MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 1

INTRODUCCIÓN
Las primeras ideas de número aparecen en los albores de la civilización.
Los antiguos babilonios y egipcios conciben las fracciones. Con Pitágoras, los griegos
descubren la necesidad de adoptar números irracionales, como 2 . Eudoxo presenta la
teoría de los inconmensurables para presentar irracionales como límite de magnitudes
racionales. Los números negativos, se consideran como absurdos. Cantor, Dedekind y
Weierstrass desarrollan teorías rigurosas del número real, incluyendo racionales e
irracionales.
Así, reemplazando las magnitudes de Eudoxo por construcciones a partir de los números
1,2,3,4,…, Cantor construye los irracionales como “sucesiones de los racionales”,
Weierstrass los construye como “clases de racionales”, y finalmente , Dedekind como
“cortaduras en clases infinitas de racionales”. Estas teorías resultan equivalentes y
permiten construir el continuo de los números reales a partir de los números naturales,
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son aquellos que sirven para designar la cantidad de elementos
que posee un cierto conjunto. N={0;1;2;3;4;…}
Los números naturales son infinitos, pues para cada uno de ellos hay otro distinto que le
sucede y que no le precede.
Orden: dados n , m  N , entonces: n < m , n = m , n > m
Una operación en N es una manera de asociar a cada par de números naturales, otro
número natural bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la
adición y la multiplicación.
1. Cerradura :
3. Elementos neutros
a+b  N
Para la suma es el cero ya que: a + 0 = a
axb  N
Para el producto es el uno ya que: a ×1 = a
2. Asociatividad:
a + (b + c) = (a + b)+ c
a ×(b×c)= (a ×b)×c
Nótese, no existe un inverso aditivo. Además, la sustracción no es una operación cerrada
en N, pues la sustracción de dos números naturales puede no ser un número natural. Por
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esa razón, es necesario el establecimiento de otro sistema numérico en el que se pueda
realizar la sustracción de dos números.
NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros, representados por Z son aquellos que surgen de la sustracción de
dos números naturales1.Z = { x / x = a - b, a,b N }
Este conjunto es una extensión de los números naturales ya que incluye a sus opuestos,
es decir aparecen los números negativos. Z = {…,-5,- 4,-3,- 2,-1,0,1, 2,3, 4,5, … }
La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la
posibilidad de resolver ecuaciones del tipo: a = x + b , para la incógnita x .
Orden: dados n , m  Z, entonces: n < m , n = m , n > m
Esto significa que es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior.
Una operación en Z es una manera de asociar a cada par de números enteros, otro
número entero bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la
adición y a multiplicación (la sustracción se considera como la adición de números de
diferente signo).
Sean a , b y c tres números enteros cualesquiera. Las propiedades básicas para la adición
y el producto en Z son:
1. Cerradura:
3. Elementos neutros
Para la suma es el cero ya que: a + 0 = a
a+bZ
Para el producto es el uno ya que: a ×1 = a
a ×b  Z
2. Asociatividad:
4. Inverso aditivo:
a + (b + c) = (a + b)+ c
Para la suma existe -a tal que a + (- a) = 0
a ×(b×c)= (a ×b)×c
Nótese , no existe un inverso multiplicativo. Además, la división no es una operación
cerrada en Z, pues el cociente de dos números enteros puede no ser un número entero.
Por esa razón, es necesario el establecimiento de otro sistema numérico en el que se
pueda dividir dos números.
NÚMEROS RACIONALES
Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros con
divisor diferente de cero, es decir, en forma de fracción. Se representan por Q
a


Q = x / x  b , a,b  Z , b  0 


Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios en donde a es el numerador y
b el denominador. Nótese como en esta definición, el denominador nunca puede ser cero
porque la división por cero no está definida.
En el conjunto de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 3 es
el 4 , el siguiente al -6 es el -5 , etc.), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada
dos números racionales existe al menos otro número racional (propiedad de densidad).
1
Se utiliza esta letra porque es la letra inicial de la palabra de origen alemán Zahlen, que significa número
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Un número racional, no entero, puede tener alguna de las siguientes representaciones
FRACCIONES

