Consideraciones sobre la Sucesión de Rowland Serafín Ruiz Cabello Universidad Autónoma de Madrid Quintas Jornadas de Teoría de Números Sevilla, 8 de Julio de 2013 Trabajo conjunto con Fernando Chamizo y Dulcinea Raboso. F.Chamizo, D.Raboso & S.Ruiz-Cabello. On Rowland's Sequence. Electronic Journal of Combinatorics, 18(2) (2011). 2/23 Introducción La Sucesión de Rowland Generalizaciones Primos Conjeturas Relaciones entre las conjeturas Cadenas de Rowland 3/23 La Sucesión de Rowland Denición a1 = 7 a =a k k −1 + mcd(k , ak −1 ); k >1 Primeros términos k a k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . . 7 8 9 10 15 18 19 20 21 22 33 . . . ... E.S. Rowland A natural prime-generating recurrence. J.Integer Seq., 11(2) (2008). 4/23 La Sucesión de Rowland Denición a1 = 7 a =a k k −1 + mcd(k , ak −1 ); k >1 Primeros términos k a a −a k k k −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . . 7 8 9 10 15 18 19 20 21 22 33 . . . 1 1 1 5 3 1 1 1 1 11 . . . La sucesión dada por {a − a k k −1 }k >1 tiene una curiosa propiedad: 4/23 {ak − ak −1 } = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . 5/23 {ak − ak −1 } = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . Todo término distinto de 1 es un número primo. 6/23 Denición a1 = 7 a =a k k −1 + mcd(k , ak −1 ); k >1 Primeros términos k a a −a k k k Teorema a k −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . . 7 8 9 10 15 18 19 20 21 22 33 . . . 1 1 1 5 3 1 1 1 1 11 . . . (Eric S. Rowland, 2008) − ak −1 es siempre un 1 o un número primo para todo k > 1. 7/23 Sucesiones auxiliares c1∗ = 5 c ∗ = c ∗−1 + mfp(c ∗−1 ) − 1, n > 1 n n n ; r∗ = n c∗ + 1 n 2 , n ≥ 1. Aquí, mfp(·) es el menor factor primo de un entero dado. 8/23 Sucesiones auxiliares c1∗ = 5 c ∗ = c ∗−1 + mfp(c ∗−1 ) − 1, n > 1 n n r∗ = ; c∗ + 1 n n n 2 , n ≥ 1. Aquí, mfp(·) es el menor factor primo de un entero dado. Con estas sucesiones damos una prueba al Teorema de Rowland: Proposición a k − ak −1 = mfp(c ∗−1 ), si k = r ∗ para algún 1, e.o.c. n n n > 1. 8/23 Sucesiones auxiliares c1∗ = 5 c ∗ = c ∗−1 + mfp(c ∗−1 ) − 1, n > 1 n n r∗ = ; c∗ + 1 n n n 2 , n ≥ 1. Aquí, mfp(·) es el menor factor primo de un entero dado. Con estas sucesiones damos una prueba al Teorema de Rowland: Proposición a k − ak −1 = mfp(c ∗−1 ), si k = r ∗ para algún 1, e.o.c. n n n > 1. También probamos: Proposición {ak − ak −1 }k >1 contiene innitos primos. 8/23 La Sucesión de Rowland generalizada ¾Qué ocurrirá al cambiar a1 = 7 por cualquier otro entero a1 ≥ 1? Denición a1 ∈ Z+ a = a −1 + mcd(k , a k k k −1 ); k >1 9/23 La Sucesión de Rowland generalizada ¾Qué ocurrirá al cambiar a1 = 7 por cualquier otro entero a1 ≥ 1? Denición a1 ∈ Z+ , a1 impar, a1 > 3 a = a −1 + mcd(k , a −1 ); k > 1 k k k Podemos descartar valores pares de a1 , ya que a1 = 2A y a1 = 2A + 1 conducen al mismo a2 . Los valores a1 = 1 y a1 = 3 producen a = k y a = k + 2, respectivamente. k k 9/23 La Sucesión de Rowland generalizada ¾Qué ocurrirá al cambiar a1 = 7 por cualquier otro entero a1 ≥ 1? Denición a1 ∈ Z+ , a1 impar, a1 > 3 a = a −1 + mcd(k , a −1 ); k > 1 k k k Podemos descartar valores pares de a1 , ya que a1 = 2A y a1 = 2A + 1 conducen al mismo a2 . Los valores a1 = 1 y a1 = 3 producen a = k y a = k + 2, respectivamente. En estas condiciones a − a −1 ya no siempre será un primo. Por ejemplo, si a1 = 533, entonces a18 − a17 = 9. k k k k 9/23 De forma análoga, introducimos dos sucesiones auxiliares: r1 = 1 r +1 = mín{k > r : (k , c ) 6= 1}, n ≥ 1 c1 = a1 − 2 c +1 = c + mcd(c , r +1 ) − 1, n ≥ 1 n n n n n n n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 3 5 6 41 42 83 84 167 168 c 33 35 39 41 81 83 165 167 333 335 n n ... ... ... 10/23 De forma análoga, introducimos dos sucesiones auxiliares: r1 = 1 r +1 = mín{k > r : (k , c ) 6= 1}, n ≥ 1 c1 = a1 − 2 c +1 = c + mcd(c , r +1 ) − 1, n ≥ 1 n n n n n n n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 3 5 6 41 42 83 84 167 168 c 33 35 39 41 81 83 165 167 333 335 n n ... ... ... Proposición a − ak −1 = k k a k mcd(c 1, n −1 , r n ), si k = r para algún n > 1. e.o.c. 1 2 3 4 5 6 7 35 36 39 40 45 48 49 n ... ... 