Solución del Práctico 11

Facultad de Ingenierı́a
IMERL
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Curso 2009
Práctico 11 (soluciones)
Ej 1
1. Calculamos la cantidad de rachas. R = 4. De la tabla de la prueba de rachas, para
n = 12, obtenemos como p-valor α∗ = 0,0082. Por el criterio de p-valor, como el
p-valor es menor que 0,1 rechazamos la hipótesis de aleatoriedad.
2. Aplicando la prueba de Spearman, el estadı́stico es rS = 0,6416. Usando la tabla 13,
caso 2 del libro del curso para n = 12 se tiene que el p-valor está entre 0,025 y 0,01
por lo que también se rechaza la hipótesis de aleatoriedad. El valor positivo de rS
indica una tendencia creciente.
Ej 2 La prueba de rachas arroja un resultado de R = 21 rachas. Como n > 25, calculamos
2n−1
= 23, y como R < 23 calculamos zL = √ 21+0,5−23
= −0. 6175 por lo que el
3
(16·35−29)/90
p-valor de la prueba con alternativa ”hay pocas rachas” es Φ (−0,6175) = 0,267 = α∗ .
En la prueba de Spearman,
rS = 0,0916 por lo que usando la aproximación para n > 30
√
se tiene zα∗ = 0,0916 35 − 1 = 0,5341 ⇒ α∗ = 1 − Φ (0,5341) = 0,2966.
En ambos casos la hipótesis de aleatoriedad se acepta.
Ej 3 Para la prueba de rachas, el número de rachas es R = 7 y usando la tabla para n = 14 se
tiene que el p-valor de la prueba con alternativa ”hay pocas rachas” es α∗ = 0,1534 por lo
que la prueba acepta la aleatoriedad según el criterio del p-valor.
En la prueba de correlación de rangos de Spearman el estadı́stico es rS = −0,0769 y para
n = 14 se tiene que el p-valor de la prueba es α∗ > 0,1 por lo que también se acepta la
aleatoriedad.
Ej 4
1. La prueba de rachas rechaza la aleatoriedad ya que se tienen R = 10 rachas lo que
da un p-valor para n = 20 de α∗ = 0,0821. Por lo tanto, no podemos suponer que los
datos son iid.
Ej 5 Para estudiar tendencias utilizamos la prueba de correlación de rangos de Spearman. En
este caso, rS = 0,70, n = 9 por lo que el p-valor es α∗ = 0,022 por lo que se rechaza la
aleatoriedad. El valor positivo rS nos indica que existe una tendencia creciente.
Ej 6 Recordar que si una variable tiene distribución de Cauchy C(M, b2 ) su densidad es
f (t) =
π(b2
b
+ (t − M )2 )
y su función de distribución es
1
F (t) =
π
arctan
t−M
b
π
+
2
El estadı́stico de Kolmogorov-Smirnov es D15 = 0,1524 y de la tabla, para n = 15, se
tiene que el p-valor es > 0,20. Por lo tanto no se rechaza que los datos tengan distribución
C(50, 22 ) .
Ej 7 Para una muestra X1 , X2 , . . . , Xn con distribución U[a, b] los estimadores de máxima
verosimilitud de a y b son â = mı́n{X1 , X2 , . . . , Xn } y b̂ = máx{X
√ 1 , X2 , . . . , Xn }.√
Los estimadores por el método de los momentos son â = X n − 3σn y b̂ = X n + 3σn
1
Ej 8 Para la prueba de D’agostino el estadı́stico es DA16 = 0,279 y de la tabla el p-valor es
> 0,2 por lo tanto no se rechaza que los datos sean normales.
Ej 9 Realizamos la prueba de Kolmogorov-Smirnov para λ = 0,25 y la prueba de Lilliefors.
1. Para la prueba de Kolmogorov-Smirnov (K-S) el estadı́stico es es D20 = 0,1456 y el pvalor es > 0,2 por lo tanto no se rechaza que los datos tengan distribución exponencial
de parámetro λ = 0,25.
2. Para la prueba de Lilliefors tenemos que λ̂ = 0,2698, el estadı́stico es D20 = 0,1237
y el p-valor es > 0,2 por lo tanto no se rechaza que los datos tengan distribución
exponencial de parámetro λ̂ = 0,2698.
Ej 10 Se realiza la prueba de Kolmogorov Smirnov de Comparación de 2 Muestras y se obtiene
que el Estadı́stico de Prueba D = 0,715. Como m = 7 y n = 9, se utiliza la tabla de KS
en el Caso 1, y se obtiene que el p-valor es = 0,021. Por lo tanto se rechaza la hipótesis
nula de que las muestras tengan la misma distribución.
Ej 11 Se observa que D = 0,75 y por lo tanto mnD = 48, yendo a la tabla se observa que el
p-valor es 0,019, y por lo tanto se rechaza H0 : F = G
Ej 12
1.
Muestra A
prueba de Rachas: R = 6 y p-valor= 0,7573
prueba de Spearman: Rs = 0,0909 y p-valor= 0,406.
Muestra B
prueba de Rachas: R = 7 y p-valor= 0,4524
prueba de Spearman: Rs = −0,0909 y p-valor= 0,406.
2. Como las muestras son pequeñas sólo realizaremos la prueba de Correlación de Rangos de Spearman.
prueba de Correlación de Rangos de Spearman
El Estadı́stico de Prueba es
Rs = 1 − 6
i=n
X
(R(Xi ) − R(Yi ))2
i=1
n(n2 − 1)
En este caso Rs = 0,018. Como Rs > 0, se hace la prueba
H0
A y B son independientes
H1
hay dependencia positiva
De la tabla de Spearman se obtiene que el p-valor es 0,486. Entonces no hay evidencia
suficiente para rechazar H0 .
2