NUMEROS RACIONALES 
EXACTOS
NÚMEROS
DECIMALES


PERIÓDICOS

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se
encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto,
pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es
periódica, por ejemplo:
9
 4,5 , se obtiene un decimal exacto
2
12
 2,4 , se obtiene un decimal exacto
5
11
 1, 571428


571428


571428


... , se obtiene un expresión decimal periódica
7
a c
Para comparar dos fracciones se considera que: b  d  ad  bc
Una operación en Q es una manera de asociar a cada par de números racionales, otro
número racional bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la
adición y la multiplicación (la sustracción se considera como la adición de números de
diferente signo y la división como la multiplicación de un número por el recíproco de otro,
siempre cuando el segundo no sea cero).
1. Cerradura:
5. Inversos:
a b Q
Para la adición existe a , llamado opuesto
o simétrico tal que a a0
a b Q
1
Para
la
multiplicación
, a , llamado
2. Asociatividad:
a
a b ca bc
inverso multiplicativo o recíproco, tal que
a bca bc
 1
a.   1
a
3. Conmutatividad:
a b b a
a b b a
4. Elementos neutros
Para la adición es el cero ya que: a 0 a
Para la multiplicación es el uno ya que: a 1 a
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NÚMEROS IRRACIONALES
Hay otra clase de números, que se escriben con una infinidad de decimales pero que no
tienen un período, es decir, no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los
números de esta clase reciben el nombre de irracionales y, a diferencia de los racionales,
no pueden expresarse en forma de fracción, sino sólo en forma decimal. Se denotan por I.
En general, cualquier raíz inexacta de un número racional o alguna combinación
algebraica que la involucre (y que exista) es un número irracional. Esto significa que este
conjunto también es infinito.
Ejemplos de números irracionales:
3 = 1.7320508075…
= 3.1415926535 897932 …
1 5
 1,6180339887... (este número es llamadoáureo)
2
Nótese como estos números tienen una infinidad de cifras y no tienen periodicidad. Para
todo fin práctico, cuando se trabaja con números irracionales se efectúan aproximaciones,
o bien, se utilizan algunos símbolos especiales.
Una operación en I , es una manera de asociar a cada par de números irracionales, otro
número irracional bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son
la adición, la sustracción, la multiplicación, la división y la extracción de raíces
(exceptuando la radicación de números negativos de índice par).
Sean a , b y c tres números irracionales cualesquiera. Las propiedades básicas para la
suma en I, son:
1. Asociatividad: a + (b + c) = (a + b)+ c
2. Conmutatividad: a + b = b + a
3. Inverso:
Para la adición existe -a , llamado opuesto o
simétrico tal que a + (- a) = 0
Las operaciones de adición y multiplicación
no son cerradas en I y no tiene elemento
neutro.
NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales surge de la unión de los números racionales y de los
irracionales. Se denotan como R. Este conjunto comprende a todos los sistemas
numéricos anteriores. R = Q ∪ i
Orden, dados n , m  R, entonces: n < m , n = m , n > m.
Una operación en R es una manera de asociar a cada par de números reales, otro número
real bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la adición, la
multiplicación (la sustracción se considera como la adición de números de diferente signo y
la división como la multiplicación de un número por el recíproco de otro, siempre cuando el
segundo no sea cero), la radicación de números positivos y la radicación de índice impar
de números negativos. Es decir, las operaciones que se definen en este conjunto son
todas excepto dos:
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· La división por cero
· La extracción de raíces de índice par de números negativos.
Los números reales no son los más completos, porque si se necesita extraer la raíz de un
número negativo con índice par, los números reales no son suficientes, por lo que es
necesario definir otro sistema numérico que permita tal operación.
DEDEKIND Y LOS NÚMEROS REALES.
Al extender el campo de los números reales de tal forma que se incluyera a los números
irracionales, el conjunto ampliado de los números reales tenía ya existencia, pero eran
pocos los ejemplos de números irracionales que se podían exhibir distintos a las raíces
cuadradas de números naturales que no fueran cuadrados perfectos; o combinaciones
