Una experiencia de construcción de triángulos con

Título: UNA EXPERIENCIA DE CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS CON GEOGEBRA EN UNA
ESCUELA DE GESTIÓN ESTATAL.
Autores: ARBEZ CHALABE, Martin- ROMANENGHI, Eric
Profesoras: DELGADO PIÑOL, Érika - ESTELEY, Cristina - LOSANO, Leticia - VILLARREAL, Mónica
- VIOLA, Fernanda.
Carrera: Profesorado en Matemática.
Fecha: 21 – 11 – 2013.
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CLASIFICACIÓN:
97 Mathematical Education
PALABRAS CLAVES:
Geometría, GeoGebra, Tecnología
RESUMEN:
En el presente informe se describirán las prácticas realizadas en una escuela secundaria de la
ciudad de Córdoba. Dichas prácticas se desarrollaron en dos divisiones de primer año.
Se trabajó con conceptos básicos de Geometría desde la noción de lugar geométrico,
utilizando las construcciones geométricas como medio para introducir propiedades de los
objetos, que a su vez permitieran la deducción y descubrimiento de nuevas propiedades.
Para lograr el objetivo anteriormente propuesto, se trabajó con un software específico
(GeoGebra) que posibilita una mirada dinámica de la Geometría.
Por último, se abordó desde un punto de vista teórico la incidencia de las nuevas tecnologías
en la enseñanza de la Geometría.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
FACULTAD DE MATEMATICA ASTRONOMIA Y FISICA
METODOLOGIA Y PRÁCTICA DE LA ENSEÑANZA
Una experiencia de construcción de triángulos con GeoGebra en
una escuela de gestión estatal.
Arbez Chalabe, Martin
Romanenghi, Eric F.
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Universidad Nacional de Córdoba
Facultad de Matemática, Astronomía y Física
INDICE
1. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................6
1.1. La institución .......................................................................................................................7
1.2. Los cursos.............................................................................................................................9
2. DISEÑO DE LA PRÁCTICA E IMPLEMENTACIÓN EN AULA.............................................................13
2.1. Planificación de la profesora..............................................................................................13
2.2. Planificación ......................................................................................................................15
2.2.1. Objetivos y metas..........................................................................................................16
2.2.2. Selección y secuenciación de contenidos......................................................................16
2.2.3. Selección de materiales y recursos................................................................................17
2.3. De lo planificado a lo implementado..................................................................................18
2.4. Descripción de las clases ....................................................................................................19
2.4.1. Clase 1 ...........................................................................................................................19
2.4.2. Clase 2............................................................................................................................22
2.4.3. Clase 3............................................................................................................................26
2.4.4. Clase 4............................................................................................................................29
2.4.5. Clase 5............................................................................................................................33
2.4.6. Clase 6 ...........................................................................................................................34
2.4.7. Clase 7............................................................................................................................35
2.4.8. Clase 8............................................................................................................................36
3. EVALUACIÓN...............................................................................................................................38
3.1. Objetivos de las actividades...............................................................................................41
3.1. Criterios de evaluación.......................................................................................................41
3.2. Resultados..........................................................................................................................42
3.2.1. Método de construcción de las estadísticas..................................................................42
3.3. Conclusiones.......................................................................................................................46
4. ANÁLISIS DE UNA PROBLEMÁTICA..............................................................................................48
5. REFLEXIONES FINALES.................................................................................................................61
6. Bibliografia .................................................................................................................................62
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7. Anexo A: Métodos de cálculo de las estadísticas........................................................................63
8. Anexo B: Material elaborado por los practicantes......................................................................65
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1.
INTRODUCCIÓN
A largo de este informe se describirá la experiencia de práctica docente realizada por los
estudiantes de la Universidad Nacional de Córdoba, Eric Romanenghi y Martín Arbez Chalabe. Esta
actividad se enmarca en la materia Metodología, Observación y Práctica de la Enseñanza (MOPE)
del cuarto año del Profesorado de Matemática en la Facultad de Matemática Astronomía y Física.
Esta materia se presenta como un espacio de formación que apunta al desarrollo de un futuro
docente que lleve a cabo sus actividades de forma conjunta con pares y que pueda reflexionar
sobre el papel sociocultural de su tarea.
Los objetivos generales son:
• Reconocer y aplicar críticamente los diseños curriculares del Ciclo Básico y del Ciclo
Orientado del nivel secundario del área matemática vigentes en la Provincia de Córdoba como
herramientas de la práctica profesional.
• Comprender los principios básicos de la planificación de la enseñanza y aplicarlos tanto
para una clase como para una unidad.
• Planificar y diseñar actividades para la enseñanza de un saber fundamentadas en
desarrollos teóricos y tendencias actuales de la educación matemática.
• Analizar la presencia y ubicación del contenido a enseñar en el Diseño Curricular y en
las propuestas editoriales.
• Implementar prácticas en aulas de nivel secundario o superior.
• Evaluar, validar y reflexionar críticamente las prácticas realizadas en aula, considerando
las etapas de la práctica docente, las dificultades encontradas, los problemas y soluciones
propuestas, la valoración personal de su propia experiencia.
Principalmente se espera que este informe de cuenta del cumplimiento de dichos
objetivos. Por otro lado, existe la expectativa de que sea de utilidad para otros docentes o futuros
docentes, entendiendo la importancia de compartir experiencias, comunicarse y trabajar con
otros. Se debe tomar en cuenta que durante toda la producción de este informe el mismo ha sido
tomado como un espacio de reflexión personal de los involucrados en torno a sus prácticas, un
lugar donde se pueda llevar al papel lo vivido. Asimismo, se espera obtener algunas conclusiones
que sirvan para futuras prácticas.
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La práctica se da en el ámbito del nivel secundario y cuenta con el acompañamiento
tanto de la docente de los cursos en donde se realizan las prácticas como de la docente
supervisora a lo largo de todo el proceso. Todas las decisiones fueron consensuadas y tomadas en
conjunto.
En una primera instancia se realizó una actividad exploratoria y de reconocimiento, tanto
de la institución como de los cursos específicos en los cuales se realizaría la práctica. Esto incluyó
una serie de observaciones de aproximadamente 7 clases de los dos cursos seleccionados donde
se indagó sobre las particularidades, metodologías, costumbres y características de los mismos.
Para ello se consideraron tanto las clases de matemáticas como las actitudes (relaciones) de los
alumnos en otras materias y en relación a otros profesores (materias), realizándose una
observación de día completo en cada curso. Toda esta información recolectada se presentará más
adelante. Luego se procedió a la realización de una planificación teniendo en cuenta el diseño
curricular, las posibilidades de la institución, la planificación de la profesora y las características de
los cursos. Durante la práctica docente, se ajustó constantemente esta planificación. El dictado de
clases, de aproximadamente un mes, incluyó un práctico evaluable y su posterior corrección y
devolución.
1.1. La institución
Las prácticas docentes se realizaron en un Instituto Provincial de Enseñanza Media de
gestión estatal, ubicado en un barrio de clase media próximo a la Ciudad Universitaria. En general,
la procedencia de los alumnos es de barrio aledaños de la zona sur de la ciudad y en menor
cantidad del mismo barrio. Las orientaciones del ciclo orientado son Ciencias Naturales y
Comunicación. En particular, la escuela tiene un convenio con la Escuela de la Ciencias de la
Información. Asimismo, cuenta con diversos planes nacionales y provinciales, por ejemplo el plan
Conectar Igualdad.
El instituto comparte edificio y horario con el nivel primario, tanto en turno mañana
como turno tarde. Además, a la noche funciona un CENMA.
El edificio tiene dos pisos. El nivel secundario está ubicado en la planta baja, en la cual las
aulas están distribuidas en torno a un patio interno. El nivel primario se ubica en el primer piso y el
nivel inicial se encuentra en un edificio separado por el patio externo, con ingreso por la calle
posterior. Cabe aclarar que no hay comunicación física entre ambos edificios.
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La institución cuenta con un comedor, aunque su uso no es intensivo, y una cantina que
abre durante los recreos. Además, posee un patio al cual acceden los estudiantes de los distintos
niveles. Al comienzo de las observaciones estaban sincronizados los recreos de tal forma que el
patio se compartía en simultáneo entre el nivel primario y el secundario, pero esto se modificó
antes de comenzar las prácticas, teniendo horarios de recreo diferenciados por nivel.
Dispone de un espacio en el cual coexisten una biblioteca sin sala de lectura, una librería
y el laboratorio de computación. Años anteriores este último espacio contaba con una pequeña
cantidad de ordenadores de escritorio y un jefe de laboratorio, pero con la llegada de las netbooks
de un plan provincial pasó a ser solamente un lugar de almacenamiento y de reparación de las
mismas.
Cuenta con una preceptoría exclusiva para uso del secundario, en la cual hay tres
preceptores que se encargan de todos los cursos. En este lugar se encuentran algunas
herramientas tanto para docentes como para alumnos (fibrones, borradores, reglas, compases,
elementos geométricos para el pizarrón).
La sala de profesores es sencilla, cuenta con una mesa grande, sillas y una máquina para
tomar café, además de una cartelera para anuncios. Otra área importante a considerar es la
dirección. Este espacio posee tres salas intercomunicadas en las cuales se distribuyen la dirección
del primario, la dirección del nivel secundario y la secretaría.
Las aulas, en general, comparten las mismas características. Están equipadas con pizarra
de fibrón y algún pequeño espacio para el uso de tiza. Hay varias ventanas (algunas dan al interior
y otras al exterior de la escuela), cuentan con una buena iluminación y ventiladores. Hay pocas
tomas de corriente y están ubicadas juntas, lo cual dificulta el uso de tecnología; por ejemplo, si
fuese necesario recargar la batería de varias notebooks esto sería una dificultad. No posee
sistema de calefacción. Los bancos son de movilidad libre (para 1 ó 2 personas) mirando a la
pizarra y están dispuestos en 3 ó 4 filas con el suficiente espacio para una buena circulación. La
normativa escolar dice que los alumnos deben ubicarse de acuerdo a un esquema de lugares
preestablecido dentro del aula, el criterio es puramente disciplinario y se prioriza sentar juntos
alumnos de distinto sexo. Este orden no es siempre respetado y el control depende
principalmente del profesor.
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1.2. Los cursos
A lo largo de las visitas al aula realizadas en una primera etapa, se obtuvo información
sobre los cursos con los cuales trabajaríamos en las prácticas. A través de estas observaciones, se
logró hacer una caracterización del curso tomando en cuenta las variables que consideramos más
importantes e influyentes para nuestra posterior actividad, como por ejemplo los materiales y
recursos usados en clases, el estilo de enseñanza de la docente, la forma de trabajo de los
alumnos, el uso del tiempo en la clase, y tradiciones o costumbres presentes tanto en la clase de
matemáticas, así también como en otras materias.
Las prácticas se realizaron en dos divisiones de 1º año, turno mañana, con una carga
horaria semanal de 5 horas cátedra.
El curso 1º A tiene los siguientes horarios:
Horas
7:30 a 8:10
8:10 a 8:50
Recreo
9:00 a 9:40
9:40 a 10:20
Recreo
10:30 a 11:10
11:10 a 11:50
Recreo
11:55 a 12:30
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Matemática
Matemática
Viernes
Matemática
Matemática
Matemática
De los 33 alumnos que formaban el curso, había 17 varones y 16 mujeres. El nivel de
concurrencia era de aproximadamente 26/27 alumnos por clase; esto se mantuvo durante todo el
desarrollo de las prácticas. En cuanto a la disposición en el curso, cada alumno tenía asignado un
compañero del sexo opuesto para compartir un banco doble y siempre en el mismo lugar del aula.
En algunas ocasiones, y por decisión de la profesora, los chicos podían armar grupos para trabajar
según su criterio, lo cual resultaba en grupos de 2 a 4 compañeros del mismo sexo.
En la hora de matemática, el material que debían disponer los alumnos todas las clases
era el libro Aprender Matemática 7, que se trata de una obra teórico-práctica en la cual se
apoyaba prácticamente toda la organización de la clase. De esta forma, la introducción teórica era
a través del libro o de parte de la profesora, aunque siempre ésta se encontraba en el libro, como
así también los ejercicios y actividades. Por más que este material era de suma importancia, no
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todos los chicos lo llevaban, por lo cual debían copiar los ejercicios en su carpeta o trabajar con un
compañero. Como instrumento auxiliar se hacía uso de la calculadora, así también en el examen;
en general se usaba la que viene incorporada en el celular. En todos los espacios de la institución
se podía acceder a internet vía conexión inalámbrica provista por la escuela o de una buena señal
que provenía de una empresa pública.
El uso del pizarrón era habitual por parte de la profesora y en algunos casos por parte de
los alumnos. Allí se exponían y se analizaban los temas teóricos, y se utilizaba para resolver los
ejercicios, como parte de una corrección. La clase anterior o el día del examen, se utilizaba el
pizarrón para anotar ejercicios y sus resoluciones, las cuales podían se consultar durante el
examen. Un aspecto importante a destacar es que estaba acordado en el aula que no era
necesario copiar nada del pizarrón porque todo estaba en el libro, lo único que podía ser de
utilidad eran las respuestas de algunos problemas.
Los alumnos, en general, mostraban un estilo de trabajo un tanto “ruidoso” y con mucho
movimiento. En un primer momento, parecía una clase participativa ya que siempre alguien
respondía o seguía a la profesora, daba la impresión de un buen diálogo. Pero luego se hizo
evidente que no todo el grupo tenía el mismo nivel ni el mismo ritmo. El curso estaba dividido, no
todos tenían las mismas necesidades pedagógicas ni el mismo nivel de participación. Un pequeño
sector de los chicos, con más dificultades, tenían una baja autoestima; frases como “No sé, soy un
burro” eran normales entre ellos. Por otro lado, existía un acuerdo implícito en el cual las cosas
que no se terminaban en clase, los chicos debían traerlas hechas de la casa.
Para un estudio completo del curso se observó un examen. Si era posible, el día anterior
o en la misma clase, se hacia un repaso con participación de los alumnos y constaba de ejercicios
parecidos a los que se iba a evaluar. La modalidad del examen era la siguiente: una prueba
individual (dos temas), podían tener resúmenes elaborados por ellos o el trabajado en conjunto,
se podía usar calculadora (o en su defecto, la herramienta calculadora del celular). En general,
había mucho movimiento y en algunos momentos los alumnos se mostraban desconcentrados en
su labor.
Por último, se observó una clase de Lengua, en la cual se apreció una dinámica similar.
Sin embargo, los alumnos se mostraron más participativos en algunos espacios, principalmente en
las correcciones que se realizaban de las actividades trabajadas y haciendo uso del pizarrón.
