Triángulo rectángulo:

Triángulo rectángulo:
Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto,
es decir, mide 90º (grados sexagesimales) o π/2 radianes.
Nombre de sus lados
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.
Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.
Relaciones métricas en un triángulo rectángulo:
En un triángulo rectángulo:
La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su
proyección sobre ella.
, también se cumple:
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina
sobre la hipotenusa.
La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:
Donde es medida de la hipotenusa.
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo:
El un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo con vértice en A,
son:
El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
Área de un triángulo rectángulo:
Se puede considerar el área de un triángulo como la mitad del área de un rectángulo
partido por su diagonal.
Donde y son las medidas de los catetos que coinciden con los dos lados y las
correspondientes alturas del rectángulo citado.
Además, los catetos coinciden con dos de las tres alturas del propio triángulo.
Valor de las funciones trigonométricas:
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Radián
Grados
sen
cos
tan
csc
sec
ctg
Teorema de Pitágoras: El Teorema de Pitágoras, fue descubierto por uno de
los discípulos de Pitágoras, llamado Hiposo de Meta ponto, según la tradición. Es uno
de los más conocidos y estudiados. Lleva el nombre de Pitágoras porque se atribuye el
descubrimiento a la escuela pitagórica. Establece lo siguiente: en un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos
catetos.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la
hipotenusa es , se establece que:
Demostraciones supuestas de Pitágoras [editar]
Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La
figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados
homólogos son proporcionales.1
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la
hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los
catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen
dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por
tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

De la semejanza entre ABC y BHC:
Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
Pero
, por lo que finalmente resulta:
La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su
razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su
teorema
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre
las superficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación
entre sus superficies:
Obtenemos después de simplificar que:
Pero siendo
la razón de semejanza, está claro que:
Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al
cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos
que:
Que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
(I)
Y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
pero según (I)
, así que:
y por lo tanto:
Quedando demostrado el teorema de Pitágoras.
Teorema del seno:
Teorema del seno.En trigonometría, el teorema del seno es una relación de
proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los
ángulos respectivamente opuestos.Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son
respectivamente a, b, c, entonces
A pesar de ser uno de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una
demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la
misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy
elegante).
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia
circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un
diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A
y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Vease
definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se
llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y
establece:
Para un triángulo ABC donde a,b,c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C
respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
Coseno:
En trigonometría el coseno (abreviado cos) se define como la razón entre el cateto
adyacente y la hipotenusa:
O también como la abscisa correspondiente a un punto que pertenece a una
circunferencia unitaria centrada en el origen (c = 1).
En matemáticas el coseno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada,
siendo una de las funciones trascendentes.
También se puede definir mediante exponenciales de la forma: