Lógica modal Ramon Jansana

Lógica modal
Ramon Jansana
Universitat de Barcelona
Índice general
Capı́tulo 1.
Introducción
5
Capı́tulo 2. El lenguaje de la lógica modal
1. Vocabulario
2. Definición de fórmula
3. Instancias de sustitución
4. El principio de inducción
5. Definición por inducción (o recursión)
6. Ejercicios
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9
9
10
10
10
11
Capı́tulo 3. La Semántica relacional
1. Modelos y marcos
2. Fórmulas válidas
3. Fórmulas equivalentes
4. Relaciones de consecuencia
5. Secuentes válidos
6. Ejercicios
13
13
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18
19
20
Capı́tulo 4. La lógica clásica proposicional
1. Lenguaje formal
2. Semántica
3. Cálculo de secuentes
23
23
23
24
Capı́tulo 5. Cálculo de secuentes para la lógica modal
1. El cálculo
2. Relaciones de deducibilidad
3. Propiedades básicas de `
4. Conjuntos consistentes de fórmulas
5. El modelo canónico
35
35
37
37
38
39
Capı́tulo 6.
43
Algunos resultados de correspondencia
Capı́tulo 7. Lógicas modales normales
1. Extensiones axiomáticas del cálculo LK K
2. Axiomatizaciones tipo Hilbert de las lógicas modales normales
3. Relaciones de consecuencia
4. Relaciones de deducibilidad
45
46
47
49
49
Capı́tulo 8.
51
Algunos resultados de correspondencia
3
4
Índice general
Capı́tulo 9. Teoremas de completud
1. L-teorı́as, conjuntos L-consistentes, L-teorias primas,
relativamente maximales y L-consistente maximales
2. El modelo canónico
3. Los teoremas de completud
Capı́tulo 10. Lógica modal cuantificacional
1. Sintaxis
2. Las interpretaciones del lenguaje
3. Semántica de modelos con dominio constante: cuantificación
sobre posibles
4. Semántica de modelos con dominio variable: cuantificación sobre
actuales y designación rı́gida
53
54
57
59
63
63
64
68
71
Capı́tulo 1
Introducción
El inicio de la lógica modal se puede retrotraer al análisis de Aristóteles
de los enunciados que contienen los términos “necesario” y “posible”. Los
lógicos medievales continuaron el análisis de estos términos pero estudiaron
también otras modalidades como por ejemplo las epistémicas. La lógica modal moderna se ocupó en sus comienzos (C.I. Lewis, Hugh McColl...) de las
modalidades “necesario” y “posible” tratadas por Aristóteles, pero pronto
se ocupó de otras modalidades.
Hoy en dı́a lo que se conoce, en sentido amplio, como lógica modal trata
de una variedad de modalidades que incluye, además de las tradicionalmente consideradas, otras modalidades que han surgido en las ciencias de la
computación y en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
Brevemente podemos decir que
una modalidad es una expresión que aplicada a una oración
S proporciona una nueva oración sobre el modo en que S es
verdadera o sobre el modo en que es aceptada.
Por ejemplo, sobre cuando es verdadera, donde es verdadera, cómo es verdadera, en que circunstancias es verdadera; o sobre el modo en que un sujeto
o colectividad la acepta, por ejemplo, como conocida, creı́da, demostrada,
etc.
Las modalidades usualmente se dan en pares de modalidades duales
(“necesario” / “posible”, “siempre” / “alguna vez”): “necesario” equivale a
“no es posible que no”, “siempre” equivale a “no es el caso que alguna vez
no”.
La lógica clásica es extensional. Esto significa que vale el principio de
sustitución de equivalentes materiales, o sustitución salva veritate, conocido
también como principio de extensionalidad:
si dos enunciados β y γ tienen el mismo valor de verdad,
entonces en todo enunciado α(p/β) en el que aparezca β, si
β se sustituye por γ entonces se obtiene un nuevo enunciado,
α(p/γ), con el mismo valor de verdad que el inicial (α(p/β)).
Las modalidades infringen el principio de extensionalidad. Veamos algunos
ejemplos.
1. La oración (3) no se sigue de (1) y (2):
(1) 3 + 2 = 5 si y sólo si Juan Carlos I es rey de España
(2) Es necesario que 3 + 2 = 5
5
6
1. INTRODUCCIóN
(3) Es necesario que Juan Carlos I es rey de España.
2. La oración (6) no se sigue de (4) y (5):
(4) Felipe de Borbón es rey de España si y sólo si Parı́s está en
Australia
(5) En el futuro Felipe de Borbón será rey de España
(6) En el futuro Parı́s estará en Australia
3. Del mismo modo, la oración (9) no se sigue de (7) y (8):
(7) El autor de El Quijote es el autor de El Quijote si y sólo si
el autor de El Quijote es Cervantes
(8) Juan cree que el autor de El Quijote es el autor de El Quijote
(9) Juan cree que el autor de El Quijote es Cervantes.
4. La oración (12) no se sigue de (10) y (11)
(10) 3 + 2 = 5 si y sólo si no hay un número primo mayor que
todos los demás números primos
(11) Juan sabe que 3 + 2 = 5
(12) Juan sabe que no hay un número primo mayor que todos
los demás números primos.
La razón de que el principio de extensionalidad falle en los ejemplos 1
y 2 se explica por el hecho de que el valor de verdad de las oraciones (2),
(3), (5), (6) no depende, a diferencia de lo que ocurre con las oraciones (1) y
(4), únicamente de lo que ocurre en la situación en que se evalúa la oración,
sino que depende también de lo que ocurre en las situaciones alternativas
pertinentes en cada caso. Por ejemplo, el valor de verdad de (3) no depende
sólo de si Juan Carlos I es o no rey de España, depende de si lo es en todas
las situaciones alternativas a la actual. Que (3) sea verdadero significa que
en cualquier situación posible (no sólo en la actual) Juan Carlos I es rey de
España. Puesto que esto no es ası́, (3) es falsa. Análogamente, el valor de
verdad de (6) no depende de si ahora Parı́s está o no en Australia, depende
de si en algún momento futuro será el caso que Parı́s está en Australia.
Puesto que esto no es ası́, (6) es falsa.
Un listado de modalidades.
Modalidades aléticas: necesario, posible, imposible
Modalidades temporales: siempre, nunca, siempre en el pasado, siempre en el futuro, en algún momento futuro, en algún momento pasado, a partir de ahora, etc.
Modalidades deónticas: es obligatorio, está permitido, está prohibido, es legal, etc.
Modalidades doxásticas: j cree que, se cree que.
Modalidades epistémicas: j sabe que, se sabe que, todos saben que,
etc.
Modalidades de la lógica dinámica: después de que la computación
se acabe, durante la computación, el programa permite que, etc.
Modalidades de la metalógica: es válido, es satisfacible, es demostrable, es consistente, es demostrable en la teorı́a T .
1. INTRODUCCIóN
7
Modalidades espaciales: en todas partes, en alguna parte, etc.
La semántica relacional. La semántica relacional para las lógicas de
las diferentes modalidades considera seriamente el análisis que hemos expuesto brevemente de porqué no vale el principio de sustitución de equivalentes materiales para enunciados con modalidades. Toma en serio desde un
punto de vista matemático la idea de situación alternativa y la idea de que el
valor de verdad de un enunciado con modalidades en la situación actual depende del valor de verdad de alguno o todos sus componentes es situaciones
alternativas.
Dada una modalidad 2 y un enunciado ϕ (interpretado en la situación
actual), el valor de verdad del enunciado 2ϕ en la situación actual w, o en el
estado actual w, depende de lo que ocurre en situaciones (o estados) alternativas(os) a w. Las situaciones alternativas, o posibles, se representan en
semántica relacional por puntos; en contextos filosóficos estos puntos se llaman a menudo mundos posibles y en contextos de ciencias de la computación
estados. La relación de ser una alternativa se representa por una relación
entre puntos. Por esta razón se conoce a esta semántica como semántica
relacional. En los cı́rculos de filosofı́a analı́tica se la conoce también como
semántica de mundos posibles.
La semántica de mundos posibles para las modalidades aléticas la introdujo Carnap, y para las modalidades temporales Prior. La semántica relacional tal como la formulamos hoy en dı́a la introdujeron, independientemente
uno de otro, Kripke, Hintikka y Kanger, aunque el tratamiento de Kripke
es el más general. Implı́citamente se halla en un artı́culo mucho anterior de
Jónsson y Tarski.
La semántica relacional tal como la presentó Kripke es completamente
general, en el sentido de que es aplicable a multitud de modalidades. En este
caso los modelos constan de:
1. Un conjunto no vacı́o de puntos que representan las situaciones pertinentes. Cada una de ellas puede ser la actual.
2. Una relación R entre puntos que indica qué situaciones son alternativas a cuales.
3. Una interpretación que en cada situación establece qué enunciados son
verdaderos y cuales falsos, de modo que 2ϕ es verdadero en una situación
w sii ϕ es verdadero en toda situación w0 tal que wRw0 .
A pesar de que hemos usado la palabra ‘situación’ más a menudo que la
expresión ‘mundo posible’, ambas expresiones se han usado metafóricamente,
como por otra parte es muy común. También es frecuente utilizar con el
mismo propósito la expresión ‘estado de cosas’ (state of affairs). Con el uso
de estas expresiones no se pretende sugerir ni mucho menos que se dispone
de una concepción de lo que es una situación o lo que es un mundo posible, ni
que disponer de una tal concepción sea necesario para elaborar la semántica
relacional. De hecho, la semántica relacional es compatible con diferentes
concepciones de lo que puede ser desde un punto de vista metafı́sico un
8
1. INTRODUCCIóN
mundo posible, incluso es compatible con concepciones que niegan, desde
este punto de vista metafı́sico, los mundos posibles.
Conviene observar una caracterı́stica importante de la semántica relacional. En cada punto, bajo cada interpretación, cada fórmula tiene un valor
de verdad (es verdadera o falsa). Debido a esta caracterı́stica a veces puede parecer más apropiada la metáfora de los mundos posibles que la de las
situaciones puesto que, según una actitud realista, en el mundo está determinado de cada enunciado si es verdadero o falso, pero en una situación no
tiene porque ser ası́.
Capı́tulo 2
El lenguaje de la lógica modal
El lenguaje de la lógica modal proposicional es una extensión del lenguaje de la lógica proposicional clásica. Se obtiene añadiendo a éste dos
operadores modales. Las conectivas ∧, ∨, → de la lógica clásica y las constantes proposicionales ⊥, > se siguen interpretando intuitivamente del modo
en que se hace en lógica proposicional, es decir como funciones de valores
de verdad. Los operadores modales pueden interpretarse intuitivamente de
muchas maneras, según la modalidad que se pretenda tratar. Uno de los
operadores se interpreta como una de las modalidades y el otro como la
modalidad dual. Convencionalmente se utiliza el cuadrado 2 para la modalidad universal y el diamante 3 para la existencial. Ası́, si nos importan
las modalidades aléticas, 2 se interpretará como “es necesario” y 3 se interpretará como “es posible”; si nos importan las modalidades temporales
2 se interpretará por ejemplo como “siempre en el futuro” y entonces 3 se
interpretará como “en algún momento futuro”.
1.
Vocabulario
El lenguaje formal de la lógica modal proposicional consta pues del siguiente vocabulario:
1.
2.
3.
4.
5.
Variables proposicionales: p, q, r, p1 , q1 , r1 , . . .
Constantes proposicionales: ⊥, >
Conectivas: ∧, ∨, →
Operadores modales: 2, 3
Paréntesis
Asumimos una enumeración fijada p0 , p1 , p2 , . . . de la s variables proposicionales.
2.
Definición de fórmula
Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario.
Las fórmulas atómicas son las variables proposicionales y las constantes
proposicionales. Las fórmulas se definen de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Toda fórmula atómica es una fórmula,
2. Si α es una fórmula, lo son 2α, y 3α
3. Si α y β son fórmulas, también lo son (α ∧ β), (α ∨ β) y (α → β).
9
10
2. EL LENGUAJE DE LA LóGICA MODAL
El sı́mbolo ↔ se define del modo usual en lógica clásica como
ϕ ↔ ψ := (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)
La negación de una fórmula α es la fórmula α → ⊥ que abreviamos con
¬α.
El árbol genealógico de una fórmula se define de modo análogo a como se
hace en lógica proposicional (no modal), ası́ como el concepto de subfórmula.
Una fórmula de la forma 2ϕ se lee “cuadrado ϕ” y a veces “es necesario
que ϕ” aunque no consideremos ninguna interpretación intuitiva del mismo.
Nosotros optaremos por la primera lectura. Análogamente una fórmula de
la forma 3ϕ se lee “rombo ϕ”, “diamante ϕ” y también, a veces, “es posible
que ϕ”. Como en el caso del cuadrado optaremos por la primera lectura.
3.
Instancias de sustitución
Dada una fórmula α, una instancia de sustitución de α es cualquier
fórmula que se obtiene reemplazando simultáneamente alguna o todas las
letras proposicionales que aparecen en α por fórmulas. Ası́ (r ∧ p) → ¬r
es una instancia de sustitución de p → q. También es una instancia de
sustitución de las fórmulas (r ∧ q) → p y de (p ∧ q) → r, entre otras.
Si β es una fórmula, con β(p0 /α0 , . . . , pn /αn ) nos referiremos a la instancia de sustitución de β que se obtiene reemplazando en β las letras proposicionales p0 , . . . , pn por α0 , . . . , αn respectivamente.
4.
El principio de inducción
Proposición 1 (Principio de inducción). Si P es una propiedad tal que
1. toda variable proposicional tiene P ,
2. ⊥ y > tienen P ,
3. si ϕ y ψ tienen P , entonces (ϕ ∨ ψ) , (ϕ ∧ ψ) y (ϕ → ψ) tienen P ,
4. si ϕ tiene P , entonces 3ϕ y 2ϕ tienen P ,
entonces toda fórmula tiene P .
5.
Definición por inducción (o recursión)
Proposición 2. Sea D un conjunto no vacı́o, F2 y F3 funciones de D
en D, G∨ , G∧ , G→ funciones de D ×D en D y a, b ∈ D. Para cada función h
del conjunto de las variables proposicionales en D, existe una única función
h : F m → D tal que
1. h(p) = h(p), para cada letra proposicional p,
2. h(⊥) = a
3. h(>) = b
4. h((ϕ ∨ ψ)) = G∨ (hh(ϕ), h(ψ)i)
5. h((ϕ ∧ ψ)) = G∧ (hh(ϕ), h(ψ)i)
6. h((ϕ → ψ)) = G→ (hh(ϕ), h(ψ)i)
7. h(2ϕ) = F2 (h(ϕ)),
8. h(3ϕ) = F3 (h(ϕ)).
6. EJERCICIOS
6.
11
Ejercicios
1. Interpretando 2 como “es necesario” y su dual 3 como “es posible”,
formalice:
1. Es posible que el Barça gane La Liga, pero no es necesario.
2. Es posible que si el Barça gana La Liga, pierda la “Champions”.
3. Si es posible que el Barça gane La Liga, es necesario que la pierda
el Valencia.
4. Si el Barça pierde La Liga, es necesario que la gane el Valencia.
5. No es posible que el Barça gane La Liga, pero es posible que gane
la copa de la UEFA.
6. Es posible que el Valencia gane La Liga y posiblemente es necesario
que sea ası́.
7. Es imposible que que el Barça y el Valencia ganen La Liga.
2. Interpretando 2 como “siempre en el futuro” y su dual 3 como “alguna
vez en el futuro”, formalice:
1. El Barça ganará siempre La Liga.
2. Si el Barça gana alguna vez La Liga, siempre perderá la “Champions”.
3. Siempre ocurrirá que si el Barça gana La Liga, la perderá el Valencia.
4. Si el Barça pierde alguna vez La Liga, siempre la ganará el Valencia.
5. No siempre ocurrirá que el Barça gane La Liga, pero alguna vez
ganará la copa de la UEFA.
6. No siempre ocurrirá que el Barça o el Valencia ganen La Liga.
Capı́tulo 3
La Semántica relacional
Presentamos la semántica relacional para el lenguaje de la lógica modal
proposicional. Primero definiremos los conceptos de marco y de modelo;
después, para cada modelo, definiremos la relación de verdad de una fórmula
en un punto del modelo.
1.
Modelos y marcos
Definición 3. Un marco (de Kripke) es una estructura F = hW, Ri
donde
1. W es un conjunto no vacı́o y
2. R es una relación binaria en W .
Los elementos de W se llaman puntos, ı́ndices, mundos o estados del marco.
Utilizaremos indistintamente todos estos términos.
Definición 4. Un modelo (de Kripke) es una estructura M = hW, R, V i,
donde
1. hW, Ri es un marco y
2. V es una función que asigna a cada letra proposicional un subconjunto
de W .
Se dice que la función V es una asignación o una valoración en el marco
hW, Ri, y que el modelo hW, R, V i es un modelo sobre hW, Ri.
