PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA NOMBRE: Giovanny Armendáriz NIVEL: PRIMER PARALELO: “B” Métodos de Demostración. Una demostración matemática consiste en que a partir de una proposición verdadera R y empleando las tautologías anteriores, se demuestra que una proposición S es verdadera. La demostración de un teorema consiste en mostrar una argumentación convincente de que el teorema en consecuencia lógica de la hipótesis y teoremas ya demostrados. Pero, ¿ qué significa que un teorema es consecuencia lógica de las hipótesis y teoremas ya demostrados?. Como veremos a continuación, son precisamente las tautologías las que determinan esto; es decir, las tautologías determinan las reglas de inferencia que se emplean para deducir un teorema a partir de proposiciones conocidas. El proceso de inferir una proposición t de las proposiciones s1,s2,....,sn se llama razonamiento y la podemos representar de la siguiente manera: Con esto se quiere decir que, como las proposiciones s1,s2,...,sn son verdaderas, por lo tanto, que lo representamos simbólicamente , t es verdadera. A las proposiciones s1,s2,...,sn se les llama premisas del razonamiento y conclusión. Se dice que tal razonamiento es válido si, y solamente sí, la proposición (s1 ^ s2 ^ ... ^ sn) - - > t es una tautología. Para ver claro esto, consideremos el siguiente razonamiento: p: Luis se levanta a las siete. p --> p1: Si Luis se levanta a las siete va a clase. p1 --> q: Si Luis va a clase, entonces se graduará. La tabla de verdad de este razonamiento es la siguiente: p V V V V F F F F p1 V V F F V V F F q V F V F V F V F p --> p1 V V F F V V V V p1 --> q V F V V V F V V p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q) V F F F F F F F p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q) --> q V V V V V V V V De la tabla anterior nos indica que el razonamiento es válido porque la proposición formada por la conjunción de las premisas implica la conclusión, en otras palabras, la proposición [p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q)] --> q es una tautología. El razonamiento anterior lo podemos ver de una forma general, es decir: p p --> p1 p1 --> p2 . . . pn --> q ________ q Al demostrar un teorema de la forma «si p entonces q» (p --> q), comúnmente se empieza suponiendo que p es dado; después se construye una cadena de proposiciones de la forma p --> p1, p1 --> p2,...,pn --> q, cada una de las cuales es una hipótesis dada de antemano o un teorema ya demostrado. Tan pronto se llega en esta cadena a la proposición pn --> q, de ello se concluye q. Este razonamiento es válido, pero ¿ cómo se demuestra el teorema, es decir, como se establece la verdad de la implicación p --> q ?. Para ver esto recuerda que en la sección de condicional o implicación, vimos que precisamente que una implicación p --> q es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa; entonces todo lo que necesitamos para mostrar que p --> q es verdadera es el caso en que p sea verdadera, y q necesariamente deberá ser verdadera. Esto es precisamente lo que el razonamiento anterior determina, porque siendo un razonamiento válido la proposición formada por la conjunción de las premisas implica la conclusión. [p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> p2) ^ ...(pn --> q)] --> q es una tautología. Y resulta que, como en la demostración de un teorema de la forma p --> q, cada una de las proposiciones p, p --> p1, p1 --> p2, ... , pn --> q es verdadera, puesto que es una hipótesis dada o un teorema demostrado. Así, si p es verdadera, p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> p2) ^ ... ^ (pn --> q) es verdadera, porque es una conjunción de proposiciones verdaderas. Pero eso también quiere decir que q debe ser verdadera para que la proposición [p ^ (p --> p1) ^ ... ^ (pn --> q)] --> q sea verdadera. Un razonamiento del tipo anterior se puede emplear para demostrar un teorema de la forma «si p entoces q» (p --> q). Se supone la hipótesis p, y después se construye una "cadena" de proposiciones conocidas (hipótesis o definiciones dadas anteriormente, o teoremas demostrados y aplicaciones de éstos) que nos conducen de p hasta q, y de lo cual podemos concluir q. Veamos ahora un ejemplo de una demostración matemática muy sencilla, pero nos ayudará a entender cada paso de lo ya expuesto hasta el momento. Teorema: «Si a y b son números pares, entonces a + b es un número par.» En otras palabras: «La suma de dos número pares, el resultado es un número par.» (p --> q) La estructura de la demostración es la siguiente: Supongamos que a y b son números pares. p Entonces, sabemos por definición de número par que 2 | a y 2 | b (un número par es divisible