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EXAMEN DE FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA.CURSO 07/08.
PRIMERO INGENIERO DE TELECOMUNICACIÓN. SEPTIEMBRE
Primer apellido..............................Segundo apellido............................ Nombre..............................
Rellénense los recuadros que aparecen en el margen superior derecho con las dos primeras letras del primer apellido.
Este examen consta de dos partes de 15 cuestiones cada una. De las tres respuestas asociadas a cada pregunta una de
ellas es verdadera, siendo las otras dos falsas. Cada cuestión respondida correctamente suma 1/3 puntos. Cada cuestión
respondida incorrectamente resta 1/6 puntos. Cada cuestión no respondida suma 0 puntos. La puntuación mı́nima que se
puede obtener en cada una de las partes es cero puntos.
Salvo indicación expresa todas las unidades están en el Sistema Internacional. En aquellas cuestiones donde sea necesario
cuantificar el módulo de la aceleración de la gravedad (g), tómese éste igual a 10. En las cuestiones de Relatividad c es la
velocidad de la luz. La configuración estándar de dos sistemas de referencia, S y S , es aquella en la que los ejes homónimos
son paralelos, S se traslada con respecto a S con velocidad constante v = vı, y los orı́genes O y O coinciden en t = t = 0.
En las cuestiones de cuántica, salvo que se indique lo contrario, las funciones de onda y autofunciones están normalizadas.
PASAR LAS RESPUESTAS CON BOLÍGRAFO A LOS CÍRCULOS DE LA CABECERA. El orden de izquierda a derecha en las respuestas de los enunciados corresponde al orden de arriba a abajo en la cabecera.
PRIMERA PARTE
1. Un sistema de N partı́culas se mueve respecto a cierto sistema de referencia inercial, de modo que su centro de masas
tiene aceleración constante. Sea Fiext la fuerza externa que actúa sobre la partı́cula i-ésima. En general, podemos
afirmar que:
Fiext es constante para todo i.
N ext
×
es constante.
i=1 Fi
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
√
√
√
√
√
√
2. Un punto P se mueve en el plano OXY según la ley: x(t) = 2t sen 2t + cos 2t ; y(t) = 2t cos 2t − sen 2t,
siendo x e y sus coordenadas
cartesianas, y t el tiempo. ¿En qué instante de tiempo el radio de curvatura de su
√
trayectoria toma el valor 2 ?
√
√
2 ; × 1 ;
2 2
3. Los vagones A y B pueden moverse sin rozamiento por el suelo horizontal. Tienen la misma masa en vacı́o, MA =
MB = M , y se encuentran inicialmente en reposo. El vagón A contiene un cañón con una bala, de masa M (Para
simplificar los cálculos supóngase que toda la masa del sistema cañón-bala es de la bala). Se dispara el cañón apuntando
hacia B, de modo que la bala abandona A con velocidad horizontal de módulo v0 y, tras chocar con B, queda finalmente
incrustada en éste. ¿Cuál es la celeridad de B una vez que la bala se encuentra en reposo respecto de éste?
g
v0 /4
B
A
v0 /3
× v0 /2
4. Los bloques de la figura tienen masas MA = 1 y MB = 1, y un contacto liso con el suelo (sin rozamiento). Si la tensión
máxima que puede soportar la cuerda que los une es T = 12, ¿cuál es el valor máximo de la fuerza F que permite
mover al sistema sin que la cuerda se rompa?
g
16
18
× 24
A
B
F
5. En la figura se muestra un tramo horizontal AB que termina en una semicircunferencia de radio R (no hay rozamiento).
Un disparador se encuentra al principio del tramo horizontal y consiste en un muelle de constante elástica k, el cual
tiene uno de sus extremos fijo y el otro en contacto con una bolita de masa m. El muelle se contrae una longitud e
respecto a su longitud natural y se suelta desde el reposo, dejando a la bolita moverse libremente. ¿Cuál tiene que ser
el mı́nimo valor de e para que la bolita llegue al punto más alto de la semicircunferencia?
