Axiomática ZERMELO - FRAENKEL (ZFC) Los 7 primeros axiomas fueron propuestos por Zermelo en 1.908. Axioma 1 (de extensión) Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si sus elementos coinciden. Es decir, A = B w (¼x : x c A w x c B) Axioma - esquema 2 (de especificación) Dado un conjunto A y una fórmula proposicional f(x), existe un conjunto B cuyos elementos son aquellos de A que verifican f(x). Es decir, ½B : x c B w x c A . f(x) Axioma 3 (de apareamiento) Dados dos conjuntos A y B, existe un conjunto C al que pertenecen A y B. Es decir, ¼A, B : ½C : A, B c C Axioma 4 (de la unión) Dada una colección de conjuntos A, existe un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a los conjuntos que pertenecen a A. Es decir, ¼A : ½B :(x c B w ½y c A :x c y) Axioma 5 (del conjunto de partes) Dado un conjunto A, existe un conjunto formado por los subconjuntos de A. Es decir, ¼A : ½B :(x c B w x _ A) Axioma 6 (del infinito) Existe un conjunto z que contiene al 0 y que para todo x que le pertenezca, contiene a su sucesor. Es decir, ½z : Û c z . (¼x c z : x 4 {x} c z) Axioma 7 (de elección) Dada un colección de conjuntos A, existe una función de elección en A que asigna a cada elemento no vacio x de A, un elemento y que pertenece a x. Es decir, ¼A : ½f :¼x c A : x ! Û u f(x) c x Axioma -esquema 8 (de sustitución). Introducido por Fraenkel en 1.922. Si f(x,y) es una fórmula proposicional tal que para cada x, existe un único y que verifique f(x,y), entonces para todo conjunto A existe un conjunto B, tal que y pertenece a B si y sólo si existe x en A tal que f(x,y). Es decir, (¼x, y, z :F(x, y) . F(x, z) u y = z) u (¼A : ½B : y c B w (½x c A . F(x, y))) Axioma 9 (de regularidad). Posterior a Zermelo y Fraenkel. Dado un conjunto A no vacio, existe un elemento x del conjunto A que es disjunto con el propio A. Es decir, ¼A : x ! Û u ½x c A : A 3 x = Û