Problema largo mezcla de agua con hielo con

T5. En un recipiente de masa despreciable, se agregan 0.104 Kg de hielo a
-15ºC a 0.190 Kg de agua a 35.0ºC.
a) No se pierde calor al entorno, ¿a qué temperatura final llega la mezcla?
b) A esa temperatura, ¿cuántos gramos hay de agua y cuántos de hielo?
Datos:
Hielo:
mh = 0.104 Kg
Ch =
J
2100 Kg.ºC
Th = −15℃
J
Lhielo
= 334 x 103 Kg
f
Agua:
J
ma = 0.190 Kg Ta = 35℃; Ca = 4190 Kg.ºC
1
Figura-esquema para mostrar el comportamiento del agua y el hielo al mezclarse
Ta = 35ºC
A:
Hielo a 0ºC
Tfusión = 0ºC
Mezcla
de hielo
y agua
B: Agua a 0ºC
Th = -15ºC
−15 ℃ < 𝑇𝑓 < 0 (𝟏)
(𝟐)
𝑇𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 { 𝑇𝑓 = 0
0 < 𝑇𝑓 < 35℃ (𝟑)

CLAVE: Es sencillo entender que en la
mezcla agua-hielo la temperatura final
habrá de estar en el rango posible −𝟏𝟓 <
𝑻𝒇 < 𝟑𝟓℃. Ahora bien en ese rango los
procesos de absorción-desprendimiento de
calor son distintos dependiendo de los subrangos posibles (indicados a la izquierda)
para Tf; esto es, según cada caso, la
ecuación de igualdad entre 𝑸𝒂𝒃𝒔𝒐𝒓𝒃𝒊𝒅𝒐 y
𝑸𝒄𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 es distinta.
Para saber en cuál de las tres opciones se
encuentra Tf, ha de realizarse previamente
a la resolución del problema un análisis de
calores absorbidos y desprendidos; análisis
que gira alrededor de los dos estados
‘extremos’ posibles en la fusión (todo hielo
a 0ªC o todo agua a 0ºC: ver figura)
Análisis del punto B: agua a 0ºC (opciones posibles para Tf: (2) ó (3))
Calor Cedido en relación al p.f.
(0ºC)
Ta = 35ºC
𝑄𝑐𝑒𝑑 (𝑎𝑔𝑢𝑎: 35℃ → 0℃) =
0.19 ∗ 4190 ∗ 35 = 27,863.5 𝐽
Tfusión = 0ºC
Th = -15ºC
A
𝑄𝑐𝑒𝑑 (𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑎 0 ℃ → ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 0 ℃) =
0.19 ∗ 334 𝑥 103 = 63,460 𝐽
{
B
Calor total
absorbido por el
hielo para llegar a
agua a 0ªC
Calor Absorbido en relación al p.f.
𝑄(ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜: − 15℃ → 0℃) =
0.14 ∗ 2100 ∗ 15 = 4,410 𝐽
{
𝑄(ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 𝑎 0 ℃ → 𝑎𝑔𝑢𝑎 0 ℃) =
0.14 ∗ 334,000 = 46,760 𝐽
Calor total
entregado por el
agua a 35ºC
para llegar a
agua a 0ºC
𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥
𝐚𝐛𝐬 (hielo a − 15ºC
→ 𝐚𝐠𝐮𝐚 𝐚 𝟎℃ )
= 4,410 + 46,760
= 𝟓𝟏, 𝟏𝟕𝟎 𝐉
𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥
𝐜𝐞𝐝 (agua a 35℃ → 𝐚𝐠𝐮𝐚 𝐚 𝟎℃ ) = 𝟐𝟕, 𝟖𝟔𝟑. 𝟓 𝐉
Entonces:
2
𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥
𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥
𝐜𝐞𝐝 (𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑩) > 𝐐𝐚𝐛𝐬 (𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑩)
⟹{
⟹
𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍: 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂𝒈𝒖𝒂 𝒂 ℃
𝑬𝒍 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒉𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒂 𝒍𝒂 ′ 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂′ 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑩

Análisis del punto A: hielo a 0ºC (opciones posibles para Tf: (1) ó (2))
𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥
𝐚𝐛𝐬 (hielo a − 15ºC
→ 𝐡𝐢𝐞𝐥𝐨 𝐚 𝟎℃ )
= 𝟒, 𝟒𝟏𝟎 𝐉
(agua
𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥
a
35℃
→
𝐜𝐞𝐝
𝐡𝐢𝐞𝐥𝐨 𝐚 𝟎℃ ) = 27,863.5 + 63,460 =
Ta = 35ºC
Tfusión = 0ºC
A
B
𝟗𝟏. 𝟑𝟐𝟑. 𝟓 𝐉
En este caso:
Th =
Calor
absor
-15ºCbido
por el
hielo
para
llegar
a
0ºC

𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥
𝐜𝐞𝐝 (𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨) >
𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥
𝐚𝐛𝐬 (𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨) ⟹
Calor total entregado por el
𝑇𝑓 = 0agua a 35ºC para llegar a
hielo a 0ºC
(𝟏) 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍:
𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 𝒂 ℃
(𝟐) 𝑬𝒍 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒉𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒂 ′
𝒍𝒂 ′𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂′ 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨 ′
{
Conclusiones del análisis
1) Estado final: Entre A y B: parte agua, parte hielo
2) Temperatura final: Tf= 0ºC
Ta = 35ºC
Estado final:
parte hielo,
parte agua
Tfinal
Tfusión = 0ºC
Th = -15ºC
Calor total
absorbido por
el hielo para
llegar a
mezcla hieloagua a 0ªC
Calor total
entregado por el
agua a 35ºC para
llegar a mezcla
hielo-agua a 0ªC
a) ¿A qué temperatura final llega la mezcla?
Acabamos de ver en las conclusiones que:
3
𝑻𝒇 = 𝟎 ℃
b) ¿Cuántos gramos hay de agua y cuántos de hielo?
Para que Qced = Qabs es necesario ubicarse, como vimos en un estado entre A
y B ⟹ El hielo tiene que absorber más calor que sólo el necesario para
pasar a 0ºC pero sin llegar a convertirse totalmente en agua y el agua ha de
ceder calor para bajar a 0ºC y después hacerse hielo pero sin llegar a que
todo sea hielo.
𝑄(ℎ: −15 ℃ → 0℃) + ∆𝑚ℎ→𝑎 𝐿𝑓 = 𝑄(𝑎: 35 ℃ → 0℃) + ∆𝑚𝑎→ℎ 𝐿𝑓
Q absorbido para estado final
Q cedido para estado final
O bien:
𝑄(ℎ: −15 ℃ → 0℃) + (∆𝑚ℎ→𝑎 − ∆𝑚𝑎→ℎ ) 𝐿𝑓 = 𝑄(𝑎: 35 ℃ → 0℃)
donde:
Δmh→a es la cantidad de hielo que estaba inicialmente a -15ºC y se hizo agua a
0ºC
Δma→h es la cantidad de agua que estaba inicialmente a 35ºC y se hizo hielo a
0ºC
Δmh→a - Δma→h = Δmagua es la cantidad neta de agua proveniente de los
cambios de estado (hielo→agua y agua→hielo)
O sea: 4,410 + Δmagua * 334,000 = 27,863.5 ⟹ Δmagua =
70 𝑔.
27863.5−4410
334000
=
𝒂𝒈𝒖𝒂
Masa total de agua líquida = 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 + ∆𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂 = 190 + 70 = 𝟐𝟔𝟎 𝒈
Masa total de hielo = 𝒎𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 − ∆𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂 = 140 − 70 = 𝟕𝟎 𝒈
Comentarios.
o Es interesante darse cuenta de que:
1) si se hubiera contado con bastante más gramos de agua y menos gramos de hielo, la
temperatura final superaría los 0ºC; en cambio,
2) si la situación inicial hubiera sido: mucha mayor cantidad de hielo y menor de agua,
la temperatura final habría quedado debajo de los 0 ºC.
o Este tipo de mezclas objeto frío vs. objeto caliente sirve –en el laboratorio- para obtener
el calor específico de uno de los componentes, conociendo el calor específico del otro.
Normalmente se realizan en un rango de temperaturas que permita soslayar el cambio
de estado (se evitan así problemas innecesarios, desde el punto de vista experimental).
Ahora bien, asegurar un dato confiable en este tipo de experiencias no es nada fácil;
ello, debido a que el supuesto (en nuestro problema) “no hay pérdidas de calor al
entorno”, en la práctica requiere recipientes con un excelente aislamiento térmico.
4
Opciones adicionales en base al primer punto de los comentarios
c) Resolver los incisos a) y b) tomando: Masa inicial de agua a 35 ºC,
270 g y masa inicial de hielo a -15ºC, 60 g.
NUEVOS DATOS
mh = 0.060 Kg Th = −15℃
ma = 0.270 Kg Ta = 35℃

