Introducción a los flujos multifásicos Patricio Bohórquez & Luis Parras Escuela Politécnica Superior de Jaén Universidad de Jaén, España Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad de Málaga, España Curso de Mecánica de Fluidos Computacional Aplicada Técnicas Reunidas S.A. 02/Julio/2010 Introducción a los flujos multifásicos– p.1 Flujos multifásicos: caso inmiscible Flujos inmiscibles: Nos referimos a 2 o más fases separadas por una superficie infinitesimal. Ejemplos.- Caída libre de una gota de agua en la atmósfera, rotura de una presa, llenado de un depósito, etc. Introducción a los flujos multifásicos– p.2 Flujos multifásicos: caso inmiscible Interface tracking: Las ecuaciones que gobiernan el problema son, para cada fase, las ecuaciones de Navier-Stokes. Por ejemplo, para agua y aire, a bajos números de Mach, se tiene: ~ x ∈ el aire : ∇ · ~vg = 0 , (1) ∂ρg ~vg ′ ′′ + ∇ · (ρg ~vg ~vg ) = −∇pg + ∇ · (τ g + τ g ) , ∂t (2) ~ x ∈ el líquido : ∇ · ~vf = 0 , (3) ∂ρf ~vf ′ ′′ + ∇ · (ρf ~vf ~vf ) = −∇pf + ∇ · (τ f + τ f ) , ∂t (4) Arriba, t es tiempo, ~v es la velocidad, p = P − ρ~g · ~ x es la presión reducida, P es la presión ′ absoluta, ρ es la densidad, τ es el tensor de esfuerzos viscosos, « » „ – 2 µ v − (∇ · ~v ) I , τ = µl ∇~v + (∇~v )T + µl 3 ′ µl es la viscosidad dinámica, µv es la viscosidad de mezcla y τ de Reynolds. (5) ′′ es el tensor de esfuerzos Introducción a los flujos multifásicos– p.3 Flujos multifásicos: caso inmiscible Interface tracking: Las ecuaciones de cada fase están acopladas a las de la fase colindante vía la superficie libre. La superficie libre, o interfase, representa pues una condición de contorno que está compuesta por: una condición cinemática y una condición dinámica. Formalmente, ~ x∈Γ: ~vf = ~vg , (6) (τ f − τ g ) · ~ n = (Pf − Pg + σκ) · ~ n, donde σ es el coeficiente de tensión superficial, ~ n es el vector unitario normal a la interfaz dibujado desde el gas hacia el líquido, κ es la curvatura local de la superficie, κ ≡ ∇·~ n ′ ′′ y τ ≡τ +τ . (7) Si se resuelve la formulación dada anteriormente por (1)-(7), diremos que hacemos uso de un método tipo interface tracking (ver Tukovic & Jasak, 2008, y Jasak, 2009). Ejemplo, transporte de sulfactantes entre una gota ascendente y la atmósfera, Introducción a los flujos multifásicos– p.4 Flujos multifásicos: caso inmiscible Interface tracking: Hay casos en los que se puede despreciar la influencia del movimiento de una fase en la de la otra. En tal caso, sólo se resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes en la fase de interés y se extrapola el campo de velocidades a la fase débil. Ejemplo.- Análisis del flujo sobre un perfil aerodinámico en un canal de agua: Ventajas: la interfaz está definida por el contorno de las celdillas de la malla; la difusión numérica inherente a los métodos de bajo orden de consistencia no distoriona la forma de la interfaz; permite determinar con exactitud la posición de la superficie libre, calcular la curvatura y lidiar con efectos dominantes de tensión superficial (no sufre de corrientes parásitas). Inconvenientes: requiere deformar la malla; en presencia de distorsión elevada de las celdillas es necesario remallar e interpolar entre mallas (problemas de conservación de masas, inestabilidades numéricas, etc); no permite cambios de forma (por ejemplo, formación y coalescencia de burbujas) a no ser que se lleve a cabo un tratamiento exhaustivo del método (ver trabajos de Sandeep Menon en http://www.ecs.umass.edu/ smenon/). Introducción a los flujos multifásicos– p.5 Flujos multifásicos: caso inmiscible Interface capturing (level set): El sistema de ecuaciones (1)-(4) y la condición de contorno (6) se pueden combinar modelando la fuerza de superficie como una fuerza de volumen: ρ ∂~v + ρ∇ · (~v~v ) = −∇p + ∇ · τ − σκδ(d)~ n, ∂t ∇ · ~v = 0 , (8) ~ x∈Ω donde ~v viene dada por 8 > <~vf ~v = ~vf = ~vg > : ~vg ~ x ∈ líquido ~ x∈Γ ~ x ∈ aire . La densidad ρ y viscosidad µ se definen de manera análoga a ~v . Por otro lado, Ω es el dominio que contiene los fluidos y δ es la delta de Dirac. Por otro lado, d es la función distancia a la interfaz. La interfaz Γ está parametrizada por la función distancia φ ≡ d, conocida como level set: Γ = {~ x | φ(~ x, t) = 0} , (9) siendo φ > 0 en el líquido y φ < 0 en el aire. Introducción a los flujos multifásicos– p.6 Flujos multifásicos: caso inmiscible Interface capturing (level set): La condición cinemática establece que φ se propaga a la velocidad del fluido, ∂φ + ∇ · (φ~v ) = 0 . ∂t (10) El vector normal y la curvatura de la interfaz se puede expresar fácilmente en términos de φ(~ x, t): ~ n = ∇φ/|∇φ| and κ = ∇ · (∇φ/|∇φ|). Para que φ(~ x, t) continue siendo la función distancia para todo t, se debe reinicializar en cada paso de tiempo, ∂φ + sgn(φ0 )(|∇φ| − 1) = 0 , ∂τ (11) donde sgn(φ0 ) es φ0 . sgn(φ0 ) = q φ20 + (∆x)2 (12) Inconvenientes: la reinicialización de la función distancia no garantiza la conservación de la masa. Típicamente, levelset pierde un 20 % de la masa fluida a lo largo de la simulación. Introducción a los flujos multifásicos– p.7 Flujos multifásicos: caso inmiscible Interface capturing (volume of fluid): Numéricamente es inviable trabajar con magnitudes discontínuas en la interfaz, como son la viscosidad µ, densidad ρ, ... Para evitar la aparición de oscilaciones espúreas se suaviza la transición entre fases: ρ = ρf γ + ρg (1 − γ) , µ = µf γ + µg (1 − γ) . Se supone que las fases son miscibles en una región “cercana” a la interfaz (típicamente, ± 3 celdillas computacionales): Introducción a los flujos multifásicos– p.8 Flujos multifásicos: caso inmiscible Interface capturing (volume of fluid): La velocidad másica ~v viene dada por (13) ~v = [γρf ~vf + (1 − γ)ρg ~vg ]/ρ . El flujo volumétrico ~ u viene dado por ~ u ≡ γ~vf + (1 − γ)~vg satisfaciendo (14) ∇·~ u = 0. Se considera que existe un movimiento relativo (de deslizamiento) entre las fases dentro de la interfaz: ~ urγ ≡ ~vf − ~vg es la velocidad relativa de la fase líquida respecto de la fase gaseosa. Las ecuaciones de conservación a resolver son (ver Berberović et al., 2009): ∂ρ + ∇ · (ρ~v ) = 0 , ∂t ∂ρ~v x∇ρ , + ∇ · (ρ~v~v ) = −∇p + ∇ · τ − σκ∇γ − ~g · ~ ∂t ∂γ + ∇ · (γ~ u) + ∇ · [γ(1 − γ)~ urγ ] = 0 . ∂t (15) (16) (17) Introducción a los flujos multifásicos– p.9 Flujos multifásicos: caso inmiscible Interface capturing (volume of fluid): Ventajas: es conservativo, permite analizar flujos que experimentan cambios topológicos (formación y coalescencia de burbujas), es fácil de implementar y permite la resolución de las pequeñas escalas vía refinado octree (Popinet, 2009). Inconvenientes: en la malloría de las implementaciones se pierde la localización de la interfaz e introduce corrientes parásitas en flujos dominados por tensión superficial. Introducción a los flujos multifásicos– p.10 Flujos multifásicos: caso inmiscible Interface capturing (volume of fluid): La velocidad de compresión de la interfaz ~vrγ debe actuar a lo largo de la dirección perpendicular a la interfaz: ~vrγ = Kc ∇γ . |∇γ| (18) Existen distintas formulaciones para asignar un valor al factor de compresión Kc . Por defecto, interFOAM adopta la siguiente ley: Kc = mı́n(Cγ u ~ ·~ nf , máx(~ u·~ nf )) (19) donde ~ nf es el vector normal a la cara de la celdilla. La constante Cγ toma valores comprendidos entre 0 y 2, usualmente 1. Introducción a los flujos multifásicos– p.11 Flujos multifásicos: caso miscible Existen dos grandes grupos (ver Ishii & Hibiki, 2006 y Drew & Passman, 1999): Modelos de mezcla: se emplea cuando el acoplamiento entre las fases es débil y la concentración de