t5. trigonometría - Mauricio Contreras

T5. TRIGONOMETRÍA
_____________________________________________________
MATEMÁTICAS PARA 4º ESO
MATH GRADE 10
(=1º BACHILLERATO EN ATLANTIC CANADA)
____________________________________________________
CURRÍCULUM MATEMÁTICAS
NOVA SCOTIA
ATLANTIC CANADA
____________________________________________________
TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS
T5. TRIGONOMETRÍA
MAURICIO CONTRERAS
TRIGONOMETRÍA


Aplicar las propiedades de los triángulos semejantes
Resolver problemas que involucran triángulos semejantes y triángulos rectángulos
Los estudiantes, a través de las aplicaciones, deben revisar técnicas previamente estudiadas de
medidas indirectas. Algunos problemas que requieren medidas indirectas se pueden resolver
usando modelos matemáticos basados en triángulos semejantes. Por ejemplo,

Actividades fuera del aula
los profesores pueden llevar a los estudiantes fuera del aula y determinar la altura del instituto
o de un mástil, o la anchura de un rio, usando propiedades de los triángulos semejantes.

EL MÁSTIL
Por ejemplo, midiendo las distancias de P a la base del mástil y al pie del estudiante, y
conociendo la altura del estudiante, la longitud del mástil se puede determinar usando un
dibujo a escala o la proporción en triángulos semejantes.

Actividades de aula

REFLECTOR
Un foco reflector en un aeropuerto está situado con un ángulo de elevación de 30º. Conforme
gira, sus rayos iluminan aviones volando a una altitud fija en su camino. Construye diagramas
que involucren varios ángulos de elevación (20o, 40o, 45o, 50o, 60o, 75o) y halla la relación entre
el ángulo de elevación y la longitud del rayo. Para aviones con una altitud fija, los estudiantes
deben descubrir que, cuando el ángulo de elevación crece, la longitud del rayo decrece.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1
En los triángulos rectángulos, los lados se llaman comúnmente catetos (opuesto y adyacente)
e hipotenusa, tal como se indica en el diagrama. El nombre de opuesto y adyacente depende
del ángulo de referencia.
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Los estudiantes deben conocer que cuando dos triángulos son semejantes sus lados son
proporcionales. Por ejemplo, si ABC es semejante a DEF, entonces AB:DE=AC:DF.
Los estudiantes deben ser animados a examinar las razones:
opuesto
(para determinar si AB:AC=DE:DF).
adyacente
opuesto
(para determinar si AB:BC=DE:EF).
adyacente
opuesto
(para determinar si AC:BC=DF:EF).
adyacente

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 2
Los estudiantes deben construir tres triángulos diferentes pero semejantes, cada uno con un
ángulo de 90º y otro de 30º. Deben usar sus reglas para medir las longitudes de los lados y
completar la siguiente tabla (recordando usar un número apropiado de dígitos significativos).
Los estudiantes deben responder las siguientes preguntas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Explica qué es diferente en los triángulos 1 y 2.
Explica qué es igual en los triángulos 1 y 2.
Describe los resultados obtenidos en las columnas “Razón” de la tabla.
Si un cuarto triángulo tiene ángulos de 30º y 90º, y el lado opuesto al ángulo de 30º mide
13,2 cm, usa la tabla para determinar la longitud del lado adyacente al ángulo de 30º.
Repite todo lo anterior cambiando 30º por 40º y responde los apartados anteriores.
¿Qué conclusiones (con respecto a las razones) puedes hacer tras completar el apartado
e)?
Considera los dos triángulos de la siguiente figura y completa la siguiente expresión de
proporcionalidad. Explica por qué crees que es correcta.
AB

AC
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Triángulo

Lado
opuesto a
30º
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Medida
hipotenusa
Lado
adyacente a
30º
opuesto
adyacente
Razón
opuesto
adyacente
opuesto
adyacente
EL PUENTE
El puente entre dos pueblos, A y B, ha sido arrastrado por las aguas. (el puente es
perpendicular a la orilla). David vive a 1,5 km del pueblo B. Se lanza al agua y nada hacia la
orilla opuesta. La corriente le arrastra mientras nada, de forma que cuando sale fuera del agua
se encuentra en el punto C, a 0,8 km del pueblo A.
a)
b)

