La ecuación de segundo grado para resolver problemas. Como

La ecuación de segundo grado para resolver problemas.
Como bien sabemos, una técnica potente para modelizar y resolver algebraicamente los
problemas verbales es el uso de letras para expresar cantidades desconocidas variables
que pueden tomar un conjunto de valores posibles dentro de ciertos intervalos. Uno de
los objetivos más importantes de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,
especialmente desde el comienzo de la enseñanza secundaria, es dominar dicha técnica.
Aunque la modelización algebraica no es algorítmica (no existe una máquina
que resuelva automáticamente los problemas verbales), sin embargo, se pueden dar los
siguientes consejos o heurísticas que pueden ayudar en dicho proceso (Godino y Font,
2003):
1. Determinar lo que se pide hallar en el enunciado e introducir una variable para
representar la cantidad desconocida. Algunas palabras claves como, qué,
cuántos, y encontrar, señalan la cantidad desconocida.
2. Buscar relaciones matemáticas entre las cantidades conocidas y desconocidas.
3. Algunas palabras proporcionan claves lingüísticas de posibles igualdades y
operaciones.
4. Escribir las relaciones mediante expresiones algebraicas.
5. Tratar de escribir alguna cantidad de dos maneras distintas, lo que producirá una
ecuación.
6. Resolver la ecuación o inecuación usando las técnicas formales disponibles.
7. Traducir la solución matemática encontrada al lenguaje original del problema.
8. Evaluar la solución ¿Has encontrado lo que se pedía? ¿Tiene sentido la
respuesta? Por ejemplo, si el problema era encontrar el área de un rectángulo, la
respuesta -4 sería absurdo .
Los anteriores consejos los tendremos en cuenta a la hora de presentarles un grupo de
situaciones que ayudarían al tratamiento de las ecuaciones de segundo grado en
secundaria y al uso práctico de las mismas en la resolución de problemas.
Guardando coherencia con los planteamientos que hemos hecho para el tratamiento de
las ecuaciones de primer grado, presentamos a continuación dos actividades lúdicas que
podrían ayudar a trabajar las técnicas de resolución de las ecuaciones de segundo grado,
en un contexto que puede ser interesante y motivador para los alumnos de secundaria.
El primero que presentamos es el de los cuadrados mágicos y el segundo el de los
hexágonos algebraicos. Posteriormente, presentamos como los soportes geométricos
también ayudan al tratamiento de las ecuaciones de segundo grado y son útiles para
demostrar fórmulas que a menudo los alumnos tienden a memorizarlas sin significado
alguno.
I.
Cuadrado mágico-algebraico.
Siguiendo las mismas orientaciones que hicimos en el apartado 1.3., proponemos el uso
de cuadrados mágicos para el tratamiento de las ecuaciones de segundo grado. A
continuación presentamos un modelo que pueden implementar en el aula y reflexionar
con los alumnos el proceso de resolución de las ecuaciones que aparecen implícitas.
4(x+1)
x
2(x+2)
4x-1
2x+3
4x+3
(x+1)2
(x+2)2
x+1
Preguntas:
1. Escribe las sumas de las ocho líneas del cuadrado mágico.
2. Calcula el valor de x para que sea cuadrado mágico. Procura hacerlo con
las ecuaciones más sencillas posibles.
3. Utilizando la suma de la tercera línea horizontal y otra cualquiera se
puede obtener una ecuación de segundo grado. Resuélvela y comprueba
que una de sus soluciones es el anterior valor de x.
4. Si el número mágico de este cuadrado es 15, halla, con el término central
del cuadrado, el valor que debe tener x.
5. Halla el cuadrado numérico correspondiente.
II.
Hexágono algebraico.
De la misma manera que hemos propuesto el uso de los hexágonos algebraicos para
el tratamiento de las ecuaciones de primer grado, consideramos que pueden ser una
actividad interesante y un contexto motivador para resolver ecuaciones de segundo
grado. A continuación presentamos un modelo que pueden llevar al aula de
secundaria:
Preguntas:
a. Si los tres números sobre cada lado y cada radio de la rueda suman lo
mismo, arréglatelas para, una tras otra, ir calculando el valor de todas las
letras.
b. Escribe la rueda numérica correspondiente.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
III.
Soportes geométricos para la resolución de problemas.