una de las especies es pequeña respecto de la otra. Esto es, cuando existe poca disparidad de masa entre las especies y, por tanto, la velocidad relativa entre los distintos componentes es pequeña frente a la velocidad másica de la mezcla. También se emplea cuando no se satisfacen dichas hipótesis siempre y cuando haya suficiente tiempo de interacción (Manninen et al., 2006). Su uso está estandarizado en tanques de sedimentación, separadores, ciclones, etc. Introducción a los flujos multifásicos– p.12 Flujos multifásicos: caso miscible (continuación): Modelos multi-fluídicos: se emplea cuando existe una larga disparidad de masas y no existe una fase predominante. Por ejemplo, en mezclas binarias de aire y partículas sólidas, lechos fluidizados, etc. Constituyen un reto científico. Nótese que existen grandes grupos de trabajo internacionales, a destacar MFIX y MULTIFLOW (Berend van Wachem Research Group). Introducción a los flujos multifásicos– p.13 Flujos multifásicos: caso miscible Modelo de mezcla: Actualmente disponemos de 1 modelo de mezcla para 2 fases. La descripción teórica del mismo y de los tutoriales incorporados se encuentra en Brennan (2001). Las ecuaciones de partida son las de Navier-Stokes para cada especie. Por ejemplo, continuidad se lee como ∂αf ρf + ∇ · (αf ρf h~vf i) = 0 , ∂t ∂αp ρp + ∇ · (αp ρp h~vp i) = 0 , ∂t (20) (21) ¡Y se reescribe de la siguiente forma! ∂ρ + ∇ · (ρ~v ) = 0 ∂t ó ∇ · (h~ ui) = 0 , (22) ∂αp + ∇ · (αp~v ) + ∇ · (αp (1 − αp )~vr ) = 0 . ∂t (23) Interpretamos: ecuación de continuidad de la mezcla + ecuación de trasporte escalar para la concentración volumétrica de la fase débil. Introducción a los flujos multifásicos– p.14 Flujos multifásicos: caso miscible Modelo de mezcla: Las ecuaciones de partida son las de Navier-Stokes para cada especie. Por ejemplo, balance de momento se lee como ∂αp ρp h~vp i + ∇ · (αp ρp h~vp ih~vp i) = −∇(αp hps i) + ∇ · (αp hτ p i) + αp ρp~g , ∂t ∂αf ρf h~vf i + ∇ · (αf ρf h~vf ih~vf i) = −∇(αf hpi) + ∇ · (αf hτ f i) + αf ρf ~g , ∂t (24) (25) ¡Y se reescribe de la siguiente forma! ∂ρh~v i x∇ρ , + ∇ · (ρh~v ih~v i) = −∇(αf hpi) − ∇(αp hps i) + ∇ · hτ i − ~g · ~ ∂t ~vr = ~vf − ~vp = · · · Interpretamos: ecuación de balance de momento cinético de la mezcla + ecuación constitutiva de movimiento relativo para ~vr , ps y τ . Hipótesis inheretes: la inercia de la fase p es despreciable. (26) (27) Introducción a los flujos multifásicos– p.15 Flujos multifásicos: caso miscible Modelo de mezcla: ′ El tensor de esfuerzos generalizado τ contiene: el tensor de esfuerzos viscosos τ , el tensor de esfuerzos de Reynolds τ ′′ y el tensor de difusión de cantidad de movimiento debido al movimiento relativo entre fases τ ′′′ . » „ – « µ 2 v τ = µl ∇~v + (∇~v )T + − (∇ · ~v ) I , µl 3 ′ τ ′′ τ ′′′ (28) « – » „ 2 µ v − (∇ · ~v ) I , = µt ∇~v + (∇~v )T + µt 3 ≡ αp (1 − αp ) (29) ρf ρp ~vr ~vr . ρ (30) La velocidad de deslizamiento puede incluir efectos difusivos (ley de Fick), velocidad de fluctuación turbulenta (difusión turbulenta), shear-induced self-diffusion, etc. El modelo es generalizable a n fases dispersas. Ver, por ejemplo, Liu & García (2007). Introducción a los flujos multifásicos– p.16 Flujos multifásicos: caso miscible Modelo multi-fásico: Actualmente disponemos de 2 modelso multi-físicos para 2 fases: Modelo para flujos compuestos por fases tipo líquido-gas (bubbleFoam). Modelos para flujos compuestos por fases tipo sólido-gas (twoPhaseEulerFoam). La derivación matemática de los mismos es original. ¿Qué hay detrás de los modelos teóricos y de su formulación matemática? bubbleFoam: descrito en profundidad en Weller (2005) y Rusche (2002). Alberto Passalacqua ha presentado una descripción detalla tanto del solver numérico como de su implementación y como de los parámetros que en el