Los estudiantes tienen que responder las siguientes preguntas:
i) Suponiendo que David nada en línea recta y que DC corta a AB en el punto R, con
RA=0,5 km, ¿qué longitud nadó?
ii) Suponiendo que nada en línea recta y que la distancia de A a B es 1,2 km, ¿qué longitud
nadó David?
Los estudiantes deben crear una nueva situación con nuevas medidas usando el mismo
diagrama para que se pueda hallar la longitud del puente.
EL LAGO
El terreno triangular de Fred es fronterizo por un lado con un lago de longitud desconocida AB.
Andy tiene un terreno más pequeño con forma triangular semejante a la de Fred, es decir, ABR
es semejante a CDR. Fred quiere determinar la longitud AB del lago. Sabe que AR=1,5 km. Su
vecino Andy ha hecho estas medidas: DR=1,2 km, RC=0,86 km, y DC=1,48 km. ¿Cuál es la
longitud AB del lago?
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



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Resolver problemas que involucran triángulos semejantes y triángulos rectángulos
Determinar y aplicar relaciones entre los perímetros y áreas de figuras semejantes y
entre el área y el volumen de sólidos semejantes.
Determinar la precisión de una medida
PERÍMETRO Y ÁREA
Dibuja un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5. Dibuja un segundo triángulo semejante, con
dos lados de longitudes 1,5 y 2. ¿Cuál es la longitud del tercer lado? ¿Cuál es la relación del
perímetro del pequeño respecto del grande? Esta relación se llama factor de escala.
Calcula las áreas de los dos triángulos anteriores. ¿Cuál es la relación entre el área del pequeño
y el área del grade?
“La razón entre los perímetros de figuras semejantes es la misma que la razón entre un par de
lados correspondientes. La razón entre las áreas, sin embargo, es el cuadrado de la razón entre
dos lados, o el cuadrado del factor de escala.

ÁREA CUÁDRUPLE
Usando bloques de policubos, construye una forma geométrica y dibújala en una hoja de
papel. Crea una forma semejante que tenga cuatro veces el área de la dibujada. Explica cómo
lo haces. Sin medir, ¿qué puedes decir sobre la razón de los perímetros? Explica.

CAJAS DE CEREALES
Una caja contiene 350 g de cereales y tiene dimensiones 3,85 dm por 2,10 dm por 5,11 cm y se
vende por 3,75 euros. La empresa quiere crear una caja de forma semejante para contener
más cereal, con objeto de reducir el coste de fabricación de pequeños contenedores. Si
quieren que el área total sea cuatro veces la de la caja original, ¿cuáles deben ser las nuevas
dimensiones de la caja semejante?


Resolver problemas que implican medidas usando rumbos y vectores
Aplicar las propiedades de triángulos semejantes
“El rumbo de una recta es el ángulo que forma con la recta que indica el norte”.
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
EL VUELO

Un piloto planifica un vuelo en pequeño avión despegando de Yarmouth, Nueva Escocia
(Halla el aeropuerto en un mapa). El piloto decide volar hacia el norte durante una hora a
100 km/h (sin viento). Después de una hora, el avión gira y avanza hacia el este durante
dos horas y media. Indica en el mapa a qué distancia de Yarmouth se encuentra el avión.
Los estudiantes pueden dibujar un vector dirigido al norte desde Yarmouth y señalar 100
km para representar su longitud. La segunda parte del viaje se puede señalar con una
recta punteada que indica un vector que es 250 km de largo. El avión debe estar ahora
en algún lugar cercano a Halifax.

Dibuja el vector dirección y halla el tiempo de vuelo necesario para viajar desde Yarmouth
hasta Bridgewater o Liverpool, usando componentes norte, sur, este y oeste solamente.
El vector resultante en el viaje anterior es el vector que une Yarmouth con Halifax. Es
decir, el resultado es que el avión viaje directamente desde Yarmouth hasta Halifax.