Análisis en el punto B
Calor Cedido respecto a B
𝑸𝒄𝒆𝒅 (𝒂𝒈𝒖𝒂: 𝟑𝟓℃ → 𝟎℃) = 0.27 ∗ 4190 ∗ 35 = 𝟑𝟗, 𝟓𝟗𝟓. 𝟓 𝐉
𝑄𝑎𝑏𝑠 (ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜: − 15℃ → 0℃) =
0.06 ∗ 2100 ∗ 15 = 1,890 J
𝑄𝑎𝑏𝑠 (ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 0 ℃ → 𝑎𝑔𝑢𝑎 0 ℃) =
Calor Absorbido en relación a B
0.06 ∗ 334,000 = 20,040 J
𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
{𝑸𝒂𝒃𝒔 = 1,890 + 20,040 = 𝟐𝟏, 𝟗𝟑𝟎 𝐉
Vemos en esta situación que:
Qced(a: 35→a: 0[estado B]) > Qabs(h:-15→a:0[estado B]), pues 39,595.5 >
21,930
luego concluimos que la Tf ha de
estar más allá del estado B (‘a la
derecha’), es decir:
Ta = 35ºC
0 < Tf < 35
Tfinal
Tfusión = 0ºC
 Obtención de la nueva Tf
A
B
Th = -15ºC
Calor total absorbido por
el hielo para llegar a
agua Tf
Calor
total
entregado
por el
agua a
35ºC
para
llegar
a agua
a Tf
Nos encontramos ahora en una
situación como la de la figura de la
izquierda. La igualdad entre calores
es ahora:
𝑄(𝑎: −35 ℃ → 𝑇𝑓 ) =
= 𝑄(ℎ: −15 ℃ → 0℃) + 𝑄(ℎ: 0 →
𝑎: 0) + +𝑄(𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣 ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 : 0 → 𝑇𝑓 ) ⟹
0.27 ∗ 4190 ∗ (35 − 𝑇𝑓 ) =
0.06 ∗ 2100 ∗ 15 + 0.06 ∗ 334,000
+
0.06 ∗ 4190 ∗ 𝑇𝑓
La resolución de la ecuación nos
arroja:
𝑻𝒇 ≈ 𝟏𝟐. 𝟖 ℃

Cantidades de hielo y agua
Evidentemente, al final:
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒎𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 = 𝟎𝒈
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒑𝒓𝒐𝒗. 𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐
y 𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂 = 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
𝒂𝒈𝒖𝒂 + 𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂
5
= 270 + 60 = 𝟑𝟑𝟎𝒈
d) Resolver los incisos a) y b) tomando: Masa inicial de agua a 35 ºC,
40 g y masa inicial de hielo a -15ºC, 840 g. (Esto para que haya menos
de 120 gramos de agua y más de 210 gramos de hielo)
NUEVOS DATOS
mh = 0.840 Kg Th = −15℃
ma = 0.040 Kg Ta = 35℃

Análisis en el punto A
𝑄𝑐𝑒𝑑 (𝑎𝑔𝑢𝑎: 35℃ → 0℃) =
0.04 ∗ 4190 ∗ 35 = 5,866 J
𝑄𝑐𝑒𝑑 (𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑎 0 ℃ → ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 0 ℃) =
Calor Cedido en relación a A
0.04 ∗ 334 ∗ 103 = 13,360 J
𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
{𝑸𝒄𝒆𝒅 = 5,866 + 13,360 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟐𝟔 𝐉
Calor Absorbido en relación a A
𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝒂𝒃𝒔 (𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐: − 𝟏𝟓℃ → 𝟎℃) = 0.84 ∗ 2100 ∗ 15 = 𝟐𝟔, 𝟒𝟔𝟎 𝐉
Vemos en esta situación que:
𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝒄𝒆𝒅 (a: 35→h:0[estado A])<Qabs(h:-15→h:0[estado
>26,460
A]),
pues19,226
luego concluimos que la Tf ha de estar más acá del estado A (‘a la izquierda’),
es decir:
-15 < Tf < 0
 Obtención de la nueva Tf
Ta = 35ºC
Ahora la igualdad de calores es así:
Tfusión = 0ºC
A
𝑄(𝑎: −35 → 0) + 𝑄(𝑎: 0 → ℎ: 0) +
+𝑄(ℎ𝑝𝑟𝑜𝑣 𝑎𝑔𝑢𝑎 : 0 → 𝑇𝑓 ) = 𝑄(ℎ: −15 ℃ →
𝑇𝑓 )
B
0.04 ∗ 35 ∗ 4,190 + 0.04 ∗ 334,000 +
+ 0.04 ∗ 2,100 ∗ 𝑇𝑓 = 0.84 ∗ 2100 ∗ (𝑇𝑓 −
(−15))
Tfinal
Th = -15ºC
Calor total
absorbido
por el hielo
para subir de
-15ªC a hielo
a Tf

La solución, sencilla de obtener, es
ahora:
Calor total entregado por
el agua a 35ºC para llegar a
hielo aTf
𝑻𝒇 ≈ −𝟒. 𝟑 ℃
Cantidades de hielo y agua
Y ahora tendremos:
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂 = 𝟎𝒈
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒑𝒓𝒐𝒗. 𝒂𝒈𝒖𝒂
y 𝒎𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 = 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 + 𝒎𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐
6
= 840 + 40 = 𝟖𝟖𝟎𝒈