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El curso 1º B tiene el siguiente horario:
Horas
7:30 a 8:10
8:10 a 8:50
Recreo
9:00 a 9:40
9:40 a 10:20
Recreo
10:30 a 11:10
11:10 a 11:50
Recreo
11:55 a 12:30
Lunes
Martes
Miércoles
Matemática
Matemática
Jueves
Viernes
Matemática
Matemática
Matemática
De los 27 alumnos que formaban el curso, 16 mujeres y 11 varones. El nivel de
concurrencia era de aproximadamente 22 alumnos. Esta situación fue irregular durante el
desarrollo de las prácticas, hubo días en los cuales la asistencia era menor.
Al igual que en 1° A, cada alumno tenía asignado un compañero del sexo opuesto para
compartir un banco doble (cuando esto era posible, al haber más mujeres que varones, había
varios grupos de dos mujeres) y siempre en el mismo lugar del aula. En ocasiones, los alumnos se
cambiaban de lugar y era responsabilidad de la docente a cargo del curso si los ubicaba
nuevamente en los lugares prefijados. Un aspecto común con el otro curso, era que los alumnos
podían armar los grupos para trabajar cuando la profesora así lo disponía.
El material utilizado en la clase de Matemática era el mismo que el utilizado en 1° A, y la
profesora trabaja con una modalidad similar. En este curso, también ocurría que varios
estudiantes se olvidaban el libro y debían copiar las actividades en su carpeta. A su vez, el uso de
calculadora y/o celulares con calculadora también estaba permitido en este curso.
La forma de trabajo de la profesora era similar en ambos cursos. Sin embargo, la
relación de la docente con los alumnos era muy distinta, por lo cual se generaban ambientes muy
diferentes.
En la primera clase que observamos en 1° B, la profesora en varias oportunidades
recurrió al libro de seguimientos para anotar a alumnos, el cual servía de advertencia de los
alumnos previa a una futura amonestación. La segunda clase, mandó a llamar los padres de un
alumno, sacó a algunos alumnos fuera del aula, e incluso a uno lo mandó a la dirección. Esto no
ocurría de la misma manera en 1° A. Si bien el comportamiento de algunos alumnos de 1° B
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mejoraba en las otras materias, aquellos que presentaron problemas de disciplina en la hora de
Matemática, tenían una actitud similar en las otras materias. De hecho, dos de ellos fueron
suspendidos en el transcurso de las prácticas. Sin embargo, cabe destacar que al realizar la
observación de día completo, en el cual se observaron clases de lengua e inglés, se dedujo que los
alumnos respondían generalmente mejor en las materias en las cuales las docentes les daban más
participación. Es de destacar que a diferencia de 1° A, la evaluación en 1° B se desarrolló en un
clima de orden; los chicos no hablaban tanto entre ellos, y cuando la profesora les llamaba la
atención, le obedecían.
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2.
DISEÑO DE LA PRÁCTICA E IMPLEMENTACIÓN EN AULA
2.1. Planificación de la profesora
La planificación anual de la profesora está organizada en los siguientes ejes temáticos:
Desarrollo de los ejes temáticos:
Eje Nº 01: “NÚMEROS NATURALES”
El orden de la recta. Sistema de numeración. Operaciones con números naturales:
adición, sustracción, multiplicación, división. Propiedades. Cálculos con operaciones combinadas.
Métodos de resolución de problemas. Lenguaje simbólico, lenguaje coloquial. Ecuaciones.
Problemas.
Eje Nº 02: “NÚMEROS ENTEROS”
El conjunto de los números enteros. Representación grafica. Modulo o valor absoluto.
Propiedades del conjunto de números enteros. Operaciones: adición, sustracción, multiplicación y
división. Propiedades de las operaciones. Factor común. Expresiones algebraicas. Ecuaciones,
inecuaciones. Problemas.
Eje Nº 03: “POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS”
Potenciación, regla de los signos. Radicación, regla de los signos. Divisibilidad. Múltiplo
común menor y divisor común mayor.
Eje Nº04: “GEOMETRÍA”
Conceptos básicos. Punto, recta y plano. Posiciones de la recta en el plano. Semirrecta,
segmento y ángulo. Sistema sexagesimal. Figuras convexas y cóncavas. Ángulo: clasificación de
ángulos y sus propiedades. Mediatriz de un segmento. Bisectriz de un ángulo. Ángulos
determinados por dos rectas cortadas por una transversal. Propiedades.
Eje Nº05: “NÚMEROS RACIONALES”
Fracciones. Expresión decimal de una fracción. Fracciones decimales. Números
racionales: representación en la recta numérica. Fracciones equivalentes. Orden en Q. Operaciones
con fracciones y decimales. Porcentaje. Problemas.
Eje Nº06: “FIGURAS PLANAS: POLÍGONOS: TRIÁNGULOS”
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Figuras planas: cóncavas y convexas. Polígonos. Triángulos: clasificación. Propiedades de
los ángulos de los lados de un triángulo. Perímetro de una figura.
Eje Nº07: “ESTADÍSTICA”
Introducción a la estadística: gráficos cartesianos. Elementos estadísticos: población,
muestra, variable y frecuencia. Representación gráfica: diagrama de barra, diagrama circular,
pictograma. Interpretación de gráficos. Promedio o media aritmética. Moda.
Bibliografía:
Aprendamos Matemática 7. Segunda Edición. Liliana Ferraris y Marcela Tasso. Editorial
Comunicarte.
Sugerida o de consulta:
*Carpeta de Matemática 7
* Matemática en Red 7
*Matemática 7 Editorial A-Z
*Matemática 7 Editorial Santillana
*Matemática 7 Editorial Tinta Fresca
Y todos los libros de Matemática 7, C.B.U.
Como un breve análisis de la planificación presentada por la docente, se puede destacar:
- Los contenidos seleccionados no se corresponden del todo con el nuevo diseño
curricular para nivel secundario de la provincia de Córdoba. Sin embargo, guarda relación con los
contenidos propuestos en el diseño curricular provincial para el Ciclo Básico Unificado (1995).
- La organización de los contenidos está dada por ejes temáticos. Respecto a la
secuenciación, se puede decir que se respeta el orden temático del libro de texto Aprendamos
Matemática 7. Se puede inferir, entonces, que el criterio de secuenciación es el presentado en el
libro que, a su vez, se enmarca en la propuesta curricular mencionada en el punto anterior.
- No está contemplado a priori en la planificación, el uso de las nuevas tecnologías.
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A partir de las conversaciones con la docente, quien propuso la posibilidad de trabajar
con el eje Nº 3 o el Nº 4, se decidió trabajar con el eje de Geometría en el desarrollo de las
prácticas.
2.2. Planificación
En la planificación diseñada para las prácticas se parte de una visión de la Geometría que
difiere del enfoque axiomático de Euclides, pues se piensan los objetos geométricos desde sus
propiedades y se hará foco en las relaciones entre los mismos. En este contexto, cobra relevancia
el concepto de construcción geométrica, no tanto como procedimiento mecánico, sino más bien
“...acudiendo a argumentos deductivos, según ciertas condiciones y propiedades (de los objetos
geométricos) puestas en juego, reconociendo el límite de las pruebas empíricas” (Diseño curricular
de la Provincia de Córdoba, Tomo 2, pág. 37).
Se considera el “saber geometría” como “inferir, a partir de los datos y con el apoyo de
las propiedades, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a establecer el carácter
necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación” (Sadovsky y otros,
1998, en Itzcovich, 2005, pág. 12).
Por esto, se da importancia al concepto de lugar geométrico, pues es una forma de
introducir diversos objetos geométricos de una forma constructiva al ser definidos éstos por sus
propiedades, y no a la inversa.
La metodología utilizada para trabajar es la modalidad de trabajo en grupos de a dos,
dando importancia al diálogo entre los estudiantes, pues al tratarse de alumnos de primer año es
probable que tengan una apertura mayor en un grupo reducido que, por ejemplo, al frente de
todos sus compañeros. A su vez, a la hora de trabajar desde las construcciones geométricas, es
importante la discusión y el análisis en grupo, principalmente porque es la primera vez que se
enfrentarán a actividades como esa. Otro motivo por el cual se elige el trabajo en grupo, es porque
la clase de matemática no es solo un espacio para enseñar/aprender conceptos matemáticos, sino
que es un espacio para hacer matemáticas, para presentar el trabajo del matemático, y es en este
contexto que el trabajo en grupo es importante, pues el trabajo del matemático es
fundamentalmente colectivo.
Otro aspecto importante a destacar dentro de la metodología de trabajo es el uso de
software matemático, en particular Geogebra.
El mismo es una herramienta que permite un
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abordaje exploratorio de la Geometría. A través de uso, se puede realizar una mirada más
dinámica de los objetos geométricos. A su vez, provee una manera de interactuar con mayor
fluidez tanto con las construcciones como con los objetos geométricos en sí mismos, posibilitando
el descubrimiento y desarrollo de ideas, que sería más difícil lograr de otra manera. Esta visión
está respaldada por el Diseño Curricular ya que, entre los objetivos propuestos para primer año,
se encuentra “Producir y analizar construcciones geométricas - utilizando cuando sea posible
software geométrico- acudiendo a argumentos deductivos, según ciertas condiciones y
propiedades puestas en juego, reconociendo el límite de las pruebas empíricas.” (pág. 37)
Por último, siguiendo a Itzcovich (2005, pág. 48), se considerará la “práctica geométrica
aquella que contemple la puesta en juego de las propiedades de los objetos geométricos, la
interacción con objetos que ya no pertenecen al espacio físico, sino a un espacio conceptualizado
en el cual las figuras/dibujos trazadas por el sujeto son solo representaciones y la producción de
argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de las figuras como medio de validación”.
2.2.1. Objetivos y metas
-Recurrir al uso del lenguaje geométrico para generalizar propiedades geométricas.
-Producir y analizar construcciones geométricas - utilizando cuando sea posible software
geométrico- acudiendo a argumentos deductivos, según ciertas condiciones y propiedades puestas
en juego, reconociendo el límite de las pruebas empíricas.
-Interpretar/conocer cuáles son las partes de una figura.
-Emplear y explicitar las propiedades de figuras geométricas en la resolución de
problemas.
-Producir y validar enunciados sobre relaciones geométricas, sin recurrir a la
constatación empírica.
2.2.2. Selección y secuenciación de contenidos
En un primer momento se eligió para desarrollar durante las prácticas, el eje temático N°
4 (Geometría) presentado en la planificación de la docente. Sin embargo, al momento de definir
los contenidos a trabajar, se decidió seleccionar algunos temas de esta unidad, y otros del eje
temático N° 6 (Figuras planas: Polígonos: Triángulos). Esta decisión atiende a la perspectiva
propuesta por el nuevo diseño curricular y responde también a la planificación anual de la
docente del curso. A fin de cumplir con los objetivos propuestos, era necesario combinar temas de
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ambas unidades. A continuación, se muestra la selección y secuenciación de los contenidos
propuesta inicialmente1:
*(1° clase) Producción de argumentaciones con base en propiedades para determinar
condiciones referidas a distancias que deben cumplir los puntos. Justificar construcciones de
circunferencias y círculos como lugares geométricos.
*(2° Clase) Análisis de figuras bidimensionales (triángulos) para caracterizarlas y
clasificarlas. Producción de argumentaciones con base en propiedades para determinar
condiciones sobre lados que permitan justificar construcciones (con instrumentos geométricos) de
triángulos. Uso de instrumentos de geometría y programas graficadores (GeoGebra) para la
construcción de triángulos a partir de informaciones.
*(3° Clase) Producción de argumentaciones acerca de validez de la propiedad triangular.
*(4° Clase) Análisis reflexivo de procedimientos utilizados para construir triángulos a
partir de diferentes informaciones (propiedades y medidas) y evaluando la adecuación del
triángulo obtenido a la información dada. Resolución de problemas utilizando GeoGebra.
*(5° Clase) Producción de argumentaciones con base en propiedades para determinar
condiciones sobre ángulos que permitan justificar construcciones (con instrumentos geométricos)
de triángulos. Ángulo: clasificación de ángulos y sus propiedades. Suma de los ángulos interiores
de un triángulo.
*(6° Clase) Producción de argumentaciones con base en propiedades para determinar
condiciones que deben cumplir los puntos referidas a distancias y justificar construcciones de
mediatrices y bisectrices como lugares geométricos.
*(7° Clase) Producción de argumentaciones con base en propiedades para justificar
construcciones de rectas paralelas usando la noción de lugar geométrico. Posiciones de la recta en
el plano.
2.2.3. Selección de materiales y recursos
Para el trabajo en clase se diseñaron guías de estudio que eran presentadas clase a clase.
Para la elaboración de este material de estudio se utilizó como base la unidad de Geometría del
Cabe aclarar que varias de las actividades propuestas inicialmente en relación a estos contenidos, no fueron finalmente
implementadas.
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libro “Matemática 7” de Horacio Itzcovich.
A su vez, se utilizaron computadoras con el programa GeoGebra para el desarrollo de las
actividades. En algunas clases, también se recurrió al uso de la regla y el compás.
2.3. De lo planificado a lo implementado
En el desarrollo de la práctica docente, se trabajaron los siguientes contenidos y
actividades2:
Curso 1º A y 1º B
Fecha
Clase 1
Clase 2
Clase 3
Clase 4
Clase 5
Clase 6
Clase 7
Clase 8
2
Contenidos trabajados
Presentación.
Noción de esquema, representación gráfica,
escala.
Círculo y circunferencia, definición, elementos.
Actividades desarrolladas
Se reflexionó sobre la historia de
la Geometría. Se realizó la
actividad 1 (ítems a, b y c).
Construcciones con regla y
compás.
Círculo y circunferencia, definición, elementos.
Se realizó la actividad 2. Se
Punto,
recta,
semirrecta,
segmento: introdujo
el
trabajo
con
propiedades, notación.
Geogebra.
Ángulos: definición.
Triángulos: definición, elementos.
Se realizó la actividad 3 a,b,c. Se
Construcción de triángulo dados dos de sus trabajó con computadora. Se
lados.
trabajó con la definición de
triángulo.
Construcción de triángulo dados tres de sus Se realizó la actividad 3 d,f y se
lados.
trabajó con la definición de
Noción de igualdad de triángulos.
igualdad
de
triángulos.
Construcciones con regla y
compás.
Clasificación de triángulos según sus lados.
Práctico evaluable
Desigualdad triangular.
Devolución de actividades de
práctico evaluable.
Ángulos: definición, notación, clasificación Se trabajó con la clasificación de
según su amplitud. Ángulos complementarios y ángulos. Actividad 4 a. Se
suplementarios.
presentó la clasificación de
Construcción de triángulos dados dos lados y un triángulos según sus ángulos. Se
ángulo.
utilizó computadora.
