K(X + )/K(pt) ∼
= K(X).
Un elemento de Kc (X) es considerando como diferencia formal [E] − [F ]
de clases de isomorfismo de haces sobre X que tienen la misma dimensión
sobre cada componente de X, y tales que E y F son haces triviales en
alguna vecindad del punto al infinito, es decir, en el complemento de algún
subconjunto compacto de X.
Debido a que la K-teorı́a con soporte compacto se reduce a la K-teorı́a
que definimos para espacios compactos, en adelante denotaremos ambas por
K, sobrentendiendo que se trata de la K-teorı́a con soporte compacto para
espacios que son solamente localmente compactos.
EL TEOREMA DEL ÍNDICE DE ATIYAH-SINGER
13
4.3. Descripción alternativa de K(X). Existe otra manera de definir
K(X) para X localmente compacto la cual es una definición “mas cercana
al espı́ritu de la teorı́a del ı́ndice”.
Esta otra manera de definir la K-teorı́a esta dada en términos de clases
de ternas (E, F, α), donde E y F son haces vectoriales sobre X y α es un
homomorfismo de haces que satisface cierta condición. Para precisar esto,
definimos en primer lugar el soporte de α como el conjunto
supp(α) = {x ∈ X | αx : Ex → Fx no es isomorfismo},
α1
α2
/ F1 y E 2
/ F2 con soporte compacto
y decimos que dos ternas E1
son equivalentes si α1 es homotópica a α2 a través de una familia de terαt
/ Ft con soporte compacto. Las clases de homotopı́a de ternas
nas Et
con soporte compacto sobre X, denotadas por C(X), forman un semianillo
conmutativo respecto a la suma y producto inducidos por la suma directa
y producto tensorial de haces. El semigrupo C(X) contiene un semigrupo
Cø X el cual consta de las ternas con soporte vacı́o.
La definición alternativa de K(X) está dada por el cociente
C(X)/Cø (X).
El hecho de que este cociente es isomorfo a K(X) se demuestra mediante una
construcción llamada construcción diferencia. La prueba no es muy difı́cil,
sin embargo no es inmediata, de modo que para ver los detalles se puede
consultar el clásico libro sobre el teorema del ı́ndice de Palais [11].
Para esclarecer un poco el hecho de que esta definición sea “mas cercana
al espı́ritu de la teorı́a del ı́ndice”, consideremos el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Sea D : Γ∞ (X, E) → Γ∞ (X, F ) un operador diferencial sobre
una variedad Riemanniana suave, orientada y cerrada X. El sı́mbolo local
de D está dado por homomorfismos
Ex
σ(D)(x,ξ)
/ Fx .
Cuando x y ξ varı́an, estos homomorfismos definen una terna
π∗E
σ
/ π∗F
sobre el haz cotangente T ∗ X, donde π : T ∗ X → X es la proyección natural.
Luego, si D es elı́ptico se sigue por definición que σ(D)(x, ξ) es un isomorfismo para ξ 6= 0, y por lo tanto el soporte de la terna (i.e., el conjunto
de puntos en T ∗ X donde nos es isomorfismo) es
supp(σ) = {(x, ξ) ∈ X × Tx∗ X | ξ = 0} ≈ X
En consecuencia, si X es compacto entonces la terna π ∗ E
soporte compacto, representa un elemento en K(T ∗ X).
σ
/ π ∗ F con
14
JESÚS F. ESPINOZA
En resumen, dado un operador diferencial elı́ptico D : Γ∞ (X, E) →
con X una variedad diferenciable compacta, podemos asociarle un elemento en K(T ∗ X), el cual llamaremos el sı́mbolo del operador y
denotaremos por σ(D).
Por lo tanto, tenemos una correspondencia,
Operadores elı́pticos
sobre X
Γ∞ (X, F ),
σ
K(T ∗ X)
♠
4.4. El Isomorfismo de Thom y Periodicidad de Bott. Para cerrar
esta sección como es debido, enunciaremos lo que viene a ser el teorema
fundamental de la K-teorı́a, conocido como el Teorema de Isomorfismo de
Thom.