Calcula el rumbo y la distancia de vuelo de regreso desde Halifax hasta Yarmouth,
haciendo un dibujo a escala de la situación.
Algunos estudiantes pueden usar el teorema de Pitágoras, ya que los dos vectores
dibujados anteriormente son perpendiculares. Los estudiantes también pueden medir
directamente el ángulo en el dibujo a escala para determinar el rumbo para el viaje de
regreso a Yarmouth. Más adelante, al final de este tema, deberán usar trigonometría
para los cálculos.
Las direcciones pueden indicarse como rumbos, los cuales usan medidas de ángulos siempre
desde el norte. Girar hacia el este quiere decir seguir un rumbo de 45º. Girar al noroeste
quiere decir girar un ángulo de 315º. Los estudiantes deben usar dibujos a escala cuando
resuelven problemas.
Algunos estudiantes quizá quieran investigar el uso de vectores con las componentes
expresadas en una matriz columna.
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
LAPIZ Y PAPEL
1)
Un barco deja el puerto P viajando con rumbo 45º. Recorre 6 km en una hora, entonces
cambia de dirección con rumbo 180º. Después de viajar 4 km en esa dirección, el barco
regresa al puerto. Usa un dibujo a escala para averiguar qué distancia tiene que recorrer
para regresar al puerto y con qué rumbo.
2)
a) Usando los vectores señalados en la figura, describe (usando rumbos) el camino
indicado.
b) Inventa un problema con un diagrama parecido y propónselo a tus compañeros de
grupo.

COMPONENTES DE UN VECTOR
Los vectores se pueden describir mediante componentes; una componente representa el
movimiento en horizontal y la otra el movimiento en vertical. De esta manera no solamente se
determina una dirección sino también una distancia o magnitud. Por ejemplo, el vector de
Yarmouth a Digby tiene una componente horizontal de 0, ya que va dirigido hacia el norte, y
una componente vertical de 100 km, ya que el avión ha viajado a 100 km por hora. Esto se
 horizontal  0 
  

puede simbolizar así: 
 vertical  100
El segundo vector va dirigido hacia el Este (hacia Halifax), por tanto el movimiento horizontal
es de 250 km (2,5 horas a 100 km/h) y el movimiento vertical es 0. El vector resultante
(dibujado a puntos) tiene un movimiento horizontal de 250 y uno vertical de 100. Por tanto, el
 250
 y se puede ver como la suma de los dos vectores
resultado se puede expresar como 
 100 
 0   250  250
  
  
 .
anteriores: 
100  0   100 
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La magnitud, módulo ( o distancia en este caso ) del vector resultante se puede hallar usando
el teorema de Pitágoras, ya que las componentes forman un triángulo rectángulo:
 250

  2502  1002  269,3 km
 100
a)
b)



5
Si el vector resultante AB tiene las componentes   , dibuja un diagrama y explica su
12 
significado. Halla el módulo de AB.
Si un avión vuela 225 km al norte, 125 km oeste, dibuja un diagrama y utiliza
componentes para averiguar la distancia que tiene que recorrer para regresar el punto de
partida.
Resolver problemas sobre triángulos semejantes y triángulos rectos
Aplicar el teorema de Pitágoras
CUADRADOS
Se han dibujado cuadrados sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo. Compara
el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa con las áreas de los cuadrados construidos
sobre los otros lados.
(Para hacer esto, los estudiantes deben cortar por las líneas punteadas y juntar las piezas en
los cuadrados construidos sobre los otros lados. Se requiere el uso de tijeras).
¿Qué conjetura podemos hacer?
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (catetos)”
hipotenusa2  cateto2  cateto2
m2  n2  p 2
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A menudo, en los problemas de aplicación se requiere el uso del teorema de Pitágoras, por
ejemplo en edificios, postes y torres

SITUACIONES
¿En cuáles de las siguientes situaciones se puede aplicar el teorema de Pitágoras y por qué?
a)
Halla x
b) Halla x
c) ¿A qué distancia de la
casa está el pié de la
escalera?
d)
Halla x
e) ¿Es x=90º?