Clasificación de triángulos según sus ángulos.
Construcción de triángulos dados un lado y dos Actividad 4 b,c. Se utilizó
ángulos.
computadora. Se realizó una
Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
discusión a modo de conclusión
Las actividades se muestran en detalle en las guías presentadas en Anexo B, pág. 65
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Cantidad de soluciones posibles dependiendo sobre lo trabajado a lo largo de
de cantidad y tipo de datos.
las prácticas.
2.4. Descripción de las clases
A continuación, se presentan las clases efectivamente desarrolladas, con una descripción
y un trabajo de reflexión de las mismas. Se decidió presentar por número de clase
(independientemente de la fecha) para poder realizar un análisis comparativo de lo registrado en
ambos cursos. A fin de ejemplificar algunos análisis, se presentan algunas intervenciones 3 y
producciones realizadas por los alumnos.
2.4.1. Clase 1
La duración de esta clase fue de 80 minutos. Los objetivos propuestos fueron introducir
la forma de trabajo en Geometría y empezar a trabajar las primeras nociones geométricas. Los
conceptos a trabajar fueron circunferencia y sus elementos, y diferenciación entre círculo y
circunferencia. Los materiales utilizados para esta clase fueron regla, compás y la guía de trabajo.
Para comenzar, se presentó a los practicantes que iban a dar las clases, la profesora
titular que observaría, y a la profesora supervisora. A su vez, se presentó la modalidad de trabajo
en grupos. Se decidió que los alumnos trabajen de a dos con el compañero sentado a su lado, y
que deberían respetar ese lugar a lo largo de las clases. Esto último no se cumplió estrictamente
en 1° A a lo largo de las prácticas, pues los alumnos en cada clase solían cambiar de lugar.
Para introducir el tema Geometría se realizaron preguntas como:
-¿qué piensan ustedes que es la Geometría?
-¿qué han visto de Geometría?
Esto se realizó oralmente. Se fueron rescatando las respuestas de los alumnos, en
algunos casos registrándolas en el pizarrón. Luego se repartió la guía de trabajo Nº 1, y se procedió
a la lectura entre todos de la introducción. A medida que se avanzaba en la lectura, se hacía
hincapié en algunas palabras que a priori se consideraban difíciles para los alumnos, proponiendo
discusiones en torno a ellas. Por ejemplo, en 1° A surgió una interesante discusión sobre el
concepto de esquema. La primera idea que apareció fue el esquema como mapa conceptual (“un
cuadro con conceptos”), pero luego un alumno sugirió la idea de los planos de una casa como
3
Las intervenciones de los alumnos aparecen entre comillas.
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esquemas (“para hacer una casa hacemos un esquema, primero dibujás y después lo hacés”). Es
decir, la idea de esquema como una representación gráfica de un objeto de la realidad. A su vez,
en esta discusión surgió el concepto de escala
(“una pared de 5 metros, la hago en 10
centímetros”). Cabe aclarar que esto último surgió de parte de los alumnos en 1° A, pero no así en
1° B. Luego se hicieron algunas referencias a la historia de la Geometría, y aparecieron dudas por
parte de los alumnos, la más interesante fue “¿fue grupal o individual que se comenzó a estudiar
la Geometría?”.
A continuación, se leyó la actividad 1.a:
Marcos tiene dos perros en su patio. Cada uno de ellos está atado en una estaca clavada en el
suelo por medio de una soga. La distancia entre ambas estacas es de 5 metros, y la medida de
cada soga es de 3 metros.
a) Realizá un esquema de uno de uno de los perros atado a la estaca, donde muestres qué tan lejos
puede llegar el perro. (Ayuda: podemos representar 1 metro con 1 centímetro.)
Se discutieron algunas dudas que surgieron del enunciado, y luego se trabajó en la
solución del problema. La dinámica del trabajo fue: un alumno voluntariamente pasó a trabajar en
el pizarrón, mientras sus compañeros opinaban sobre lo que éste iba haciendo, proponiendo en
ocasiones ideas distintas. El primer esquema que surgió en ambos cursos fue similar, aunque en 1°
A apareció intuitivamente la noción de escala: marcaron tres segmentos consecutivos de igual
longitud, los cuales representaban los 3 m de la soga (figura 1.1). En el 1° A estaba claro que se
podía representar una estaca con un punto, y que no era necesario dibujar el perro. Por el
contrario, en 1° B, en los primeros esquemas aparecía una estaca vertical, y estaba presente la
necesidad de dibujar el perro. A su vez, fue difícil en este curso trabajar el concepto de escala
(figura 1.2).
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Figura 1.1
Figura 1.2
En un primer momento, un alumno propuso que “las ideas principales” para realizar el
esquema eran “la estaca, la soga y el perro”, aunque, como se ve en la imagen, desaparece la
necesidad de representar el perro, pues el mismo no tiene una ubicación específica.
A continuación, otro alumno propone la idea de representar la situación desde arriba.
En este esquema, la estaca ya es representada por un punto (figura 1.3).
Figura 1.3
A partir del análisis de las distintas representaciones, surgió una discusión sobre los
beneficios y diferencias de cada una en función de la situación a representar. Se llegó a la
conclusión de que con el segundo esquema se “puede ver cómo se mueve el perro”.
Podemos ver que en 1º B apareció un dibujo inicial estático (figura 1.2); sin embargo, al
preguntar en qué lugar podía estar el perro, el alumno dibujó una circunferencia. Para esto se
ayudó con sus brazos como si fuesen un compás. Recién en ese momento surgió la discusión de
que convenía representar la situación desde arriba y la estaca como un punto.
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Una vez terminada esta actividad se retomó desde el material de estudio el concepto de
circunferencia, dentro del cual se abordó el concepto de centro y radio, el concepto de círculo, y
por último la diferencia entre círculo y circunferencia. Las definiciones dadas fueron las siguientes,
apoyadas en la noción de lugar geométrico:
Se denomina circunferencia todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto
dado. Este punto se denomina centro de la circunferencia y la distancia entre el centro y cualquier
otro punto de la circunferencia se llama radio.
Se llama círculo a todos los puntos que están a una distancia menor o igual que el radio del centro
de la circunferencia.
Luego en ambos cursos se leyó la actividad 1.b y se repartieron compases y reglas para
que los chicos trabajaran en grupos de dos.
b) Realizá un esquema similar al anterior, en el cual ahora se incluya a los dos perros.
Mientras los chicos hacían esta tarea, se pasaba por los bancos guiándolos en los casos
que fuera necesario. A continuación, se realizó una puesta en común en la cual pasó un grupo y
entre todos se debatió lo expuesto.
Por último, se propuso una discusión sobre cómo harían para que los perros no pudieran
morderse y las respuestas en general fueron “alejar las estacas” o “hacer más chica la soga”. En el
primer caso se dedujo que las estacas debían alejarse, como mínimo, 6 metros.
2.4.2. Clase 2
La duración de esta clase fue de 120 minutos. Los objetivos fueron introducir la forma de
trabajo con el programa de computadora GeoGebra. Los materiales utilizados fueron
computadoras y la guía elaborada por los practicantes.
Al comienzo de la clase, en ambos cursos, se retomaron de forma oral los conceptos de
la clase pasada (circunferencia, centro de circunferencia, radio, círculo).
Después de esta breve introducción, se continuó con una tabla para completar, que en
un primer momento estaba propuesta para la primera clase. La metodología para esta actividad
fue el diálogo con todos los alumnos y eventualmente algún chico pasaba al frente. Siempre se
intentó poner en foco las propiedades y características de los objetos geométricos, lo cual derivó
en una serie de discusiones que serán explicadas a continuación. En este caso, el pizarrón cumplió
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una función importante ya que en éste se podían plasmar las ideas necesarias para discutir, tanto
por parte del profesor como de los alumnos.
Punto
Recta
Semirrecta
Segmento
Ángulo
Antes de completar la columna del medio con la notación, se introducían preguntas con
las cuales se podían pensar las propiedades de dichos objetos.
A la hora de hablar sobre recta surgieron varias cuestiones interesantes. En un comienzo
se cuestionó la cantidad de puntos que formaban una recta, primero eran cantidades
determinadas “dos, cuatro, un millón” y luego se expandió esta idea cuando pasó un alumno a
dibujarla en el pizarrón. Se obtuvieron comentarios como “no tiene principio ni final”
acompañados de “infinitos puntos”. A pesar de haber sido realizados estos comentarios por
algunos alumnos, fueron discutidos y consensuados por el resto del curso, obteniendo un acuerdo
general en que la recta tenía infinitos puntos y que no poseía ni principio ni fin. Estas definiciones,
si bien no son formales, son las que trabajan desde la escuela primaria. Se apreció que la idea de
infinitud estaba clara respecto a la extensión de la recta, no así en cuanto a la densidad.
En uno de los cursos el practicante completó la recta hasta tocar ambos extremos del
pizarrón y preguntó si la recta seguía, todos respondieron afirmativamente. Entonces, después de
que esta idea estaba clara se podía empezar hablar de la notación donde las flechas  permiten
representar gráficamente la extensión infinita de la recta.
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No era intención de los practicantes avanzar en la formalización de la noción de recta,
sino trabajarla desde sus propiedades. En los dos cursos se continuó entonces con la pregunta
“¿Cuántos rectas pasan por dos puntos?”. El resultado fue prácticamente el mismo, se dibujaban
los dos puntos (A, B) y se hicieron pasar chicos para que dibujaran rectas que pasen por dichos
puntos y los chicos hicieron uso del ancho de los puntos para dibujar varias rectas que los toquen.
No había un consenso con respecto a esta idea en el curso.
Figura 1.4
Para encaminar esta discusión se preguntó qué pasaba si los puntos se hacían cada más
pequeños. Estaba claro que ahora no todas las rectas dibujadas anteriormente cumplirían ahora
con lo pedido. Poco a poco, después de un diálogo, los alumnos volvieron a la idea de esquema y
cómo los puntos, por más grandes que fueran para poder verlos en el pizarrón, representaban un
punto en la recta. Se llegó a la conclusión de que dados dos puntos sólo pasaba una recta por
ellos. A partir de esta propiedad, se pudo hacer la presentación completa de la notación AB .
Con respecto a la semirrecta, segmento, ángulo se produjeron discusiones y diálogos
parecidos. Las definiciones informales a las cuales se arribaron fueron:
La semirrecta se define como una sección de una recta que posee comienzo (origen) pero
no fin y para denotarla se nombra el punto de origen y algún otro punto de la misma.
El segmento es una sección de una recta que posee principio y fin (extremos). Para
nombrarlo, indicamos los puntos extremos del segmento.
El ángulo es la unión de dos semirrectas que poseen el mismo origen. Vamos a nombrarlo
indicando el punto origen de las semirrectas (vértice del ángulo) acompañado por los puntos que
determinan cada una de las semirrectas.
Se realizó además una distinción entre el ángulo y la medida de la amplitud del ángulo.
Luego se repartió una computadora cada dos alumnos y el material preparado para el día
(actividad 2). Se comenzó por prender las netbooks e ingresar al programa GeoGebra. Aquí se
encontró el primer obstáculo, en determinadas computadoras no se podía ingresar al programa ya
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instalado previamente. La solución fue usar una aplicación para Google Chrome de GeoGebra
disponible gracias a que se contaba con internet.
Después se explicó que se resolvería nuevamente el problema de la actividad 1, pero
esta vez utilizando el software. Al ser la primera clase con esta nueva herramienta, el material
estaba organizado para que empezaran a conocer las principales herramientas y lógica del
programa. La metodología elegida fue la de una lectura grupal mientras se completaban la
actividad 1.a. Aquí se hizo visible otra gran dificultad, los alumnos se perdían bastante a la hora de
seguir el material y prestar atención al mismo tiempo. La posibilidad de un proyector hubiese
cambiado posiblemente el desarrollo de las prácticas. Esto desembocó en que se tuvo que
destinar mucho más tiempo en ayudar a cada grupo específico. Se optó por copiar la barra de
herramientas en la pizarra para intentar guiar mejor a los alumnos.
El trabajo continuó con los incisos b y c de la actividad 1, pero esta vez los alumnos
tenían que seguir la guía y eventualmente preguntar las dudas al practicante. Cuando la mayoría
había logrado hacer la construcción, se optó por copiarla en el pizarrón para aquellos alumnos
que les había costado terminarla. Una vez más, se estaba frente al dilema de hacer una revisión
grupal y análisis de una actividad cuyo objetivo era usar el software y su dinamismo, pero
utilizando la rigidez de la pizarra. De aquí en adelante las puestas en común hechas en la pizarra
sobre actividades computacionales hicieron evidente que la imaginación de los chicos era una
exigencia extra.
Por último se les preguntó ¿qué pasaría si nos dicen que las estacas se encuentran a 6 m?
¿Y si nos dicen que se encuentran a 8 m? ¿Cuál serían las soluciones al problema en estos casos?
Mientras respondían se empezó a hacer evidente las facilidades que brindaba el uso de las
netbook. La idea de geometría en movimiento empezaba a aparecer ya que para dar respuestas a
las preguntas, ampliaban el radio de las circunferencias o movían las mismas hasta lograr la
distancia deseada.
Otros aspectos que se pueden destacar en este primer día con la herramienta
computacional es que, en general, el trabajo de los alumnos se vio favorecido al ser grupal. Por
otro lado, implica una gran atención extra del practicante para que los chicos no se distraigan en
otras actividades. Además, existen gran cantidad de variables a las cuales es necesario ajustarse,
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por ejemplo las batería de las netbooks duraba aproximadamente 50-60 minutos por lo cual, al
final de la clase, se resolvió unificar algunos grupos quedando integrados por 4 alumnos.
2.4.3. Clase 3
La duración de esta clase fue de 80 minutos. Los conceptos a trabajar fueron
construcción de triángulo dados dos de sus lados. Los materiales utilizados para esta clase fueron
computadoras con el programa GeoGebra y la guía de trabajo elaborada por los practicantes.
Se comienza la clase leyendo la actividad 3.a de la guía.
Un avión debe ir de la ciudad A a la ciudad B, que se haya a 300 kilómetros, recoger pasajeros,
luego dirigirse hacia la ciudad C, que queda a unos 500 kilómetros de la ciudad B, dejar los
pasajeros, para luego retornar a la ciudad de origen.
Para simplificar el problema, consideraremos que el avión vuela en línea recta.
a) Hagan un esquema representando la situación. Pueden considerar cada ciudad como un punto,
y 100 kilómetros como 1 centímetro.