Dado un modelo M = hW, R, V i, la definición inductiva de fórmula
verdadera en un punto w ∈ W es la siguiente:
M, w
M, w
M, w
M, w
M, w
M, w
M, w
M, w
|= p sii w ∈ V (p), para cada letra proposicional p,
|= > ,
6|= ⊥ ,
|= (ϕ1 ∧ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 y M, w |= ϕ2 ,
|= (ϕ1 ∨ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 o M, w |= ϕ2 ,
|= (ϕ1 → ϕ2 ) sii M, w 6|= ϕ1 o M, w |= ϕ2 ,
|= 2ϕ sii para cada v ∈ W tal que wRv, M, v |= ϕ,
|= 3ϕ sii existe v ∈ W tal que wRv y M, v |= ϕ.
De la definición se sigue que
M, w |= ¬ϕ sii
M, w 6|= ϕ
13
14
3. LA SEMáNTICA RELACIONAL
Si ϕ es verdadera en un punto se dice que el punto satisface la fórmula
o que la fórmula es satisfecha en el punto. Con V (ϕ) se denota el conjunto
de puntos en que ϕ es verdadera, es decir
V (ϕ) := {w ∈ W : M, w |= ϕ}.
Ejemplos.
1. Consideremos el modelo de diagrama
p, q
<y 1 laBB
yy
yy
y
y
yy
p, q 2
BB
BB
BB
/3 q
La fórmula 2p es verdadera en los puntos 1 y 3.
La fórmula 3p es verdadera en los puntos 1, 2 y 3.
La fórmula 2q es verdadera en los puntos 1, 2 y 3.
La fórmula 3q es verdadera en los puntos 1, 2 y 3.
La fórmula 23p es verdadera en los puntos 1, 2 y 3.
La fórmula 32p es verdadera en los puntos 1, 2 y 3.
La fórmula 2(p → q) es verdadera en los puntos 1, 2 y 3.
La fórmula 2(p → 2q) es verdadera en los puntos 1, 2 y 3.
2. Consideremos el modelo de diagrama
p
=1e
|
|
||
||
|
|
||
p, q 2
/3 q
La fórmula 2p es verdadera en los puntos 1 y 3.
La fórmula 3p es verdadera en los puntos 1 y 2.
La fórmula 2q es verdadera en el punto 3.
La fórmula 3q es verdadera en el punto 2.
La fórmula 23p es verdadera en los puntos 1 y 3.
La fórmula 32p es verdadera en los puntos 1 y 2.
La fórmula 2(p → q) es verdadera en el punto 3.
La fórmula 2(p → 2q) es verdadera en el punto 3.
3. En el modelo de diagrama
p
= 1 ?e ?
|
|
?
||
||
|
|
||
p, q 2
??
??
??
/3 q
o
la fórmula 2p → 32q es verdadera en todos los puntos.
4. En el modelo de diagrama
p
91o
/2e
2. FóRMULAS VáLIDAS
15
la fórmula 3p → 2p es falsa en todos los puntos.
2.
Fórmulas válidas
Si ϕ es verdadera en todo punto de un modelo M, es decir si V (ϕ) = W ,
se dice que es válida en M.
Con Val(M) denotaremos el conjunto de fórmulas válidas en M.
Dado un marco F, se dice que una fórmula ϕ es válida en F si ϕ es
válida en todo modelo hF, V i sobre F.
Con Val(F) denotaremos el conjunto de fórmulas válidas en F.
Una fórmula es válida en una clase de modelos M si es válida en cada
uno de sus elementos. Análogamente se dice que una fórmula es válida en
una clase F de marcos. Denotaremos con Val(M) el conjunto de las fórmulas
válidas en todos los modelos pertenecientes a M y con Val(F) la clase de
todas las fórmulas validas en todos los marcos elemento de F.
La semántica relacional obliga a que ciertas fórmulas sean válidas en
todo modelo y que los conjuntos de fórmulas válidas en un modelo y de
fórmulas válidas en un marco tengan ciertas propiedades de clausura.
Lema 5. Sea hW, R, V i un modelo, sean β0 , . . . , βn fórmulas cualesquiera
y consideremos la asignación V ∗ en hW, Ri definida por
V ∗ (pi ) = V (βi )
para cada i ≤ n y si i 6≤ n, V ∗ (pi ) = V (pi ). Entonces, para toda fórmula α,
V (α(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (α).
Demostración. Por inducción.
a) Si α es una variable proposicional q y q es diferente de p0 , . . . , pn ,
entonces α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) = q y V ∗ (q) = V (q). Por tanto tenemos lo
deseado. Si q = pi para algún i ≤ n, entonces α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) = βi y
V ∗ (q) = V ∗ (pi ) = V (βi ), con lo cual obtenemos también lo deseado.
b) Si α es ⊥ o >, entonces α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) = α y obtenemos lo
deseado.
c) Supongamos como hipótesis inductiva que V (α(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) =
V ∗ (α) y V (β(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (β). Veamos que
V ((α ∧ β)(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (α ∧ β).
Puesto que
(α ∧ β)(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) = α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) ∧ β(p0 /β0 , . . . , pn /βn )
y además
V (α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) ∧ β(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) =
V (α(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) ∩ V (β(p0 /β0 , . . . , pn /βn )),
utilizando la hipótesis inductiva obtenemos
V (α(p0 /β0 , . . . , pn /βn )∧β(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (α)∩V ∗ (β) = V ∗ (α∧β).
Por tanto, V ((α ∧ β)(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (α ∧ β).
16
3. LA SEMáNTICA RELACIONAL
De modo análogo se tratan los casos de (α ∨ β) y de (α → β).
d) Supongamos como hipótesis inductiva que V (α(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) =
V ∗ (α). Veamos que V ((2α)(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (2α). Por un lado
(2α)(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) = 2α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ).
Por otro,
V (2α(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) =
{w ∈ W : (∀v ∈ W )(wRv ⇒ v ∈ V (α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ))}.
Aplicando la hipótesis inductiva,
V (2α(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = {w ∈ W : (∀v ∈ W )(wRv ⇒ v ∈ V ∗ (α)}.
Ası́,
V (2α(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (2α).
Por tanto, V ((2α)(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (2α).
De modo análogo se trata el caso de 3α, es decir se demuestra que
V ((3α)(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (3α).
QED
Lema 6. Si α es una fórmula en la que no ocurren los sı́mbolos 2 y 3,
entonces α es una tautologı́a si y sólo si es válida en todo modelo.
Demostración. Supongamos que α es una tautologı́a. Sea M = hW, R, V i
un modelo y sea w ∈ W . Consideremos la asignación de valores de verdad v
definida mediante
v(p) = 1 sii w ∈ V (p)
para cada letra proposicional p. Es inmediato ver que una fórmula cualquiera
β en la que no ocurren ni 2 ni 3 es verdadera con la asignación de valores
de verdad v si y sólo si w ∈ V (β). Puesto que α es verdadera con cualquier
asignación, lo es con v, Por tanto w ∈ V (α). Puesto que w es un elemento
arbitrario de W , concluimos que V (α) = W , Ası́, α es válida en M.
Supongamos ahora que α es válida en todo modelo. Sea v una asignación
de valores de verdad. Consideremos el modelo M = h{a}, ∅, V i donde V se
define mediante V (p) = {a} si y sólo si v(p) = 1, para cada letra proposicional p. Es fácil ver que en toda fórmula β en la que ni 2 ni 3 ocurren,
V (β) = {a} si y sólo si β es verdadera con la asignación de valores de verdad
v. Por tanto, puesto que α es válida en todo modelo, α es válida en M. Ası́,
V (α) = {a}. Por tanto α es verdadera con la asignación v. Concluimos que
α es una tautologı́a.
QED
Proposición 7.
1. Las fórmulas de la forma 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) son verdaderas
en todo punto de todo modelo, por tanto son válidas en todo modelo.
2. Las fórmulas de la forma de una tautologı́a (las instancias de sustitución de tautologı́as) son válidas en todo modelo.
3. Si ϕ es válida en un modelo, lo es 2ϕ. Ası́, para cada modelo M, si
ϕ ∈ Val(M), entonces 2ϕ ∈ Val(M).
3. FóRMULAS EQUIVALENTES
17
4. Si ϕ es válida en un marco F, entonces toda instancia de sustitución
σϕ de ϕ es válida también en F. Ası́, si ϕ ∈ Val(F) y σϕ es una
instancia de sustitución de ϕ cualquiera, entonces σϕ ∈ Val(F)
5. Las fórmulas de la forma 2α ↔ ¬3¬α, y las de la forma 3α ↔
¬2¬α son verdaderas en todo punto de todo modelo, por tanto son
válidas.
Demostración. 1. Fijemos un modelo M = hW, R, V i. Consideremos
un punto w ∈ W . Para demostrar que 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) es verdadera en w, basta demostrar que en caso de que el antecedente 2(ϕ → ψ) sea
verdadero en w, lo es también el consecuente (2ϕ → 2ψ). Supongamos pues
que M, w |= 2(ϕ → ψ). Para ver que M, w |= 2ϕ → 2ψ, supongamos que
M, w |= 2ϕ. Bajo esta suposición debemos ver que M, w |= 2ψ, es decir
que para todo v ∈ W tal que wRv ocurre que M, v |= ψ. Para demostrarlo
sea v ∈ W tal que wRv. Puesto que M, w |= 2(ϕ → ψ), (i) M, v |= (ϕ → ψ)
y puesto que M, w |= 2ϕ, (ii) M, v |= ϕ. Por tanto, por (i) y (ii) obtenemos
que M, v |= ψ, que es lo que deseábamos. Ası́, M, w |= 2ψ.
2. Supongamos que α es una instancia de sustitución de una tautologı́a.
Supongamos que α es β(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) donde β es un tautologı́a. Consideremos un modelo M = hW, R, V i arbitrario. Consideremos la asignación
V ∗ en hW, Ri definida por V ∗ (pi ) = V (βi ) para cada i ≤ n y tal que i 6≤ n,
V ∗ (pi ) = V (pi ). Por el lema 5,
V (β(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = V ∗ (β).
Puesto que β es una tautologı́a, V ∗ (β) = W . Por tanto,
V (β(p0 /β0 , . . . , pn /βn )) = W.
Ası́, α es válida en M.
3. Supongamos que ϕ es valida en un modelo M = hW, R, V i. Esto
significa que para todo w ∈ W , M, w |= ϕ. Por tanto, trivialmente, dado
w ∈ W , para todo v ∈ W tal que wRv ocurre que M, v |= ϕ. Ası́, M, w |=
2ϕ.
4. Debe utilizarse el lema 5. Se deja como ejercicio.
5. Se deja como ejercicio.
QED
3.
Fórmulas equivalentes
Diremos que dos fórmulas son equivalentes si en todo modelo ambas
son verdaderas en exactamente los mismos puntos.
Proposición 8. Para toda fórmula ϕ,
1. 2ϕ es equivalente a ¬3¬ϕ,
2. 3ϕ es equivalente a ¬2¬ϕ.
Demostración. Se deja como ejercicio.
QED
18
3. LA SEMáNTICA RELACIONAL
Proposición 9. Si α y β son fórmulas en las que no ocurren ni 2
ni 3 y son lógicamente equivalentes en el sentido de la lógica proposicional clásica, entonces para cualesquiera letras proposicionales p0 , . . . , pn
y cualesquiera fórmulas modales β0 , . . . , βn , las instancias de sustitución
α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) y β(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) son fórmulas equivalentes.
Demostración. Supongamos que α y β son fórmulas en las que no
ocurren ni 2 ni 3 y son lógicamente equivalentes en el sentido de la lógica proposicional clásica. Ası́, α ↔ β es una tautologı́a. Por tanto toda
instancia de sustitución de α ↔ β es válida en todo modelo M. Ası́,
α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) ↔ β(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) es válida en todo modelo M.
Se sigue que en todo modelo M las fórmulas
α(p0 /β0 , . . . , pn /βn ) y β(p0 /β0 , . . . , pn /βn )
son verdaderas en los mismos puntos, por lo que son equivalentes.
QED
Proposición 10 (Sustitución de equivalentes). Para cualesquiera fórmulas α, β y γ, si β es equivalente a γ, entonces para toda variable p, α(p/β)
es equivalente a α(p/γ)
Demostración. Se demuestra por inducción. Se deja como ejercicio.
QED
4.
Relaciones de consecuencia
La relación de consecuencia local se define como sigue. Sean ϕ una
fórmula modal y Σ un conjunto de fórmulas modales. Se dice que ϕ es consecuencia local de Σ, y escribimos Σ |=l ϕ, si para todo modelo hW, R, V i)
y para todo w ∈ W tal que para cada ψ ∈ Σ, w sat. ψ ocurre que w sat. ϕ.
La relación de consecuencia global se define como sigue. Sean ϕ una
fórmula modal y Σ un conjunto de fórmulas modales. Se dice que ϕ es
una consecuencia global de Σ, y escribimos Σ |=g ϕ, si para todo modelo
hW, R, V i tal que para cada ψ ∈ Σ, hW, R, V i |= ψ ocurre que hW, R, V i |= ϕ.
Las dos relaciones de consecuencia tienen las mismas consecuencias a
partir del conjunto vacı́o.
Proposición 11. Para toda fórmula ϕ,
|=l ϕ sii
|=g ϕ.
Demostración. Observemos que por una parte, |=l ϕ si y sólo si para
todo modelo M y todo w ∈ W , M.w |= ϕ, y que por otra parte, |=g ϕ si y
sólo si para todo modelo M ϕ es válida en M. Por tanto, es evidente que
|=l ϕ si y sólo si |=g ϕ.
QED
Sin embargo ambas relaciones de consecuencia son diferentes. Por ejemplo
p |=g 2p
pero
p 6|=l 2p.
5. SECUENTES VáLIDOS
5.
19
Secuentes válidos
Como en lógica proposicional clásica, un secuente está formado por un
par de conjuntos finitos Γ, ∆, que escribimos Γ ∆.
Un secuente Σ ∆ es válido en un modelo M si para cada punto w ∈ W
en el que todas las fórmulas en Σ son verdaderas, ocurre que alguna fórmula
en ∆ es verdadera. Un secuente es válido, si es válido en todo modelo.
Una regla entre secuentes es válida si para todo modelo en el que son
válidos los secuentes a los que se aplica la regla, es válido el secuente que se
obtiene por la aplicación de la regla.
Dada un conjunto Σ de fórmulas consideraremos los conjuntos de fórmulas
2Σ := {2ϕ : ϕ ∈ Σ}
y
3Σ := {3ϕ : ϕ ∈ Σ}.
Proposición 12. Los secuentes
1. 2(ϕ → ψ) 2ϕ → 2ψ
2. 2(ϕ ∨ ψ) 2ϕ ∨ 3ψ
3. 2ϕ ∧ 3ψ 3(ϕ ∧ ψ)
son válidos
Demostración. Se deja como ejercicio.
QED
Proposición 13. La regla
Σ, ϕ ∆
2Σ, 3ϕ 3∆
es válida. En particular lo es
ϕψ
.
3ϕ 3ψ
Demostración. Supongamos que M = hW, R, V i es un modelo en el
que es válido el secuente Σ, ϕ ∆, esto significa que para cada w ∈ W en
el que las fórmulas de Σ y ϕ sean verdaderas, alguna de las fórmulas en ∆
es verdadera. Veamos que 2Σ, 3ϕ 3∆ es válido en M. Supongamos para
ello que w ∈ W es tal que para cada α ∈ Σ, 2α es verdadera en w y 3ϕ
es verdadera en w. Esto último implica que hay v ∈ W tal que wRv y ϕ
es verdadera en v. Puesto que wRv, las fórmulas de Σ son verdaderas en
v. Por tanto, puesto que Σ, ϕ ∆ es valido en M, alguna fórmula β ∈ ∆
debe ser verdadera en v. Ası́, 3β es verdadera en w. Concluimos pues que
2Σ, 3ϕ 3∆ es válido en M.
QED
Proposición 14. La regla
Σ ∆, ϕ
2Σ 3∆, 2ψ
es válida. En particular lo es
ϕψ
.
2ϕ 2ψ
20
3. LA SEMáNTICA RELACIONAL
Demostración. Se deja como ejercicio.
QED
Proposición 15. Sea Σ ϕ un secuente. Σ ϕ es válido sii Σ |=l ϕ.
Demostración. Se sigue inmediatamente de las definiciones.
6.
QED
Ejercicios
1. Consideremos el modelo de diagrama
q
p
91o
/2
Decida para cada una de las fórmulas siguientes si es verdadera en
1 y si es verdadera en 2.
(a) 2p → 22p
(b) ¬2p
(c) p → 32p
(d) ¬2q → 2¬p
(d) 3q → ¬3q
2. Consideremos el modelo hW, R, V i donde
W = {1, 2, 3, 4},
R = {h1, 2i, h2, 3i, h3, 1i, h4, 2i}
V (p) = {1, 3}, V (q) = {1, 2}
(a) Dibuje el modelo.
(b) De cada una de las siguientes fórmulas diga en que puntos
es verdadera:
a) 2q,
b) 2¬(p → ¬q),
c) 2(p ∨ q) ∨ 3(p ∧ q),
d ) 32(p ∨ q),
e) 2p ∧ 3q.