×
mgR
k
mgR
5k
5mgR
k
6. Una partı́cula se coloca en reposo a una altura h sobre uno de los planos inclinados fijos de semiángulo α, y se deja en
libertad. No existe rozamiento. Sean x(t) e y(t) las coordenadas de la partı́cula en el sistema inercial OXY . ¿Cuál de
ellas es un m.a.s. (movimiento armónico simple)?
Y
g
Las dos.
Sólo x(t).
h
h
× Ninguna de las dos.
a
O
a
X
7. Una partı́cula realiza oscilaciones libres amortiguadas en el eje OX, siendo x(t) = Ae−γt/2 cos(ωa t + φ), donde γ es la
constante de amortiguamiento y ωa la frecuencia angular. En el instante inicial (t = 0) la partı́cula se encuentra en
reposo en la posición x(0) = 1. Sabiendo que el factor de calidad vale 1, ¿cuánto vale A?
√
√
√
3/(2 2) ;
4/ 15 ; × 2/ 3
8. Sea un oscilador armónico con una masa y una constante elástica dadas. Al aumentar el amortiguamiento la frecuencia
de resonancia en amplitud:
Aumenta.
;
× Disminuye.
2
;
No cambia.
2
9. Sea g(x, t) = 3x /2 + 3t /2 + xt. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es correcta?
× g es una superposición de ondas viajeras de distintos sentidos.
g es una onda viajera.
g no verifica la ecuación de ondas.
10. Una onda esférica armónica se expande desde el origen de coordenadas de un sistema de referencia OXY Z. Sabiendo
que un frente de ondas tarda 2 segundos
en pasar del punto √
(2, 0,
√0) al (1, 2, 2), y que la diferencia de fase de las
√
oscilaciones entre el punto (2, 2, 2 2) en t = 1 y el punto (0, 2, 2) en t = 1/2 es π, ¿cuánto vale la longitud de
onda?
× 7/2 ;
7
;
21/2
11. Los sistemas de referencia S y S están en la configuración estándar. En los puntos de S de coordenadas (0, 0, 0) y
(0, 1, 0) ocurren simultáneamente dos sucesos. ¿Son también simultáneos en S?
× Sı́, porque los puntos se encuentran sobre el eje O Y y el movimiento relativo se da a lo largo del eje OX.
No, aunque los puntos se encuentren sobre el eje O Y y el movimiento relativo se dé a lo largo del eje OX.
Necesitarı́amos conocer la velocidad relativa de S respecto de S para responder la pregunta.
12. Dos puntos P y Q salen simultáneamente del origen O de un sistema inercial S con las mismas celeridades constantes,
de valor c/2. Pero P se mueve por el eje OY y Q por el eje OX. ¿Cuál es la celeridad relativa entre ellos?
√
√
√
c 3/2 ; × c 7/4 ;
c 15/4
13. Una nave espacial sobrevuela la superficie de la Tierra en lı́nea recta con movimiento inercial a velocidad 0.6c. Lanza
un pulso de rayo láser en la dirección y sentido de la vertical ascendente, según la Tierra. ¿A qué ángulo, respecto a
la vertical del sistema de referencia ligado a la nave, ésta lanzó el rayo?
√
√
× arctan 34 ;
arctan 3 ;
arctan 25
14. Una partı́cula cuántica se encuentra sometida a una energı́a potencial ÊP (x̂) = ax̂2 , siendo a una constante. ¿Cuál es
el conmutador del operador posición y el operador energı́a potencial, [x̂, ÊP ]?
× 0̂ ;
ax̂3 ;
aIˆ
15. Una partı́cula cuántica se encuentra inicialmente (t = 0) en el estado ψ(x, 0) = (3/2)f1E (x) + (1/2)f2E (x), donde f1E (x)
y f2E (x) son las dos primeras funciones propias del operador asociado a la energı́a, al que corresponden los autovalores
En = n2 π 2 h̄2 /2, siendo n = 1, 2, 3, .... En el instante t = 1 se mide la energı́a, obteniéndose el valor π 2 h̄2 /2. ¿Cuál es
el valor medio de la energı́a en t = 2?
Nota: Supóngase que entre t = 1 y t = 2 no se realiza ninguna otra medida.