Se discutieron algunas dudas sobre el enunciado, y los alumnos comenzaron a trabajar
en grupos de a dos, utilizando el programa GeoGebra. Como varios alumnos habían elaborado un
esquema con las tres ciudades alineadas (figura 1.5), y otros en disposición triangular (figura 1.6),
se dibujaron ambos esquemas al frente. Los alumnos aludieron que ambas soluciones eran
correctas, “siempre y cuando se respeten las medidas”.
Figura 1.5
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Figura 1.6
Utilizando estos dos esquemas, se respondió al punto 3.b entre todos.
b) Ese esquema que hicieron, ¿es el único posible? En caso de no serlo, dar otro.
En este punto, se analizó si el esquema realizado es el único posible, por lo cual al ver
que hay dos esquemas bien distintos en el pizarrón, los alumnos rápidamente respondieron que
no.
Luego se comenzó con la discusión de cómo habían arribado al esquema. Lo primero que
todos hicieron fue trazar el segmento AB de 3 cm. Luego, marcaban un punto C cualquiera con
GeoGebra, medían la distancia de C a B, y luego movían C hasta que quedara a 5 cm de B. Al
hacerlo en el pizarrón, se incentivó la discusión acerca de cuáles serían todos los lugares donde
podría estar el punto C. Una alumna marcó una semicircunferencia en el pizarrón (posiblemente
motivada porque en el GeoGebra, al mover el punto respetando la distancia de 5 cm, se va
formando una circunferencia imaginaria). El practicante terminó de marcar la circunferencia, y se
finalizó la discusión recordando lo visto el primer día, que una circunferencia esta formada por
todos los puntos a la misma distancia de un punto dado, por lo cual era correcto que todos los
posibles puntos C (los puntos que se hayan a 5 cm de B) formaban un circunferencia.
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Figura 1.7
En ese momento, el practicante introduce la noción de triángulo. Se construye la
definición de triángulo junto a los alumnos, los cuales identifican que para formar un triángulo, es
necesario tener tres puntos y tres segmentos. El practicante cuenta que a los puntos se los llama
vértices, y a los segmentos lados. La definición que se institucionalizó fue a partir de sus
elementos: un triángulo es una figura que posee tres puntos llamados vértices, tres segmentos
llamados lados, y tres ángulos.
Para verificar la validez de la definición, se realizó un dibujo de una poligonal abierta con
4 vértices y tres lados y se preguntó si eso es un triángulo (figura1.8). Los alumnos responden que
no porque tiene 4 vértices y no cumple con las condiciones necesarias.
Figura 1.8
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En 1° B surge la discusión si la solución al problema con tres puntos alineados formaba
un triángulo o no, discusión que surge con matices distintos en 1° A en la clase siguiente. Los
alumnos se pusieron de acuerdo en que no, y se respetó la decisión, pues el concepto de triángulo
degenerado es tomado como triángulo válido en algunos trabajos de Geometría, y como no válido
en otros.
Se repartieron las hojas del anexo4 que explican cómo construir un triángulo dado dos de
sus lados utilizando GeoGebra, y se los dejó a los chicos trabajar solos con la computadora. Como
los datos del anexo son distintos a los del problema, a los alumnos les costó despegarse de esto e
intentaban hacer la construcción con los datos del anexo.
En el 1° B, en este punto tocó el timbre del recreo. Dado que los alumnos habían estado
un poco distraídos con el uso de la computadora, se tomó la decisión de trabajar con regla y
compás luego del recreo. Sin embargo, la situación no mejoró demasiado (de hecho, se puede
pensar que la computadora no fue el factor de distracción) por lo que no se pudo avanzar más allá
de esta actividad.
En 1° A, hubo diversos problemas ajenos a la clase (se demoró en comenzar por
indicaciones de la preceptora, y se interrumpió la clase 40 minutos antes porque los alumnos
debían asistir a un taller), aún así se pudo completar lo planificado para la clase.
2.4.4. Clase 4
La duración de esta clase fue de 120 minutos. Los conceptos a trabajar fueron
construcción de triángulo dados sus tres lados e igualdad de triángulos. Los materiales utilizados
fueron regla y compás.
Antes de comenzar a describir esta clase, debe hacerse una aclaración. Si bien el examen
se había planificado para la última clase, por motivos organizativos, la profesora titular solicitó que
el examen fuera en la quinta clase porque necesitaba cerrar promedios de calificaciones ya que
finalizaba el trimestre y colocar la cantidad mínima de calificaciones establecida por normativa
institucional. Por lo cual se tomó la decisión de hacer un práctico evaluable en vez de un examen,
pero utilizando regla y compás en lugar de GeoGebra pues no se había podido trabajar el tiempo
requerido con las computadoras, y se evaluó que los alumnos todavía no poseían un manejo fluido
4
Se encuentra en Anexo B, pág.iii-vii
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del GeoGebra. Se decidió, por lo tanto, que en esta cuarta clase se trabajara con regla y compás en
la construcción de triángulos dados tres de sus lados.
La clase comenzó en ambos cursos retomando la construcción de un triángulo dado dos
de sus lados. En este punto cabe destacar una interesante discusión en 1° A en torno a si tres
puntos alineados conforman un triángulo o no. Un alumno sostenía que sí mientras que otros
argumentaron lo contrario. Sin embargo, el primer alumno se mantuvo en su posición y dio el
siguiente argumento: “es un triángulo que se fue cerrando hasta los 180°” (figura 1.9).
Figura 1.9
Esta explicación convenció a los otros alumnos, y se acordó, a diferencia de 1° B, que tres
puntos alineados formaban un triángulo, lo cual es matemáticamente correcto pues posee tres
vértices, tres lados y tres ángulos (algunos lo llaman “triángulo degenerado”) y cumple con la
definición dada en la clase anterior.
Luego se leyó la actividad 3.d, pidiendo a los chicos que al ir construyendo el esquema
con la regla y el compás, fueran escribiendo cómo lo iban haciendo.
d) Ahora nos dicen que la ciudad C se encuentra a unos 600 kilómetros de la ciudad A. Realicen un
nuevo esquema.
30
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Ningún alumno realizó una construcción metódica, todos lo hicieron acomodando los
puntos hasta que dieran las medidas. Al poner en común las soluciones al frente, directamente se
comenzó a pensar en la construcción de triángulos dados tres de sus lados más que en
esquematizar la situación de las tres ciudades. Al conversar sobre cómo habían resuelto el
problema, se hicieron en el pizarrón dos segmentos unidos de 3 cm y 5 cm, y los alumnos decían
que luego no se podía ubicar el otro vértice de forma que se respetara que el tercer lado midiera 6
cm (figura 1.10). Por lo cual, se hizo clara la necesidad de un método, el cual se fue diseñando
entre los alumnos y los practicantes, todo esto trabajado en el pizarrón.
Figura 1.10
Se comenzó análogamente a la construcción de un triángulo dados dos de sus lados. Se
marcó el segmento AB de 3 cm. Como el punto C debe encontrarse a 5 cm de B, se realizó la
circunferencia de 5 cm con centro en B. Como también queríamos que el punto C esté a 6 cm de A,
se realizó una circunferencia con radio 6 cm y centro en A. Aquí surgieron las mayores dificultades
para decidir cuáles eran los posibles puntos C. Se hizo una breve discusión sobre que si uno quiere
hallar todos los argentinos que son hinchas de Boca Junior, se puede seleccionar primero a todos
los argentinos, luego a todos los hinchas de Boca, y ver luego cuáles cumplen ambas condiciones.
Una vez discutido esto, quedó más claro que el punto C debía estar tanto en una circunferencia
como en la otra, por lo cual se marcaron los únicos dos puntos que cumplían esto. Se incentivó al
discusión sobre cuántas soluciones había.
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Figura 1.11
En un primer lugar, los alumnos dijeron que dos, pero luego se discutió sobre si esos
triángulos eran distintos o no, y luego de una discusión grupal, se llegó a la conclusión de que eran
iguales pues tenían las mismas medidas. Esto sirvió para introducir la siguiente definición:
Dos triángulos son iguales si es posible superponer uno con otro. Es decir, si dos triángulos tienen
sus lados iguales, entonces, son iguales.
Figura 1.12
A su vez, se remarcó el hecho de haber obtenido la clase anterior infinitas soluciones a
un problema, y por el contrario en esta clase se obtuvieron dos soluciones iguales. Se decidió
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remarcar esta diferencia para hacer notar que en Matemática no siempre existe una única
solución.
Por último, se hizo trabajar nuevamente a los alumnos en grupos de a dos para realizar la
construcción, esta vez escribiendo los distintos pasos de la construcción. Se aclaró de antemano
que éste sería uno de los ejercicios del práctico evaluable, por lo cual se les dijo que lo entregaran
al finalizar la clase, para poder hacer las aclaraciones necesarias la siguiente clase antes de
empezar el práctico.
Cabe aclarar que esta última actividad se pudo realizar de la forma planificada en 1° A,
pero en 1° B se hizo entre todos pues el tiempo apremiaba, lo cual no fue del todo positivo pues se
perdió de observar la producción personal de cada alumno.
2.4.5. Clase 5
La duración de esta clase fue de 120 minutos. Se trabajó el concepto de clasificación de
triángulos según sus lados. Los materiales utilizados para esta clase fueron regla y compás.
Al realizarse las observaciones pudo verse que la profesora antes de tomar examen
realizaba un repaso y esto servía como resumen para los alumnos. Se decidió respetar esta
costumbre tomando esta idea.
Al comienzo de la clase se realizó una discusión acerca de los conceptos principales de las
clases anteriores. Por otro lado, se hizo énfasis en distintas dificultades observadas a lo largo de
las clases y en la tarea presentada en la clase anterior. Por ejemplo una alumna había intentado
construir un triángulo dado sus tres lados “a ojo”, obteniendo como resultado tres segmentos que
no cerraban. Otra de las dificultades que se presentó en la producción de varios alumnos era que
las circunferencias tenían los radios correctos pero no estaban bien centradas en los vértices de
los triángulos, y en otros casos directamente los radios de las circunferencias no correspondían
con los datos del problema. Esto derivó en que los triángulos obtenidos no eran los deseados, o se
obtenían dos soluciones distintas y ellos no usaban ningún método de validación. Por otro lado no
todos hicieron uso de la regla, y en algunos casos particulares hacían un mal uso: al dibujar una
recta la regla comenzaba a medir desde el 1 y no del 0, lo cual modificaba todo el esquema. Y en
general se identificaron algunas dificultades a la hora de diferenciar y escribir los diferentes pasos
para realizar las construcciones.
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Al finalizar el repaso, se introdujo un nuevo concepto en forma breve: clasificación de
triángulos según sus lados.
El tiempo dispuesto para el práctico evaluable fue de aproximadamente 90 minutos, con
un recreo en el medio, y los alumnos podían acceder a todo el material trabajado. El ambiente era
bueno y de un buen trabajo grupal. Se respondían a dudas de consignas.
Un análisis más detallado del práctico evaluable será presentado al final de este capítulo.
2.4.6. Clase 6
La duración de esta clase fue de 80 minutos. El objetivo fue rehacer el examen entre
todos, incentivando la discusión sobre cada ejercicio, con intención de rescatar las principales
ideas presentadas en los exámenes. El contenido a trabajar era la desigualdad triangular.
Se comenzó con la reconstrucción de las actividades del examen. Durante esta clase, el
clima del curso fue de mucha distracción, ruido y ansiedad por saber la nota del examen. En este
marco no se pudo hacer una revisión completa del examen pero de diferente forma se introdujo el
concepto de desigualdad triangular.
En 1º A se aprovechó que la mayoría de los alumnos habían realizado la actividad 3 del
examen para discutir el concepto de desigualdad triangular. En cambio en 1º B, como no habían
hecho esta actividad, se utilizó el primer verdadero/falso en el cual el triángulo propuesto no
cumplía la desigualdad triangular. En este caso se aprovechó que la justificación de varios alumnos
para decir que era falso fue que el triángulo “no cerraba”.
Figura 1.13
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2.4.7. Clase 7
La duración de esta clase fue de 120 minutos. Los conceptos a trabajar fueron
clasificación de ángulos, construcción de triángulo dados dos lados y un ángulo y clasificación de
triángulos según sus ángulos. Los materiales utilizados para esta clase fueron computadoras con el
programa GeoGebra y la guía de trabajo elaborada por los practicantes.
El día anterior a esta clase, llegaron las netbooks del plan “Conectar Igualdad”, por lo
cual los alumnos ya contaban con una computadora cada uno. Sin embargo, se intentó mantener
el trabajo de a dos, aunque se le pidió a cada alumno que realizara las actividades en su
computadora.
Al comienzo de la clase se mostró a los alumnos como construir ángulos en GeoGebra.
Para respetar la definición dada anteriormente, se los trazaba como dos semirrectas unidas por el
origen, y luego se marcaba la amplitud con la herramienta de GeoGebra. En este punto, hubo que
trabajar con sentido horario y antihorario, para que la amplitud medida por GeoGebra estuviera
siempre entre 0° y 180°.
Luego se trabajó con la clasificación de ángulos. Mientras se los clasificaba, se iban
dibujando cada tipo de ángulo en GeoGebra. El orden fue agudo, recto, obtuso, llano y nulo. Para
trabajar con este último, como los alumnos les costaba verlo como unión de dos semirrectas
iguales, se trabajó con el ángulo obtuso (o con el llano) construido anteriormente por los alumnos,
y se fue moviendo una de las dos semirrectas de manera de ir cerrando el ángulo. Como
GeoGebra mide la amplitud del ángulo dinámicamente, los alumnos observaban por un lado cómo
los grados del ángulo iban disminuyendo y a su vez observaban cómo cada vez las semirrectas se
acercaban más. Al llegar la amplitud a 0°, quedaba claro que las dos semirrectas quedaban
superpuestas. Este es un ejemplo de la mirada dinámica de la Geometría que permite GeoGebra.
Luego, se habló brevemente sobre suma de ángulos y sobre ángulos complementarios y
suplementarios.
A continuación se trabajó con la actividad 4.a, leyendo la consigna entre todos, aclarando
dudas, y luego dejando que cada grupo trabajara por su cuenta.
Supongamos que queremos construir un triángulo, y sólo nos dan algunos datos sobre sus lados y
sus ángulos.
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a)
Nos dicen que uno de los lados mide 5 cm, y otro de sus lados mide 3 cm. A su vez, nos
dicen que el ángulo formado por estos dos lados mide 50°. ¿Es posible construir un triángulo así?
¿Cuántas soluciones distintas existen?
En principio surgieron dos maneras de resolver esta actividad:
- los que intentaron construirlo “a ojo”,
- y otros que trazaban un segmento, luego trazaban el otro (respetando su longitud) y
luego medían que ángulo se formaba. Luego, movían uno de los extremos de uno de los
segmentos, de tal forma de obtener la medida del ángulo requerida.