MÁS MADERA
1)
Un carpintero tiene un trozo de una pieza de madera contrachapada para usarla como
soporte. Es lo bastante larga como para hacer una pieza triangular con un ángulo recto.
¿Cómo puede el carpintero usar sus conocimientos de matemáticas para construir un
triángulo rectángulo con esta pieza de madera?
2)
Bill mide un borde de la pieza de madera contrachapada y resulta ser de 4 dm. ¿Cómo
puede usar esta medida como un cateto para construir un triángulo rectángulo?
3)
Maria usa los 4 dm como la medida de la hipotenusa. ¿Qué método usará para construir
el triángulo rectángulo?

ALTURA DE UN ÁRBOL
Tú y un amigo queréis determinar la altura de un árbol en el patio del instituto. El árbol es
demasiado alto para subirlo. Tu amigo tiene una vara de un metro de longitud. Explica cómo
podéis determinar tú y tu amigo la altura del árbol.



Demostrar una comprensión y escribir una prueba del teorema de Pitágoras
Usar razonamiento inductivo y deductivo cuando se observan conjuntos, se desarrollan
propiedades y se formulan conjeturas
Usar razonamiento deductivo, construir argumentos lógicos y ser capaz de determinar
cuando un argumento lógico dado es válido
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
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UNA DEMOSTRACIÓN
Intenta encontrar una demostración del teorema de Pitágoras, usando para ello el siguiente
diagrama.
Puedes seguir los siguientes pasos:
a)
b)
c)
d)
e)
Comprender la situación. Busca sentido al diagrama anterior y como están conectadas sus
partes.
Enfrentarse con la evidencia. Observa que todos los triángulos tienen las mismas
dimensiones. El cuadrado mayor en la figura central representa c2, el resto del área de la
figura central está formado por cuatro triángulos iguales situados de diferente manera en
el diagrama de la derecha. Por tanto, lo que falta en la figura de la derecha es…
Ir más allá de la evidencia. Crea otras representaciones para intentar validar tus
conjeturas.
Establecer y sostener conclusiones/decisiones/soluciones. Anota cada frase que pienses
que es correcta o lleva adelante la validación de cada una de tus conjeturas. Por ejemplo,
cada lado de la figura central del diagrama tiene longitud c. Esto es cierto porque cada
lado del cuadrado es también el lado c de los triángulos.
Aplicar las conclusiones/decisiones/soluciones. Concluye que el cuadrado de la figura
central tiene lados de longitud c, por tanto representa c2…
Busca otras demostraciones del teorema de Pitágoras, redáctalas y explícalas a tus
compañeros de clase. Comprueba que hay más demostraciones del teorema de Pitágoras que
de ningún otro teorema de Geometría.

TERNAS PITAGÓRICAS
Las ternas pitagóricas ocurren cuando las longitudes de los tres lados de un triángulo
rectángulo son números enteros positivos que satisfacen el teorema de Pitágoras.
a)
b)
Explica cómo puedes averiguar si la combinación (3, 4, 5) es o no una terna pitagórica.
Halla al menos dos ternas pitagóricas más.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES
El triángulo rectángulo ABC es isósceles. Dibuja el siguiente diagrama, recorta los cuatro
triángulos en cada uno de los dos cuadrados pequeños y júntalos para cubrir exactamente el
cuadrado grande. Describe tus hallazgos con tus palabras.
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T5. TRIGONOMETRÍA

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PASO A PASO
Sigue los siguientes pasos usando una hoja de papel:

Paso 1. Construye un triángulo rectángulo escaleno en el centro del papel (con la
hipotenusa abajo como base). Señala que la hipotenusa es AB y el lado más largo es BC.

Paso 2. Construye un cuadrado en cada lado del triángulo. Etiqueta el cuadrado mayor
como BCDE. Etiqueta el cuadrado menor como AGFC. Etiqueta el cuadrado construido
sobre la hipotenusa como ABIH.

Paso 3. Localiza el centro de BCDE (intersección de dos diagonales). Etiqueta es punto
como O.

Paso 4. Construye la recta J perpendicular a la hipotenusa AB que pasa por O.

Paso 5. Construye la recta K perpendicular a la recta J que pasa por O. La recta K es
paralela a la hipotenusa. Las rectas J y K dividen a BCDE en cuatro partes.