× π 2 h̄2 /2 ;
3π 2 h̄2 /8 ;
7π 2 h̄2 /8
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EXAMEN DE FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA.CURSO 07/08.
PRIMERO INGENIERO DE TELECOMUNICACIÓN. SEPTIEMBRE
Primer apellido..............................Segundo apellido............................ Nombre..............................
Rellénense los recuadros que aparecen en el margen superior derecho con las dos primeras letras del primer apellido.
Salvo indicación expresa todas las unidades están en el Sistema Internacional. En aquellas cuestiones donde sea
necesario cuantificar el módulo de la aceleración de la gravedad (g), tómese éste igual a 10. En las cuestiones de
Relatividad c es la velocidad de la luz. La configuración estándar de dos sistemas de referencia, S y S , es aquella en
la que los ejes homónimos son paralelos, S se traslada con respecto a S con velocidad constante v = vı, y los orı́genes
O y O coinciden en t = t = 0. En las cuestiones de cuántica, salvo que se indique lo contrario, las funciones de onda
y autofunciones están normalizadas.
PASAR LAS RESPUESTAS CON BOLÍGRAFO A LOS CÍRCULOS DE LA CABECERA. El orden de izquierda a
derecha en las respuestas de los enunciados corresponde al orden de arriba a abajo en la cabecera.
SEGUNDA PARTE
16. En el movimiento de un sistema de partı́culas las fuerzas exteriores son conservativas. Entonces, en general, para un
observador inercial:
Si las fuerzas internas no realizan trabajo se conserva la energı́a cinética.
Si las fuerzas internas son conservativas se conserva la energı́a cinética.
× Si las fuerzas internas no realizan trabajo se conserva la energı́a mecánica.
17. Una partı́cula de masa m = 1 puede moverse libremente sobre el eje inercial horizontal OX, unida al extremo de un
muelle ideal de constante k = 1,
√ el cual tiene su otro extremo fijo en O. Inicialmente la partı́cula se encuentra en el
origen con una velocidad v = 3ı. Sabiendo que existe un coeficiente de rozamiento μ = 0.1, ¿a qué distancia del
origen se detiene la partı́cula por primera vez?
× 1 ;
2
;
3
18. Los extremos A y B de la pista semicircular fija de la figura constituyen un diámetro vertical. El radio vale R = 2.
Desde el extremo inferior (A) se lanza una partı́cula P horizontalmente, con celeridad inicial v0 . La partı́cula desliza
sin rozamiento por el interior de la pista hasta despegarse de ésta cuando el ángulo θ (ver figura) alcanza un valor θm
tal que cos θm = −1/2. ¿Cuánto vale v0 ?
√
B
50
g
√
60
P
√
A
× 70
19. El bloque A, de masa MA = 3, puede deslizar sin rozamiento sobre el suelo horizontal. El bloque B, de masa MB = 1,
puede deslizar, con rozamiento de coeficiente μ = 0.2, sobre el bloque A. Sobre el bloque A actúa una fuerza horizontal,
de módulo 2t, donde t es el tiempo. En el instante t = 0 A y B están en reposo. ¿En qué instante la celeridad del
bloque B vale 6?
× 5
6
7
g
B
A
F
20. Sean S y S dos sistemas inerciales que observan el movimiento de un punto material P . Entonces, en general:
Si el movimiento de P es rectilı́neo según S, también lo será según S .
× Si la velocidad de P es constante según S, también lo será según S .
Si la energı́a cinética de P es constante según S, también lo será según S .
21. Una partı́cula de masa m cuelga en equilibrio de un muelle ideal de constante elástica k, en presencia del campo
gravitatorio terrestre de magnitud g. Se le da a la partı́cula una velocidad inicial v0 cuya dirección es vertical.
¿Cuánto vale el periodo de las oscilaciones verticales que realiza la partı́cula?
× π 4m/k ;
|v0 |/g ;
mg/kv0
22. Una partı́cula realiza oscilaciones forzadas amortiguadas en régimen permanente. Sea Wexc (Wroz ) el trabajo que
realiza la fuerza excitadora (fuerza de rozamiento viscoso) dentro de un periodo de oscilación. Entonces:
× |Wexc | = |Wroz | ;
|Wexc | > |Wroz | ;
|Wexc | < |Wroz |
23. Los sistemas de referencia S y S comparten el origen, O, y el eje Z, formando los ejes OX y OX un ángulo de 60◦ .
En S se observa una onda plana viajera, cuya dirección de propagación es la del eje OX, y su sentido el de este eje.