En las actividades que proponemos a continuación (tomadas de Azarquiel, 2000) se
necesita de un soporte geométrico para plantear y demostrar ecuaciones de segundo
grado. Al igual que en apartadlo 1.4., presentamos unos modelos de problemas que
requieren para su resolución que los alumnos recuerden y apliquen algunas propiedades
geométricas sencillas para después aplicar o bien, el teorema de Pitágoras a diversos
triángulos rectángulos, o bien las definiciones de áreas de las diferentes figuras
geométricas para demostrar expresiones algebraicas de forma más contextualizada.
1. El primer grupo de ejercicios pretende el cálculo de los lados de
las siguientes figuras geométricas, recordando a los alumnos
que han de aplicar la relación que existe entre los lados en los
diferentes tipos de triángulos.
a) En este triángulo
rectángulo
sus
dados
2x +
3x - 3
vienen
dados
por
estas
4x - 1
expresiones.
¿Cuánto miden sus
lados?
Explica
cómo lo has hecho.
b) Este triángulo está
inscrito
en
la
semicircunferencia
de
radio
(x+4).
Utilizando
las
diversas
expresiones, halla
sus lados. ¿Cómo
lo has hecho?
c) ABCD
es
un
4x -
rombo de diagonal
menor d = 3x-1 y
de diagonal mayor
D
=
5x
sabiendo
lado
se
+
13.
que
su
puede
expresar como 4x
– 2, halla su lado y
sus
¿Qué
diagonales.
propiedad
has utilizado?
El segundo grupo de problemas nos muestra un método histórico para calcular
las raíces positivas de la ecuación de segundo grado, que puede servir de introducción a
otros métodos. El problema que plantearemos nos lleva a ir del rectángulo al cuadrado,
para ellos se ha reducido el problema a los casos en los que el coeficiente de x2 es 1 y
las raíces son enteras. La situación es:
1) Un rectángulo de 77 m2 de área tiene un lado 4 cm mayor que el otro. Vamos a
calcular la medida de sus lados.
a) Si x es el lado menor, ¿cuánto mide el otro?
77
Escribe al ecuación que exprese el área en
función de los lados.
2
b) El rectángulo puede dibujarse así:
c) Observa las siguientes transformaciones y explica qué se ha hecho en
cada paso:
La solución del problema es la siguiente:
a) El área del rectángulo inicial se expresa así: x (x + 4).
b) En el primer paso se marca un cuadrado en el rectángulo inicial.
En los pasos sucesivos se corta la mitad del rectángulo lateral, se
coloca arriba y, finalmente, se añade un cuadrado de 2 cm.
c) El lado nuevo del cuadrado es x + 2, y su área (x + 2)2 .
d) El cuadrado que se añade en el extremo superior derecho tiene 4
cm2 2 de área, y el resto de la figura 77 cm2, en total 81 cm2 .
e) Igualando los dos valores (x + 2)2 = 81; x + 2 = 9 (solución única
positiva, pues x + 2 es una distancia), x = 7. Luego los lados son
x = 7 y x + 4 = 11, que dan, efectivamente, área 7 · 11 = 77 cm2 .
Finalmente, se pueden plantear situaciones en las que se involucren diferentes
figuras geométricas como:
a) Rectángulo inscrito en circunferencia:
Un rectángulo de 30 cm de perímetro
está inscrito en una circunferencia de 6 cm de
radio. Calcula la longitud de los lados del
rectángulo.
b) Triángulo y rectángulo:
Un rectángulo tiene la base
igual al lado de un triángulo
equilátero, y la altura mide 2 cm
menos que la base. ¿Cuánto miden
los lados del rectángulo si su área
es 1 cm2
mayor que la del
triángulo? Toma 1,73 para √ 3.
Redondea el resultado con dos
decimales.
Después de un tratamiento geométrico de la ecuación de segundo grado se
podrían plantear situaciones en la que se aplique estos contenidos y técnicas a
problemas enunciados en contextos reales. Tales como:
a) Un albañil quiere abrir una ventana cuadrada en la cocina de su
casa. El precio del vidrio es de 12 € por metro cuadrado y el
precio del marco de aluminio es de 28 € el metro lineal. El
material en total costó 171,5 €. ¿Cuánto mide el lado de la
ventana?