Paso 6. Recorta el cuadrado pequeño AGFC y las cuatro partes del cuadrado BCDE.
Organízalos para cubrir exactamente el cuadrado ABIH sobre la hipotenusa. Describe qué
ha ocurrido con tus palabras.
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T5. TRIGONOMETRÍA




MAURICIO CONTRERAS
Demostrar una comprensión del papel de los números irracionales en las aplicaciones
Aproximar raíces cuadradas
Demostrar un conocimiento de propiedades de las operaciones que involucran raíces
cuadradas y aplicarlas.
LA PATRULLERA
Una lancha patrullera de la policía está situada en el punto (6, 0) y está regresando al puerto
situado en el punto (3, 1). Un velero envía una llamada de socorro desde el punto (0, 0). La
patrullera tiene gasolina suficiente para 12 km. ¿Debe el capitán de la patrullera ir al puerto a
reponer gasolina o puede ir primero hasta el velero y después regresar al puerto? Justifica tu
elección.

EL MANTEL
Como sabes π es aproximadamente 3,14. Supón que has hecho un mantel circular como regalo
de vacaciones para tu familia. El mantel tiene un fleco de color. Mides el diámetro del mantel y
estimas la longitud del fleco para cortarlo, usando un valor de 3 para π. Comparado con el
valor de π que muestra la calculadora, ¿piensas que tu estimación es por exceso o por
defecto? Algunos estudiantes usan el valor π=3,14 en vez del valor de π que da la calculadora.
¿Cuál puede ser la desviación por arriba o por debajo si el diámetro medido es de 100 cm?
Explica cuántas cifras decimales hay que tomar de π si el diámetro medido es de 152,35 cm.

EL PUENTE 2
Un ingeniero de la construcción calcula que la carga máxima de un nuevo puente que está
diseñando para unir Prince Edward Island y Newfoundland se puede determinar con la
expresión 100 99  70 2 toneladas.


Se ha hecho una señal con un letrero en el nuevo puente, basado en el cálculo del ingeniero,
diciendo que el puente puede sostener con seguridad 100 toneladas. En el día de apertura al
tráfico, una sección del puente se derrumba bajo una carga menor que la décima parte del
peso señalado en el cartel. Escribe una explicación para el público de por qué el puente se ha
derrumbado.
Si no estás seguro de cómo se ha producido el error, calcula la expresión usando el valor
de 2 que muestra la calculadora. Después haz el mismo cálculo usando un valor
aproximado para 2 , como por ejemplo 1,4. Observa que pequeñas diferencias en el
valor de 2 crean grandes diferencias en las respuestas. ¿Por qué? Si expandes la
expresión 100 99  70 2 usando la ley distributiva, podrás ver que una pequeña


diferencia entre 2 y su aproximación queda multiplicada por 7000, provocando una
gran diferencia en el resultado.
Investiga qué ocurre cuando se cambia el 100 por 1000, o el 99 por 98, o el 70 por 71,
observando cómo afectan estos cambios al resultado del cálculo.
Inventa un problema parecido y proponlo a tus compañeros de clase.
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T5. TRIGONOMETRÍA





MAURICIO CONTRERAS
Demostrar una comprensión del papel de los números irracionales en las aplicaciones
Aproximar raíces cuadradas
Desarrollar algoritmos y hacer operaciones con números irracionales
Aplicar el teorema de Pitágoras
Usar razonamiento inductivo y deductivo cuando se observan conjuntos, se desarrollan
propiedades y se formulan conjeturas