(c) Decida para cada una de las fórmulas siguientes si es válida
en el modelo:
a) 32p ∨ 332p,
b) 2p → ¬p,
c) (p → 3p) ∧ (q → 3q),
d ) 3(p ∨ ¬p) → 2(p ∨ ¬q).
(d) Decida si las fórmulas 2p → 3p y 332p → p son válidas en
el marco del modelo.
3. Es válido el secuente p 2p? Y el secuente p 3p?
4. Demuestre que 2α es equivalente a ¬3¬α.
5. Demuestre el apartado 4 de la proposición 7.
6. Demuestre el apartado 4 de la proposición 7.
7. Demuestre la proposición 8, el principio de sustitución de equivalentes.
8. Demuestre la proposición 10.
9. Demuestre la proposición 12.
6. EJERCICIOS
21
10. Demuestre que las fórmulas 2(3p → q) y 2(2¬p ∨ q) son equivalentes.
Capı́tulo 4
La lógica clásica proposicional
Dedicamos este capı́tulo a presentar la lógica proposicional clásica. Primero introduciremos el lenguaje. Hemos optado por tener en el lenguaje dos
constantes proposicionales, una se interpreta siempre como verdadera y la
otra siempre como falsa. Este recurso permite introducir la negación como
una conectiva definida y comparar mejor la lógica proposicional clásica con
la lógica intuicionista a través de los cálculos de secuentes para cada una de
ellas introducidos por Gentzen.
La semántica que presentamos es la habitual: la de asignaciones de valores de verdad. El cálculo es el cálculo de secuentes de Gentzen. El capı́tulo
finaliza con la demostración del teorema de completud.
1.
Lenguaje formal
El lenguaje formal que hemos escogido para presentar la lógica proposicional consta del siguiente vocabulario:
1. Variables proposicionales: p, q, r, p1 , q1 , r1 , . . .
2. Conectivas: ∧, ∨, →
3. Constantes proposicionales: ⊥, >
4. Paréntesis
Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario.
Las fórmulas atómicas son las variables proposicionales y las constantes
proposicionales. Las fórmulas se definen de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Toda fórmula atómica es una fórmula,
2. Si ϕ y ψ son fórmulas, también lo son (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ) y (ϕ → ψ).
La negación se introduce del siguiente modo. Si ϕ es una fórmula
¬ϕ := (ϕ → ⊥)
donde := significa que la expresión de la izquierda se define como una abreviación de la expresión de la derecha.
2.
Semántica
Una asignación de valores de verdad es una función v que asigna a cada
letra proposicional un elemento de {V, F }. V representa el valor de verdad
verdadero y F el valor de verdad falso. Para abreviar hablaremos simplemente de asignaciones.
23
24
4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL
Definimos inductivamente la relación de satisfacción entre asignaciones
y fórmulas, sat., como sigue. Dada una asignación v,
v
v
v
v
v
v
sat.
sat.
sat.
sat.
sat.
sat.
p sii v(p) = V
>
⊥
(ϕ ∧ ψ) sii v sat. ϕ y v sat. ψ
(ϕ ∨ ψ) sii v sat. ϕ o v sat. ψ
(ϕ → ψ) sii v no sat. ϕ o v sat. ψ
De la definición se sigue inmediatamente que
v sat. ¬ϕ sii v no sat. ϕ.
Cuando parezca conveniente escribitremos v |= ϕ para indicar que v sat. ϕ.
Diremos que v satisface ϕ, si v sat. ϕ. Análogamente, si Σ es un conjunto
de fórmulas, decimos que v satisface Σ si para cada ϕ ∈ Σ, v sat. ϕ. Si existe
una asignación v tal que v satisface Σ, decimos que Σ es satisfacible
Una fórmula ϕ es una tautologı́a si toda asignación satisface ϕ. Es una
contradicción si ninguna asignación la satisface.
Si Σ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula, decimos que ϕ es
consecuencia de Σ, y escribimos Σ |= ϕ, si toda asignación que satisface Σ
satisface ϕ.
3.
Cálculo de secuentes
Vamos a considerar el cálculo para la lógica clásica proposicional que
introdujo Gentzen en “Untersuchungen über das logische Schliessen” (Mathematische Zeitschrift 39 (1935) pp. 176-210, 405-431)1, con la diferencia
de que nuestros secuentes son pares de conjuntos finitos de fórmulas en lugar de pares de sucesiones finitas de fórmulas. El cálculo que damos es una
adaptación del de Gentzen al lenguaje L = {∧, ∨, →, ⊥, >}.
Un secuente es un par hΓ, ∆i donde Γ y ∆ son conjuntos finitos, posiblemente vacı́os, de fórmulas. Las letras griegas mayúsculas Γ, ∆, Π varian
en lo sucesivo sobre este tipo de conjuntos. La unión de conjuntos finitos en
este contexto se indicará con la coma. Ası́, Γ, ∆ es el conjunto finito Γ ∪ ∆.
En este contexo, Γ, ϕ, ∆ es el conjunto Γ ∪ {ϕ} ∪ ∆. Debe tenerse en cuenta
que ∅ ∅ es un secuente.
Un secuente tı́pico es de la forma
{ϕ1 , . . . , ϕn } {ψ1 , . . . , ψn }
que escribiremos simplemente ası́
ϕ1 , . . . , ϕn ψ1 , . . . , ψn ,
pero tenemos secuentes de las formas
ϕ1 , . . . , ϕ n ∅
∅ ψ1 , . . . , ψn
1Hay traduccióm inglesa en M.E. Szabo (ed.) Collected papers of Gerhard Gentzen,
North-Holland, Amsterdam 1969.
3. CáLCULO DE SECUENTES
25
A menudo abreviaremos las expresiones ∅ ∆ y Γ ∅ con ∆ y Γ, respectivamente.
3.1.
El cálculo LK para la lógica clásica.
Reglas estructurales
Identidad
ϕϕ
Debilitación
Γ∆
(DI)
Γ, ϕ ∆
Γ∆
(DD)
Γ ϕ, ∆
Corte
Γ ϕ, ∆ Π, ϕ Σ
(Corte)
Γ, Π ∆, Σ
Reglas operacionales
Γ, ⊥ ∆
(Bot)
Γ >, ∆
Γ, ϕ ∆
Γ, ψ ∆
(∧ I)
Γ, ϕ ∧ ψ ∆ Γ, ϕ ∧ ψ ∆
Γ, ϕ ∆ Γ, ψ ∆
(∨ I)
Γ ∆, ϕ ∨ ψ
(Top)
Γ ϕ, ∆ Γ ψ, ∆
(∧ D)
Γ ϕ ∧ ψ, ∆
Γ ϕ, ∆
Γ ψ, ∆
(∨ D)
Γ ϕ ∨ ψ, ∆ Γ ϕ ∨ ψ, ∆
Γ ϕ, Σ Π, ψ ∆
(→ I)
Γ, Π, ϕ → ψ Σ, ∆
Γ, ϕ ψ, ∆
(→ D)
Γ ϕ → ψ, ∆
Una derivación en LK es una sucesión finita y no vacı́a de secuentes
tal que cada uno de sus elementos es un axioma o se obtiene de elementos
anteriores en la sucesión mediante la aplicación de una de las reglas estructurales o una de las reglas operacionales. Una derivación lo es de su último
secuente. Un secuente es derivable en LK si tiene una derivación en LK.
A continuación prersentamos algunas reglas estructurales derivadas.
Una regla derivada importante es la del Corte Generalizado
Σ ϕ1 , ∆
Σ ϕn , ∆ Π, ϕ1 . . . , ϕn ∆0
(Corte G.)
Σ, Π ∆, ∆0
Aunque la negación no sea un sı́mbolo primitivo de nuestro lenguaje
conviene tener las reglas derivadas fundamentales que la gobiernan, la regla
de introducción a la derecha y la regla de introducción a la izquierda.
...
26
4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL
Reglas para la negación
Γ, ϕ ∆
Γ ϕ, ∆
Γ ¬ϕ, ∆
Γ, ¬ϕ ∆
Estas reglas se justifican mediante las derivaciones:
Γ, ϕ ∆
(DD)
Γ, ϕ ⊥, ∆
(→D)
Γ ϕ → ⊥, ∆
Γ ¬ϕ, ∆
y
Γ ϕ, ∆
⊥∅
Γ, ϕ → ⊥ ∆
Γ, ¬ϕ ∆
(→I)
Proposición 16. Las reglas
Γ ϕ, ψ, ∆
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
Γ ϕ, ψ, ∆
Γ, ϕ, ψ ∆
Γ, ϕ ∧ ψ ∆
Γ, ϕ ∧ ψ ∆
Γ, ϕ, ψ ∆
son derivadas.
Demostración. Justificamos las de la disyunción. Las de la conjunción
se dejan como ejercicio.
Γ ϕ, ψ, ∆
ψψ
Γ ϕ ∨ ψ, ψ, ∆
ψϕ∨ψ
Γ ϕ ∨ ψ, ϕ ∨ ψ, ∆
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
ϕϕ
ψψ
ϕ ϕ, ψ
ϕ ϕ, ψ
Γ ϕ ∨ ψ, ∆
ϕ ∨ ψ ϕ, ψ
Γ ∆, ϕ, ψ
Γ ϕ, ψ, ∆
QED
Proposición 17. Los secuentes
1. ϕ ∧ ψ ϕ, ϕ ∧ ψ ψ
2. ϕ ∧ ψ ψ ∧ ϕ
3. ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ϕ ∧ (ψ ∧ δ)
4. ϕ ∧ ϕ ϕ
5. ϕ ϕ ∨ ψ, ψ ϕ ∨ ψ
6. ϕ ∨ ψ ψ ∨ ϕ
7. ϕ ∨ (ψ ∨ δ) ϕ ∨ (ψ ∨ δ)
3. CáLCULO DE SECUENTES
27
8. ϕ ∨ ϕ ϕ
son derivables sin utilizar las reglas estructurales.
Demostración. Demostraremos 1, 2, 3, y 4. El resto de demostraciones
se dejan como ejercicio.
1.
ϕϕ
ϕ∧ψϕ
ψψ
ϕ∧ψψ
2.
ψψ
ϕϕ
ϕ∧ψψ
ϕ∧ψϕ
ϕ∧ψψ∧ϕ
3.
ψψ
ψ∧δψ
ϕϕ
δδ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ϕ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ψ
ψ∧δδ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ϕ ∧ ψ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) δ
ϕ ∧ (ψ ∧ δ) (ϕ ∧ ψ) ∧ δ
4. Es un caso particular de 1.
QED
Utilizando las dos últimas proposiciones es fácil demostrar que las reglas
ϕ1 , . . . , ϕn ψ1 , . . . , ψk
ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ψ1 ∨ . . . ∨ ψk
ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ψ1 ∨ . . . ∨ ψk
ϕ1 , . . . , ϕn ψ1 , . . . , ψk
son derivadas. Estas reglas junto con los secuentes derivables de la proposición anterior muestran que la conjunción simula el comportamiento de la
coma a la izquierda de los secuentes y la disyunción lo simula a la derecha.
Proposición 18. Los secuentes
1. ϕ, ϕ → ψ ψ
2. ϕ ¬¬ϕ
3. ∅ ϕ ∨ ¬ϕ
4. ¬¬ϕ ϕ
son derivables
Demostración. 1.
ϕϕ
ψψ
ϕ, ϕ → ψ ψ
28
4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL
2.
ϕϕ
⊥⊥
ϕ, ϕ → ⊥ ⊥
ϕ (ϕ → ⊥) → ⊥
ϕ ¬¬ϕ
3.
ϕϕ
¬ϕ, ϕ
ϕ, ¬ϕ
ϕ ∨ ¬ϕ
4.
ϕϕ
¬ϕ, ϕ
¬¬ϕ ϕ
QED
Proposición 19. Las siguientes reglas
Σ, ϕ ψ
Σϕ→ψ
son reglas derivadas para el condicional.
Demostración. Se deja como ejercicio.
Σϕ→ψ
Σ, ϕ ψ
QED
3.2. Corrección de LK. A continuación demostraremos que el cálculo LK es correcto. Diremos que un secuente Γ ∆ es correcto si toda asignación v que satisface todas las fórmulas de Γ satisface al menos una fórmula
de ∆. En particular, si ∆ no es vacio, ∅ ∆ es correcto si toda asignación
satisface alguna fórmula de ∆, y si Γ no es vacı́o, Γ∅ es correcto si ninguna
asignación satisface todas las fórmulas de Γ. El secuente ∅ ∅ no es correcto.
Teorema 20 (Corrección de LK). Todo secuente derivable de LK es
correcto.
Demostración. Los secuentes que permiten derivar los axiomas de LK
son correctos. Las reglas de inferencia aplicadas a secuentes correctos nos
permiten derivar secuentes correctos.
QED
3.3. La relación de deducibilidad. Dado un conjunto de fórmulas
Σ y una fórmula ϕ, diremos que ϕ es deducible de Σ, y escribiremos Σ ` ϕ,
si el secuente ∅ ϕ es derivable o hay ϕ1 , . . . , ϕn ∈ Σ tales que el secuente
ϕ1 , . . . , ϕn ϕ es derivable.
Un conjunto Σ de fórmulas es consistente si Σ 6` ⊥. En caso contrario se
dice que es inconsistente.
De la definición se sigue inmediatamente que Σ es inconsistente si y sólo
si alguno de sus subconjuntos finitos lo es.
3. CáLCULO DE SECUENTES
29
Proposición 21. La relación de deducibilidad tiene las siguientes propiedades:
1. Si ϕ ∈ ∆, entonces ∆ ` ϕ,
2. Si para toda ϕ ∈ ∆, Σ ` ϕ, y ∆ ` ψ, entonces Σ ` ψ.
3. Si Σ ` ϕ, entonces Σ ∪ ∆ ` ϕ.
Demostración. 1. Se sigue de que el secuente ϕ ϕ es derivable.
2. Se sigue del Corte Generalizado. Supongamos que ∆ ` ψ y que para toda ϕ ∈ ∆, Σ ` ϕ. Si el secuente ∅ ψ es derivable, es claro que
Σ ` ψ. En caso contrario hay elementos ψ0 , . . . , ψn de ∆ tales que el secuente ψ0 , . . . , ψn ψ es derivable. Consideremos para cada i ≤ n un subconjunto
finito Σi de Σ tal que el secuente Σi ψi es derivable. Estos conjuntos existen puesto que, por suposición, Σ ` ψi . Utilizando la regla de Debilitación
tenemos que para cada i ≤ n el secuente
Σ0 , . . . , Σn ψi
es derivable. Utilizando el Corte Generalizado obtenemos que
Σ0 , . . . , Σn ψ
es derivable. Puesto que Σ0 , . . . , Σn es un subconjunto finito de Σ obtenemos
que Σ ` ψ.
3. Se sigue inmediatamente de la definición de la relación de deducibilidad.
QED
Obsérvese que las propiedades de ` de la proposición dependen exclusivamente de las reglas estructurales del cálculo.
Proposición 22. La relación de deducibilidad tiene además las propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Si Σ ` ϕ → ψ y Σ ` ϕ, entonces Σ ` ψ.
Σ ` ϕ ∧ ψ sii Σ ` ϕ y Σ ` ψ.
Si Σ ` ϕ o Σ ` ψ, entonces Σ ` ϕ ∨ ψ.
Σ ∪ {ϕ} ` δ y Σ ∪ {ψ} ` δ sii Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ.
Σ, ϕ ` ψ sii Σ ` ϕ → ψ.
Para toda fórmula ϕ, ⊥ ` ϕ.
Demostración. 1. Supongamos que Σ ` ϕ → ψ y Σ ` ϕ. Sean Σ0 y
subconjuntos finitos de Σ tales que los secuentes Σ0 ϕ → ψ y Σ00 ϕ
son derivables. Por la regla de debilitación los secuentes Σ0 , Σ00 ϕ → ψ
y Σ0 , Σ00 ϕ resultan derivables. Sabemos que el secuente ϕ → ψ, ϕ ψ es
derivable. Utilizando la regla de Corte Generalizado obtenemos que Σ, Σ0 ψ
es derivable. Esto implica que Σ ` ψ.
2. Parecida a la demostración de 1, utilizando que los secuentes ϕ∧ψ ϕ,
ϕ ∧ ψ ψ y ϕ, ψ ϕ ∧ ψ son derivables.
3. Parecida a la demostración de 1, utilizando que los secuentes ϕϕ∨ψ
y ψ ϕ ∨ ψ son derivables.
Σ00
30
4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL
4. Supongamos que Σ ∪ {ϕ} ` δ y Σ ∪ {ψ} ` δ. Existen pues secuentes
derivables ∆, ϕ δ y ∆0 , ψ δ tales que ∆ ⊆ Σ y ∆0 ⊆ σ. Entonces,
gracias a la regla (∨D), el secuente ∆, ∆0 , ϕ ∨ ψ δ es derivable. Por tanto,
Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ. Por otra parte, si Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ. Puesto que ϕ ` ϕ ∨ ψ y
ψ ` ϕ ∨ ψ, utilizando 2 y 3 de la proposición 21 obtenemos que Σ ∪ {ϕ} ` δ
y Σ ∪ {ψ} ` δ.