Teorema 4.1 (Isomorfismo de Thom). Si E es un haz vectorial complejo
sobre un espacio topológico localmente compacto X, entonces
K(E) ∼
= K(X).
Una consecuencia inmediata de este resultado es el siguiente teorema.
Teorema 4.2 (Periodicidad de Bott). Si X es un espacio topológico localmente compacto y S 2 X su segunda suspensión reducida, entonces
K(X) ∼
= K(S 2 X).
Una pregunta muy natural que surge al ver el nombre del teorema anterior
es, ¿por qué “periodicidad ”? Para entender a que se debe dicho nombre,
basta con ver la definición de los grupos superiores de K-teorı́a
K −n (X) := K(S n X),
y entonces lo que el Teorema de periodicidad de Bott nos dice es que la familia de grupos de K-teorı́a de un espacio topológico localmente compacto
es periódica con periodo 2.
Nota 1. Es importante mencionar que las propiedades funtoriales que satisface la K-teorı́a más el Teorema de periodicidad de Bott, nos permiten ver a
ésta como una teorı́a de cohomologı́a generalizada, esto es, una teorı́a que satisface los axiomas de Eilenberg-Steenrod excepto el axioma de la dimensión.
Nota 2. Para definir K(X) consideramos solamente haces vectoriales complejos; sin embargo, también es posible definir la K-teorı́a real, denotada
por KO(X), considerando haces vectoriales reales en lugar de complejos. En
EL TEOREMA DEL ÍNDICE DE ATIYAH-SINGER
15
este otro caso también existe periodicidad al definir los grupos superiores de
K-teorı́a pero ahora de periodo 8.
5.
El Índice Topológico y el Teorema del Índice
Hemos visto que dada una variedad Riemanniana suave, cerrada y orientada, y un operador diferencial elı́ptico D : Γ∞ (X, E) → Γ∞ (X, F ), podemos
asociarle a D un objeto analı́tico, el ı́ndice de D,
Operadores elı́pticos
index /
Z
sobre X
y también podemos asociarle un objeto topológico, el sı́mbolo σ(D) ∈ K(T ∗ X),
Operadores elı́pticos
sobre X
σ
K(T X)
Lo que haremos ahora será definir de manera conveniente un homomorfismo
de de anillos entre K(T X) y Z que cierre el diagrama
Operadores elı́pticos
index /
(F)
k5 Z
sobre X
k k
σ
K(T X)
k
k k
k
k k
k k
Este homomorfismo será llamado el ı́ndice topológico.
Sea X una variedad Riemanniana suave, orientada y cerrada. Por el Teorema de Encaje de Whitney existe n ∈ N suficientemente grande tal que
i : X ,→ Rn
es un encaje propio y suave. Este encaje induce otro encaje propio suave en
los haces tangentes (dado por la diferencial),
di : T X ,→ T Rn .
Sea N el haz normal a T X en T Rn , es decir, T (T X) ⊕ N = T (T Rn ). No
es muy difı́cil probar que N puede verse de manera natural como un haz vectorial complejo sobre T X, entonces recurriendo al Teorema de Isomorfismo
de Thom, tenemos que
(3)
K(T X) ∼
= K(N ),
Por otro lado, la inclusión canónica de N en T Rn induce una aplicación
(T Rn )+ −→ (T Rn )+ (T Rn )+ − N ≈ N +
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JESÚS F. ESPINOZA
la cual a su vez induce un homomorfismo
K(N ) −→ K(T Rn )
(4)
Combinando los homomorfismos en (3) y (4), obtenemos el homomorfismo
i! : K(T X) −→ K(T Rn )
inducido por el encaje i : X ,→ Rn .
Se define el ı́ndice topológico indext : K(T X) → Z, como la composición
K(T X)
i!
/ K(T Rn )
(j ! )−1
/ K(pt) ∼
=Z
donde i! es el homomorfismo dado antes y j ! es inducido por la inclusión
de un punto pt en T Rn , el cual viene a ser precisamente el isomorfismo de
Thom K(T Rn ) ∼
= K(pt).