IRRACIONALES EN UNA TRAMA
a)
Halla la longitud de los lados del siguiente cuadrado y determina su área.
b)
Calcula las longitudes MN y AB en la siguiente figura y compáralas
Los estudiantes pueden visualizar la simplificación de radicales. Así, aplicando el teorema
de Pitágoras, AB  2 2  2 2  4  4  8 y MN  12  12  1  1  2 . MN es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1. AB es la hipotenusa de
un triángulo rectángulo con catetos de longitud 2. Por tanto, el triángulo con lado MN es
semejante al triángulo con lado AB y vemos que AB es el doble de MN. Es decir,
8 2 2 .
Algebraicamente,
desde
un
punto
de
vista
formal:
8  4  2  4  2  2  2 . Por lo tanto, teniendo en cuenta que
podemos aproximar
c)
Sabiendo que
8 por 2  1,4142  2,8284 .
3  1,73 , calcula aproximadamente
2  1,4142 ,
75 y representa gráficamente
3 y
75 .
Podemos escribir
d)
75  25  3  25  3  5  3 . Por tanto,
75  5  1,73  8,65
2  1,4142 , calcula formalmente y aproximadamente
Sabiendo que
Representa gráficamente el resultado en una trama de puntos.
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8 3 2 .
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
RAÍCES CUADRADAS
1)
Dibuja un diagrama para mostrar la longitud de cada uno de los siguientes irracionales y
escribe cada uno como la raíz cuadrada de la suma de dos cuadrados.
a) 13
b) 29
c) 45
2)
Escribe 2 , 3 y 5 con dos cifras decimales y utiliza los resultados para aproximar los
valores de los siguientes irracionales.
a) 72
b) 45
c) 27
3)
a) Usa un diagrama apropiado para representar
72
b) Usa el diagrama anterior para dar un valor aproximado de

72
LA PARCELA
Un terreno de 9 km por 3 km se parcela en cinco fincas. Para vallarlas es necesario definir las
cinco propiedades.
a)
Si los dueños de las cuatro parcelas de las esquinas han de comprar los trozos de valla
para sus propiedades, ¿Cuánta longitud de cerca debe comprar Bill más que Sue?
b)
Halla la longitud exacta del total de valla requerida.
c)
Si vallar cuesta 15 euros por cada 9 metros, ¿cuál será el coste de la valla?
d)
Inventa un problema similar, pero con el siguiente cambio: dada la cantidad de valla, hay
que calcular las medidas del terreno rectangular original que debe ser seccionado.
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T5. TRIGONOMETRÍA


MAURICIO CONTRERAS
Resolver ecuaciones lineales, radicales y exponenciales e inecuaciones lineales
FÓRMULAS
Durante varios años de trabajo con una gran compañía eléctrica, hacemos uso de varias
fórmulas matemáticas.
P
a) Resuelve para la variable desconocida en la fórmula I 
R
i) cuando I=17,50 euros y P=208 euros.
ii) cuando R=6,5% y P=1500 euros.
b)
Usa la fórmula V  PR  15 para hallar la variable desconocida, sabiendo:
i) R=8,9, V=124,m6
ii) P=2,35, V=57,3
iii) P=1500, R=9,3.

ECUACIONES IRRACIONALES
Resuelve:
a)
3 x  x 3
b)
2x  3  5
c)
7  3x  3  x
d)
x  2  x  2  12
e)
 3x  14  x  4
f)
3  3x  9
g)
5  2 x  7
h)
2
x 1 5
3
(Las ecuaciones que involucran raíces cuadradas en ambos lados de la ecuación se tratarán con
detalle en cursos posteriores)

Relacionar las funciones trigonométricas con las razones en triángulos rectángulos
semejantes.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
a)
Construye varios triángulos rectángulos semejantes, cada uno con un ángulo de 30º.
Usando el ángulo de 30º como referencia, mide los lados opuesto y adyacente y la
hipotenusa para cada uno de los triángulos y calcula las respectivas razones
(opuesto/adyacente, opuesto/hipotenusa, y adyacente/hipotenusa). Observa que el valor
de cada una de las razones permanece constante, independientemente del tamaño del
triángulo.
b)
Repite el proceso para triángulos rectángulos que contengan ángulos de otros tamaños
(por ejemplo, 15º, 40º, 45º, 70º). Observa cómo al cambiar de ángulo9 de referencia,
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T5. TRIGONOMETRÍA
MAURICIO CONTRERAS
cambia el valor de las tres razones. En cualquier triángulo rectángulo, las razones de los
diferentes pares de lados permanecen constantes para un ángulo agudo dado, sea cual
sea el tamaño de este ángulo o el tamaño del triángulo.