En 1°B, el practicante no se percató de este segundo método, por lo cual cuando
comenzó la discusión al frente asumió que todos lo habían hecho “a ojo”. Por esto, se fue guiando
la conversación con los alumnos de forma de ir construyendo un método general. El método al
cual se arribó fue similar al de construcción de triángulo dados dos de sus lados, solo que una vez
obtenida la circunferencia, se trazaba una semirrecta con el ángulo requerido, y nuevamente se
discutía acerca de que el punto C debería cumplir dos condiciones: estar en la circunferencia, y
estar en la semirrecta (pues la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que
forman el lado de longitud solicitada, y la semirrecta es el lugar geométrico de todos los puntos
que forman el ángulo solicitado).
Al terminar esta explicación, la docente supervisora le comentó al practicante acerca de
la otra construcción hecha por algunos alumnos, por lo cual el practicante la retomó, y se discutió
con los alumnos la analogía entre esta construcción y el método planteado anteriormente,
concluyendo que ambos eran correctos, e incluso similares, pues al desplazar el segmento de
longitud fija para formar el ángulo, el alumno estaba, sin saberlo, buscando al intersección entre la
circunferencia y la semirrecta. Sin embargo, lo interesante de este último método es que es más
intuitivo, y a su vez, exploratorio, por lo cual puede servir de motivación para el método general.
Por último, se introdujo la clasificación de triángulos según sus ángulos en forma breve.
2.4.8. Clase 8
La duración de esta clase fue de 80 minutos. Los conceptos a trabajar fueron:
construcción de triángulo dados un lado y dos ángulos y la suma de los ángulos interiores de un
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triangulo. Los materiales utilizados para esta clase fueron computadoras con el programa
GeoGebra y la guía de trabajo elaborada por los practicantes
Durante la primera mitad de la clase los alumnos trabajaron con las actividades 4 b y 4 c
de la misma forma que venían haciendo la clase antes.
b) Si, en cambio, nos dicen que un lado mide 4 cm, y que uno de los ángulos que se apoya sobre
este mide 60°, y el otro ángulo que se apoya sobre este lado mide 80°, ¿es posible construir un
triángulo así?
¿Cuántas soluciones distintas existen?
c) ¿Que pasa si en la situación anterior nos decían que los ángulos medían 90° y 120°? ¿Era posible
la construcción?
Luego en ambos cursos se hizo el punto 4c a la vez que se fue discutiendo si, con esos
datos, se podía realizar el triángulo y cómo se podían modificar para que la construcción fuese
posible. Se introdujo la idea de que la suma de los ángulos interiores de un triangulo debían medir
180°.
Antes de finalizar la clase se hizo el cierre de este mes de geometría. Se explicó que
durante todas las clases se había estado jugando con la cantidad de datos de un posible triángulo y
la cantidad de triángulos que se podían construir. La información obtenida a lo largo del curso se
expuso en un cuadro a la vez que se retomaban los ejercicios de los cuáles se obtuvo la
información.
¿Cuántos datos tengo?
¿Cuáles datos?
¿Cuántas
tengo?
2
2 Lados
Infinitas
3
3 Lados
1
3
2 Lados y 1 Angulo
1
3
2 Ángulos y 1 Lado
1
soluciones
distintas
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3.
EVALUACIÓN
Se consideró la evaluación como un proceso continuo, donde se establece un dialogo
permanente entre el docente y los alumnos en torno al conocimiento. Este proceso contó con
distintos momentos: evaluación diagnostica, evaluación formativa, evaluación sumativa. Esto
permitió ir reflexionando y modificando la planificación inicial, como así también la dinámica del
trabajo en el aula.
A lo largo de las prácticas se generaron espacios de discusión al inicio de la clase que
tenía como principal intención recolectar “información referida a qué conocen los estudiantes
acerca de un problema o qué recuerdan de la clase anterior” (Documento apoyo curricular, pag.
11).
En el proceso de evaluación, y dadas la condiciones de trabajo grupal, los alumnos se
vieron involucrados en “un proceso de coevaluación en el que quien evalúa no es el profesor sino
un par” (idem, pag. 11-12). Se dieron momentos de discusión, controversia, donde cada
estudiante argumentaba su posición con su compañero y esto ayudaba a autoevaluar su
explicación inicial.
En relación a la evaluación sumativa, en un primer momento, la planificación
consideraba un examen el octavo día de clases. Comenzadas las prácticas la profesora del curso
anunció que se debería cambiar la fecha del mismo, ya que según la normativa escolar, se
requería una nota más antes de finalizar el trimestre. Por lo tanto, se decidió que los alumnos
realizaran un práctico evaluativo, a más tardar, en la quinta clase.
Durante las primeras cuatro clases, para el desarrollo de las actividades de construcción
se trabajó tanto con computadoras como con regla y compás. Sin embargo, los alumnos no
estaban totalmente familiarizados aún con el uso GeoGebra. Como se había comentado
anteriormente, las condiciones de las netbooks variaban bastante y en algunos casos se apagaban
a los 40 minutos. Si bien en un momento la evaluación estaba pensada para que se usara la
computadora, tomando en cuenta la falta de condiciones, se optó por hacer un práctico evaluable
sin el uso de de las mismas, en grupos de dos alumnos siguiendo la modalidad con la que se venía
trabajando.
Para la realización del práctico evaluable se tomaron algunos de los ejercicios propuestos
en la guía de actividades 4, aunque se cambiaron las consignas teniendo en cuenta que se
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resolverían sin computadora, y no habría el espacio de discusión con los practicantes. La actividad
4 original puede encontrarse en el anexo. Algunos cambios que se le realizaron fueron los
siguientes (se respetarán los índices originales):
Actividad 1
a) Construir un triángulo equilátero.
b) Construir un triángulo isósceles.
c) Construir un triángulo escaleno.
Se optó por que el ejercicio tratara sobre un triangulo escaleno y se dieron las medidas
de los lados para que resolvieran usando el método propuesto en el curso. Se repitió la modalidad
de actividad trabajada en clases anteriores.
Actividad 3
Decir, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa, justificando con construcciones o
propiedades estudiadas, según corresponda.
c) Existe un triángulo isósceles en el cual uno de sus lados mide 2 cm y otro lado mide 7 cm.
Se modificaron las medidas del triángulo para facilitar su construcción en papel y se
agregó una sugerencia para la justificación de la respuesta (ya que en un primer momento esta
actividad estaba pensada para ser discutida en clase).
d) “El pueblo donde nació mi papá queda a 25 km del pueblo donde nació mi mamá. El pueblo
donde nació mi mamá queda a 12 km del pueblo donde nací yo. Y el pueblo donde nací yo queda a
30 km de donde nació mi papá”
Lo que estaba como verdadero o falso se suprimió, y en su lugar se pidió que hicieran
una construcción.
El práctico se presentó en un solo formato y constaba de tres actividades. Estas últimas,
eran de distinto tipo (según la clasificación presentada en el documento de apoyo curricular
(referencia)), acorde al objetivo planteado. Había actividades con partes estructuradas (doble
alternativa: verdadero o falso), y otras de composición y procedimiento, y otras en las cuales
estaban presente estos dos tipologías. Se decidió
agregar una actividad extra pues,
principalmente en 1° A, había mucha diferencia entre el tiempo que les tomaba a algunos alumnos
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realizar las actividades respecto a otros. Como la escuela no permite a los alumnos abandonar el
aula una vez terminado el examen, se creyó indicado que los alumnos que terminaran pronto
pudieran tener actividades para seguir haciendo.
PRACTICO EVALUABLE
Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
1. a) Construyan un triángulo, en el cual sus lados midan 5 cm, 4 cm y 3 cm. Escriban
detalladamente los pasos que fueron realizando en la construcción, explicando cada uno de ellos.
b) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir con esas medidas?
c) ¿Cómo clasifican este triángulo según sus lados?
2. Discutan con sus compañeros y decidan, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa,
justificando con construcciones, o con las definiciones vistas hasta ahora.
a) Si tengo un triángulo escaleno y dos de sus lados miden 8cm y 2cm respectivamente, un tercer
lado debería medir 10cm.
b) Todos los triángulos equiláteros son iguales. (Ayuda: Pensar cuándo dos triángulos son iguales
según la definición vista en clase).
c) Existe un triángulo isósceles en el cual uno de sus lados mide 3 cm y otro lado mide 5 cm.
(Ayuda: ¿Podrían construir uno?).
d) Todos los triángulos equiláteros, son isósceles.
3. “El pueblo donde nació mi papá queda a 60 km del pueblo donde nació mi mamá. El pueblo
donde nació mi mamá queda a 20 km del pueblo donde nací yo. Y el pueblo donde nací yo queda a
30 km de donde nació mi papá”.
a) Realizar un esquema de la situación en caso de ser posible, y en caso de no serlo, indicar cuál
dato modificarían para poder representar la situación.
Actividad extra
a) Dibujen todos los triángulos isósceles tales que uno de sus lados mide 3 cm y otro de sus lados
mide 5cm.
b) ¿Cuántas soluciones diferentes hay?
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c) ¿La respuesta anterior contradice el hecho de que puedo construir infinitos triángulos si tengo
como dato sólo dos de sus lados? ¿Por qué?
3.1. Objetivos de las actividades
Los objetivos planteados para las distintas actividades del práctico evaluable fueron:
-Usar el método enseñado en clases, comprendiendo lo que se hace en cada paso.
-Analizar la cantidad de soluciones.
-Observar la utilidad del método para encontrar todas las soluciones.
-Trabajar con el concepto de igualdad de triángulos (las dos soluciones obtenidas eran
iguales).
-Clasificar correctamente un triángulo según sus lados.
-Trabajar en grupos, debatir.
- Justificar a través ejemplos (dibujos) o propiedades vistas en clase.
-Reflexionar sobre los datos que se pueden modificar para obtener una solución.
-Reflexionar sobre la noción de desigualdad triangular.
3.1. Criterios de evaluación
Los criterios de evaluación utilizados para la corrección del práctico fueron:
En la actividad 1 se evaluó que la construcción fuera correcta (se dio puntaje tanto a
quienes utilizaron el método desarrollado en clase, como a quienes no), y que la justificación fuera
clara (utilizando correctamente los conceptos desarrollados en clase) y coherente con la
construcción realizada. A su vez, se evaluó la justificación dada a la hora de determinar cuántas
soluciones había, así como la adecuada clasificación del triángulo.
En la actividad 2 se tomó en cuenta que la decisión tomada fuera correcta (respecto a si
la afirmación era verdadera o falsa), pero esto constituyó solo un pequeño porcentaje del puntaje
asignado al problema. Principalmente, se evaluó que las justificaciones fueran claras (es decir, se
utilizaran correctamente los conceptos desarrollados en clase) y coherentes tanto con lo que se
había afirmado como coherentes en sí mismas. Por ejemplo, un alumno puso “un círculo chiquito”
mientras que la respuesta esperada era “una circunferencia de radio 3 cm”.
En la actividad 3 se tomó en cuenta tanto la adecuación del esquema a la situación, como
la conclusión a la que arribó el alumno a partir de su esquema (por ejemplo, si era posible
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representar la situación, si la situación planteada era real, si se podía construir el triángulo), y la
pertinencia de las modificaciones sugeridas por el estudiante para que la situación correspondiera
con una situación posible.
En la actividad 4 se consideró por un lado que la construcción fuese la correcta y por
otro la cantidad de soluciones obtenidas fuesen presentadas. Con respecto al último inciso se
tomo en cuenta la decisión y su claridad a la hora de su justificación.
Por otra parte, analizando la cantidad de ejercicios resueltos por los alumnos en los dos
cursos, se observó lo siguiente: los puntos 1 y 2 de la evaluación fueron realizados por la mayoría
de los alumnos en ambos cursos; con respecto al punto 3, se presentaron diferencias significativas
entre los dos cursos (la mayoría de los alumnos de 1º A lo resolvió, no así en 1º B); en el punto 4 se
observó que pocos alumnos de 1º A lo resolvieron, y del 1º B ninguno. Dadas estas circunstancias,
se tuvieron en cuenta estas diferencias entre los cursos a la hora de calificar los exámenes de la
siguiente manera: en el curso 1º A, el 100% del examen lo constituían los puntos 1, 2 y 3, mientras
que el punto 4 se consideraba como una actividad extra (opcional); en cambio, en el curso 1º B el
100% del examen lo formaban los puntos 1 y 2; y el punto 3 era considerado como actividad extra
(opcional), el punto 4 no fue considerado.
3.2. Resultados
A continuación se muestran tres gráficos en los cuales aparecen los resultados en el
examen de los dos cursos. En el primero se muestran la cantidad de alumnos por nota (gráfico 1),
en el segundo se ven los resultados de cada una de las actividades (gráfico 2) y por último, la
distribución de los resultados de cada una de las actividades respecto al total de actividades
resueltas (gráfico 3). Estas tablas incluyen un recuperatorio que fue tomado por decisión de la
profesora titular del curso. Además, a los alumnos que habían estado ausentes se les tomó el
mismo examen otro día.
3.2.1. Método de construcción de las estadísticas
Distribución de notas:
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Gráfico 1
Para este primer gráfico, se tomó en cuenta a la totalidad de los alumnos que rindieron
el examen. El objetivo de este diagrama de barras es mostrar la distribución de las notas obtenidas
por los alumnos de cada curso, contrastando la performance de los alumnos de 1° A con la de los
alumnos de 1° B. Se puede ver que en 1º A las notas estuvieron concentradas en el intervalo del 6
al 8, mientras que en 1º B se observó una mayor dispersión.
Distribución de porcentajes de respuestas correctas según ítem:
Para la elaboración de este gráfico, se tomó en cuenta la totalidad de alumnos que
resolvieron el examen. En este diagrama de barras se muestra la distribución de porcentaje de
respuestas correctas según ítem, contrastando la performance de los alumnos de 1° A con la de los
alumnos de 1° B.
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Gráfico 2
El método de cálculo de los valores de la gráfica puede consultarse en el anexo A.
Distribución de porcentaje de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas
Para la elaboración de este gráfico, se tomó en cuenta la totalidad de alumnos
que resolvieron al menos una parte del ítem considerado. En este diagrama de barras se grafica la
distribución de porcentaje de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas, y al igual
que en los casos anteriores, se contrastó la performance de los alumnos de 1° A con la de los
alumnos de 1° B. Se puede observar, comparando los gráficos 2 y 3, que en 1° B hay un mayor
porcentaje de respuestas correctas en las actividades 1 y 2, pero en general no se llegó a
completar las últimas dos actividades del examen. Por otra parte en 1º A la mayoría de los
alumnos completaron las actividades 1, 2 y 3 y el rendimiento obtenido fue similar al de 1º B.
