Vibraciones libres

k
m=
T 2 T = 2π m
2
4π
k
UNIVERSIDAD GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
VIBRACIONES LIBRES
CIUDAD BOLÍVAR, 26 DE MARZO DE 2010
ÍNDICE
pág.
Introducción……………………………………………………………………………..3
Marco teórico:
Modelos matemáticos………………………………………………………………….4
Conjunto masa resorte………………………………………………………………...4
Constante del resorte…………………………………………………………………..5
Amortiguamiento por fricción………………………………………………………….6
Amortiguamiento viscoso……………………………………………………………...6
Energía cinética de los sistemas vibratorios………………………………………..7
Conclusión……………………………………………………………………………….8
Bibliografía……………………………………………………………………………….9
INTRODUCCIÓN
Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición
estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa
alguna. Si el sistema, después de una perturbación inicial, se le deja vibrar, por sí
solo, se le conoce como vibración libre. También se dice que es vibración libre
porque no actúan fuerzas externas en el sistema.
Si sobre un resorte, colocado verticalmente, y atado del extremo superior, se
colocan diferentes cantidades de masa de su extremo libre, se irán produciendo
distintos alargamientos que serán proporcionales a los pesos de dichas masas. La
relación entre los alargamientos producidos en el resorte y las fuerzas aplicadas,
viene dada por la ley de Hooke, a través de la constante de elástica del resorte.
El amortiguamiento es la pérdida de energía que se produce en un sistema
mecánico en movimiento o vibración como consecuencia de efectos disipativos
debidos al movimiento relativo entre sus componentes o a la deformación de los
mismos. El amortiguamiento por fricción describe el fenómeno físico de fricción
entre superficies secas el cual es independiente de la velocidad del movimiento
una vez este iniciado. El amortiguamiento viscoso se refiere a la pérdida de
energía cinética de un cuerpo que se mueve dentro de un fluido.
MARCO TEÓRICO
Modelo Matemático
Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición
estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna
(p(t) = 0).
W= m.g=k st. Si deformamos una cantidad +x desde la posición de equilibrio
estático la fuerza del resorte es –k (x +
st) + W. Al aplicar la segunda ley de
newton ( F= m.a) a la masa, tenemos:
m x = -k (x + st ) + W
y dado que k st= W, tenemos:
m x +kx= 0. Que indica si una masa se mueve en una dirección vertical, podemos
ignorar su peso siempre y cuando midamos x desde su posición de equilibrio
estático.
Conjunto Masa Resorte
El modelo masa resorte está caracterizado por su masa, M, tensión, K, y
amortiguamiento C.
MU( t) CU( t) KU( t) = F( t)
Contorno = conjunto de masas puntuales (o nodos) ligados por resortes. Resortes
idénticos y sin masa. Modelizan la elasticidad de la superficie del objeto.
Considérese un sistema masa-resorte. La energía total del sistema viene dada por
la expresión:
E1= ½ m.v2 + ½ k.x2
Donde:
m= Masa del objeto
v= La velocidad (al cuadrado)
K= Constante del resorte
X= La elongación (al cuadrado)
Constante Del Resorte
Si sobre un resorte, colocado verticalmente, y atado del extremo superior, se
colocan diferentes cantidades de masa de su extremo libre,
se
irán
produciendo distintos alargamientos que serán proporcionales a los pesos de
dichas masas.
La relación entre los alargamientos producidos en el resorte y las fuerzas
aplicadas, viene dada por la ley de Hooke, a través de la constante de elástica del
resorte (k).
La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo
ideal global y bajo la suposición de que éste obedece la Ley de Hooke. Se
establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre
el mismo con el alargamiento/contracción o elongación producida, del siguiente
modo:
,
siendo
Donde k es la constante elástica del resorte, x la elongación (alargamiento
producido), A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el
módulo de elasticidad del muelle.
Medición de la constante de un resorte por el método de oscilación.
Se puede medir la rigidez de un resorte tomando el tiempo de oscilación de una
carga suspendida. Para un resorte elástico (alargamiento  carga), se puede
probar que el período de oscilación T de una masa suspendida m, está dado por:
(1)
En donde k es la constante de ese resorte en particular. Se puede rescribir la
ecuación (1) para que qué de:
(2)
Amortiguamiento por Fricción
El amortiguamiento es la pérdida de energía que se produce en un sistema
mecánico en movimiento o vibración como consecuencia de efectos disipativos
debidos al movimiento relativo entre sus componentes o a la deformación de los
mismos.
Amortiguamiento por fricción o de Coulomb
Describe el fenómeno físico de fricción entre superficies secas el cual es
independiente de la velocidad del movimiento una vez este iniciado.
Amortiguamiento Viscoso
El modo comúnmente usado para describir el amortiguamiento en estructuras. El
amortiguamiento viscoso se refiere a la pérdida de energía cinética de un cuerpo
que se mueve dentro de un fluido. Se describe en la forma:
Fa = c .x
Donde:
Fa = fuerza producida por el amortiguador;
c = constante del amortiguador;
x = velocidad relativa entre los extremos del amortiguador.
Energía Cinética de los Sistemas Vibratorios
Un objeto que se mueve puede realizar un trabajo en otro objeto al chocar con
este y moverlo a través de cierta distancia. Debido a que un objeto en movimiento
tiene la capacidad de realizar trabajo, tiene energía. La energía del movimiento se
llama energía cinética. La palabra “cinética” viene de la palabra griega kinetikos
que significa “movimiento”. Cuanto más rápido se mueve un objeto, más energía
cinética tiene. La energía cinética se relaciona con la velocidad de un objeto. La
energía cinética depende de la velocidad y de la masa. La relación matemática
entre energía cinética (K), masa y velocidad viene dado por:
K = masa x velocidad2
CONCLUSIÓN
La vibración de la cuerda de un cuatro, de la membrana de un altoparlante
(megáfono), del sonido , el movimiento de los pistones de un motor, el vaivén de
un péndulo, son movimientos que se repiten una y otra vez y se denominan
movimientos periódicos. El movimiento que se realiza entre dos posiciones
extremas, siguiendo una misma trayectoria.
Un sistema vibra si posee energía cinética y potencial, la carencia de uno de ellos
anula la posibilidad. Son tres los elementos básicos de un sistema vibratorio: la
masa, los elementos elásticos y los elementos absorbedores de energía.
La es propia de un objeto. El muelle constituye el elemento elástico. El
amortiguamiento es un sinónimo de absorción de energía en los sistemas
vibratorios.
La energía cinética se relaciona con la velocidad de un objeto. La energía cinética
depende de la velocidad y de la masa.
BIBLIOGRAFÍA
http://www.umss.edu.bo/epubs/etexts/downloads/19/cap_IV.htm
http://gavab.escet.urjc.es/recursos/GBueno02.pdf
http://www.edicionsupc.es/ftppublic/pdfmostra/ME05601M.pdf
http://www.dfists.ua.es/experiencias_de_fisica/index16.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Muelle_el%C3%A1stico
guaica.uniandes.edu.co:5050/dspace/bitstream/1992/109/1/mi_1013.pdf
http://www.emc.uji.es/d/mecapedia/amortiguamiento.htm
http://html.rincondelvago.com/generalidades-de-la-energia.html