5. Deben utilizarse las reglas derivadas para el condicional que se han
dado anteriormente.
6. El secuente ⊥ ϕ es claramente derivable.
QED
Corolario 23. Si Σ ` ϕ, entonces Σ |= ϕ.
Demostración. Supongamos que Σ ` ϕ. Sea Σ0 un subconjunto finito
d de Σ tal que Σ0 ϕ es derivable. Por el teorema de corrección de LK, este
secuente es correcto. Ası́ toda asignación que satisface a toda fórmula de Σ0
satisface ϕ. Por tanto, toda asignación que satisface Σ satisface ϕ, es decir
Σ |= ϕ.
QED
3.4. El teorema de completud. Demostremos que LK es completo,
es decir que todo secuente correcto es derivable en LK. Además demostraremos el teorema de completud, a saber: si Σ |= ϕ entonces Σ ` ϕ. Para ello
necesitamos introducir algunos conceptos y demostrar varios resultados.
Lema 24. Σ ` ϕ si y sólo si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente.
Demostración. Si Σ ` ϕ, puesto que Σ ∪ {¬ϕ} ` ϕ → ⊥, obtenemos
que Σ ∪ {¬ϕ} ` ⊥, es decir que Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Por otra parte,
si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente, Σ ∪ {¬ϕ} ` ⊥. Por tanto Σ ` ¬ϕ → ⊥. Ahora
bien, ¬ϕ → ⊥ ` ϕ. Por tanto Σ ` ϕ.
QED
Lema 25. Σ es inconsistente sii para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ.
Demostración. Si para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ, en particular Σ ` ⊥,
por lo que es inconsistente. Si Σ es inconsistente, Σ ` ⊥. Por tanto puesto que
para toda fórmula ϕ, ⊥ ` ϕ, tenemos que para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ. QED
Un conjunto de fórmulas Σ es una teorı́a si para cada fórmula ϕ tal que
Σ ` ϕ ocurre que ϕ ∈ Σ.
Una teorı́a Σ es ϕ-relativamente maximal si Σ 6` ϕ y para toda fórmula
ψ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} ` ϕ.
Una teorı́a Σ es prima si es consistente y para cualesquiera fórmulas
ϕ, ψ, si Σ ` ϕ ∨ ψ, entonces ϕ ∈ Σ o ψ ∈ Σ.
Una teorı́a Σ es consistente maximal si es consistente y para cada fórmula
ϕ 6∈ Σ, Σ ∪ {ϕ} es inconsistente.
Lema 26. Si Γ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula tal que
Γ 6` ϕ, entonces existe una teorı́a ϕ-relativamente maximal Σ tal que Γ ⊆ Σ.
Demostración. Consideremos una enumeración ψ0 , ψ1 , ψ2 , . . . , ψn , . . .
de las fórmulas del lenguaje. Vamos a definir en pasos sucesivos una sucesión
de conjuntos de fórmulas Σ0 , Σ1 , . . . , Σn , . . . tal que
3. CáLCULO DE SECUENTES
31
1. Σ0 = Γ
2. Para cada n, Σn 6` ϕ
3. Para cada n, Σn ⊆ Σn+1
La definición de la sucesión es:
Σ0
Σn+1
= Γ
Σn
=
Σn ∪ {ψn }
si Σn ∪ {ψn } ` ϕ
si Σn ∪ {ψn } 6` ϕ
Claramente se cumplen las condiciones 1, 2 y 3 deseadas. Sea
[
Σn
Σ=
n
Es decir, para cada fórmula ψ, ψ ∈ Σ si y sólo si hay n tal que ψ ∈ Σn .
Veamos que Σ es ϕ-relativamente maximal.
1. Σ 6` ϕ. En efecto, si Σ ` ϕ, hay ∆ ⊆ Σ finito tal que ∆ϕ es derivable.
De la condición 3 anterior y de que ∆ es finito se sigue que hay n tal que
∆ ⊆ Σn . Por tanto, Σn ` ϕ. Pero esto contracide la condición 2 anterior.
2. Si ψ 6∈ Σ, entonces Σ ∪ {ψ} ` ϕ. En efecto, supongamos que ψ 6∈ Σ y
que Σ ∪ {ψ} 6` ϕ Sea n tal que ψ es ψn . Entonces Σn ∪ {ψn } 6` ϕ. Por tanto
ψn ∈ Σn+1 ⊆ Σ. Pero esto es absurdo. Por tanto Σ ∪ {ψ} ` ϕ.
QED
Proposición 27. Sea Σ una teorı́a. Son equivalentes
1.
2.
3.
4.
Σ
Σ
Σ
Σ
es
es
es
es
ϕ-relativamente maximal para alguna fórmula ϕ.
prima
consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
consistente maximal.
Demostración. 1 implica 2. Supongamos que Σ es ϕ-relativamente
maximal. Supongamos que ψ ∨ δ ∈ Σ. Puesto que Σ es ϕ-relativamente
maximal, si ψ, δ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} ` ϕ y Σ ∪ {δ} ` ϕ. Por tanto Σ ∪ {ψ ∨ δ} ` ϕ.
Es decir, Σ ` ϕ, pero esto no es posible al ser Σ es ϕ-relativamente maximal.
Ası́ ψ ∈ Σ o δ ∈ Σ. Por tanto Σ es una teorı́a prima.
2 implica 3. Supongamos que Σ es prima. Por tanto es consistente.
Además, para cada ϕ, ϕ ∨ ¬ϕ ∈ Σ. Por tanto, al ser prima, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
3 implica 4. Σ es consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
Supongamos que ϕ 6∈ Σ. Por tanto, ¬ϕ ∈ Σ. Asi, Σ ∪ {ϕ} es inconsistente.
Por tanto Σ es consistente maximal.
4 implica 1. Si Σ es consistente maximal, para cada ϕ 6∈ Σ, Σ es ϕrelativamente maximal.
QED
3.4.1. Teorı́as consistentes maximales y asignaciones. Vamos a demostrar que hay una correspondencia biunı́voca entre las asignaciones de valores
de verdad y las teorı́as consistentes maximales.
1. Consideremos una asignación v. Sea
Σ(v) = {ϕ : v sat. ϕ}
32
4. LA LóGICA CLáSICA PROPOSICIONAL
Este conjunto de fórmulas es una teorı́a, gracias al teorema de corrección.
En efecto, supongamos que Σ(v) ` ϕ. Entonces Σ(v) |= ϕ. Puesto que
claramente v satisface Σ(v), tenemos que v sartisface ϕ. Por tanto ϕ ∈
Σ(v). Por otra parte, es claro que ⊥ 6∈ Σ(v). Por tanto Σ(v) es consistente.
Finalmente Σ(v) es prima pues si ϕ ∨ ψ ∈ Σ(v), entonces v satisface ϕ ∨ ψ,
con lo que v satisface ϕ o v satisface ψ; es decir, ϕ ∈ Σ(v) o ψ ∈ Σ(v).
Conluimos pues que Σ(v) es una teorı́a consistente maximal.
Si dos asignaciones v y v 0 son diferentes, hay una letra proposicional al
menos, digamos p, tal que v(p) 6= v 0 (p). Por tanto Σ(v) 6= Σ(v 0 ).
2. Observemos que si Γ es una teorı́a consistentes maximal
1.
2.
3.
4.
5.
6.
>∈Γ
⊥ 6∈ Γ
ϕ ∧ ψ ∈ Γ sii ϕ ∈ Γ y ψ ∈ Γ;
ϕ ∨ ψ ∈ Γ sii ϕ ∈ Γ o ψ ∈ Γ
ϕ → ψ ∈ Γ sii ϕ 6∈ Γ o ψ ∈ Γ
ϕ ∈ Γ sii ¬ϕ 6∈ Γ
Sea Γ una teorı́a consistente maximal. Definamos la asignación vΓ como
sigue: para cada letra proposicional p,
vΓ (p) = V
sii
p∈Γ
Gracias a la observación anterior tenemos que para toda fórmula ϕ
vΓ sat. ϕ
sii
ϕ ∈ Γ.
Además, para cada teorı́a maximal consistente Γ y cada asignación v,
Σ(vΓ ) = Γ
y
vΣ(v) = v.
Teorema 28 (Completud de LK). Todo secuente correcto es derivable.
Demostración. Supongamos que Γ ∆ es un secuente correcto. Supongamos que no es derivable. Entonces no es derivable el secuente Γ ⊥.
Por tanto el conjunto de fórmulas Γ es consistente. Si la disyunción de las
fórmulas de ∆ fuese deducible de Γ, el secuente Γ ∆ serı́a derivable. Por
tanto la disyunción, digamos α, de las fórmulas de ∆ no es deducible de Γ.
Sea Σ una teorı́a prima tal que Γ ⊆ Σ y α 6∈ Σ. Puesto que Σ es maximal
consistente, consideremos la asignación vΣ . Esta asignación satisface todas
las fórmulas de Γ, por tanto, puesto que el secuente Γ ∆ es correcto, satisface alguna fórmula de ∆, por tanto la disyunción de todas ellas, es decir
α. Ası́, α ∈ Σ, pero esto es absurdo.
QED
Corolario 29. Si Σ |= ϕ, entonces Σ ` ϕ.
Demostración. Supongamos que Σ |= ϕ y que Σ 6` ϕ. Sea Γ una teorı́a
maximal consistente tal que Σ ⊆ Γ y ϕ 6∈ Γ. Entonces vΓ satisface Σ. Por
tanto vΓ satisface ϕ, con lo que ϕ ∈ Γ y ello es absurdo.
QED
Teorema 30 (Corrección y completud de LK).
3. CáLCULO DE SECUENTES
33
1. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ψ0 , . . . , ψm es derivable en LK si y sólo si
la fórmula (ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn ) → (ψ0 ∨ . . . ∨ ψm ) es una tautologı́a.
2. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ∅ es derivable en LK si y sólo si la fórmula
ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn es una contradicción en lógica clásica.
3. Un secuente ∅ψ0 , . . . , ψm es derivable en LK si y sólo si la fórmula
ψ0 ∨ . . . ∨ ψm es una tautologı́a.
Demostración. 1. Tenemos que ϕ0 , . . . , ϕn ψ0 , . . . , ψm es derivable
en LK si y sólo si ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn ψ0 ∨ . . . ∨ ψm es derivable en LK si y sólo
si ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn |= ψ0 ∨ . . . ∨ ψm si y sólo si ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn → ψ0 ∨ . . . ∨ ψm
es una tautologı́a.
2. ϕ0 , . . . , ϕn ∅ es derivable en LK si y sólo si ϕ0 , . . . , ϕn ⊥ es derivable
en LK si y sólo si ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn → ⊥ es una tautologı́a si y sólo si ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn
es una contradicción.
3. ∅ ψ0 , . . . , ψm es derivable en LK si y sólo > ψ0 , . . . , ψm es derivable
en LK si y sólo si > → ψ0 ∨ . . . ∨ ψm es tautologı́a si y solo si ψ0 ∨ . . . ∨ ψm .
QED
Capı́tulo 5
Cálculo de secuentes para la lógica modal
1.
El cálculo
El cálculo de secuentes que introducimos se obtiene a partir del cálculo
de la lógica clásica introducido en el capı́tulo anterior añadiendo las reglas
operacionales
Σ, ϕ ∆
(M 1)
2Σ, 3ϕ 3∆
Σ ∆, ϕ
(M 2)
2Σ 3∆, 2ϕ
Lo llamaremos LK K .
Las siguientes reglas son casos particulares:
Σϕ
2Σ 2ϕ
ϕ∆
3ϕ 3∆
ϕ, ψ ∆
2ϕ, 3ψ 3∆
Σ ϕ, ψ
2Σ 2ϕ, 3ψ
y también lo son:
∅ϕ
∅ 2ϕ
ϕ∅
3ϕ ∅
Una derivación en LK K es una sucesión finita y no vacı́a de secuentes
tal que cada uno de sus elementos es un axioma o se obtiene de elementos
anteriores en la sucesión mediante la aplicación de una de las reglas estructurales o una de las reglas operacionales. Una derivación lo es de su último
secuente. Un secuente es derivable en LK K si tiene una derivación en LK K .
Una derivación en LK K a partir de un conjunto de secuentes S es una
sucesión finita y no vacı́a de secuentes tal que cada uno de sus elementos es
un axioma o un elemento de S o se obtiene de elementos anteriores en la
sucesión mediante la aplicación de una de las reglas estructurales o una de las
reglas operacionales. Un secuente s es derivable a partir de un conjunto de
secuentes S si hay una derivación en LK K a partir del conjunto de secuentes
S cuyo último elemento es el secuente s.
35
36
5. CáLCULO DE SECUENTES PARA LA LóGICA MODAL
Obsérvese que un secuente s es derivable si y sólo si es derivable a partir
del conjunto vacı́o de secuentes.
Proposición 31. Si S es un conjunto de secuentes válidos en un modelo
M y s es un secuente derivable a partir de S, entonces s es válido en M.
Demostración. Sea M un modelo. Basta con ver primero que cada
regla si la aplicamos a secuentes válidos en M nos proporciona un secuente válido en M. Después por inducción en la lóngitud de las derivaciones
obtenemos lo deseado.
QED
Corolario 32. Todo secuente derivable en LK K es un secuente válido.
Demostración. Un secuente derivable los es del conjunto vacı́o de secuentes. Ası́, puesto que los secuentes del conjunto vacı́o son válidos en todo
modelo, todo secuente derivable es válido en todo modelo, por tanto válido.
QED
Algunos secuentes derivables:
Proposición 33. El secuente ∅ 2ϕ es derivable a partir del secuente
∅ ϕ.
Demostración. La siguiente derivación
∅ϕ
∅ 2ϕ
(M2)
justifica que 2ϕ es derivable a partir del secuente ϕ. La derivación se
obtiene aplicando la regla la regla (M2); observese que el primer secuente
es de la forma ∅ ∅, ϕ y la regla (M2) nos permite obtener el secuente
2∅ 3∅, 2ϕ, que es el secuente 2ϕ, puesto que 2∅ = 3∅ = ∅.
QED
Proposición 34. El secuente p 2p no es derivable
Demostración. No puede ser derivable puesto que no es válido. QED
Lema 35. Si Σ α es un secuente derivable, entonces el secuente ∅ α
es derivable a partir del conjunto de secuentes {∅ β : β ∈ Σ}.
Demostración. Dada una derivación D del secuente Σα, extendamos
la sucesión con los secuentes ∅ β con β ∈ Σ. Entonces la regla del Corte
generalizada nos permite obtener el secuente ∅ α.
QED
Lema 36. Los secuentes
1. 2¬α ¬3α
2. ¬3α 2¬α
son derivables.
Demostración. 1. El secuente ¬α, α∅ es derivable. Aplicando la regla
(M 1) obtenemos que el secuente 2¬α, 3α∅ es derivable (al aplicar la regla
consideramos Σ = {¬α} y ∆ = ∅). Por tanto, aplicando las reglas derivadas
para la negación (con ∆ = ∅), obtenemso que 2¬α ¬3α es derivable.
3. PROPIEDADES BáSICAS DE `
37
2. El secuente α, ¬α es derivable. Aplicanco la regla (M 2) (con Σ = ∅ y
∆ = {α}) obtenemos que el secuente 3α, 2¬α es derivable. Por las reglas
derivadas de la negación obtenemos que ¬3α 2¬α es derivable.
QED
2.
Relaciones de deducibilidad
Dado un conjunto de fórmulas Σ y una fórmula ϕ, diremos que ϕ es
deducible de Σ, y escribiremos Σ ` ϕ, si el secuente ∅ ϕ es derivable o hay
ϕ1 , . . . , ϕn ∈ Σ tales que el secuente ϕ1 , . . . , ϕn ϕ es derivable.
Sea Σ un conjunto de fórmulas y sea α una fórmula. Decimos que α
es fuertemente deducible de Σ si el secuente α es derivable a partir del
conjunto de secuentes {β : β ∈ Σ}. Para indicar que α es fuertemente
deducible de Σ escribiremos Σ `f α.
Lema 37. Si Σ ` α, entonces Σ `f α.
Demostración. Supongamos que Σ ` α. Sea Σ0 ⊆ Σ finito tal que el
secuente Σ α es derivable. Por el lema anterior, α es derivable a partir
de {β : β ∈ Σ}. Por tanto Σ `f α.
QED
Teorema 38 (de Corrección). Si Σ ` ϕ, entonces Σ |=l ϕ.
Demostración. Supongamos que Σ ` ϕ. Sea Σ0 un subconjunto finito
de Σ tal que Σ0 ϕ es derivable. Puesto que los secuentes derivables en LK K
son correctos, el secuente es válido. Por tanto Σ |=l ϕ.
QED
Teorema 39 (de Corrección). Si Σ `f ϕ, entonces Σ |=g ϕ.