Estos resultados incidieron en las decisiones tomadas a las horas de determinar las puntuaciones
de cada actividad.
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Gráfico 3
El método de cálculo de los valores de la gráfica puede verse en el anexo A.
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3.3. Conclusiones
En primer lugar, se pudo observar que, a nivel general, se mantuvo la tendencia en las
calificaciones respecto a las notas que los alumnos registraban anteriormente en la materia.
En segundo lugar, el trabajo en grupo por parte de los alumnos fue muy bueno, salvo en
algunos casos particulares. Más allá de esto, se obtuvieron discusiones muy interesantes y esto se
ve plasmado en las producciones de los chicos.
En tercer lugar, se notó una mejoría en el uso de las herramientas de Geometría (regla y
compás) respecto al trabajo que los alumnos habían entregado la clase anterior. Por ejemplo,
superaron la dificultad en la realización de mediciones efectivas (ver análisis clase 4).
En cuarto lugar, se notaron problemas a la hora de identificar los pasos de la
construcción y la justificación de los mismos. A su vez, se observó un uso impreciso y en algunos
casos incorrecto de conceptos geométricos, por ejemplo, círculo por circunferencia, línea en vez
de recta e incluso recta por segmento. Estas dificultades habían sido observadas en las clases y, a
pesar de haberse trabajado en distintas actividades, no fueron totalmente asimiladas. En las
producciones de los alumnos de 1º A no apareció en general el método de construcción trabajado
en clase, ni en la primera actividad ni en los verdadero/falso. Sin embargo, sí apareció este método
en la actividad 3, posiblemente porque se utilizó la palabra “esquema” en la consigna, similar a lo
que se había trabajo las primeras clases, en las cuales fueron apareciendo las construcciones.
En quinto lugar, se observaron algunas dificultades para identificar la cantidad total de
soluciones posibles. En algunos casos, el problema era por no retomar la noción de igualdad de
triángulos, y en otros casos era por no usar el método de construcción (que habilitaba a considerar
visualmente todas las soluciones). La primera noción es importante pues algunos identificaron que
había una única solución a la construcción de un triángulo dados sus tres lados sin necesidad de
utilizar el método para fundamentarlo, pues justificaron que de haber otra solución, tendría las
mismas medidas y por lo tanto sería igual a la ya obtenida. Sin embargo, el método de
construcción permitía fundamentar, por ejemplo, la existencia de infinitas soluciones al problema
de esquematizar un triángulo dados dos de sus lados, y a su vez permitía obtener todas las
soluciones.
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Por último, se tuvo una buena experiencia con los verdaderos y falsos porque se lograron
visualizar ideas de los alumnos que no habían surgido en las clases. Sin embargo, cabe destacar
que no se fue del todo riguroso a la hora de corregir la justificación, pues no se había trabajado
con esto anteriormente. Más allá de esto, aparecieron en algunos casos ideas intuitivas de
justificación, como el uso de ejemplos para demostrar la existencia de un objeto o de
contraejemplos para demostrar la falsedad de una afirmación. A su vez, apareció la noción de
desigualdad triangular sin necesidad de haberla introducido anteriormente, tanto en el primer
verdadero/falso como en la actividad 3.
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4.
ANÁLISIS DE UNA PROBLEMÁTICA
A continuación se analizarán algunas situaciones problemáticas que fueron apareciendo
a lo largo de las prácticas, y se abordarán desde un punto de vista teórico. El análisis se centrará en
interpretar la computadora como un medio utilizado por el alumno para aprender.
En primer lugar, a la hora de elaborar el material, aparecieron diversas cuestiones a
tener en cuenta. Al ser la mayoría de los problemas tomados de un libro de texto que planteaba
estas actividades para ser resueltas sin el uso de la computadora, fue necesario adaptar las
mismas de tal forma que posibilitaran un trabajo con GeoGebra con real sentido matemático, y no
como un mero reemplazo del trabajo en papel. Luego de seleccionar y plantear los cambios
pertinentes en estas actividades, se hizo evidente la necesidad de resolverlas en GeoGebra, de tal
forma de poder anticipar tanto posibles estrategias de resolución como así también posibles
problemas que pudieran aparecer por el uso de determinadas herramientas. Este proceso luego se
encontró estructurado de la siguiente manera:
- Presentación de una situación problemática
- Análisis de los posibles procedimientos
- Discusión sobre las dificultades que se pueden presentar dependiendo de los comandos
seleccionados y la información que otorga el software
- Sentidos y significados de los conocimientos trabajados con la herramienta GeoGebra
- Alcances y limitaciones de las estrategias propuestas
- Los conocimientos matemáticos que subyacen en la situación presentada
(Lombardo y otros, 2012, pag. 119)
Se considera que a la hora de introducir el trabajo con computadora en aula, es
necesario plantear las cuestiones anteriores, no como una especie de método, sino como un
análisis ineludible para dotar de sentido matemático a la actividad a realizar, y poder explotar de
esta forma todas las posibilidades que otorga el trabajo con computadora.
A continuación se realizará un análisis de la actividad 4, la cual se trabajó en la clase nº 7,
con el objetivo de ejemplificar algunos aspectos teóricos a tener en cuenta a la hora de elaborar
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un análisis como el propuesto en el párrafo anterior. Durante esta jornada se usaron
computadoras del programa Conectar Igualdad, por lo tanto todos los alumnos contaban con una
netbook.
La actividad en la cual se enfocará el análisis, estaba redactada de la siguiente manera:
Supongamos que queremos construir un triángulo, y sólo nos dan algunos datos sobre
sus lados y sus ángulos.
a) Nos dicen que uno de los lados mide 5 cm, y otro de sus lados mide 3 cm. A su vez, nos
dicen que el ángulo formado por estos dos lados mide 50°. ¿Es posible construir un triángulo así?
¿Cuántas soluciones distintas existen?
A la hora de plantear esta actividad, y analizar la posibles soluciones, se identificaron dos
posibles estrategias, ambas basadas en el método de construcción de un triángulo dado dos de sus
lados, pues, por un lado, garantiza la condición de que el triángulo tenga los lados de longitud
requerida, y por el otro, el método puede extenderse para cumplir la condición sobre el ángulo
determinado por estos dos lados. Es importante destacar que al momento de introducir este
problema los alumnos ya han trabajado e interpretado (incluso han sido evaluados) la
construcción de un triángulo dado dos de sus lados.
La primer estrategia es, una vez obtenida la circunferencia que marca todas las posibles
soluciones, trazar un ángulo de 50° y buscar la intersección entre este ángulo y la circunferencia.
Es claro que esta estrategia se puede desarrollar tanto en papel utilizando regla y compás, como
en GeoGebra. Es importante notar que, con esta estrategia, la computadora en principio no
aportaría sentido matemático extra, solo una forma más fácil de trabajar. Los pasos a realizar en
GeoGebra para implementar esta herramienta serían los siguientes.
Paso 1: Trazar el segmento de 5 cm utilizando la herramienta “Segmento dada su
longitud”.
Paso 2: Trazar una circunferencia de 3 cm de radio con centro en cualquiera de los dos
vértices del segmento trazado en el paso 1, utilizando la herramienta “Circunferencia dado su
centro y su radio”. Notar que esta circunferencia representa todos los posibles vértices que
formarán un triángulo que cumpla con las condiciones de tener un lado de 5 cm y un lado de 3 cm.
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Paso 3: Trazar un ángulo de 50° con centro igual al de la circunferencia “apoyado” sobre
el segmento trazado en el paso 1, utilizando la herramienta "Ángulo dada su amplitud" y luego la
herramienta "Semirrecta" (pues la herramienta de ángulo sólo gráfica uno de los puntos del
ángulo, no la semirrecta completa).
Paso 4: Marcar la intersección entre el ángulo y la circunferencia que determina el tercer
vértice del triángulo buscado.
Paso 5: Completar trazado del triángulo con la herramienta “Polígono”.
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Se puede notar que la implementación de esta estrategia utiliza en su mayoría
herramientas estáticas de GeoGebra (no se puede modificar dinámicamente ni la longitud del
segmento, ni el radio de la circunferencia, ni la amplitud del ángulo), por lo cual vemos en este
caso un ejemplo de “domesticación de la tecnología” (Villarreal, 2004, pag. 44), pues no se
explotan las características del medio para generar sentido matemático real, sino que
simplemente se realiza la misma tarea que podría haberse desarrollado en una hoja de papel.
La segunda estrategia también se basa en la construcción de un triángulo dados dos de
sus lados, pero hace uso de la mirada dinámica de la Geometría que permite GeoGebra. La idea es
utilizar la circunferencia obtenida en dicha construcción, marcando un punto cualquiera sobre ella,
sabiendo que este es un candidato a tercer vértice del ángulo, pues sabemos que si existe el
triángulo pedido, si o si uno de de sus vértices yace sobre esa circunferencia. Una vez marcado un
candidato cualquiera, vemos cual es el ángulo que determina. Si cumple correctamente la
condición solicitada, listo. Si no, buscamos otro. Es en este momento donde se puede explotar el
dinamismo de GeoGebra, pues puedo ir desplazando el punto candidato y dinámicamente
GeoGebra calcula el ángulo determinado, por lo cual la búsqueda del tercer vértice no se hace en
forma aleatoria, sino aproximando el ángulo. Esta estrategia puede implementarse en GeoGebra
de la siguiente manera:
Paso 1: Trazar el segmento de 5 cm utilizando la herramienta “Segmento dada su
longitud”.
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Paso 2: Trazar una circunferencia de 3 cm de radio con centro en uno de los dos vértices,
utilizando la herramienta “Circunferencia dado su centro y su radio”.
Paso 3: Marcar un punto sobre la circunferencia utilizando la herramienta “Nuevo
punto”. Notar que este punto aparecerá de un color más claro, pues significa que este punto
depende
de
la
circunferencia
y
solo
puede
moverse
dentro
de
ella.
Paso 4: Medir la amplitud del ángulo formado por el segmento trazado en el paso 1 y el
punto marcado en el paso 3, utilizando la herramienta “Ángulo”.
Paso 5: Mover el punto marcado en el paso 3 sobre la circunferencia hasta que el ángulo
medido en el paso 4 sea de 50°. Este punto es el tercer vértice buscado.
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Paso 6: Completar trazado del triángulo con la herramienta “Polígono”.
Esta estrategia tiene similitudes y diferencias con la anterior, y es importante
destacarlas.
En primer lugar, es claro que los pasos 1 y 2 son iguales en ambas construcciones, tanto
en los objetos matemáticos trabajados y generados, como en las herramientas utilizadas. En estos
pasos, se podría cambiar estas herramientas por otras mas dinámicas, sin alterar por esto el
método de construcción. Por ejemplo, la herramienta “Segmento dada su longitud” puede
reemplazarse por un la herramienta “Segmento” más la herramienta “Longitud de un segmento”.
De esta manera, puedo modificar el segmento desplazando el punto y GeoGebra dinámicamente
irá calculando la longitud.
Sin embargo, al considerar el trazado del ángulo, queda claro que en la primer estrategia
es un elemento intrínsecamente estático, al contrario de la segunda construcción que necesita a
modo de requerimiento poder calcular dinámicamente las amplitudes de los ángulos generados al
desplazar el punto. Esta característica de poder cambiar una propiedad de un objeto geométrico
(por ejemplo la longitud del segmento) sin cambiar la identidad del objeto (cambiar la longitud de
un segmento, no hace que el objeto deje de ser un segmento) interactuar con el software, se
denomina plasticidad (Moreno-Armella, 2011).
La importancia de esta característica, radica en el hecho de que permite en algunos casos
una cierta abstracción y/o generalidad. Por ejemplo, utilizando herramientas dinámicas en la
segunda construcción, si ahora se quiere construir un triángulo cuyos segmentos miden 6 cm y 9
cm, y el ángulo determinado por ellos tenga una amplitud de 45°, sólo se deben mover los puntos
hasta obtener las nuevas medidas, sin necesidad de rehacer la construcción. Esto permite, en
algún sentido, notar que la longitud de 5 cm no era algo intrínseco a la construcción, el método es
válido para cualquiera sean las medidas de los lados (y del ángulo, poniendo como restricción que
se encuentre entre los 0° y los 180°). Notar que esto puede hacerse también en la primer
construcción, pero al cambiar el ángulo estático por un dinámico, será necesario luego “ajustar” la
medida del ángulo aproximando, por lo cual la construcción deviene en la segunda estrategia.
El primer método funciona en general, al llevarlo a la computadora no es tan fácil de
generalizar como el segundo método. A su vez, es claro que el último no puede llevarse a cabo en
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papel. Es decir, cada medio posibilita cosas distintas, por lo cual, queda en evidencia el principio
epistemológico, el cual indica que “las herramientas y artefactos que median la cognición humana
no son epistemológicamente neutros” (Moreno-Armella, 2011, pag. 3).
Al momento en que se presentó la situación problemática en el aula, aparecieron
distintas estrategias de resolución por parte de los alumnos, las cuales se presentan a
continuación:
Primera elaboración de los alumnos:
Paso 1: Se trazó un segmento de medida 5 usando la herramienta “Segmento de
Longitud Fija”.
Paso 2: Se utilizó la herramienta “Ángulo dada su Amplitud” tomando como un lado del
ángulo el segmento anterior y como amplitud del mismo 50º.
Paso
3:
Se
trazó
la
semirrecta
que
completa
el
ángulo.
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Paso 4: Se trazó un segmento con la herramienta “Segmento” incluido dentro de la
semirrecta del paso 3 y con uno de sus extremos en el vértice del ángulo. La longitud del segmento
se pudo calcular con la herramienta “Distancia”.
Paso 5: Se completó el trazado del triángulo, en algunos casos utilizando la herramienta
“Polígono”, y en otros utilizando tres veces la herramienta “Segmento”.
Es interesante notar que, a pesar de que los alumnos utilizaron una estrategia de
resolución diferente a la esperada, comenzaron por el trazado de un segmento “horizontal”, que a
su vez es el mayor de los solicitados. Esto se observará también en las otras dos resoluciones que
se muestran más adelante. Es posible que esto se deba a que las construcciones vistas
anteriormente en clase comenzaban de esta forma.
Luego, se puede observar que el alumno eligió continuar con el ángulo, dato que se
consideró también de forma fija. Es interesante resaltar que, si bien los alumnos cuentan con el
dato de dos lados y tienen práctica tanto por actividades anteriores como por el práctico evaluable
con construcciones a partir de los lados, optan por explorar nuevos métodos de construcción de
triángulos. El dato del ángulo les presenta nuevas posibilidades.