40 41 82 123 ... ... 10/23 Conjeturas Aunque existen contraejemplos en los que a − a −1 no es primo, son muy poco frecuentes. Los cálculos sugieren la siguiente k k Conjetura (A) Para cada Sucesión de Rowland generalizada, existe K ≥ 1 tal que a − a −1 es 1 o un número primo para todo k > K . k k 11/23 Conjeturas Aunque existen contraejemplos en los que a − a −1 no es primo, son muy poco frecuentes. Los cálculos sugieren la siguiente k k Conjetura (A) Para cada Sucesión de Rowland generalizada, existe K ≥ 1 tal que a − a −1 es 1 o un número primo para todo k > K . k k Es equivalente probar que mcd(c n −1 , r ) es primo para todo n > N . n Proposición Para todo a1 > 3 impar se cumple r ≤ (c + 1)/2 para cada n > 1. De hecho, la igualdad se alcanza si y sólo si mcd(c −1 , r ) es un primo p y p br −1 /p c = (c −1 − p )/2. n n n n n n 11/23 Fijado a1 , basta con que se cumpla alguna de estas condiciones para que la Conjetura (A) sea cierta: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 5 7 10 12 131 132 263 264 272 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 12/23 Fijado a1 , basta con que se cumpla alguna de estas condiciones para que la Conjetura (A) sea cierta: Que exista n tal que 2r + 1 = c . En particular, esto implica 2r + 1 = c para j ≥ n. n n j j n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 5 7 10 12 131 132 263 264 272 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 13/23 Fijado a1 , basta con que se cumpla alguna de estas condiciones para que la Conjetura (A) sea cierta: Que exista n tal que 2r + 1 = c . En particular, esto implica 2r + 1 = c para j ≥ n. Que exista m tal que c sea primo. Esto implica 2r +1 + 1 = c +1 . n n j j m m m n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 5 7 10 12 131 132 263 264 272 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 14/23 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 5 6 11 12 23 24 47 48 50 c 5 9 11 21 23 45 47 93 95 99 n n ... ... ... n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 3 5 6 41 42 83 84 167 168 c 33 35 39 41 81 83 165 167 333 335 n n ... ... ... n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r 1 7 11 17 18 20 21 29 30 35 587 c 511 517 527 543 545 549 551 579 581 587 1173 n n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 5 7 10 12 131 132 263 264 272 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 15/23 Los cálculos sugieren que estos dos hechos ocurren siempre y, además, de forma consecutiva. Dado a1 > 3 impar, denimos (considerando ínf ∅ := ∞): n0 m0 = ínf{n ∈ Z+ : cn = 2rn − 1}, = ínf{m ∈ Z+ : cm es primo}. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 7 10 12 131 132 263 264 272 r 1 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 16/23 Los cálculos sugieren que estos dos hechos ocurren siempre y, además, de forma consecutiva. Dado a1 > 3 impar, denimos (considerando ínf ∅ := ∞): n0 m0 = ínf{n ∈ Z+ : cn = 2rn − 1}, = ínf{m ∈ Z+ : cm es primo}. Conjetura (B) (i) n0 < ∞, (ii) m0 < ∞, (iii) n0 = m0 + 1 < ∞ n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 7 10 12 131 132 263 264 272 r 1 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 16/23 Relaciones entre las conjeturas Proposición Si se cumple (i), (ii) o (iii), la Conjetura (A) es cierta, y además {a − a −1 } ≥1 contiente innitos primos. k k k n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 5 7 10 12 131 132 263 264 272 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 17/23 Relaciones entre las conjeturas Proposición Si se cumple (i), (ii) o (iii), la Conjetura (A) es cierta, y además {a − a −1 } ≥1 contiente innitos primos. k k k Proposición Si se cumple (i) y mcd(c n0 −1 , r n0 ) > rn0 −1 , entonces (iii) es cierto. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 5 7 10 12 131 132 263 264 272 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 17/23 Relaciones entre las conjeturas Proposición Si se cumple (i), (ii) o (iii), la Conjetura (A) es cierta, y además {a − a −1 } ≥1 contiente innitos primos. k k k Proposición Si se cumple (i) y mcd(c n0 −1 , r n0 ) > rn0 −1 , entonces (iii) es cierto. Proposición Si se cumple (i) y además (2 + 1/2500)r < c + 1 para entonces también se cumple (iii). n n n < n0 , n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 1 5 7 10 12 131 132 263 264 272 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 17/23 Tamaño de m0 Fijado un a1 , normalmente m0 es pequeño en comparación con él. Por ejemplo, para a1 = 117, m0 = 5: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 7 10 12 131 132 263 264 272 r 1 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 n n ... ... ... 18/23 Tamaño de m0 Fijado un a1 , normalmente m0 es pequeño en comparación con él. Por ejemplo, para a1 = 117, m0 = 5: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 7 10 12 131 132 263 264 272 r 1 c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543 Pero siempre podemos encontrar ejemplo en los que m0 sea n n ... ... ... arbitrariamente grande: Proposición Dado N , existe a1 > 3 tal que m0 > N . Dado cualquier a1 con m0 < ∞; basta tomar Puede probarse que m00 > m0 . a10 = a1 + c m0 !. 18/23 Cadenas de Rowland Nos interesa estudiar subsucesiones de primos que aparezcan en {a − a −1 }. Por ejemplo, tomando a1 = 7, k k 19/23 Cadenas de Rowland Nos interesa estudiar subsucesiones de primos que aparezcan en {a − a −1 }. Por ejemplo, tomando a1 = 7, {a − a −1 } = 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, . . . k k k k 19/23 Cadenas de Rowland Nos interesa estudiar subsucesiones de primos que aparezcan en {a − a −1 }. Por ejemplo, tomando a1 = 7, {a − a −1 } = 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, . . . Quitando los unos, queda una lista de primos: 5, 3, 11, 3, 23, 3, 47, 3, 5, 3, 101, 3, 7, 11, 3, 13, 233, 3. Esta lista es una Cadena de Rowland. k k k k 19/23 Cadenas de Rowland Nos interesa estudiar subsucesiones de primos que aparezcan en {a − a −1 }. Por ejemplo, tomando a1 = 7, {a − a −1 } = 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, . . . k k k k En general, una Cadena de Rowland es cualquier subsucesión de primos concatenados dentro de {a − a −1 } ≥ 0 , para a1 > 3. k k k n 20/23 = {p1 , p2 , . . . , pk }, denimos la suma parcial X S (n) = (pj − 1), S (1) = 0. Para cada cadena C k j <n 21/23 = {p1 , p2 , . . . , pk }, denimos la suma parcial X S (n) = (pj − 1), S (1) = 0. Para cada cadena C k j <n Las cadenas de Rowland admiten la siguiente caracterización: Proposición C es una cadena de Rowland si y sólo si verica: S (m) ≡ S (n) mód p , para p = p . S (m) 6≡ S (n) mód p , para p < p . Para cada primo q , el conjunto {S (j ) mód q : p contiene todos los residuos módulo q . k n n m n n m j > q } no 21/23 = {p1 , p2 , . . . , pk }, denimos la suma parcial X S (n) = (pj − 1), S (1) = 0. Para cada cadena C k j <n Las cadenas de Rowland admiten la siguiente caracterización: Proposición C es una cadena de Rowland si y sólo si verica: S (m) ≡ S (n) mód p , para p = p . S (m) 6≡ S (n) mód p , para p < p . Para cada primo q , el conjunto {S (j ) mód q : p contiene todos los residuos módulo q . k n n m n n m j > q } no Hay muchas restricciones. Por ejemplo, {11, 5, p } nunca es una cadena de Rowland para ningún p > 3. 21/23 Corolario C2 k = {p1 , p2 , . . . , pk , p1 , p2 , . . . , pk } nunca es una cadena de p1 , p2 , . . . , pk son primos distintos. Rowland si 22/23 Corolario C2 k = {p1 , p2 , . . . , pk , p1 , p2 , . . . , pk } nunca es una cadena de p1 , p2 , . . . , pk son primos distintos. Rowland si Por otro lado, pueden encontrarse cadenas largas con repeticiones no consecutivas. Por ejemplo C27 = {3, 5, 3, 23, 3, 5, 3, 653, 3, 5, 3, 23, 3, 5, 3, 3603833, 3, 5, 3, 23, 3, 5, 3, 653, 3, 5, 3} tiene 27 elementos con sólo 5 primos. Corresponde a a1 = 1550303031682205. 22/23