Demostración. Supongamos que Σ `f ϕ, Ası́, el secuente ϕ es derivable a partir de los secuentes en {ψ : ψ ∈ Σ}. Supongamos que M es un
modelo en el que las fórmulas de Σ son válidas. En tal caso, el M son válidos
los secuentes ψ con ψ ∈ Σ. Por tanto por la proposición 31 el secuente ϕ
es válido en M, por lo que ϕ es válida en M.
QED
3.
Propiedades básicas de `
Como en lógica clásica proposicional tenemos:
Proposición 40. La relación de deducibilidad tiene las siguientes propiedades:
1. Si ϕ ∈ ∆, entonces ∆ ` ϕ,
2. Si para toda ϕ ∈ ∆, Σ ` ϕ, y ∆ ` ψ, entonces Σ ` ψ.
3. Si Σ ` ϕ, entonces Σ ∪ ∆ ` ϕ.
Proposición 41. La relación de deducibilidad tiene además las propiedades:
1. Si Σ ` ϕ → ψ y Σ ` ϕ, entonces Σ ` ψ.
2. Σ ` ϕ ∧ ψ sii Σ ` ϕ y Σ ` ψ.
3. Si Σ ` ϕ o Σ ` ψ, entonces Σ ` ϕ ∨ ψ.
4. Σ ∪ {ϕ} ` δ y Σ ∪ {ψ} ` δ sii Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ.
38
5. CáLCULO DE SECUENTES PARA LA LóGICA MODAL
5. Σ, ϕ ` ψ sii Σ ` ϕ → ψ (teorema de la deducción).
6. Para toda fórmula ϕ, ⊥ ` ϕ.
Lema 42. Para cada fórmula ϕ,
1. Si Σ ` ϕ0 , . . . , Σ ` ϕn y {ϕ0 , . . . , ϕn } ` ψ, entonces Σ ` ψ.
2. Si Σ ` ϕ y Σ ` ϕ → ψ, entonces Σ ` ψ.
Además tenemos las siguientes propiedades
Proposición 43. Si Σ ` ϕ, entonces 2Σ ` 2ϕ.
Demostración. Supongamos que Σ ` ϕ. Hay pues Σ0 ⊆ Σ finito tal
que Σ0 ϕ es un secuente derivable el LK K .
QED
Proposición 44. Para toda fórmula ϕ, 2¬ϕ ` ¬3ϕ y ¬3ϕ ` 2¬ϕ.
4.
Conjuntos consistentes de fórmulas
Un conjunto Σ de fórmulas es consistente si Σ 6` ⊥. En caso contrario
se dice que es inconsistente. De la definición se sigue inmediatamente que
Σ es inconsistente si y sólo si alguno de sus subconjuntos finitos lo es.
Los siguientes dos lemas se demuestran como en lógica clásica.
Lema 45. Σ ` ϕ si y sólo si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente.
Lema 46. Σ es inconsistente sii para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ.
Un conjunto de fórmulas Σ es una teorı́a si para cada fórmula ϕ tal que
Σ ` ϕ ocurre que ϕ ∈ Σ.
Una teorı́a Σ es ϕ-relativamente maximal si Σ 6` ϕ y para toda
fórmula ψ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} ` ϕ.
Una teorı́a Σ es prima si es consistente y para cualesquiera fórmulas
ϕ, ψ, si ϕ ∨ ψ ∈ Σ, entonces ϕ ∈ Σ o ψ ∈ Σ.
Una teoria Σ es relativamente maximal si hay una fórmula ϕ tal que
Σ es ϕ-relativamente maximal.
Una teorı́a Σ es consistente maximal si es consistente y para cada
fórmula ϕ 6∈ Σ, Σ ∪ {ϕ} es inconsistente.
Lema 47. Si Γ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula tal que
Γ 6` ϕ, entonces existe una teorı́a ϕ-relativamente maximal Σ tal que Γ ⊆ Σ.
Corolario 48. Para cada conjunto de fórmulas Σ y cada fórmula α,
Σ ` α sii α pertenece a toda teorı́a relativamente maximal que incluye a Σ.
Proposición 49. Sea Σ una teorı́a. Son equivalentes
1. Σ es ϕ-relativamente maximal para alguna fórmula ϕ.
2. Σ es prima.
3. Σ es consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
4. Σ es consistente maximal.
Demostración. Como en lógica clásica.
QED
5. EL MODELO CANóNICO
39
Proposición 50. Para todo conjunto de fórmulas consistente y maximal
Σ,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Si Σ ` α, entonces α ∈ Σ,
α ∧ β ∈ Σ sii α ∈ Σ and β ∈ Σ,
α ∨ β ∈ Σ sii α ∈ Σ o β ∈ Σ,
α → β ∈ Σ sii α 6∈ Σ o β ∈ Σ,
¬α ∈ Σ sii α 6∈ Σ.
Demostración. La demostración es como en el caso de la lógica clásica
QED
5.
El modelo canónico
Para motivar la definición del modelo canónico, consideremos un modelo
cualquiera M = hF, V i. Dado w ∈ W observemos que el conjunto
ΣM (w) = {α : hF, V i, w |= α}
es un conjunto maximal consistente que contiene toda fórmula válida en el
modelo.
Puede ocurrir que existan w, w0 ∈ W distintos que no se puedan distinguir mediante una fórmula modal, es decir que tengan la propiedad de que
los conjuntos ΣM (w) y ΣM (w0 ) sean el mismo. Desde este punto de vista
podemos decir que un conjunto de fórmulas maximal consistente caracteriza
un tipo de estado o de mundo posible.
Los puntos del modelo canónico serán todos los tipos de estado posibles. Es decir, los conjutnos de fórmulas maximal consistentes. Una fórmula
será verdadera en un estado del modelo canónico si y sólo si pertenece al
estado. Si denotamos con Mc el modelo canónico que vamos a definir, queremos que tenga la propiedad siguiente. Para cada fórmula ϕ y cada punto
de Mc (es decir cada conjunto maximal consistente) ∆,
Mc , ∆ |= ϕ sii ϕ ∈ ∆.
Observemos que si esta condición se cumple y ∆ es un conjunto maximal
consistente, entonces
ΣMc (∆) = ∆.
Si obtenemos el modelo Mc con la propiedad anterior, entonces si Σ 6`
α, puesto que el conjunto Σ ∪ {¬α} es consistente, habrá un conjunto de
fórmulas maximal consistente ∆ tal que incluye a Σ ∪ {¬α}, por tanto en ∆
(en tanto que punto del modelo canónico) las fórmulas de Σ serán verdaderas
y ϕ será falsa, con lo cual tendremos que Σ 6|=l α.
Para explicar cómo definir la relación de accesibilidad del modelo canónico consideremos un modelo hF, V i y observemos que si w, v ∈ W son tales
que wRv entonces {α : 2α ∈ Σ(w)} ⊆ Σ(v). Por tanto si Rc es la relación del modelo canónico que pretendemos definir, Rc debe cumplir que
si ∆Rc ∆0 , donde ∆ y ∆0 son conjuntos maximal consistentes, entonces
40
5. CáLCULO DE SECUENTES PARA LA LóGICA MODAL
{α : 2α ∈ ΣMc (∆)} ⊆ ΣMc (∆0 ), es decir, teniendo en cuenta lo anterior, que {α : 2α ∈ ∆} ⊆ ∆0 . Tomaremos esta última condición como la
condición para definir la relación Rc de accesibilidad del modelo canónico.
El modelo canónico, que denotaremos con MK , se define como sigue.
El conjunto de estados de MK es:
WK = {∆ : ∆ es un conjunto maximal consitente de fórmulas},
y la relación RK en WK de MK se define por
∆RK ∆0 sii {α : 2α ∈ ∆} ⊆ ∆0 .
El marco FK = hWK , RK i es el marco canónico. El modelo canónico es
el modelo MK = hFK , VK i, donde VK es la valoración en el marco canónico
definida por:
VK (p) = {∆ ∈ WK : p ∈ ∆},
para cada letra proposicional p.
El resultado principal sobre el modelo canónico es el lema fundamental.
Lema 51 (Lema Fundamental). Para todo conjunto maximal y consistente de fórmulas ∆ y toda fórmula α,
hFK , VK i, ∆ |= α sii α ∈ ∆.
Demostración. Se demuestra por inducción en α. Para las letras proposicionales vale por la definición de la valoración VK . Igualmente para las
constantes proposicionales. Para las conectivas se sigue de las propiedades
de los conjuntos maximal consistentes del lema 83. Para el operador modal
2 se argumenta como sigue. Supongamos, como hipótesis inductiva, que lo
que queremos demostrar vale para α. Observemos primero que gracias a la
hipótesis inductiva tenemos que
hFK , VK i, ∆ |= 2α sii ∀∆0 ∈ WK si ∆RK ∆0 entonces α ∈ ∆0
sii ∀∆0 ∈ WK si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 ,
entonces α ∈ ∆0
Para demostrar que hFK , VK i, ∆ |= 2α sii 2α ∈ ∆, supongamos primero
que 2α ∈ ∆ y veamos que hFK , VK i, ∆ |= 2α. Por la observación basta
con demostrar que para cada ∆0 ∈ WK , si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 , entonces
α ∈ ∆0 . Supongamos pues que ∆0 ∈ WK es tal que {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 .
Puesto que 2α ∈ ∆, es claro que α ∈ ∆0 . Para demostrar la otra implicación,
supongamos que hFK , VK i, ∆ |= 2α, es decir, de acuerdo con la observación,
que para todo ∆0 ∈ WK , si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 , entonces α ∈ ∆0 . Veamos que
2α ∈ ∆. Para este fin demostremos que el conjunto {β : 2β ∈ ∆} ∪ {¬α} es
inconsistente. Si fuera consistente existirı́a un conjunto maximal consistente
Γ que lo incluye y por la suposición Γ tendrı́a como elemento a α, lo que no
es posible. Por tanto, al ser {β : 2β ∈ ∆} ∪ {¬α} inconsistente, {β : 2β ∈
∆} ` α. Sea ahora {β0 , . . . , βn } ⊆ {β : 2β ∈ ∆} tal que {β0 , . . . , βn } `
α. Entonces, {2β0 , . . . , 2βn } ` 2α, y puesto que {2β0 , . . . , 2βn } ⊆ ∆,
obtenemos que 2α ∈ ∆.
5. EL MODELO CANóNICO
41
Para el otro operador modal se razona de modo análogo. Supongamos,
como hipótesis inductiva, que lo que queremos demostrar vale para α. Gracias a esta hipótesis inductiva tenemos que
hFK , VK i, ∆ |= 3α sii ∃∆0 ∈ WK t. q. ∆RK ∆0 y α ∈ ∆0
sii ∃∆0 ∈ WK t. q. {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 y α ∈ ∆0 .
Debemos ver que hFK , VK i, ∆ |= 3α sii 3α ∈ ∆. Supongamos pues que
hFK , VK i, ∆ |= 3α y que 3α 6∈ ∆. Ası́ por la observación, hay ∆0 ∈ WK
tal que {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 y α ∈ ∆0 . Puesto que 3α 6∈ ∆, ¬3α ∈ ∆. Por
tanto, puesto que ¬3α ` 2¬α, obtenemos que 2¬α ∈ ∆. Ası́, ¬α ∈ ∆0 .
Esto es absurdo pues ∆0 es consistente. Para demostrar la otra implicación,
supongamos que 3α ∈ ∆. Gracias a la observación basta con encontrar ∆0 ∈
WK tal que {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 y α ∈ ∆0 . Para conseguirlo, consideremos el
conjunto Γ = {β : 2β ∈ ∆} ∪ {α} y veamos que es consistente. Si no lo es
tenemos que {β : 2β ∈ ∆} ` ¬α. Por tanto 2{{β : 2β ∈ ∆} ` 2¬α. Ahora
bien, 2{{β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆. Conluimos que 2¬α ∈ ∆. Pero, 2¬α ` ¬3α.
Por tanto, ¬3α ∈ ∆. Esto es absurdo puesto que ∆ es consistente y 3α ∈ ∆.
Concluimos que Γ es consistente. Sea ∆0 maximal consistente tal que Γ ⊆ ∆0 .
Entonces {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 y α ∈ ∆0 .
QED
Corolario 52. Para todo conjunto de fórmulas Γ y toda fórmula α,
Γ |=l α sii para todo Γ ∈ WK tal que Σ ⊆ Γ, α ∈ Γ.
Demostración. Supongamos que Γ |=l α. Sea Γ ∈ WK tal que Σ ⊆ Γ.
Entonces en el modelo canónico todas las fórmulas en Σ son verdaderas en
el punto Γ. Por tanto, puesto que Γ |=l α, obtenemos que α es verdadera en
el punto Γ, con lo cual α ∈ Γ.
Supongamos ahora que para todo Γ ∈ WK tal que Σ ⊆ Γ, α ∈ Γ.
Supongamos que Γ 6|=l α. Sea pues M un modelo y sea w ∈ W un punto del
mismo en el que las fórmulas de Σ son verdaderas. Sabemos que el conjunto
de fórmulas ΣM (w) = {ϕ : M, w |= ϕ} es maximal consistente. Por la
suposición, Σ ⊆ ΣM (w). Por tanto, α ∈ ΣM (w), con lo que α es verdadera
en w. Ası́ concluimos que Γ |=l α.
QED
Teorema 53. Para todo conjunto de fórmulas Γ y toda fórmula α,
Γ |=l α sii Γ ` α.
Demostración. Por el corolario 48 y el corolario 52.
QED
Capı́tulo 6
Algunos resultados de correspondencia
Presentamos algunos resultados de la forma
La fórmula α es válida en el marco F sii F tiene la propiedad Φ.
Cuando se dispone de un resultado de este tipo se dice que la fórmula α
corresponda a la propiedad Φ.
Desde la perspectiva que este tipo de resultados introducen se puede
afirmar que las fórmulas modales, y más en general los conjuntos de fórmulas
modales, sirven para describir propiedades de los marcos de Kripke. Los
lenguajes modales sirven para este fin. Algunas clases de marcos pueden
definirse mediante fórmulas modales de este modo pero otra no.
Demostraremos algunas de las correspondencias de la tabla que hay a
continuación.
2p → p
2p → 22p
p → 23p
2p → 3p
3p → 2p
3p ↔ 2p
R
R
R
R
R
R
es
es
es
es
es
es
reflexiva
transitiva
semétrica
serial
una función
una función con dominio W
Proposición 54. La fórmula 2p → p es válida en un marco F sii la
relación R es reflexiva.
Demostración. Supongamos que R es reflexiva. Seat V una valoración
en F y sea w ∈ W . Si 2p es verdadera en w, puesto que wRw, tenemos que
p es verdadera en w. Por tanto, 2p → p es verdadera en w. Concluimos pues
que 2p → p es válida en F. Para demostrar la otra implicación, supongamos
que 2p → p es válida en F. Sea w ∈ W y consideremso cualquier valoración
V en F al que V (p) = {v ∈ W : wRv}. En tal caso, 2p es verdadera en w
en el modelo hF, V i. Puesto que 2p → p es verdadera en w en el modelo
hF, V i, pes verdadera en w en el modelo hF, V i. Por tanto, w ∈ V (p), con
lo cual wRw. Concluimos que R es reflexiva.
QED
Proposición 55. La fórmula 2p → 22p es válida en un marco F sii
la relación R es transitiva.
Demostración. La demostración de la parte fácil, que es la implicación de derecha a izquierda se deja como ejercicio. Para demostrar la otra
43
44
6. ALGUNOS RESULTADOS DE CORRESPONDENCIA
implicación, supongamos que 2p → 22p es válida en F y que w, v, u ∈ W
son tales que wRv and vRu. Sea V una valoración en F tal que V (p) = {x ∈
W : wRi x}. Claramente, 2p es verdadera en w en hF, V i. Puesto que por
suposición 2p → 22p también es verdadera en w, 22p es verdadera en w.
Por tanto, 2p ies verdadera en v y p lo es en u. Por tanto, wRu. Concluimos
pues que R es transitiva.
QED
Proposición 56. La fórmula p → 23p es válida en un marco F sii la
relación R es simétrica.
Demostración. Supongamos que p → 23p es válida en F y que w, v ∈
W son tales que wRv. Sea V una valoración cualquiera tal que V (p) = {w}.
Puesto que p y p → 23p son verdaderas en w, 23p es verdadera en w.
Por tanto, 3p es verdadera en v. La única posibilidad de que esto sea ası́ es
que vRw. Concluimos pues que R es simétrica. La demostración de la otra
implicación se deja como ejercicio.
QED
Proposición 57. La fórmula 2p → 3p es válida en un marco F sii la
relación R es serial (i.e. para cada w ∈ W existe v ∈ W tal que wRv).
Demostración. Se deja como ejercicio.
QED
Capı́tulo 7
Lógicas modales normales
Sea F una clase de marcos. Consideremos el conjunto de fómulas
L(F) = {ϕ : para todo F ∈ F, F |= ϕ}.
De acuerdo con los resultados de la sección anterior L(F) contiene todas las
instancias de sustitución de las tautologı́as, todos los axiomas distributivos
(o axiomas K) y está cerrado bajo Modus Ponens, la regla de necesidad e
instancias de sustitución. Un conjunto de fórmulas modales con estas caracterı́sticas se dice que es una lógica modal normal.