A continuación, traza la semirrecta faltante para completar el ángulo, pues al utilizar la
herramienta de ángulo dada su amplitud, GeoGebra sólo marca tres puntos. Este paso es
sumamente importante y da cuenta de que el alumno entiende que el próximo lado debe estar
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incluido en esa semirrecta, compartiendo su origen. Es decir, parece la noción intuitiva de que esa
semirrecta es lugar geométrico de todos los puntos que formarán un ángulo de la amplitud
deseada.
Una vez trazado el segmento con origen en el vértice del ángulo, se empieza a jugar con
la longitud del mismo hasta obtener la medida deseada. En esta instancia se revela la plasticidad
del objeto geométrico, pues se lo puede modificar sin que pierda la identidad de segmento,
permitiendo acomodarlo para obtener el lado de longitud necesaria para resolver este problema.
Es decir, la característica de plasticidad del software es esencial para esta resolución.
Por último, es interesante ver que esta última búsqueda puede derivar en que la longitud
obtenida no sea exactamente la deseada, por ejemplo, se puede obtener un segmento de longitud
3,01 en vez de uno de longitud 3. Sin embargo, la mayoría de los alumnos no veían problemas
respecto a obtener soluciones aproximadas. De todas formas, esto contrasta con la exactitud de
las herramientas usadas en los pasos 1 y 2. Más allá de esto, se tomó la decisión de validar como
correctas las soluciones aproximadas, aunque no se discutió cuál era límite de aproximación
aceptado, lo cual podría haber generado un debate interesante.
Segunda elaboración de los alumnos:
Paso 1: Se trazó un segmento de medida 5 usando la herramienta “Segmento de
Longitud Fija”.
Paso 2: Se trazó un segmento de medida 3 con un extremo coincidente con uno de los
extremos del segmento trazado en el paso 1. Para esto se utilizó la herramienta “Segmento de
Longitud Fija”.
Paso 3: Se obtuvo la medida del ángulo formado entre los segmentos trazados en lso
pasos 1 y 2, usando la herramienta “Ángulo”.
Paso 4: Se movió el extremo del segmento de medida 3 hasta que el ángulo formado
tuviese la amplitud de 50°.
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Paso 5: Se completó el trazado del triángulo, en algunos casos utilizando la herramienta
“Polígono”, y en otros utilizando tres veces la herramienta “Segmento”.
Notar que esta construcción es similar a la segunda estrategia utilizada por los
practicantes (la “solución esperada”), aunque sin trazar la circunferencia explícitamente.
Para la construcción de los primeros dos segmentos se utilizan herramientas de medida
estática. Entonces, al mover uno de los extremos no compartidos se puede hacer el trayecto de
una circunferencia; esta es la estrategia que utilizará el alumno para hallar el ángulo solicitado. Es
decir, aunque no se haya trazado la circunferencia, está presente la idea de lugar geométrico.
Una vez cumplidas las condiciones sobre los segmentos, se opta por usar una
herramienta para medir el ángulo formado entre los lados. Solo hace falta trasladar un vértice
hasta lograr la medida del ángulo solicitado. La forma en la cual fueron trazados los segmentos,
permite que las propiedades que satisfacen las condiciones solicitadas se mantengan mientras que
se explora en pos de hallar el ángulo deseado. Nuevamente, se observa que la plasticidad del
software es esencial para esta resolución. A su vez, se presenta claramente otra cualidad de
GeoGebra, denominada ejecutabilidad en términos de Moreno-Armella. Esto última hace
referencia a la posibilidad (en este caso que brinda GeoGebra) de interactuar en forma dinámica
con los objetos geométricos.
Como se mencionó en la estrategia analizada anteriormente, la solución obtenida por los
alumnos en algunos casos era aproximada, no exacta.
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Tercera elaboración de los alumnos:
Paso 1: Se trazó un segmento de longitud 5 usando la herramienta “Segmento de
Longitud Fija”.
Paso 2: Se trazó un segmento con un extremo coincidente con uno de los extremos del
segmento trazado en el paso 1. Para esto se utilizó la herramienta “Segmento de entre dos
puntos”.
Paso 3: Se obtuvo la medida del ángulo formado entre los dos segmentos anteriores
usando la herramienta “Ángulo”.
Paso 4: Se movió el extremo del último segmento creado hasta que fuese de longitud 3 y
que el ángulo formado tuviese la amplitud de 50°.
Paso 5: Se completó el trazado del triángulo, en algunos casos utilizando la herramienta
“Polígono”, y en otros utilizando tres veces la herramienta “Segmento”.
Esta estrategia es similar a la anterior, aunque el segmento trazado en el paso dos no
tiene longitud estática, por lo cual en el paso 4 se debe mover el vértice para que cumpla tanto la
condición de formar un lado de longitud 3, como un ángulo de 50°. Las herramientas “Segmento
entre Dos Puntos” y “Ángulo” permiten una dinámica de exploración que no está presente en las
herramientas fijas, aunque hacen menos evidente la noción de lugar geométrico. Por otro lado al
estar en juego dos variables en el movimiento del tercer vértice “C” (medida del lado BC y medida
del ángulo), difícilmente pueda obtenerse un resultado exacto (incluso se hace difícil obtener un
resultado aproximado que satisfaga ambas condiciones con cierta precisión).
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Posiblemente, esta sea la construcción que mayormente explota la plasticidad y
ejecutabilidad del software. Sin embargo, a diferencia de la construcción anterior, no están
posibilitando la aparición de la noción de lugar geométrico, al menos no de un modo evidente. De
todas formas, este método de construcción es intuitivo y puede servir como un primer
acercamiento al método explicado anteriormente, o incluso directamente al método de
construcción propuesto por los practicantes.
Por último, y a modo de conclusión, se considerará, por un lado, una posible variante de
la actividad que otorgue nuevas posibilidades. Por otra parte, se analizará el concepto de colectivo
pensante.
Una posible variante que se le puede hacer a la actividad, una vez que fue terminada por
los alumnos, es cambiar la amplitud del ángulo solicitado reiteradas veces. De esta forma, puede
comenzar a discutirse la utilidad de cada una de las estrategias propuestas anteriormente respecto
a la flexibilidad que permiten a la hora de generalizar el método de construcción para un ángulo
cualquiera. En este sentido, se hará evidente que la primera estrategia, a diferencia de la segunda
y la tercera, depende en forma esencial del ángulo trazado, por lo cual no es susceptible de ser
modificada en pos de obtener una solución a un problema más general; para cada ángulo
solicitado, deberá rehacerse la construcción. Por el contrario, la construcción dos y tres permiten
la extensión del método sin necesidad de rehacer la construcción. Este tipo de discusiones, no solo
permiten analizar conceptos matemáticos, sino que también hacen aparecer en escena ideas
computacionales respecto a la complejidad y flexibilidad de algoritmos, conceptos que
difícilmente puedan aparecer en el trabajo con papel y lápiz. A su vez, este tipo de actividad
permite comparar las distintas soluciones elaboradas por los alumnos, permitiendo visualizar no
solo que en matemática existen muchas veces más variadas soluciones, sino que estas soluciones
pueden ser comparadas y analizadas con el fin de rescatar ventajas y desventajas de cada una de
ellas.
Finalmente, se interpretará la siguiente cita de Villarreal, en términos de las experiencias
analizadas:
“Como premisa básica, se asume que las nuevas tecnologías incorporadas en las clases
de Matemática no tienen simplemente un papel de suplementación sino de reorganización, que
constituyen junto a los estudiantes, docentes y otro medios presentes en la sala de clases un
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colectivo pensante, un sistema constituido por seres humanos y dispositivos tecnológicos de
diversa naturaleza (lápiz, papel, libros, calculadoras, computadoras, etc.) que generan, en
conjunto, conocimientos matemáticos”.
En términos de lo vivido durante las prácticas, se pudo observar que los conocimientos
que surgían al planificar las actividades en papel y lápiz, diferían de los que surgían al hacerlo en
GeoGebra; estos, a su vez, no eran los mismos al pensarlos entre los practicantes y la profesora
supervisora, que al llevarlos al aula junto a los alumnos. El ejemplo más claro quizás fue la
actividad presentada en esta sección, pues cada una de las estrategias presentadas surgió de un
colectivo pensante distinto, evidenciando que los dispositivos tecnológicos no son neutros
epistemológicamente hablando, pero que, a su vez, tampoco lo son los humanos que los utilizan,
ni las relaciones entre los mismos, formando un verdadero sistema que, según como se lo
gestione, puede potenciar los resultados en el aula de matemática.
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5.
REFLEXIONES FINALES
Esta reflexiones están basadas en nuestras vivencias personales a lo largo de las
prácticas. A su vez consideraremos nuestros deseos y proyecciones, pensando en nuestra futura
labor docente.
A modo de conclusión, podemos decir que fue un proceso de mucho aprendizaje, en el
cual le perdimos miedo a la docencia, ganándole respeto. Pues nos dimos cuenta de la
complejidad de la tarea docente, aunque también lo gratificante que es realizarla. A su vez, fue
una experiencia que nos permitió crecer en confianza, tanto a la hora de planificar las clases como
a la hora de pararse frente al curso. Comprobamos la importancia del trabajo en equipo, no solo
entre los compañeros de prácticas, sino también con la docente supervisora y la docente del
curso.
Pudimos comprobar las ventajas y las limitaciones que tiene el uso de la computadora
en la clase de matemática. Más allá de la complejidad de la gestión de una clase en la cual se
utilizan las nuevas tecnologías, ambos coincidimos en lo positivo de la experiencia y pretendemos
implementarlas en nuestras prácticas profesionales.
Creemos que las prácticas docentes tienen un limitante y es que no simulan
completamente un futuro escenario real de trabajo. Consideramos que es debido a diversos
motivos: uno llega a un aula con una cultura matemática instaurada, una relación con el
conocimiento y con la docente ya determinada, con tradiciones y costumbres formadas a lo largo
del año, que es muy difícil, por no decir imposible, pretender cambiar en un mes. Esto sin contar
con el aspecto positivo, pero que no será así en el futuro, del apoyo y contención de un
compañero y dos docentes. A pesar de esto, creemos que las prácticas son un perfecto ambiente
para introducirse a la cultura escolar desde una nueva mirada, ya no de alumno, sino ahora como
docente, y recordar y redescubrir, motivos por los cuales uno quiere ser y hacer esto.
A lo largo de las prácticas intentamos desarrollar la idea de que los problemas tienen
diferentes estrategias para ser resueltos, cada una con sus beneficios. Tomamos en cuenta los
distintos recorridos que hacía cada alumno a la hora de resolver un problema, y pusimos énfasis
en que el grupo entero visualice y analice estas distintas estrategias. Podemos resaltar que nos
interesaría continuar con esta forma de trabajo en la matemática.
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6.
Bibliografia
Diseños Curriculares de Educación Secundaria – Tomo 2. Gobierno de la Provincia de
Córdoba. Ministerio de Educación. Secretaría de Estado de Educación. Subsecretaría de Estado de
Promoción de Igualdad y Calidad Educativa. Disponible en:
<http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPECCBA/publicaciones/EducacionSecundaria/
Tomos2v.html>. Acceso en: nov. 2013
Gobierno de Córdoba. Ministerio de Educación. Secretaría de Educación. Subsecretaria
de Promoción de Igualdad y Calidad Educativa. (2011). Documento de Apoyo Curricular. La
evaluación de los aprendizajes en Educación Secundaria.
Itzcovich, H. (2005). Iniciación al estudio didáctico de la geometría. Buenos Aires:
Editorial El Zorzal.
Itzcovich, H. y November, A. (coord.) (2006). M7: Matemática. Buenos Aires: Tinta
Fresca.
Lombardo, G.; Caronía, S.; Operuk, R. Abildgaard, E. (2012). La enseñanza de la
matemática con GeoGebra. En Actas de la 1ª. Conferência Latino Americana de GeoGebra.
pag.115-128 São Paulo, Brasil.
Moreno-Armella, L. (2011).
Educación Matemática?.
¿Cómo impactan las tecnologías los currículos de la
Resúmenes de la XIII Conferencia Interamericana de Educación
Matemática: Recife, Brasil.
Villarreal, M. (2004). Transformaciones que las tecnologías de la información y la
comunicación traen para la educación matemática. Yupana. Revista de Educación Matemática de
la Universidad Nacional del Litoral, N° 1, pag. 41-55. Santa Fé: UNL.
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7.
Anexo A: Métodos de cálculo de las estadísticas
Distribución de porcentajes de respuestas correctas según ítem:
A continuación se explicará el método de cálculo:
-Sea i el ítem a considerar, i tomará un valor del siguiente conjunto {1.a, 1.b, 1.c, 1.d, 2.a,
2.b, 2.c, 2.d, 3, 4}.
-Sea N la cantidad total de alumnos que resolvieron el examen.
-Sea Ci la sumatoria del puntaje obtenido por los N alumnos en el ítem i.
-Sea Vi la cantidad de puntos asignado al ítem i.
Entonces, el porcentaje P de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas
en el ítem i se calculo como:
P = (Ci * 100) / (N * Vi)
Por ejemplo, se puede ver que en el ítem 1.a en 1° B se observaron los siguientes
valores:
N = 27, Ci = 67 y Vi = 3
obteniéndose como resultado
P = (67*100)/(27*3) = 82,716049383
Este valor es el que se muestra en el diagrama de barras.
Distribución de porcentaje de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas
A continuación se explicará el método de cálculo.
-Sea i el ítem a considerar, i tomará un valor del siguiente conjunto {1.a, 1.b, 1.c, 1.d, 2.a,
2.b, 2.c, 2.d, 3, 4}.
-Sea N la cantidad total de alumnos que resolvieron al menos una parte del ítem i.
-Sea Ci la sumatoria del puntaje obtenido por los N alumnos en el ítem i.
-Sea Vi la cantidad de puntos asignado al ítem i.
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Entonces, el porcentaje P de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas
en el ítem i se calculó como:
P = ( Ci * 100) / (N * Vi)
Por ejemplo, se puede ver que en el ítem 1.a en 1° B se observaron los siguientes
valores:
N = 26, Ci = 67 y Vi = 3
Obteniéndose como resultado
P = (67*100)/(26*3) = 82,716049383
Este valor es el que se muestra en el diagrama de barras.
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8.
Anexo B: Material elaborado por los practicantes
A continuación se podrá consultar el material para trabajo en clase elaborado por los
practicantes. Se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones.
En primer lugar, la numeración que presentan las hojas no se corresponden con la que
tenían los alumnos en clase, y se ha incluido a modo de hacer más claras las explicaciones en esta
sección.