como (1 + 5 )/2 (la razón áurea).
Dedekind introdujo las cortaduras que llevan su nombre en 1858 con el propósito de
asociar a cada real r dos conjuntos de racionales: aquellos que son menores que r y los
que son mayores que r.
CORTADURAS DE DEDEKIND
Introdujo el número real por un método llamado de las cortaduras. Cada cortadura, es una
clasificación especial de los números racionales en dos clases, y determina un número
real.
Un número real queda determinado por una única cortadura si es irracional, y por solo dos
de ellas si es racional.
DEFINICION
Se llama cortadura de Dedekind en el conjunto Q de los números racionales, a toda
clasificación de los números racionales en dos clases A y B, de modo que :
(i) Ambas clases contienen números;
(ii) Todo numero de la clase A es menor que cualquier numero de la clase B:
a  A y b B  a  b
(iii) Todo numero racional pertenece a una de las dos clases.
NOTACION:
La cortadura se denota: (A,B).
La clase A se llama clase inferior, y B se llama clase superior de la cortadura (A,B).
TEOREMA
En toda cortadura (A,B) en el campo racional se presenta uno y solo uno de los
siguientes tres casos:
(i) La clase A contiene un numero a0 , mayor que todos los demás de ella;
(ii)La clase B contiene un número b0 , menor que todos los demás de ella;
(iii) No se verifica ni (i) ni (ii)
Nota: Ejemplo de cada uno de estos casos son :
Para (i):
A  x / x  Q y x  3
 a0  3
B  x / x  Q y x  3
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Para (ii)
A  x / x  Q y x  3
 b0  3
B  x / x  Q y x  3
Para (iii)
Clase B : racionales positivos cuyo cuadrado sea mayor que 2: B  x / x  Q, x  0 y x2  2
Clase A: todos los demas numeros racionales: A  x / x  Q, y x no pertenencea B
En efecto:
1) La clase A esta formado por todas las aproximaciones racionales por defecto de 2
(que es irracional, y puesto que para cada aproximación racional de 2 hay otra
mayor que ella, la clase A no contiene ningún numero que sea mayor que todos los
demás de ella.
2) La clase B esta formado por todas las aproximaciones racionales por exceso de 2 ,
y puesto que para toda aproximación racional de 2 hay otra menor que ella, la
clase B no contienen ningún numero que sea menor que todos los demás de ella.
En los dos primeros casos del teorema anterior la cortadura de Dedekind en Q no da nada
nuevo, pues que definida o determinada por un numero racional (a0 y b0,
respectivamente).En el caso (iii) la cortadura define un numero irracional.El numero
irracional del ejemplo que dimos para el caso (iii) es 2 .
DEFINICION
Se llama numero real a toda cortadura de Dedekind en el campo Q de los numeros
racionales.
Aquí viene a resolverse el problema filosófico iniciado por los pitagóricos de expresar los
irracionales en términos de racionales, pero desde luego, usando el concepto de un infinito
actual, muy diferente al infinito potencial manejado por Aristóteles y los antiguos griegos, el
cual sólo tiene una connotación simbólica, como algo a lo que nunca se puede acceder.
El infinito actual es ya en matemáticas, desde el tiempo de Cantor, un objeto matemático
que permite manipularse a través de ciertas convenciones.
Con Dedekind los números reales tienen existencia fuera de la geometría.
La geometría analítica ha permitido establecer una relación biunívoca entre puntos de una
recta y números reales. Este recurso es esencialmente didáctico aunque no necesario. Uno
habla de la recta real como si se tratara de los mismos números reales, pero siempre
debemos recordar que los números están antes que, la asociación de estos con los puntos
de una recta se diera en la geometría analítica.
RECTA NUMÉRICA
Los números reales se pueden representar en una recta, sólo que en este caso no hay
puntos discretos, sino se trata de una recta continua:
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La recta R sobre la cual se representa a los números racionales e irracionales se llama
recta real. A cada punto de esta recta se le asocia un único número real llamado
coordenada o abscisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le asocia
un único número para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de
manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada número sea coordenada
de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto
de los números reales. Esta asignación se denomina sistema de coordenadas
unidimensional.
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