ESCALERA
Una escalera forma un ángulo de 70º cuando su extremo superior toca la pared a una altura de
3,5 metros. ¿A qué distancia de la pared se encuentra el pié de la escalera?
(Utiliza el hecho de que, para un ángulo de 70º, la razón opuesto/adyacente es 2,74, según has
visto en el problema anterior)

ÁNGULO DE SEGURIDAD
¿Qué es el ángulo de seguridad para una escalera respecto del suelo?
a)
Usando un modelo de escalera (como un palo o madera de un metro) determina una
posición inclinada segura cuando la escalera se apoya sobre la pared. Estima el ángulo de
seguridad y mide la base y la longitud de la escalera. Como en el mundo real, la altura que
alcanza la escalera en la pared es una medida indirecta que debe calcularse (por el
teorema de Pitágoras). Haz un dibujo a escala y mide el ángulo con el transportador de
ángulos. ¿Tu estimación era razonable?
b)
Si la escalera es extensible, se puede extender a diferentes longitudes. Si el ángulo de
seguridad se mantiene, la distancia del pie de la escalera a la pared cambia. Usa triángulos
semejantes para calcular nuevas distancias a la pared para varias longitudes de escalera.
c)
¿Hay una manera rápida para que un bombero pueda determinar donde debe poner el
pie de su escalera para alcanzar con seguridad el tejado de un edificio incendiado? Si
conoce la longitud de su escalera, una rápida estimación de la distancia en el suelo puede
ser fácil de calcular.
d)
Cada grupo de clase investigará con un ángulo de seguridad diferente y diagramas a
escala. Estas razones constantes (en este caso, adyacente/hipotenusa) pueden ser
definidas como coseno.
e)
¿A qué distancia de la pared hay que poner el pie de una escalera de 10 metros de larga,
dado un ángulo de seguridad de 72ª?
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T5. TRIGONOMETRÍA





MAURICIO CONTRERAS
Determinar la precisión de una medida
Usar calculadoras para hallar razones trigonométricas de ángulos y para hallar ángulos
cuando las razones trigonométricas son conocidas
Aplicar funciones trigonométricas para resolver problemas sobre triángulos rectángulos,
incluyendo el uso de ángulos de elevación.
Resolver problemas usando razones trigonométricas
LETRAS DESCONOCIDAS
Halla los valores de las letras desconocidas, x y ϴ, en las siguientes figuras.

UN JUEGO
Vamos a jugar a un juego en el que, dadas dos razones trigonométricas, debes hallar la tercera
y expresarla como fracción y dibujar el diagrama completo del triángulo correspondiente.
a)
b)
3
7
y tan  
…
4
3
4
3
Tengo un triángulo en le que… sin   y cos  
5
5
Tengo un triángulo en el que… cos  
(Continua el juego por parejas para pequeños períodos de tiempo cada día haciendo preguntas
parecidas y anotando las respuestas)