En segundo lugar, el material no fue entregado a los alumnos de una vez, sino que se les
entregaba cada día las actividades correspondientes. El material fue entregado de la siguiente
manera:
•
Día 1: Se entregaron las páginas i y ii.
•
Día 2: Se entregaron las páginas iii a vii inclusive.
•
Día 3: Se entregó la página viii.
•
Día 4: No se entregó ningún material, pues se siguió trabajando con el material de
la clase anterior.
•
Día 5: El material entregado fue el práctico evaluable, el cual ya fue presentado en
la sección 3 del presente informe.
•
Día 6: No se entregó el material nuevo.
•
Día 7: Se entregaron las páginas ix y x.
•
Día 8: No se entregó material nuevo.
Por último, cabe destacar que las páginas xi y xii correspondían originalmente a la
actividad 4, la cual finalmente se llevó a cabo a modo de práctico evaluable y con modificaciones
(consultar sección 3 del presente informe para más detalles). Las páginas xiii y xiv corresponden a
la actividad de cierre planificada originalmente, la cual no se llegó a realizar a falta de tiempo, por
lo cual estas páginas no fueron entregadas a los alumnos.
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I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
i
Introducción
La Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), es una rama de la Matemática que se ocupa del
estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, como triángulos, círculos y cubos. Desde
la era primitiva, el hombre ha dibujado y clasificado lo que lo rodeaba segun su forma. Es posible resolver y
analizar muchas situaciones si uno conoce las propiedades de las figuras geométricas con las que ha
realizado un dibujo o esquema.
Es razonable pensar que el origen de la Geometría surge con los primeros pictogramas que traza el
hombre primitivo pues, seguramente, clasificaba aun de manera inconsciente lo que le rodeaba según su
forma. En la representación de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la
Geometría. Multiples sociedades hicieron aportes a la Geometría, por ejemplo los egipcios y los griegos.
Actividad 1
Marcos tiene dos perros en su patio. Cada uno de ellos está atado a una estaca clavada en el suelo por
medio de una soga.
La distancia entre ambas estacas es de 5 metros, y la medida de cada soga es de 3 metros.
a) Realizá un esquema de uno de los perros atado a la estaca, donde muestres qué tan lejos puede llegar el
perro. (Ayuda: podemos representar 1 metro con 1 centímetro.)
b) Realizá un esquema similar al anterior, en el cual ahora se incluya a los dos perros.
c) Si se dispone de un único recipiente para que ambos perros tomen agua, marquen, en el dibujo anterior,
todos los lugares donde es conveniente poner el recipiente para que puedan tomar agua ambos perros.
Se denomina circunferencia todos los
puntos que se encuentran a la misma
distancia de un punto dado. Este punto se
denomina centro de la circunferencia y la
distancia entre el centro y cualquier otro
punto de la circunferencia se llama radio.
Se llama círculo a todos los puntos que están a una distancia menor o igual que el radio del
centro de la circunferencia.
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Punto
Recta
Semirrecta
Segmento
Ángulo
ii
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
iii
Actividad 2
Te invitamos a resolver de nuevo el problema de los perros (actividad 1), pero esta vez juntos y utilizando
un programa de computadora llamado GeoGebra.
Resolvamos el inciso a. Para esto, debemos representar a un perro atado a una estaca por una soga de 3
metros.
Representaremos a la estaca como un punto que llamaremos A.
Luego, como vimos la clase anterior, podemos representar los lugares mas lejos a donde puede llegar el
perro como una circuferencia de radio 3. Antes de hacer esto, vamos a aprender las distintas maneras de
trazar circunferencias en GeoGebra.
La primer manera de trazar una circunferencia, es haciendo click en un punto, que será el centro, y luego
en otro punto que será un punto cualquiera sobre la circunferencia.
Otra manera, es indicar el centro de la circunferencia y la medida del radio.
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
iv
Una vez seleccionado el punto que será el centro de la circunferencia, se abrirá un ventana en la cual
debemos ingresar la medida del radio. La ventaja de este método, es que podemos indicar con precisión la
longitud del radio.
Otra manera de representar circunferencias, es a través de la herramienta compás, en la cual uno debe
indicar dos puntos (en el caso de la imagen los puntos A y B), los cuales indicarán la medida del radio, y
luego marcar el centro de la circunferencia (el punto C). La ventaja de este método, es que moviendo
alguno de los dos primeros puntos, se irá modificando también la circunferencia, dándonos mayor libertad
para realizar cambios.
Por último, existe una herramienta en la cual, indicando tres puntos, se obtiene una circunferencia que
pasa por eso tres puntos.
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
v
Volvamos a nuestra tarea inicial. Debemos trazar una circunferencia con centro en A y de radio 3, para
representar la situación del perro atado a una estaca por medio de una soga que mide 3 metros. ¿Cuál
creen que será la herramienta más adecuada para trazar la circunferencia en este caso?
Resolvamos ahora la segunda parte del problema. Representaremos a una de las estacas con un punto A
y a la otra con un punto B.
Ahora mediremos la distancia entre los dos puntos, para poder separarlos a una distancia de 5
centímetros.
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
Movemos el punto B de tal manera que quede a 5 cm del punto A.
¿Con cuál herramienta podríamos ahora representar cuan lejos pueden llegar ambos perros?
vi
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
vii
Ahora que ya tenemos el esquema armado, ¿a cuántos metros deberían estar las estacas para que los
perros no se toquen?
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
viii
Actividad 3
Un avión debe ir de la ciudad A a la ciudad B, que se halla a 300 kilómetros, recoger pasajeros, luego
dirijirse hacia la ciudad C, que queda a unos 500 kilómetros de la ciudad B, dejar los pasajeros, para luego
retornar a la ciudad de origen.
Para simplificar el problema, consideraremos que el avión vuela en linea recta.
a) Hagan un esquema representando la situación. Pueden considerar cada ciudad como un punto, y 100
kilómetros como 1 centímetro.
b) Ese esquema que hicieron, ¿es el único posible? En caso de no serlo, dar otro.
c) ¿Cuántas soluciones creen que habrá? ¿Se les ocurre alguna manera de encontrarlas a todas?
d) Ahora nos dicen que la ciudad C se encuentra a unos 600 kilómetros de la ciudad A. Realicen un nuevo
esquema.
e) ¿Es la única solución? En caso de no serlo, dar otra.
f) ¿Cuántas soluciones hay? ¿Se les ocurre alguna manera de encontralas a todas?
g) ¿Qué distancia recorrió el avión?
h) Ahora nos dicen que la ciudad C se encuentra a 200 kilómetros de la ciudad A. Realicen un nuevo
esquema de la situación.
Triángulos
Dos triángulos son iguales si es posible superponer uno con otro. Es decir, si dos
triángulos tienen sus lados iguales, entonces, son iguales.
Llamamos perímetro de un triángulo a la suma de las
longitudes de sus lados.
Para poder construir un triángulo, conocidas las medidas de sus tres lados, es posible ayudarse con el
compás y las circunferencias. Pero, para que dicho triángulo exista, la suma de las medidas de dos de
sus lados debe ser siempre mayor que la medida del tercero. Esto se conoce con el nombre de
desigualdad triangular.
Clasificación de triángulos según sus lados
Si un triángulo tiene...
...sus tres lados iguales, decimos que es un triángulo equilátero.
...al menos dos de sus lados iguales, decimos que es un triángulo isósceles.
...sus tres lados distintos, decimos que es un triángulo escaleno.
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Clasificación de ángulos
Ángulo agudo
…........
Mide menos de 90°
Ángulo recto
…..........
Mide exáctamente 90°
Ángulo obtuso
…...........
Mide más de 90°
Ángulo llano
…............
Mide 180°
Ángulo nulo
….........
Mide 0°
Decimos que dos ángulos son complementarios si
la suma de ellos es 90°
Decimos que dos ángulos son suplementarios si la
suma de ellos es 180°
Actividad 4
Supongamos que queremos construir un triángulo, y sólo nos dan algunos datos sobre sus lados y sus
ángulos.
a) Nos dicen que uno de los lados mide 5 cm, y otro de sus lados mide 3 cm. A su vez, nos dicen que el
ángulo formado por estos dos lados mide 50°. ¿Es posible constuir un triángulo así? ¿Cuántas soluciones
ix
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
x
distintas existen?
b) Si, en cambio, nos dicen que un lado mide 4 cm, y que uno de los ángulos que se apoya sobre este mide
60°, y el otro ángulo que se apoya sobre este lado mide 80°, ¿es posible construir un triángulo así?
¿Cuántas soluciones distintas existen?
c) ¿Que pasa si en la situación anterior nos decían que los ángulos medían 90° y 120°? ¿Era posible la
construcción?
d) Por último, nos dicen que un ángulo mide 40°, el otro mide 90° y el otro 50°. ¿Es posible construir un
triángulo así? ¿Cuántas soluciones distintas existen?
La suma de los ángulos de un triángulo siempre es igual a ….......
Clasificación de triángulos según sus ángulos
Si un triángulo tiene...
...sus tres ángulos agudos, decimos que es un triángulo acutángulo.
...un ángulo recto, decimos que es un triángulo rectángulo.
...un ángulo obtuso, decimos que es un triángulo obtusángulo.
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
xi
Actividad 4
1. a) Construir un triángulo equilátero
b) Construir un triángulo isósceles.
c) Construir un triángulo escaleno.
2. Dibujar las siguientes figuras, respetando las condiciones dadas.
a)
b)
c)
*Respetar la distancia entre los
*El triángulo ABC es equilátero.
*AC = BC (ABC es isósceles)
puntos.
*Los puntos de interseccion de las *AD = DB
circunferencias, son los puntos
*AE = ED
medios de los lados del triángulo
ABC
3. Decir, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa, justificando con construcciones o propiedades
estudiadas, según corresponda.
a) Si tengo un triángulo escaleno y dos de sus lados miden 8cm y 2cm respectivamente, un tercer lado
deberia medir 10cm.
b) Todos los triángulos equiláteros tienen el mismo perímetro.
c) Existe un triángulo isósceles en el cual uno de sus lados mide 2 cm y otro lado mide 7 cm.
d) “El pueblo donde nació mi papá queda a 25 km del pueblo donde nació mi mamá. El pueblo donde nació
mi mamá queda a 12 km del pueblo donde nací yo. Y el pueblo donde nací yo queda a 30 km de donde
nació mi papá”
e) Todos los triángulos equiláteros, son isósceles.
f) Todos los triángulos isósceles, son equiláteros.
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
xii
4. a) Dibujar un punto A.
b) Dibujar todos los triángulos isósceles que cumplan las siguientes dos condiciones:
1) El punto A es el vértice compartido por los dos lados iguales.
2) Los lados iguales miden 3 cm.
c) ¿Cuántas soluciones distintas hay?
5. a) Dibujar todos los triángulos isósceles tales que uno de sus lados mide 3 cm y otro de sus
lados
mide 5 cm.
b) ¿Cuántas soluciones diferentes hay?
c) ¿La respuesta anterior contradice el hecho de que puedo construir infinitos triángulos si tengo como
dato sólo dos de sus lados? ¿Por qué?
6. a) Construir un triángulo, en el cual uno de sus lados mida 2 cm, y el perímtro del triángulo sea 8 cm.
b) El triángulo que dibujaste en el punto anterior, ¿es la única solución posible? En caso de no serlo, dar
otras dos soluciones posibles.
7. Dados 4 puntos cualquiera, ¿cuántos triángulos puedo formar tomándo como vértices solo estos
puntos? ¿Por qué?
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xiii
Actividad 6
1. a) Construir un triángulo acutángulo
b) Construir un triángulo rectángulo.
c) Construir un triángulo obtusángulo.
2. Dibujar las siguientes figuras, respetando las condiciones dadas.
a)
b)
c)
*El triángulo BCA es equilátero.
* AC = BC
*AB = AC
*BD = AD = CD
*Respetar la medida del ángulo*K es punto medio de BC
marcado
*Todos
los
triángulos
del
“cucurucho” son iguales
3. Decir, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa, justificando con construcciones o propiedades
estudiadas, según corresponda.
a) Se puede dibujar un triangulo equilatero con un angulo de 70º.
b) Se pueden dibujar un triangulo cuyos angulos midan 190º pero se necesitan otras herramientas.
c) Existe un triangulo escaleno cuyo dos de sus angulos miden 80º
d) Si dos triángulos tienen sus lados iguales, entonces son iguales.
e) Si dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales, entonces son iguales.
4. a) Construir, si es posible, un triángulo rectángulo que tenga dos lados iguales. Si no es posible, indicar
por qué.
b) Construir, si es posible, un triángulo rectángulo que tenga tres lados iguales. Si no es posible, indicar
por qué.
I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría
xiv
5. a) Construir un triángulo isósceles con tres ángulos iguales. ¿Es posible? ¿Por qué?
b) Construir un triángulo isósceles con dos ángulos iguales y uno diferente. ¿Es posible? ¿Por qué?
c) Construir un triángulo isósceles con sus tres distintos. ¿Es posible? ¿Por qué?
d) Completar:
“En un triángulo isósceles, los ángulos formados por los lados iguales y el lado restante siempre son ...”
6. El siguiente dibujo está conformado por un triángulo equilátero (ABC), dos
isósceles (ABE y BCD) y uno escaleno (BED).
Con la ayuda de los dos ángulos medidos en el dibujo, determinar los valores
de los dos ángulos marcados restantes, sin medirlos.
7. Agregá, en cada caso, un dato, de manera tal de poder construir un triángulo y que sea único
a) El triángulo ABC tiene un ángulo de 60° y otro ángulo de 100°.
b) El triángulo DEF tiene un lado de 5 cm y otro lado de 3 cm.
c) El triángulo HIJ tiene un ángulo de 45° y un lado de 6cm.
8. a) Si un triángulo tiene dos lados iguales, ¿es verdad que tiene dos ángulos iguales? ¿Pot qué?
b) Si alguien me dice la medida de dos ángulos de un triángulo, ¿puedo deducir la medida del tercer
ángulo? Si es posible, indicar cómo. Si no lo es, indicar por qué.
c) Si alguien me dice la medida de dos lados de un triángulo, ¿puedo deducir la medida del tercer lado?
Si es posible, indicar cómo. Si no lo es, indicar algún dato extra que me permitiría deducir la medida del
tercer lado.
9. Un rectángulo es una figura de cuatro lados cuyos pares de lados opuestos son iguales, y sus cuatro
ángulos son rectos. Si los cuatro lados son iguales, decimos que ese rectángulo es un cuadrado.
Dibujar un rectángulo y un cuadrado, utilizando solo las herramientas de GeoGebra que venimos usando
para construir triángulos. (Ayuda: pensar al rectángulo como la unión de dos triángulos, y análogamente con
el cuadrado).