Definición 58. Una lógica modal normal es un conjunto de fórmulas
modales L tal que
1. contiene todas las instancias de sustitución de las tautologı́as
2. contiene todas las fórmulas de la forma
(K)
2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ).
3. contiene todas las fórmulas de las fomas 2α ↔ ¬3¬α y 3α ↔
¬2¬α,
4. está cerrado bajo Modus Ponens: si ϕ, ϕ → ψ ∈ L, entonces ψ ∈ L
5. está cerrado bajo Necesidad: si ϕ ∈ L, entonces 2ϕ ∈ L,
6. está cerrado bajo instancias de sustitución: si ϕ ∈ L y ψ es una
instancia de sustitución de ϕ, entonces ψ ∈ L.
Ejemplos:
1. Para cada clase de marcos F, L(F) es una lógica modal normal.
2. El conjunto de todas las fórmulas modales es una lógica modal normal
Una lógica modal normal L es una sublógica de una lógica modal normal L0 si L ⊆ L0 ; es este caso también decimos que L0 es una extensión de
L.
Las fórmulas que pertenecen a una lógica modal normal L se llaman a
menudo los teoremas de L.
Lema 59. Si {L
Ti : i ∈ I} es una colección no vacı́a de lógicas modales
normales entonces i∈I Li es una lógica modal normal.
Puesto que hay lógica modales normales (por ejemplo el conjunto de
todas las fórmulas modales), hay la menor lógica modal normal, que es la
intersección de la familia de todas las lógicas modales normales. Se denota
por K en honor a Saul Kripke.
45
46
7. LóGICAS MODALES NORMALES
Corolario 60. Para cada conjunto de fórmulas modales Γ, hay la menor lógica modal normal que contiene a Γ.
Demostración. Sea X la colección de todas las lógicas modales normales que contienen a Γ. Puesto que hay una lógica modal normal que contiene
aT Γ, a saber el conjunto de todas las fórmulas, X esTno vaı́ca. Por tanto
X es una lógica modal normal. Claramente, Γ ⊆ X . Por otra parte,
si
T L es una lógica modal normal y Γ ⊆ L, entonces L ∈ X . Por tanto,
X ⊆ L.
QED
La menor lógica modal normal que contiene a Γ se denota por L(Γ).
Obsérvese que al estar L(Γ) cerrado bajo instancias de sustitución, toda
instancia de sustitución de cualquier fórmula de Γ pertenece a L(Γ). Ası́,
K = L(∅),
Sea L una lógica modal normal. Diremos que un modelo es un modelo
de L si todo teorema de L es valido en el modelo. Análogamente, diremos
que un marco es un marco de L si todo teorema de L es válido en el marco.
Dada una lógica modal normal L, consideremos su clase de marcos
Marc(L) = {F : para cada ϕ ∈ L, F |= ϕ}
es decir la clase de los marcos en los que son válidas todos los teoremas de
L. Consideraremos también la clase de sus modelos
Mod(L) = {hW, R, V i : para cada ϕ ∈ L, hW, R, V i |= ϕ}
Evidentemente:
L ⊆ L(Marc(L))
pero esta inclusión no tiene porque ser una igualdad. Por otra parte,
{hW, R, V i : hW, Ri ∈ Marc(L)} ⊆ Mod(L)
Ahora bien, de que hW, R, V i ∈ Mod(L) no se sigue que el marco hW, Ri
pertenezca a Marc(L). Debe tenerse en cuenta que hW, Ri ∈ Marc(L) si y
sólo si para toda valoración V en hW, Ri, el modelo hW, R, V i ∈ Mod(L).
1.
Extensiones axiomáticas del cálculo LK K
Supongamos que añadimos al cálculo LK K una serie de reglas Gentzen
de la forma
,
∅ϕ
que al no tener premisas se llaman axiomas, o mejor reglas Gentzen axiomáticas, obteniendo un cálculo G. Para G definimos los conceptos de derivación,
derivación a partir de un conjunto de secuentes, etc. como en el caso de LK K .
De modo análogo a como definimos la relación `, definimos la relación `G ,
y de modo análogo a como definimos la relación `f , definimos la relación
`fG .
2. AXIOMATIZACIONES TIPO HILBERT DE LAS LóGICAS MODALES NORMALES 47
Proposición 61. Consideremos un cálculo Gentzen G obtenido a partir
de LK K añadiendo reglas Gentzen axiomáticas. El conjunto de fórmulas
L(G) = {ϕ : `G ϕ}
es una lógica modal normal.
Demostración. Puesto que las formuals de las formas 2(α → β) →
(2α → 2β) y 2α ↔ ¬3¬α, 3α ↔ ¬2¬α son deducibles de acuerdo con
`K , lo son de acuerdo con `G . Por otra parte, si ϕ y ϕ → ψ ∈ L(G),
entonces `G ϕ y `G ϕ → ψ, con lo que los secuentes ϕ y ϕ → ψ son
derivables en G. Por tanto, ψ es derivable en G, con lo que ψ ∈ L(G). De
modo parecido, si ϕ ∈ L(G), entonces ϕ es derivable en G, por tanto 2ϕ
es derivable en G, por lo que ϕ ∈ L(G). Finalmente, si ϕ ∈ L(G), entonces,
ϕ es derivable en G, pero entonces para toda sustitución σ, σ(ϕ) es
derivable en G, por lo que σ(ϕ) ∈ L(G).
QED
2.
Axiomatizaciones tipo Hilbert de las lógicas modales
normales
Dada una lógica modal normal L, un conjunto de fórmulas Σ es un
conjunto de axiomas para L si L = L(Σ), es decir si L es la menor lógica
modal normal que incluye a Σ. Se dice que L es finitamente axiomatizable
si tiene un conjunto finito de axiomas.
Dado un conjunto finito Σ de axiomas para L existe un cálculo estilo
Hilbert H(Σ) para L. Consta de los siguientes axiomas:
Axiomas de la lógica clásica: todas las instancias de sustitución de
las tautologı́as,
Axioms K: las fórmulas de la forma 2(α → β) → (2α → 2β),
Axiomas propios: las instancias de sustitución de las fórmulas en Σ,
Axiomas de interdefinibilidad de 2 y 3: 2α ↔ ¬3¬α, 3α ↔ ¬2¬α
y de las siguientes reglas de inferencia:
Regla Modus Ponens: de α, α → β inferir β.
Regla de necesidad: de α inferir 2α.
Diremos que las instacias de sustitución de las fórmulas elemento de Σ son
los axiomas propios del cálculo H(Σ).
Una demostración en un cálculo estilo Hilbert es una sucesión finita de
fórmulas tal que cada uno de los miembros de la sucesión o es un axioma
del cálculo o se obtiene de fórmulas anteriores en la sucesión por aplicación
de alguna de las reglas de inferencia. Se dice que una demostración es una
demostración de su última fórmula. Una fórmula es demostrable en el cálculo
si hay una demostración (en el cálculo) de ella.
Proposición 62. Si Σ es un conjunto finito de axiomas para L, entonces
L es el conjunto de fórmulas demostrables en el cálculo H(Σ).
La menor lógica modal normal K se axiomatiza mediante el conjunto
vacı́o de axiomas. Su cálculo estilo Hilbert H(∅) consta pues de los axiomas:
48
7. LóGICAS MODALES NORMALES
Axiomas de la lógica clásica: todas las instancias de sustitución de
las tautologı́as,
Axioms K: las fórmulas de la forma 2(α → β) → (2α → 2β),
Axiomas de interdefinibilidad de 2 y 3: 2α ↔ ¬3¬α, 3α ↔ ¬2¬α
y de las siguientes reglas de inferencia:
Regla Modus Ponens: de α, α → β inferir β.
Regla de necesidad: de α inferir 2α.
este cálculo no tiene axiomas propios. Lo denotaremos por HK para recordar
que es el cálculo que axiomatiza la lógica K.
La siguiente proposición nos da una lista de teoremas de la of any normal
modal logic.
Proposición 63. Para cualesquiera fórmulas α and β las fórmulas
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2(α ∧ β) ↔ (2α ∧ 2β)
3(α ∨ β) ↔ (3α ∨ 3i β)
(2α ∨ 2β) → 2(α ∨ β)
3(α ∧ β) → (3α ∧ 3i β)
¬2α ↔ 3¬α.
son teoremas de K y por tanto de toda lógica modal normal.
Algunas fórmulas importantes que sirven para axiomatizar las lógicas
modales normales más estudiadas son:
T
4
B
E
D
M
G
L
Grz
2p → p
2p p
2p → 22p
2p 22p
p → 23p
p 23p
3p → 23p
3p 23p
2p → 3p
2p 3p
23p → 32p
23p 32p
32p → 23p
32p 23p
2(2p → p) → 2p, axioma de Löb 2(2p → p) 2p
2(2(p → 2p) → p) → p
2(2(p → 2p) → p) p
Las lógicas modales normales se suelen denotar con la letra K seguida
de las letras para las fórmulas que las axiomatizan. Por ejemplo KT denota
la lógica axiomatizada por la fórmula T . Por razones históricas, hay lógicas
que usualmente se denotan de otro modo. Vamos a dar una lista de lógicas
importantes. Primero daremos su nombre más común.
4. RELACIONES DE DEDUCIBILIDAD
S4
S5
T
B
GL
D
D4
es
es
es
es
es
es
es
la
la
la
la
la
la
la
lógica
lógica
lógica
lógica
lógica
lógica
lógica
3.
49
KT 4.
KT 4B, también la KT 4E.
KT
KT B
KL, llamada también lógica de la demostrabilidad.
KD
KD4
Relaciones de consecuencia
Sea L una lógica modal normal. La relación de consecuencia local
asociada a L se define como sigue. Sean ϕ una fórmula modal y Σ un conjunto
de fórmulas modales. Se dice que ϕ es una L-consecuencia local de Σ, y
escribimos Σ |=lL ϕ, si para todo modelo hW, R, V i ∈ Mod(L) y para todo
w ∈ W tal que para cada ψ ∈ Σ, w sat. ψ ocurre que w sat. ϕ.
La relación de consecuencia global asociada a L se define como sigue.
Sean ϕ una fórmula modal y Σ un conjunto de fórmulas modales. Se dice
que ϕ es una L-consecuencia global de Σ, y escribimos Σ |=gL ϕ, si para
todo modelo hW, R, V i ∈ Mod(L) tal que para cada ψ ∈ Σ, hW, R, V i |= ψ
ocurre que hW, R, V i |= ϕ.
4.
Relaciones de deducibilidad
A cada lógica modal normal podemos asociar dos relaciones de deducibilidad, la local o débil y la global o fuerte.
Sea L una lógica modal normal. Una demostración de ϕ a partir de Σ
en L es una sucesión finita de fórmulas cuyos elementos son elementos de L
o de Σ, o se obtienen de fórmulas anteriores en la sucesión por aplicación de
la regla Modus Ponens.
Diremos que ϕ es localmente deducible en L, o L-deducible para
abreviar, de un conjunto de fórmulas Σ, en sı́mbolos Σ `L ϕ, si existe una
demostración de ϕ a partir de Σ en L.
De la definición se sigue que si ϕ is localmente deducible de Σ en L,
lo es de un subconjunto finito de Σ. Claramente las fórmulas localmente
deducibles de el conjunto vacı́o de fórmulas en L son los teoremas de L.
La relación de deducibilidad local hereda de la lógica clásica algunas de
sus propiedades:
Proposición 64 (Teorema de deducción). Para toda lógica modal normal L, todo conjunto de fórmulas Σ y cualesquiera fórmulas α, β,
si Σ ∪ {α} `L β entonces Σ `L (α → β).
El estudio de la deducibilidad local en L se reduce, gracias al teorema
de deducción, al estudio de los teoremas de L.
50
7. LóGICAS MODALES NORMALES
Proposición 65. Para toda lógica modal normal L y cualesquiera fórmulas β0 , . . . , βn , α,
{β0 , . . . , βn } `L α sii β0 ∧ . . . ∧ β1 → α ∈ L.
Demostración. Recuérdese que la fórmula
(β0 ∧ . . . ∧ β1 → α) ↔ (β0 → (β1 → . . . (βn → α) . . .)
es una instancia de sustitución de una tautologı́a.
Supongamos que {β0 , . . . , βn } `L α. El teorema de deducción aplicado
reiteradamente nos da que (β0 → (β1 → . . . (βn → α) . . .) es un teorema
de L. Utilizando la tautologı́a anterior obtenemos que lo es (β0 ∧ . . . ∧ β1 →
α). La otra implicación se obtiene de la tautologı́a anterior por aplicación
repetida de Modus Ponens.
QED
Lema 66. Para toda lógica modal normal L y cualesquiera fórmulas
β0 , . . . , βn , α,
si {β0 , . . . , βn } `L α entonces {2β0 , . . . , 2βn } `L 2α.
Demostración. Por la proposición 65. Se deja como ejercicio.
QED
La relación de deducibilidad débil en L es correcta y completa relativamente a la relación de consequencia local de L, la determinada por la clase
de todos los modelos de L. Es decir:
Σ `L ϕ iff Σ |=lL ϕ.
Este resultado se demostrará más adelante.
Capı́tulo 8
Algunos resultados de correspondencia
Presentamos algunos resultados de la forma
La fórmula α es válida en el marco F sii F tiene la propiedad Φ.
Cuando se dispone de un resultado de este tipo se dice que la fórmula α
corresponda a la propiedad Φ.
Desde la perspectiva que este tipo de resultados introducen se puede
afirmar que las fórmulas modales, y más en general los conjuntos de fórmulas
modales, sirven para describir propiedades de los marcos de Kripke. Los
lenguajes modales sirven para este fin. Algunas clases de marcos pueden
definirse mediante fórmulas modales de este modo pero otra no.
Demostraremos algunas de las correspondencias de la tabla que hay a
continuación.
2p → p
2p → 22p
p → 23p
2p → 3p
3p → 2p
3p ↔ 2p
R
R
R
R
R
R
es
es
es
es
es
es
reflexiva
transitiva
semétrica
serial
una función
una función con dominio W
Proposición 67. La fórmula 2p → p es válida en un marco F sii la
relación R es reflexiva.
Demostración. Supongamos que R es reflexiva. Seat V una valoración
en F y sea w ∈ W . Si 2p es verdadera en w, puesto que wRw, tenemos que
p es verdadera en w. Por tanto, 2p → p es verdadera en w. Concluimos pues
que 2p → p es válida en F. Para demostrar la otra implicación, supongamos
que 2p → p es válida en F. Sea w ∈ W y consideremso cualquier valoración
V en F al que V (p) = {v ∈ W : wRv}. En tal caso, 2p es verdadera en w
en el modelo hF, V i. Puesto que 2p → p es verdadera en w en el modelo
hF, V i, pes verdadera en w en el modelo hF, V i. Por tanto, w ∈ V (p), con
lo cual wRw. Concluimos que R es reflexiva.
QED
Proposición 68. La fórmula 2p → 22p es válida en un marco F sii
la relación R es transitiva.
Demostración. La demostración de la parte fácil, que es la implicación de derecha a izquierda se deja como ejercicio. Para demostrar la otra
51
52
8. ALGUNOS RESULTADOS DE CORRESPONDENCIA
implicación, supongamos que 2p → 22p es válida en F y que w, v, u ∈ W
son tales que wRv and vRu. Sea V una valoración en F tal que V (p) = {x ∈
W : wRi x}. Claramente, 2p es verdadera en w en hF, V i. Puesto que por
suposición 2p → 22p también es verdadera en w, 22p es verdadera en w.
Por tanto, 2p ies verdadera en v y p lo es en u. Por tanto, wRu. Concluimos
pues que R es transitiva.
QED
Proposición 69. La fórmula p → 23p es válida en un marco F sii la
relación R es simétrica.
Demostración. Supongamos que p → 23p es válida en F y que w, v ∈
W son tales que wRv. Sea V una valoración cualquiera tal que V (p) = {w}.
Puesto que p y p → 23p son verdaderas en w, 23p es verdadera en w.
Por tanto, 3p es verdadera en v. La única posibilidad de que esto sea ası́ es
que vRw. Concluimos pues que R es simétrica. La demostración de la otra
implicación se deja como ejercicio.
QED
Proposición 70. La fórmula 2p → 3p es válida en un marco F sii la
relación R es serial (i.e. para cada w ∈ W existe v ∈ W tal que wRv).
Demostración. Se deja como ejercicio.
QED
Capı́tulo 9
Teoremas de completud
Para cada lógica modal normal disponemos de tres objetos definidos
sintácticamente. La lógica misma, la deducibilidad local asociada y la deducibilidad global.
Como hemos visto, una clase de marcos F define una lógica L(F), el conjunto de las fórmulas válidas en todo marco de F. Por otra parte, una lógica
L puede utilizarse para definir la clase de marcos Marc(L) cuyos elementos
son los marcos en que todo teorema de L es válido.
Dada una lógica L es natural preguntarse si la lógica L(Fr(L)) es o no
igual a L. Es claro que L ⊆ L(Fr(L)). La otra inclusión es la problemática.