METEOROLOGÍA
La meteoróloga Wendy Storm está usando un sextante para determinar la altura de un globo
sonda. Ve el globo a 1400 m del sextante y con un ángulo de elevación de 44,27º. El sextante
es 1,5 metros de alto.
a)
¿A qué altura está el globo?
b)
Si Wendy sabe que el globo está a una altitud de 1000 m, pero dista 1400 m del sextante,
¿cuál podría ser la lectura del sextante del ángulo de elevación?
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EL MÁSTIL DE LA BANDERA
¿Cómo se puede determinar la altura de un mástil que no se puede inclinar en los siguientes
casos:
Caso A: Es un día muy soleado y tu y tu amigo tenéis una cinta métrica.
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T5. TRIGONOMETRÍA
MAURICIO CONTRERAS
Caso B: Es un día nublado y tu y tu amigo tenéis un palo de un metro y un clinómetro (un
aparato para medir ángulos de elevación)
Nota: Usando una calculadora para conectar razones trigonométricas y ángulos desconocidos
permite construir tablas de valores trigonométricos y descubrir propiedades (por ejemplo,
para ángulos agudos se puede ver que todos los valores de seno y coseno están entre 0 y 1;
que los valores de seno crecen cuando el ángulo crece de 0 a 90º).
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Resolver problemas sobre medidas usando rumbos y vectores
Resolver problemas usando razones trigonométricas
Determinar la precisión de una medida
EL TESORO
María y Marcel encontraron un viejo mapa de un tesoro. En él dice que hay que empezar en el
viejo castaño y caminar 12 pasos con rumbo 180º. A partir de ahí, hay que contar 15 pasos con
rumbo 135º. En ese punto, si miras hacia abajo, encontrarás un gratificante tesoro.
Para hallar el tesoro, María y Marcel dibujaron el diagrama de la siguiente figura.
El tesoro que encontraron estaba envuelto en una lona. Era una pequeña caja con otra nota
adjunta. La nota decía que i podían determinar la distancia que había desde el castaño hasta el
punto donde se encontraban y el rumbo que necesitaban para caminar directamente desde el
castaño hasta el punto donde se encontraban, les sería dada una llave para abrir la caja.
¿Puedes ayudarles?
Sugerencia: a partir del triángulo ART puedes calcular AT. Después en el triángulo rectángulo
ATC aplica el teorema de Pitágoras para obtener TC (distancia a recorrer para volver al
castaño) y usando la tangente del ángulo ATC, puedes hallar dicho ángulo. Entonces el rumbo a
seguir para volver al castaño es 270º+<ATC.
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T5. TRIGONOMETRÍA
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MAURICIO CONTRERAS
EL INCENDIO
Al salir de un bosque de maderas en la posición A, Marni observa un incendio en su
campamento, C. Busca apagar el fuego con agua. Observa rápidamente una gran roca, B, con
rumbo 160º en la orilla del agua, donde puede llenar su cubo y después correr directamente al
campamento.
a)
b)
c)
d)
¿Qué distancia debe recorrer ella en total?
¿Con qué rumbo debe correr antes de llenar su cubo?
¿Hay un lugar mejor para llenar su cubo, de forma que tenga que recorrer la distancia más
corta posible?
¿Con qué rumbo debe dirigirse a esa posición desde el punto A?
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RUMBOS
Si caminas con un rumbo de 225º recorriendo 4 km y después caminas con rumbo 90º
recorriendo 1 km, ¿a qué distancia te encuentras del punto de partida?
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PASEOS
Lynn camina con rumbo 60º mientras Sharilyn camina con rumbo 300º. Cada uno camina
durante una hora. Lynn recorre 6,4 km, Sharilyn recorre 6,56 km. ¿A qué distancia se
encuentran uno de otro? ¿Con qué rumbo debe caminar Sharilyn para encontrar a Lynn, que
se ha quedado parado?
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UN MAPA
Dado este mapa, responde las siguientes cuestiones:
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuál es el rumbo para ir de A a B?
¿Cuál es el rumbo para ir de B a C?
Explica cómo puedes hallar la distancia de B a D.
¿Cuál es el rumbo para ir de D a E?
¿Hay suficiente información para hallar la longitud de A a E? Explica cómo puedes hacerlo
o por qué no puedes hacerlo.
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T5. TRIGONOMETRÍA
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MAURICIO CONTRERAS
LA ESCALERA 2
Suponemos que un tipo particular de escalera es seguro si el ángulo que forma con el suelo
está comprendido entre 65º y 80º.
a)
b)
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¿Qué distancia puede alcanzar sobre la pared una escalera de este tipo de 10 m de
longitud, en condiciones de seguridad?
¿A qué distancia de la pared, se puede desplazar la base de la escalera, como mínimo?
Propiedades de la semejanza de triángulos
Relaciones entre perímetros, áreas y volúmenes de sólidos semejantes
Estimación y precisión de una medida
Uso de rumbos y vectores para resolver problemas de medida
Demostraciones y aplicaciones del teorema de Pitágoras
Razonamiento inductivo y deductivo, formulación de conjeturas y construcción de
argumentos lógicos
Propiedades de las operaciones con números irracionales, estimación y aproximación de
los resultados
Resolución de ecuaciones lineales, radicales y exponenciales, e inecuaciones lineales.
Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
Resolución de problemas obteniendo valores de las razones trigonométricas con
calculadora
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