Tenemos finalmente los elementos necesarios para enunciar el Teorema
del Índice de Atiyah-Singer, el cual establece que el diagrama (F) es conmutativo.
Teorema del Índice de Atiyah-Singer. Sea X una variedad Riemanniana suave, orientada y cerrada, y sea D un operador diferencial elı́ptico sobre
X. Entonces
index D = indext (σ(D)),
donde σ(D) es la clase del sı́mbolo en K(T X).
Nota. Algunas de las direcciones más estándar hacia donde generalizar el
Teorema del ı́ndice son las siguientes:
Teorema del ı́ndice equivariante. Esta generalización se obtiene al considerar una acción suave de un grupo de Lie compacto G sobre una variedad
diferenciable cerrada y orientada. Es una generalizacón muy natural, en la
cual ahora la herramienta topológica es la K-teorı́a equivariante KG .
Teorema del ı́ndice en variedades con frontera. Tanto en el caso ordinario
como en caso equivariante, se consideran solamente variedades cerradas,
es decir, compactas y sin frontera. Sin embargo, es posible debilitar la esta
última condición y considerar variedades compactas con frontera, obteniendo
de este modo el Teorema del Índice de Atiyah-Patodi-Singer.
Cabe mencionar que esta versión del teorema también admite una generalización al caso de G-variedades compactas con frontera.
Como es de esperarse, la demostración de este profundo resultado no es
en absoluto trivial. A lo largo de los años se han dado varias demostraciones
EL TEOREMA DEL ÍNDICE DE ATIYAH-SINGER
17
(aparte de las originales dadas por Atiyah y Singer), algunas demostraciones son de ı́ndole topológico y otras de un carácter mas analı́tico. Como
referencia para algunas de sus demostraciones se pueden consultar: [6] en
donde se encuentra la prueba original dada por Atiyah y Singer de 1963,
usando cobordismo; [6] contiene otra demostración también dada por Atiyah y Singer en 1968; una demostración probabilı́stica se puede encontrar
en [10].
Referencias
[1] M. F. Atiyah, K-Theory. W. A. Benjamin, Inc. 1967.
[2] M. F. Atiyah, Bott Periodicity and the Índex of Elliptic Operators. Quart. J. Math.
Oxford (2) 19 (1968) 113-140.
[3] M. F. Atiyah, R. Bott and V. K. Patodi, On the heat equation and the index
theorem. Inventiones Math. 19 (1973), 279-330.
[4] M. F. Atiyah, V. K. Patodi and I. M. Singer, Spectral asymmetry and Riemannian
Geometry I. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1975), 77, 43-69.
[5] M. F. Atiyah and G. B. Segal, The Index of Elliptic Operators: II. Ann. of Math.
87 (1968), 531–545
[6] M. F. Atiyah and I. M. Singer, The Index of Elliptic Operators: I. Ann. of Math.
87 (1968), 484–530
[7] M. F. Atiyah and I. M. Singer, The Index of Elliptic Operators: III. Ann. of Math.
87 (1968), 546–604
[8] X. Dai and W. Zhang, Real embeddings and the Atiyah-Patodi-Singer index theorem for Dirac operators (Julio 2002), arXiv:math.DG/9903152v1 25 Mar 1999.
[9] R. G. Douglas, Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Academic Press.
[10] K. Köhler, About the Probabilistic Proof of the Atiyah-Singer-Index Theorem
[11] R. S. Palais, Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. Annals of Mathematics
Studies, No. 57, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1965.
[12] T. Seeley, Complex powers of an elliptic operator. Proc. Symp. Pure Math., Vol.
10, Amer. Math. Soc. (1967), 288-307
[13] P. Shanahan, The Atiyah-Singer index Theorem. Lecture Notes in Mathematics
No. 638, Springer-Verlag.
[14] Young, Nicholas, An introduction to Hilbert space. Cambridge University Press,
1988.
Instituto de Matemáticas - UNAM, Cuernavaca.
Dirección: Cubı́culo 8, Instituto de Matemáticas - UNAM, Av. Universidad s/n, Col.
Lomas de Chamilpa, Cuernavaca, Morelos.
Correo electrónico: jesus@matcuer.unam.mx