En S se colocan sendos detectores puntuales de frentes de onda sobre el eje OX , separados entre sı́ una distancia
d = 2, y comprobando que un determinado frente de onda tarda un tiempo t = 1 desde que es percibido por el primer
detector hasta que lo capta el segundo. ¿Cuál es la celeridad de propagación de la onda?
× 1
1/2 ;
;
2
24. Sean g1 (x, t) y g2 (x, t) ondas viajeras que viajan en los sentidos positivo y negativo, respectivamente, del eje OX, con
celeridad unidad. Se sabe que, en t = 0, g1 (x, 0) = 1/(1 + x2 ), y g2 (x, 0) = 1 + x2 . Sea g = g1 + g2 la onda resultante
de la superposición de g1 y g2 . ¿Cuánto vale g(0, 1)?
6
× 5/2 ;
;
81/20
25. Una fuente de ondas periódicas F , en reposo respecto al suelo, emite sonido con una cierta frecuencia. Un observador
O, también en reposo respecto al suelo, recibe las ondas emitidas por F . Llamaremos ν1 a la frecuencia percibida por
O en caso de que no haya viento, y ν2 a la que percibe en el caso de que haya un viento de velocidad constante que
sople desde la fuente al observador. Entonces:
× ν1 = ν2
;
ν1 > ν2
;
ν1 < ν2
26. Dos sistemas de referencia se desplazan inercialmente tal como muestra la figura. Ambos sistemas ponen en marcha
sus relojes (t = t = 0) cuando sus orı́genes, O y O , coinciden. ¿Cuál es la transformación relativista correcta entre
ambos sistemas?
X’
Y
y
1
Y’
√
× x=
(x
+
vt
)
−
V
2
v
2
x=
x=
2(1− c2 )
O’ ’
1
2
1− v2
(x + vt )
1
2
1− v2
(x + vt ) − y c
45º
X
O
c
27. Un túnel y un tren tienen longitudes propias L y 4L respectivamente. ¿Cuál debe ser la celeridad mı́nima con que
el tren debe atravesar el túnel para que un observador ligado al túnel pueda asegurar que el tren cupo ı́ntegramente
dentro del túnel?
√
√
√
c 3/2 ;
2c 2/3 ; × c 15/4
√
28. Una partı́cula cuántica se encuentra en el estado normalizado ψ(x) = c1 α1 (x) + c2 α2 (x), siendo |c1 | = 1/ 2, donde
α1 (x) y α2 (x) son las funciones propias del operador Â, con valores propios 1 y 2 respectivamente. ¿Cuál es la
dispersión de los resultados de la medida de A en ψ(x)?
√
3
4
;
√
2
3
×
;
1
2
29. Sean f1A (x) y f1B (x) dos autofunciones con autovalores a1 y b1 , de los operadores  y B̂ asociados a las magnitudes A y
B, respectivamente. Una partı́cula se encuentra en el estado definido por la función de onda: f (x) = αf1A (x)+ βf1B (x).
En general, ¿puedo afirmar que la probabilidad de que al medir A obtenga el valor a1 es |α|2 ?
2
2
Sı́, siempre que |α| + |β| = 1
;
× No ;
2
2
Sı́, aunque |α| + |β| = 1
30. En el instante t = 0 una partı́cula cuántica tiene la función de onda ψ(x, 0) = f1A (x), siendo f1A (x) una autofunción
del operador  que representa a una magnitud fı́sica A (arbitraria). Sea a1 el autovalor asociado a f1A (x), y sea P la
probabilidad de obtener a1 al medir A en el instante t = τ . Entre el instante t = 0 y t = τ no se ha realizado ninguna
medida sobre la partı́cula. Entonces, en general:
P vale 1.
P es una constante (independiente de τ ), pero no tiene por qué valer 1.
× P es una función (no constante) de τ .