Se cumple para unas lógicas y para otras no.
Podemos formular la pregunta análoga respecto a los modelos. A cada
lógica L le corresponde la clase de modelos Mod(L), la de los modelos en los
que todos los teoremas de L son válidos. Para cada lógica L, podemos preguntarnos si el conjunto Val(Mod(L)) de todas las fórmulas válidas en todos
los modelos en Mod(L) es igual o no a L. Es claro que L ⊆ Val(Mod(L)).
En este caso la otra inclusión se cumple para toda lógica.
Una lógica modal normal L se dice que es completa respecto a marcos si
L = L(Marc(L)). Una lógica L se dice que está determinada por una clase
de marcos F si L = L(F).
La observación siguiente es importante.
Proposición 71. Si una lógica está determinada por alguna clase de
marcos entonces es completa respecto a marcos.
Demostración. Supongamos que L está determinada por la clase de
marcos F. Entonces, F ⊆ Fr(L). Por tanto la lógica de la clase de marcos
Fr(L) está incluida en la lógica de la clase de marcos F. Puesto que esta
última lógica es L, concluimos que L = L(Marc(L)), en otras palabras que
es completa respecto a marcos.
QED
Una lógica se dice que es completa respecto a modelos si L = Val(Mod(L)).
Como veremos toda lógica es completa respecto a modelos.
Los teoremas de corrección para las relaciones de deducibilidad asociadas
a una lógica normal L son los siguientes:
Teorema 72. Para cada fórmula ϕ y cada conjunto de fórmulas Σ
(1)
si Σ `L ϕ, entonces Σ |=lL ϕ.
53
54
9. TEOREMAS DE COMPLETUD
Teorema 73. Para cada fórmula ϕ y cada conjunto de fórmulas Σ
si Σ `gL ϕ, entonces Σ |=gL ϕ.
(2)
Procedemos a demostrar el primer teorema. Supongamos que Σ `L ϕ.
Sea ϕ0 , . . . , ϕn una demostración en L de ϕ a partir de Σ. Demostremos por
inducción completa que para cada i si i ≤ n, Σ |=lL ϕi . Supongamos que
para todo k ≤ i ocurre que si k ≤ n, entonces Σ |=lL ϕk . Supongamos que
i ≤ n y veamos que Σ |=lL ϕi . Si ϕi ∈ Σ, es claro. Si ϕi ∈ L, también pues
en tal caso ϕi es verdadera en todo punto de todo modelo se L, en particular
en los puntos en los que las fórmulas de Σ son veraderas. Si ϕi se obtiene por
Modus Ponens de fórmulas anteriores, digamos ϕm y ϕl , supongamos que
ϕl es ϕm → ϕi . Entonces m, l ≤ i ≤ n. Por tanto por la hipótesis inductiva
Σ |=lL ϕm y Σ |=lL ϕm → ϕi . Supongamos que hW, R, V i es un modelo de
L y w ∈ W es tal que toda fórmula de Σ es verdadera en w. Entonces ϕm
y ϕm → ϕi son verdaderas en w. Por tanto lo es ϕi . Concluimos pues que
Σ |=lL ϕi .
Se deja como ejercicio la demostración del otro teorema de corrección.
1.
L-teorı́as, conjuntos L-consistentes, L-teorias primas,
relativamente maximales y L-consistente maximales
Por comodidad abreviemos una contradicción fijada, por ejemplo p ∧ ¬p
con ⊥. Ası́ en todo modelo M y en todo punto w del modelo, M, w 6|= ⊥.
Una logica modal normal es consistente si no es el conjunto de todas las
fórmulas. Asi,
Lema 74. Una lógica modal normal L es consistente sii ⊥ 6∈ L
Demostración. Observemos que ⊥ → ϕ es de la forma de una tautologı́a, para cada fórmula ϕ. Por tanto ⊥ → ϕ ∈ L. Por tanto si ⊥ ∈ L,
puesto que L esta cerrada por Modus Ponens, ϕ ∈ L. Asi si ⊥ ∈ L, L no es
consistente. Por otra parte si L no es consistente, puesto que toda fórmula
pertenece a L, ⊥ ∈ L.
QED
Fijemos una lógica modal normal consistente L.
Lema 75. Para cada fórmula ϕ,
1. ¬ϕ `L ϕ → ⊥
2. ϕ → ⊥ `L ¬ϕ
3. ⊥ `L ϕ
Demostración. 1. Tenemos que ¬ϕ → (ϕ → ⊥) es una tautologı́a. Por
tanto pertenece a L. Utilizando Modus Ponens obtenemos que ¬ϕ `L ϕ →
⊥.
2. Se demuestra de modo análogo.
3. Se deja como ejercicio.
QED
Lema 76. Para cada fórmula ϕ,
1. Si Σ `L ϕ0 , . . . , Σ `L ϕn y {ϕ0 , . . . , ϕn } `L ψ, entonces Σ `L ψ.
1. L-TEORÍAS, CONJUNTOS L-CONSISTENTES, L-TEORIAS PRIMAS, RELATIVAMENTE MAXIMALES Y L-CONSISTE
2. Si Σ `L ϕ y Σ `L ϕ → ψ, entonces Σ `L ψ.
3.
Demostración. (1) Supongamos que Σ `L ϕ0 , . . . , Σ `L ϕn . Sea para
cada i ≤ n Di una demostración en L de ϕi a partir de Σ. Sea D una demostración en L de ψ a partir de {ϕ0 , . . . , ϕn }. Claramente la concatenación
D0 . . . Dn D de las demostaciones es una demostración en L de ψ a partir de
Σ.
(2) Utilizaremos (1). Es claro que {ϕ, ϕ → ψ} `L ψ. Entonces si Σ `L ϕ
y Σ `L ϕ → ψ, por (1) obtenemos que Σ `L ψ.
QED
Lema 77. Si Σ `L ϕ, entonces para cada conjunto de fórmulas ∆, Σ ∪
∆ `L ϕ.
Demostración. Toda demostración de ϕ en L a partir de Σ es también
una demostración de ϕ en L a partir de Σ ∪ ∆.
QED
Un conjunto Σ de fórmulas es L-consistente si Σ 6`L ⊥. En caso contrario se dice que es L-inconsistente. De la definición se sigue inmediatamente
que Σ es L-inconsistente si y sólo si alguno de sus subconjuntos finitos lo es.
Lema 78. Σ `L ϕ si y sólo si Σ ∪ {¬ϕ} es L-inconsistente.
Demostración. Si Σ `L ϕ, puesto que Σ∪{¬ϕ} `L ϕ → ⊥, obtenemos
que Σ ∪ {¬ϕ} ` ⊥, es decir que Σ ∪ {¬ϕ} es L-inconsistente. Por otra
parte, si Σ ∪ {¬ϕ} es L-inconsistente, Σ ∪ {¬ϕ} `L ⊥. Por tanto, por el
teorema de deducción, Σ `L ¬ϕ → ⊥. Ahora bien, ¬ϕ → ⊥ `L ϕ. Por tanto
Σ `L ϕ.
QED
Lema 79. Σ es inconsistente sii para toda fórmula ϕ, Σ `L ϕ.
Demostración. Si para toda fórmula ϕ, Σ `L ϕ, en particular Σ `L ⊥,
por lo que es L-inconsistente. Si Σ es L-inconsistente, Σ `L ⊥. Por tanto,
puesto que para toda fórmula ϕ, ⊥ `L ϕ, tenemos que para toda fórmula ϕ,
Σ `L ϕ.
QED
Un conjunto de fórmulas Σ es una L-teorı́a si para cada fórmula ϕ tal
que Σ `L ϕ ocurre que ϕ ∈ Σ.
Una L-teorı́a Σ es ϕ-relativamente maximal si Σ 6`L ϕ y para toda
fórmula ψ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} `L ϕ.
Una L-teorı́a Σ es prima si es L-consistente y para cualesquiera fórmulas
ϕ, ψ, si ϕ ∨ ψ ∈ Σ, entonces ϕ ∈ Σ o ψ ∈ Σ.
Una L-teoria Σ es relativamente maximal si hay una fórmula ϕ tal
que Σ es ϕ-relativamente maximal.
Una L-teorı́a Σ es L-consistente maximal si es L-consistente y para
cada fórmula ϕ 6∈ Σ, Σ ∪ {ϕ} es L- inconsistente.
Lema 80. Si Γ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula tal que
Γ 6`L ϕ, entonces existe una L-teorı́a ϕ-relativamente maximal Σ tal que
Γ ⊆ Σ.
56
9. TEOREMAS DE COMPLETUD
Demostración. Consideremos una enumeración ψ0 , ψ1 , ψ2 , . . . , ψn , . . .
de las fórmulas del lenguaje. Vamos a definir en pasos sucesivos una sucesión
de conjuntos de fórmulas Σ0 , Σ1 , . . . , Σn , . . . tal que
1. Σ0 = Γ
2. Para cada n, Σn 6`L ϕ
3. Para cada n, Σn ⊆ Σn+1
La definición de la sucesión es:
Σ0 = Γ
Σn
si Σn ∪ {ψn } `L ϕ
Σn+1 =
Σn ∪ {ψn } si Σn ∪ {ψn } 6`L ϕ
Claramente se cumplen las condiciones deseadas. Sea
[
Σn
Σ=
n
Es decir, para cada fórmula ψ,
ψ ∈ Σ si y sólo si hay n tal que ψ ∈ Σn .
Veamos que Σ es ϕ-relativamente maximal.
1. Σ 6`L ϕ. En efecto, si Σ `L ϕ, hay ∆ ⊆ Σ finito tal que ∆ `L ϕ. De la
condición 3 anterior y de que ∆ es finito se sigue que hay n tal que ∆ ⊆ Σn .
Por tanto, Σn ` ϕ. Pero esto contracide la condición 2 anterior.
2. Si ψ 6∈ Σ, entonces Σ ∪ {ψ} `L ϕ. En efecto, supongamos que ψ 6∈ Σ
y que Σ ∪ {ψ} 6`L ϕ Sea n tal que ψ es ψn . Entonces Σn ∪ {ψn } 6`L ϕ. Por
tanto ψn ∈ Σn+1 ⊆ Σ. Pero esto es absurdo. Por tanto Σ ∪ {ψ} `L ϕ. QED
Corolario 81. Para cada conjunto de fórmulas Σ y cada fórmula α,
Σ `L α sii α pertenece a toda L-teorı́a relativamente maximal que incluye a
Σ.
Demostración. Si Σ `L α y Γ es L-teorı́a relativamente maximal que
incluye a Σ, entonces Γ `L α. Por tanto α ∈ Γ. Por otra parte, si Σ 6`L α
entonces hay L-teorı́a Γ α-relativamente maximal tal que Σ ⊆ Γ. Puesto que
α 6∈ Γ, tenemos que α no pertenece a toda L-teorı́a relativamente maximal
que incluye a Σ.
QED
Proposición 82. Sea Σ una L-teorı́a. Son equivalentes
1. Σ es ϕ-relativamente maximal para alguna fórmula ϕ.
2. Σ es prima
3. Σ es L-consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
4. Σ es L-consistente maximal.
Demostración. 1 implica 2. Supongamos que Σ es ϕ-relativamente
maximal. Supongamos que ψ ∨ δ ∈ Σ. Puesto que Σ es ϕ-relativamente
maximal, si ψ, δ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} `L ϕ y Σ ∪ {δ} `L ϕ. Por el teorema de la
deducción Σ `L ψ → ϕ y Σ `L δ → ϕ. Además (ψ → ϕ) → ((δ → ϕ) →
((ψ ∨ δ) → ϕ)) es instancia de sustitución de una tautologı́a. Por tanto
pertenece a L. Se sigue que Σ `L (ψ ∨ δ) → ϕ. Por tanto Σ ∪ {ψ ∨ δ} `L ϕ.
2. EL MODELO CANóNICO
57
Esto implica que, Σ `L ϕ, pero esto no es posible al ser Σ ϕ-relativamente
maximal. Ası́ ψ ∈ Σ o δ ∈ Σ. Por tanto Σ es una L-teorı́a prima.
2 implica 3. Supongamos que Σ es prima. Por tanto es L-consistente.
Además, para cada ϕ, ϕ ∨ ¬ϕ ∈ Σ. Por tanto, al ser prima, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ.
3 implica 4. Supongamso que Σ es L-consistente y para toda fórmula ϕ,
ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ. Supongamos que ϕ 6∈ Σ. Por tanto, ¬ϕ ∈ Σ. Asi, Σ ∪ {ϕ}
es inconsistente. Por tanto Σ es L-consistente maximal.
4 implica 1. Si Σ es L-consistente maximal, para cada ϕ 6∈ Σ, Σ es
ϕ-relativamente maximal.
QED
Proposición 83. Para todo conjunto de fórmulas L-consistent y maximal Σ,
(1) Si Σ `L α, entonces α ∈ Σ,
(2) α ∧ β ∈ Σ sii α ∈ Σ and β ∈ Σ,
(3) α ∨ β ∈ Σ sii α ∈ Σ o β ∈ Σ,
(4) α → β ∈ Σ sii α 6∈ Σ o β ∈ Σ,
(5) ¬α ∈ Σ sii α 6∈ Σ.
Demostración. Se deja como ejercicio.
2.
QED
El modelo canónico
Para motivar la definición del modelo canónico consideremos un modelo
cualquiera hF, V i. Dado w ∈ W observemos que el conjunto
Σ(w) = {α : hF, V i, w |= α}
es un conjunto maximal K-consistente que contiene toda fórmula válida en
el modelo. Ası́, si el modelo es un modelo de L, Σ(w) es L-consistente.
Puede ocurrir que existan w, w0 ∈ W distintos que no se puedan distinguir mediante una fórmula modal, es decir que tengan la propiedad de que
los conjuntos Σ(w) y Σ(w0 ) sean el mismo. Desde este punto de vista podemos decir que un conjunto de fórmulas maximal K-consistente caracteriza
un tipo de estado o de mundo posible.
Un tipo de estado es compatible con una lógica L si todo teorema de L
pertenece a él. El conjunto de estados del modelo canónico para una lógica
L consiste en todos los tipos de estados compatibles con L. Una fórmula
será verdadera en un estado del modelo canónico si y sólo si pertenece al
estado. De este modo, puesto que si una fórmula α no es un teorems de
L, el conjunto L ∪ {¬α} es L-consistente, habrá un conjunto maximal Lconsistente tal que incluye a L ∪ {¬α}, por tanto α no será válida en el
modelo canónico.
Para explicar como definir la relación de accesibilidad del modelo canónico de una lógica modal normal L, consideremos un modelo hF, V i de L y
observemos que si w, v ∈ W son tales quet wRv entonces {α : 2α ∈ Σ(w)} ⊆
Σ(v). Tomaremso esta urltima condición como la condición para definir la
relación de accesibilidad del modelo canónico.
58
9. TEOREMAS DE COMPLETUD
La definición del modelo canónico deuna lógica modal normal es la siguiente.
Sea L una lógica consistente. Definamos el conjunto de estados del modelo canónico por:
WL = {∆ : ∆ es un conjunto maximal L-consitent de fórmulas },
y la relación RL en WL por
∆RL ∆0 sii {α : 2α ∈ ∆} ⊆ ∆0 .
El marco FL = hWL , RL i es el marco canónico de L. El modelo canónico
de L es el modelo ML = hFL , VL i, donde VL es la valoración en el marco
canónico de L definida por:
VL (p) = {∆ ∈ WL : p ∈ ∆},
para cada letra proposicional p.
El resultado principal sobre el modelo canónico de L es el lema fundamental.
Lema 84 (Lema Fundamental). Parta todo conjunto maximal y L-consistente
de fórmulas ∆ y toda fórmula α,
hFL , VL i, ∆ sat. α sii α ∈ ∆.
Demostración. Se demuestra por inducción en α. Para las letras proposicionales vale por la definición de la valoración VL . Para las conectivas se
sigue de las propiedades de los conjuntos maximal L-consistentes del lema 83.
para el operador modal se argumenta como sigue. Observemos primero que
gracias a la hipótesis inductiva temenemos que
hFL , VL i, ∆ |= 2α sii ∀∆0 ∈ WL si ∆RL ∆0 entonces α ∈ ∆0
sii ∀∆0 ∈ WL si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 entonces α ∈ ∆0
Ahora, si 2α ∈ ∆ y {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 , claramente tenemos que α ∈ ∆0 .
Por tanto obtenemos la implicación dr izquierda a derecha de la condición
que estamos demostrando. Para demostrar la otra implicación, supongamos
que ∀∆0 ∈ WL , si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 entonces α ∈ ∆0 . Veamos que el
conjunto {β : 2β ∈ ∆} ∪ {¬α} no es L-consistente. Si lo fuera existirı́a un
conjunto maximal L-consistente que lo extiende y por la suposición tendrı́a
como elemento a α, lo que no es posible. Por tanto, {β : 2β ∈ ∆} `L α. Sea
ahora {β0 , . . . , βn } ⊆ {β : 2β ∈ ∆} tal que {β0 , . . . , βn } `L α. Entonces,
{2β0 , . . . , 2βn } `L 2α, y puesto que {2β0 , . . . , 2βn } ⊆ ∆, obtenemos que
2α ∈ ∆.