intervienen. twoPhaseEulerFoam: constituye una extensión del anterior, donde se incluyen leyes reológicas predefinidas para flujos gas-sólido basadas en la teoría cinética (van Wachem, 2000). Se observa que kineticTheoryModel.C implementa los modelos descritos en la tesis de van Wachem. ¿Por qué? Muy sencillo, por las leyes de cierre y las ecuaciones constitutivas. Éstas condicionan la convergencia de los métodos numéricos tipo segregado que son incorporados en la solución propuesta. La alternativa son las descritas anteriormente: solvers numéricos específicamente diseñados para problemas acoplados. Introducción a los flujos multifásicos– p.17 Flujos multifásicos: esquemas acoplados La solución propuesta: Definir una estructura de datos apropiada para lidiar con el acoplamiento de ecuaciones, de manera análoga a coupledMatrix ⇒ Damos el salto a la versión OpenFOAM-1.5-dev. Redefinimos la estructura de datos, e.g. blockMatrix (ver Clifford & Jasak, 2009, y Kissling et al, 2010). VulaSHAKA: Simultaneous Neutronic, Fuel Performance, Heat And Kinetics Analysis. Introducción a los flujos multifásicos– p.18 Flujos multifásicos: esquemas acoplados Referencias: 1. Tukovic, Z. and Jasak, H. (2008) Simulation of free-rising bubble with soluble surfactant using moving mesh finite volume/area method. 6th International Conference on CFD in Oil & Gas, Metallurgical and Process Industries. 2. Jasak, H. (2009) Dynamic Mesh Handling in OpenFOAM. AIAA. 3. Menon, S., Rothstein, J. and Schmidt, D. P. (2009) A Numerical Study of Axi-symmetric Droplet Formation Using A Moving Mesh Approach. 11th Triennial International Annual Conference on Liquid Atomization and Spray Systems. 4. Berberović, E., van Hinsberg, N. P., Jakirlić, S., Roisman, I. V. and Tropea, C. (2009) Drop impact onto a liquid layer of finite thickness: Dynamics of the cavity evolution. Physical Review E 79, 036306. 5. Popinet, S. (2009) An accurate adaptive solver for surface-tension-driven interfacial flows. Journal of Computational Physics, 228(16): 5838-5866. 6. Ishii, M., Hibiki, T. (2006) Thermo-fluid dynamics of two-phase flow. Springer. 7. Drew, D. A. and Passman, S.L. (1999) Theory of Multicomponent Fluids. Springer. 8. Manninen, M., Taivassalo, V., Kallio, S. (1996) On the mixture model for multiphase flow. Tech. Rep. VTT Publications 288., Centre of Finland. Introducción a los flujos multifásicos– p.19 Flujos multifásicos: esquemas acoplados Referencias (continuación): 9. Brennan, D. (2001) The numerical simulation of two-phase flows in settling tanks. Ph.D. thesis, Imperial College, University of London. 10. Liu, X., Garcia, M. H. (2007). Numerical modeling for the Calumet Water Reclamation Plant (CWRP) primary settling tank. Tech. rep., University of Illinois. 11. Weller, H. G. (2005). Derivation, modelling and solution of the conditionally averaged two-phase flow equations. Tech. Rep. TR/HGW/02, Nabla Ltd. 12. Rusche, H. (2002). Computational fluid dynamics of dispersed two-phase flows at high phase fractions. Ph.D. thesis, Imperial College, University of London. 13. Passalacqua, A (2010) The FOAM Documentation Project, pp 1-1/1-31. 14. van Wachem, B. G. M. (2000). Derivation, implementation, and validation of computer simulation models for gas-solid fluidized beds. Ph.D. thesis, Delft University of Thechnology. 15. Clifford I and Jasak H. (2009) The application of a multi-physics toolkit to spatial reactor dynamics. International Conference on Mathematics, Computational Methods & Reactor Physics. 16. Kissling, K., Springer, J., Jasak, H., Schutz, S., Urban, K. and Piesche, M. (2010) A Coupled Pressure Based Solution Algorithm. Based on the Volume-Of-Fluid Approach for Two or More Immiscible Fluids. V European Conference on Computational Fluid Dynamics. Introducción a los flujos multifásicos– p.20