2.8 Integración por cambio de variable

INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Propósitos




Identificar las operaciones algebraicas que convierten una integral a una
forma inmediata (cambio de variable).
Utilizar las tablas de integrales inmediatas para cambio de variable.
Identificar las transformaciones algebraicas pertinentes para convertir una
integral a una forma inmediata.
Mejorar el desempeño algebraico, a través de la resolución de ejercicios de
integración.
Dentro de los distintos métodos para encontrar la integral de ciertas
funciones, está el método de cambio de variable, también conocido como método
de sustitución.
Conceptos clave:
Si
 f ( x)dx  F ( x)  C , entonces  f ( g ( x)) g '( x)dx  F ( g ( x))  C
25. Aplicando la regla de la cadena la derivada de F ( g ( x))  C y ya que
F' f :
a) F '( g ( x)) g '( x)  f ( g ( x)) g '( x)
La fórmula de integración por tanto
b)
 f ( g ( x)) g '( x)dx  F ( g ( x))  C
26. Si u  g ( x) , derivando con respecto a x ,
du
 g '( x) , obteniendo la
dx
diferencial du  g '( x)dx y sustituyendo en la fórmula de integración b), tenemos:
 f ( g ( x)) g '( x)dx   f (u )du  F (u )  C  F ( g ( x))  C
La integral se obtiene con la formula ya antes vista
1
 f (u )du   u du  r  1 u
r
2-20
r 1
C
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
Sugerencias para quien imparte el curso
Hacer algunos ejemplos con los alumnos, planteándoles algunas
preguntas para que ellos mismos respondan.
Ejemplo 1
Obtener
(𝑥 4 − 3) 𝑥 3 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥 4 − 3; 𝑑𝑢 = 𝑔′ (𝑥) = 4𝑥 3 𝑑𝑥
Cambiando la variable en la integral:
1
4
𝑢 𝑑𝑢 =
1 1
4 2
𝑢2 + 𝐶
(Multiplicando y dividiendo entre cuatro)
Ya que 𝑢 = 𝑥 4 − 3, finalmente se obtiene
1
8
𝑥4 − 3
2
+𝐶
Ejemplo 2
Obtener
𝑥 2 + 1 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 1; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥
Cambiando la variable en la integral:
1
2
1
𝑢2 𝑑𝑢 =
1 2
2 3
3
𝑢2 + 𝐶
(Multiplicando y dividiendo entre dos)
1
Ya que 𝑢 = 𝑥 2 + 1, finalmente se obtiene 3 𝑥 2 + 1
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
3
2
+𝐶
2-21
Ejemplo 3
Obtener
𝑑𝑥
3𝑥 + 10
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 10; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 3 𝑑𝑥
Cambiando la variable en la integral:
1 𝑑𝑢
3 𝑢
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la
integral anterior?
1
Como 𝑢 = 3𝑥 + 10, la integral es un logaritmo, se obtiene 3 ln 𝑢 + 𝐶
1
= ln(3𝑥 + 10) + 𝐶
3
Ejemplo 4
Obtener
3
−6𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 2𝑥 3 ; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 6𝑥 2 𝑑𝑥
Cambiando la variable en la integral:
−
𝑒 𝑢 𝑑𝑢
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la
integral anterior?
Como 𝑢 = 2𝑥 3 ;, la integral es −𝑒 𝑢 + 𝐶
3
= −𝑒 2𝑥 + 𝐶
2-22
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
Ejemplo 5
Obtener
𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠5𝑥
𝑢 = 𝑔 𝑥 = cos 5𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 5𝑥 (5) 𝑑𝑥
Cambiando la variable en la integral:
−
1
5
𝑑𝑢
𝑢
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la
integral anterior?
1
1
Como 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠5𝑥; la integral es − 5 ln(cos 𝑢) + 𝐶 = − 5 ln cos 5𝑥 + 𝐶
Ejemplo 6
Obtener
sec⁡
(4𝑥 + 9) 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 4𝑥 + 9; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 4 𝑑𝑥
Cambiando la variable en la integral:
1
4
sec 𝑢 𝑑𝑢
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la
integral anterior?
La integral es
1
1
ln(sec 𝑢 + tan 𝑢) + 𝐶 = 4 ln sec (4𝑥 + 9) + tan(4𝑥 + 9) +𝐶
4
Ejemplo 7
Obtener
− csc 2 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥
Se puede resolver de dos formas, veamos la primera de ellas.
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
2-23
𝑢 = 𝑔 𝑥 = −cot 𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥
Cambiando la variable en la integral:
−
𝑢𝑑𝑢
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la
integral anterior?
1
1
Como 𝑢 = − cot 𝑥; la integral es − 2 𝑢2 + 𝐶 = − 2 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 𝐶
Ejemplo 8
Obtener
3𝑥 2 cos⁡
(𝑥 3 + 2𝑥 2 )𝑑𝑥 −
4𝑥 cos⁡
( 𝑥 3 + 2𝑥 2 )𝑑𝑥
Agrupando términos
(3𝑥 2 + 4𝑥) cos⁡
(𝑥 3 + 2𝑥 2 )𝑑𝑥
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 ; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = (3𝑥 2 + 4𝑥) 𝑑𝑥
Cambiando la variable en la integral:
cos 𝑢 𝑑𝑢
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la
integral anterior?
La integral es 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 3 + 2𝑥 2 ) + 𝐶
Mediante el método de cambio de variable o sustitución es posible que
algunas integrales se vuelvan inmediatas.
2-24
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
Conceptos clave:
Para integrales exponenciales y logarítmicas:
27.

du
 ln u  C
u
28.  eu du  eu  C

29. a u du 
au
C
ln a
Para las funciones trigonométricas, donde u es función de x , u  g ( x)
30.  senudu   cos u  C ,
35.  csc udu  ln csc u  cot u  C
31.  cos udu senu  C
36.
32.  tan udu   ln cos u  C  ln sec u  C
33.  cot udu  ln senu  C
34.  sec udu  ln sec u  tan u  C
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
 sec udu  tan u  C
37.  csc udu   cot u  C
38.  sec u tan udu  sec u  C ,
39.  csc u cot udu   csc u  C
2
2
2-25
Ejercicios
Obtener las integrales por cambio de variable. En algunos casos
tendrás que hacer alguna simplificación algebraica.
1.
𝑥2 4𝑥3 − 9 𝑑𝑥
2. (3𝑥 + 6)
3.
4.
2-26
3
2
𝑥 2 + 6𝑥 𝑑𝑥
5.
𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 3 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 3 𝑑𝑥
6.
−7𝑥 −2 cos 7𝑥 −1 + 𝑥 𝑑𝑥 + cos 7𝑥 −1 + 𝑥 𝑑𝑥
7.
64𝑥 4𝑑𝑥 + 2𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
8.
𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 1) 5𝑥 3 + 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
3
𝑒 4𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥
Unidad 2 La Integral como Antiderivada