siempre por 2). p --> p1 Esto significa que a = 2 * m y b = 2 * n para dos enteros m y n, según la definición de lo que significa un número entero divide a otro. p1 --> p2 Pero, si a = 2 * m y b = 2 * n, entonces a + b = 2 * m + 2 * n = 2(m + n), por la propiedad distributiva. p2 --> p3 Como a + b = 2(m + n) y m + n es un número entero, (la suma de dos números enteros, es entero), entonces 2 | (a + b). Si a + b es divisible por 2, esto quiere decir que es par, según la definición de número par Por lo tanto, a + b es un número par. Como te puedes dar cuenta, la estructura de la demostración, viene dada por una serie de pasos de p hasta q, pasos de los cuales son teoremas, definiciones..etc. Un análisis de la demostración muestra que el razonamiento es válido. Establece el teorema, porque cada una de sus proposiciones p --> p1, p1 --> p2, p2 --> p3, p3 --> p4 y p4 --> q es un resultado que ha sido enunciado o demostrado anteriormente. So el teorema que se va a demostrar no es de la forma p --> q, si no una proposición q, entonces se remplaza p en el argumento anterior por una proposición apropiada p 1 que se conoce y después se construye una cadena de proposiciones que van de p1 a q: p1 p1 --> p2 p2 --> p3 ........... Este razonamiento establece la verdad de p1 --> q Ahora veamos los métodos mas usados para la demostración matemática: 1. Demostración directa o por implicación. Lo estudiado anteriormente describe el método de demostración directa. Es decir, si la proposición p es verdadera y la implicación (p --> q) es verdadera, entonces q es verdadera. 2. Demostración indirecta. El primer tipo de demostración indirecta se llama demostración por contraposición. Como su nombre lo indica, consiste en que para demostrar un teorema de la forma «si p entonces q», demuestra su contra recíproco (~q) --> (~p). En este caso se construye una cadena de proposiciones que conducen de (~q) a (~p), en vez de p a q. Esta implicación es verdadera puesto que es fácil verificar que : (~q) --> (~p) es equivalente a p --> q. Veamos un ejemplo para ilustrar este método de demostración: Teorema. Sean a, a + c < b + c, entonces a < b. b y c números enteros positivos. Si Demostración. A continuación se va a demostrar el contra recíproco o contra positiva, es decir, si a b, entonces a + c b + c. Supongamos que a b, entonces por propiedad tricotómica, a = b ó b < a. En el primer caso, si sumamos c a ambos lados de la igualdad se tendría que a + c = b + c, y en el segundo caso si sumamos de nuevo c a ambos lados de la desigualdad se tendría que, b + c < a + c; observamos que para cualquiera de los dos casos se cumple que Por tanto, si a b, entonces a + c a + c b + c. b + c. Veamos otro ejemplo: Teorema. si x y y son enteros positivos y xy un número impar, entonces x y y son impares. Demostración. Supongamos que x y y no son impares, entonces, uno de ellos, digamos x, es un número par, es decir, x = 2z. Por tanto, xy = 2yz, que es un número par, que es lo que queriamos demostrar. De esta demostración al escribirla en forma explícita, se tiene lo siguiente: Dado: xy número impar p Demostrar: x y y son impares q (p --> q) Supongamos: x y y no son impares ~q Entonces: xy es par ~p (~q --> ~p) Observación: Las siguientes tautologías muestran que en el método indirecto de demostración se puede hacer uso de la hipótesis original y la negación de q, es decir, ~q. La tercera muestra que la doble hipótesis p y ~q puede conducir a una contradicción de la forma r ^ ~r, que es la demostración por contradicción o reducción al absurdo. (p --> q) < - - > [((p ^ ~q) --> ~p)] (p --> q) < - - > [((p ^ ~q) --> ~q)] (p --> q) < - - > [((p ^ ~q) --> (r ^ ~r)] El segundo método de demostración indirecta de un teorema t consiste en establecer la verdad de t, estableciendo la falsedad de su negación de la siguiente manera: se muestra que la negación de t, ~t, lleva a una contradicción de la forma r ^ ~r. Este método se llama demostración por contradicción o por reducción al absurdo. Si se muestra que ~t implica tal contradicción, es decir, si se establece la verdad de la proposición (~t) --> (r ^ ~r) para alguna proposición r, entonces en virtud de que r ^ ~r es falsa, se concluye que ~t también es falsa (porque los únicos casos en que la implicación es verdadera son V --> V, F --> V, F --> F),y por tanto, t es verdadera. El siguiente ejemplo ilustrará este método: Teorema. Si S es el conjunto de todos los números primos, entonces S es un conjunto infinito. ( p --> q ). Demostración. Supongamos que no; es decir, que S, es el conjunto de todos los números primos y que S no es infinito. ( p ^ ~q ), que es la negación de (p --> q). Entonces S es un conjunto finito, digamos S = {p1,p2,...,pk}. Como S es finito, el producto p1,p2,....pk de todos los primos en S se puede hacer, y además formar el número b = (p 1.p2....pk) + 1. Entonces existe un número primo p' tal que p' divide a b. (r) Como p' es primo y S contiene todos los números primos, se debe tener que p'E S. Sin embargo, ningún primo en S divide a b; por tanto, p' no divide a b. (~r) Así hemos llegado a una contradicción (r ^ ~r). Puesto que la hipótesis de que el conjunto S no es infinito conduce a la contradicción. (p ^ ~q) --> (r ^ ~r) que es falsa. Por tanto, si S es el conjunto de los números primos, entonces S es un conjunto infinito. El silogismo está constituido por proposiciones enunciativas, llamadas también categóricas, el sujeto y el predicado de la conclusión son términos que aparecen también cada uno de ellos en una de las premisas, el predicado o término mayor en la llamada premisa mayor y el sujeto o término menor en la menor. El otro término del silogismo, el término medio, se encuentra en ambas premisas y no en la conclusión. Según el lugar que el término medio ocupa en las premisas, se originan las diversas figuras de silogismo, y según que cada proposición sea afirmativa o negativa, universal o particular. Las tres proposiciones son universales y afirmativas, por lo que constituye el llamado silogismo categórico, elaborado por Aristóteles y desarrollado por la tradición medieval, que lo consideró como la forma más perfecta de argumentar. El silogismo se define como un razonamiento del estilo deductivo que llega a una conclusión final a partir de dos afirmaciones denominadas premisas. Las premisas son proposiciones lingüísticas de valor verdadero o falso. La primera premisa es llamada premisa mayor y la segunda premisa menor. Ejemplo de silogismo: Los planetas son redondos - primera premisa La Tierra es un planeta - segunda premisa Por tanto, la Tierra es redonda - conclusión Con base en lo anterior, les presento 6 ejemplos de silogismo: 1Si me duermo no podré concurrir a la sala de teatro. Si no concurro a la sala de teatro no me voy a entretener. Conclusión: Si me duermo no me voy a entretener 2Todos los mamíferos son animales. Todos los hombres son mamíferos. Conclusión: Todos los hombres son animales. 3Todos los vehículos cómodos son populares Todas las carretillas son vehículos cómodos Conclusión; Todas las carretillas son populares 4Platón era un gran filósofo Todos los griegos eran grandes filósofos Conclusión: Platón era griego 5La lectura de un buen libro me divierte Me agrada mucho leer Conclusión: Leer me divierte SILOGISMOS Todas las ranas son batracios René, es una rana luego, René es un batracio Silogismos Categóricos (regulares) DEFINICIÓN Es el raciocinio deductivo mediante el cual las premisas enlazan dos términos con un tercero, y la conclusión expresa la relación de estos dos términos entre sí. ESTRUCTURA El silogismo se compone de varios elementos, los cuales se agrupan en: MATERIA Y FORMA La materia del silogismo esta integrada por las proposiciones y los términos, y se divide en: Materia del silogismo La materia del silogismo esta integrada por las proposiciones y los términos, y se divide en: próxima PM (premisa mayor) Pm (premisa menor) C (conclusión) remota T (término mayor) Aparece en la premisa mayor y como predicado en la conclusión. t (término menor) Se ubica en la premisa menor y como sujeto en la conclusión. M (término medio) Relaciona los términos mayor y menor y solo se presenta en las dos premisas. PM Todo sacerdote M Pm Algún mexicano t .·. C Algún mexicano t es es es consagrado T sacerdote M consagrado T Ejercicios PM Todo filósofo es humilde PM Algún futbolista es alcohólico Pm Sócrates era filósofo Pm Todo futbolista es deportista .·.C Sócrates era humilde .·. C Algún deportista es alcohólico PM Todo elefante es paquidermo PM Todo ser honrado es justo Pm Algún mamífero es paquidermo Pm Todo ser justo es bondadoso .·.C Algún mamífero es elefante .·. C Todo ser bondadoso es honrado FORMA DEL SILOGISMO REGLAS Para que un silogismo se desarrolle correctamente es indispensable cumplir con las reglas establecidas, SON OCHO EN TOTAL: LAS CUATRO PRIMERAS PARA LOS TÉRMINOS 1 El silogismo consta de tres términos 2 El término medio jamás pasa a la conclusión. 3 Ningún término quedará con mayor extensión en la conclusión, de la que tuvo en las premisas. 4 El término medio debe ser por lo menos una vez universal. LAS CUATRO SIGUIENTES PARA LAS PROPOSICIONES 5 Dos premisas particulares no dan conclusión. 6 Dos premisas negativas no dan conclusión. 7 Dos premisas afirmativas no dan conclusión negativa. 8 La conclusión siempre sigue a la parte más débil, lo particular y lo negativo de cada premisa.