QED
Corolario 85. Para toda lógica consistente L y toda fórmula α,
α ∈ L sii α es válida en el modelo canónico de L.
Demostración. Por el lema 81, una fórmula α ∈ L sii α pertenece a
toco conjunto maximal L-consistente. Por tanto, α ∈ L sii α es verdadera
en todo punto del modelo canónico de L.
QED
3. LOS TEOREMAS DE COMPLETUD
3.
59
Los teoremas de completud
El primer teorema de completitud que demostramos es una consecuencia
inmediata del último corolario. .
Teorema 86. Para toda lógica L, todo conjunto de fórmulas Σ y toda
fórmula α,
Σ `L α iff Σ |=lL α.
Demostración. La dirección de izquierda a derecha es una consecuencia de que el conjunto de fórmulas verdadera en un punto de un modelo de
L contiene todas las fórmulas de L y está cerrado bajo Modus Ponens. Para
demostrar la otra inclusión supongamos que Σ 6`L α. En tal caso, el conjunto
Σ ∪ {¬α} es L-consistente. Se pues ∆ un conjunto L- consistente y maximal
que lo incluye. Este conjunto es uno de los elementos del modelo canónico
de L, toda fórmula de Σ es verdadera en ∆ y α es falsa en ∆. Puesto que el
modelo canónico de L es un modelo de L, concluimos que Σ 6|=lL α. QED
Teorema 87. Toda lógica es completa respecto a modelos.
Demostración. Sea L una lógica. Si L es la lógica insonsistente, no
tiene modelos. Por tantoel conjunto de fórmulas válidas en todo modelo de
L es el conjunto de todas las fórmulas. Por tanto es la lógica inconsistente.
Si L es consistente, por el último corolario el modelo canónico de L es un
modelo de L. Por tanto si una fórmula es válida en todo modelo de L, lo es
en el modelo canónico de L. Oir tanto es un teorema de L.
QED
Teorema 88. La lógica K es completa respecto a marcos.
Demostración. Puesto que K is la menor lógica modal normal, es claro
que todo teorema de K es válido en todo marco. Ası́, la clase de marcos de
K es la clase de todos los marcos. Pero además, si una fórmula es válida en
todo marco, lo es en el modelo canónico de K. Por tanto es un teorema de
K.
QED
Corolario 89. Una fórmula es un teorema de K sii es válida en el
marco canónico de K.
El paso fundamental en la demostración de que K es completa respecto
a marcos consiste en la observación de que el marco canónico de K es un
marco de K, es decir es un marco en el que todo teorema de K es válido.
Cualquier lógica modal normal que tenga esta propiedad es completa respecto a marcos. Las lógicas con esta propiedad, las que sus teorems son válidos
en su marco canónico, se llaman canónicas.
Teorema 90. Toda lógica canónica es completa respecto a marcos.
Demostración. Si L es canónica, FL ∈ Fr(L) y por tanto toda fórmula
válida en todos los marcos de L es válida en FL y por tanto en el modelo
canónico de L, lo que implica que es un teorema de L.
QED
60
9. TEOREMAS DE COMPLETUD
Uno de los métodos para demostrar que una lógica es completa respecto
a marcos consiste en demostrar que es canónica. El modo más común de hacerlo consiste en seleccionar un conjunto de axiomas de la lógica y encontrar
una propiedad de los marcos que sea la que corresponde a los axiomas. Una
vez hecho esto se demuestra que el marco del modelo canónico (el marco
canónico) tiene la propiedad. Ası́, demostra la completitud de una lógica
mediante el marco canónico puede verse como una aplicación de un resultado de correspondencia. A continuación demostraremos que algunas lógicas
son completas respecto a marcos por este método.
Proposición 91. Sea L una lógica.
(1)
(2)
(3)
(4)
Si T ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es reflexiva.
Si 4 ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es transitiva.
Si B ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es simétrica.
Si D ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es serial.
Demostración. (1) Supongamos que 2p → p ∈ L. En tal caso, para
cada fórmula α, 2α → α es verdadera en todo punto del modelo canónico.
Sea Let ∆ ∈ WL y supongamos que 2α ∈ ∆. Ası́, 2α es verdadera en ∆
y por tanto α es verdadera en ∆ (ya que lo es 2p → p) . Es decir α ∈ ∆.
Concluimos pues que ∆RL ∆.
(2) Supongamos que 4 ∈ L. Por tanto toda fórmula α, 2α → 22α
es verdadera en todo punto del modelo canónico de L. Supongamos que
∆, ∆0 , ∆00 ∈ WL son tales que ∆RL ∆0 y ∆0 RL ∆00 . Si 2α ∈ ∆, entonces esta
fórmula es verdadera en ∆ lo que implica que lo es 22α, pues 2α → 22α es
verdadera en ∆ . Por tanto, 22α ∈ ∆. Ası́, 2α ∈ ∆0 y α ∈ ∆00 . Concluimos
que ∆RL ∆00 .
(3) Supongamos que B ∈ L. Entonces, para cada fórmula α, α → 23α
es verdadera en todo punto del modelo canonica de L. Supongamos que
∆, ∆0 ∈ WL0 son tales que ∆RL ∆0 y que 2α ∈ ∆0 . Entonces 2α es verdadera
en ∆0 con lo que 32α también es verdadera en ∆. De este modo 23¬α es
falsa en ∆ y lo es ¬α. Por ello, α es verdadera en ∆ con lo cual α ∈ ∆.
Concluimos que ∆0 RL ∆.
(4) Supongamos que D ∈ L. Entonces, cada fórmula α, 2α → 3α es
verdadera en todo punto del modelo canonica de L. Sea ∆ ∈ WL . Consideremos el conjunto {α : 2α ∈ ∆}. Este conjunto es L-consistent. De lo
contrario, 2⊥ serı́a deducible debilmente (sólo con MP) de ∆ en L. Pero en
tal caso 3⊥ serı́a verdadera en ∆. Por lo que habrı́a un punto en el que ⊥
serı́a verdadera y esto no es posible. Por el lema de Lindenbaum el conjunto
{α : 2α ∈ ∆} puede extenderse a un conjunto L-consistente maximal s∆0 .
Entonces, ∆RL ∆0 .
QED
Teorema 92. Cualquier lógica axiomatizada con fórmulas pertenecientes al conjunto
{T, 4, B, D}
3. LOS TEOREMAS DE COMPLETUD
61
es canónica y por tanto completa respecto a marcos. En particular lo son las
lógicas KT , S4, S5, B, KD.
Demostración. Por los teoremas de correspondencia y la última proposición.
QED
Hay lógicas que son completas respecto a marcos pero sin embargo no
son canónicas. Ub ejemplo es la lógica de la demostrabilidad GL
Para concluir la sección demostramos los teoremas de completitud para
las relaciones de deducibilidad global.
Corolario 93. Para toda lógica L, todo conjunto de fórmulas Σ y toda
fórmula α,
Σ `gL α iff Σ |=gL α.
Demostración. Utilizamos los teoremas anteriores y los resultados que
relacionan ña deducibilidad logcal con la global asi como los que relacionan
la consecuencia local y la global.
Σ `gL α iff 2Σ `lL α
iff 2Σ |=lL α
iff Σ |=gL α.
QED
Capı́tulo 10
Lógica modal cuantificacional
1.
Sintaxis
El lenguaje de la lógica modal cuantificacional consta del siguiente vocabulario:
1. Variables: x, y, z, x1 , y1 , z1 , . . .
2. Constantes: c, d, c1 , d1 , . . .
3. Sı́mbolos relacionales: para cada n, sı́mbolos relacionales de ariedad
n,
R1n , R2n , R3n , . . .
4. Conectivas: ∧, ∨, ¬, →
5. Cuantificadores: ∀, ∃
6. Operadortes modales: 2, 3
7. Paréntesis
Denotaremos con V ar el conjunto de variables y con Con el de constantes.
Las constantes y los sı́mbolos relacionales son los sı́mbolos propios
del lenguaje. Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del
vocabulario y los términos son las variables y las constantes.
Las fórmulas atómicas son las expresiones de la forma Rt1 . . . tn , donde
R es un sı́mbolo relacional n-ario y t1 , . . . , tn son términos.
Las fórmulas se definen de acuerdo con las siguientes reglas:
1.
2.
3.
4.
Toda fórmula atómica es una fórmula,
Si α es una fórmula, lo son ¬α, 2α y 3α
Si α y β son fórmulas, también lo son (α ∧ β), (α ∨ β) y (α → β)
Si α es una fórmula y x es una variable, ∀xα y ∃xα son fómulas.
El árbol genealógico de una fórmula se define de modo análogo a como
se hace en lógica de primer orden, ası́ como los conceptos de subfórmula,
aparición libre y aparación ligada de una variable en una fórmula. Una
fórmula se dice que es abierta si contiene alguna aparición libre de alguna
variable. En caso contrario se dice que es cerrada o que es una sentencia. La
operación de sustitución de variables por términos en una fórmula se define
análogamente a como se hace en lógica de primer orden.
63
64
10. LóGICA MODAL CUANTIFICACIONAL
2.
Las interpretaciones del lenguaje
Contextos opacos o intensionales. Los contextos opacos son aquellos
en que algún principio de sustitución falla. Al estudiar la lógica proposicional
modal vimos algunos de los contextos opacos proposicionales, aquellos para
los que falla el principio de sustitución de los equivalentes materiales:
si α(p) es un enunciado y β y γ son enunciados,
α(p/β), β ↔ γ |= α(p/γ).
Ahora interesa considerar el principio de sustitución
t ≈ t0 , ϕ |= ϕ(t/t0 )
que podemos llamar de sutitución de términos equireferenciales, principio
de sustitución de los idénticos, o, en terminologı́a de Leibniz, principio de la
indiscernibilidad de los idénticos.
Vamos a dar algunos tipos de contexto en los que este principio falla. De
momento no analizamos las razones por las que el principio no vale.
Citas.
La oración (3) no se sigue de las oraciones (1) y (2):
(1) 3 ≈ 2 + 1
(2) La expresión ‘3’ tiene un único sı́mbolo
(3) La expresión ‘2 + 1’ tiene un único sı́mbolo.
La oración (6) no se sigue de (4) y (5):
(4) El autor del Quijote es Cervantes
(5) Él pronunció las palabras ‘El autor del Quijote’
(6) Él pronunció las palabras ‘Cervantes’
Lenguaje indirecto.
La oración (9) no se sigue de (7) y (8)
(7) El autor del Quijote es Cervantes
(8) Juan dijo que el autor del Quijote es Cervantes
(9) Juan dijo que el autor del Quijote es el autor del Quijote
Actitudes proposicionales.
La oración (12) no se sigue de (10) y (11)
(10) El ladrón es Juan
(11) Pedro cree que el ladrón entró por la ventana
(12) Pedro cree que Juan entró por la ventana
De igual modo, la oración (15) no se sigue de (13) y (14)
(13) El autor del Quijote es Cervantes
(14) Pedro sabe que el autor del Quijote es el autor del Quijote
(15) Pedro sabe que el autor del Quijote es Cervantes
Intenciones.
2. LAS INTERPRETACIONES DEL LENGUAJE
65
La oración (18) no se sigue de (16) y (17)
(16) El profesor es Alegre
(17) Pedro espera que llegue el profesor
(18) Pedro espera que llegue Alegre.
Expresiones temporales.
La oración (21) no se sigue de (19) y (20)
(19) George Bush jr. es el presidente de Estados Unidos
(20) En 1992 el presidente de Estados Unidos inició la
Guerra del Golfo
(21) En 1992 George Bush jr. inició la Guerra del Golfo.
Modalidades aléticas.
La oración (24) no se sigue de (22) y (23)
(22) El número de planetas es 9
(23) 9 es necesariamente igual a 9
(24) El número de planetas es necesariamente igual a 9.
Modalidades de dicto y modalidades de re. Consideremos la oración última anterior
(24) El número de planetas es necesariamente igual a 9.
Esta oración puede entenderse de dos maneras diferentes que se expresan de
modo preciso en las siguientes (pseudo) formalizaciones
(34) ∃x(x es el número de planetas ∧ 2x ≈ 9)
(35) 2∃x(x es el número de planetas ∧ x ≈ 9)
La segunda formalización expresa la lectura de dicto de la modalidad que
aparece en (24) y la primera, la lectura de re. (34) es verdadera pues 9 es
el número de planetas y 9 es necesariamente igual a 9. Sin embargo (35) es
falsa pues el número de planetas podrı́a muy bien ser 8 en lugar de 9. (35)
puede reformularse como
(35’) Es una verdad necesaria que el número de planetas es igual a 9.
Sin embargo (34) no admite una lectura utilizando ‘es una verdad necesaria
que’. Afirma que existe un objeto con dos propiedades, la de ser el número
de planetas y la de ser necesariamente igual a 9. En la fórmula 2x ≈ 9
se dice que una cosa (res) x tiene una propiedad (ser igual a 9) de modo
necesario.
Una modalidad es de dicto cuando se aplica a una proposición (dictum),
y es de re cuando se aplica a un objeto para decir que tiene cierta propiedad
en el modo expresado por la modalidad. Consideremos la siguiente oración:
(36) Algo es bello necesariamente.
La lectura de dicto se expresa por
66
10. LóGICA MODAL CUANTIFICACIONAL
(36’) 2∃xBx
que afirma que la proposición existe algo bello es necesaria. La lectura de re
se expresa por
(36”) ∃x2Bx,
que afirma que hay al menos una cosa que posee, ella, la propiedad de la
belleza de modo necesario.
Veamos un ejemplo más. Consideremos el enunciado
(37) Cada uno de los presentes pudo cometer el asesinato.
En este enunciado no hay ambigüedad. La modalidad se aplica de re y la
formalización serı́a ∀x3Ax. La formalización 3∀xAx formaliza el enunciado
(38) Es posible que todos los presentes cometieran el asesinato
en el que la modalidad se aplica de dicto.
En el lenguaje formal la distinción de dicto/de re se traduce en una
distinción en el alcance de los operadores modales. Si 2 o 3 van seguidos
de una sentencia, expresan una modalidad de dicto, pero si van seguidos de
una fórmula abierta expresan una modalidad de re.
Semánticamente la distinción tiene que ver con la permutación de dos
tipos de cuantificadores: la cuantificación sobre contextos o mundos posibles
implı́cita en los operadores modales y la cuantificación sobre individuos.
(36’) es vedadera si en todo mundo posible hay al menos un objeto bello.
(36”) es verdadera si en nuestro mundo actual hay un objeto que en todo
mundo posible tiene la propiedad de la belleza. Evidentemente, entendidas
ası́ las cosas, (36”) implica (36) pero no a la inversa.
La lógica modal cuantificacional hace inteligible la idea de que los objetos mismos poseen propiedades necesaria o contingentemente, independientemente de cómo hablamos de ellos. Volviendo al ejemplo anterior, puede
ser necesario que exista un objeto bello, pero ello no implica que cada objeto que posee la propiedad de la belleza la posee de modo necesario. Es
perfectamente coherente aceptar que es necesario que exista un objeto bello y aceptar también que cada objeto bello posee esta cualidad de modo
contingente.
Veamos un ejemplo de lógica temporal para inistir en la distinción.
(39) El presidente del gobierno español siempre medirá mas de 10 75 m.
(40) José Luis Rodriguez Zapatero siempre medirá mas de 10 75 m.
Si entendemos (37) de dicto es (seguramente) falsa, pero si la entendemos
de re dice lo mismo que (38) que es verdadera.
Cuantificación sobre actuales o sobre posibles. En lógica modal
cuantificacional se presenta el problema siguiente. Los individuos que existen
en un mundo posbile puede que no sean los mismos que existen en otro
mundo posible. Cervantes prodrı́a no haber existido nunca, por tanto en
2. LAS INTERPRETACIONES DEL LENGUAJE
67
algún mundo posible Cervantes no es uno de sus individuos. A la hora de
evaluar por ejemplo los enunciados universales en un mundo, ¿se deben
considerar sólo los individuos de este mundo o todos los individuos posibles,
es decir de todos los mundos? Si se opta por la segunda alternativa tenemos la
cuantificación sobre posibles: se cuantifica sobre los individuos actuales, los
del mundo en que se evalua, más todos los individuos de los demás mundos
posibles. Si se opta por la primera alternativa tenemos la cuantificación sobre
actuales: se cuantifica sobre los individuos del mundo en que se evalua la
fórmula, el mundo actual.
La interpretación sobre posibles de la cuantificación nos da la semántica
de modelos con dominio constante y la cuantificación sobre actuales la de
modelos con dominio variable.
Nombres propios y descripciones definidas. Designadores rigidos. Hay varias teorı́as sobre la semántica de los nombres propios, pero
básicamente son dos. La teorı́a que asimila la semántica de los nombres propios a la de las descripciones definidas y la que considera a los nombres
propios como designadores rigidos.
Descripciones definidas. Algunos ejemplos de descripciones definidas son:
(41) el número de planetas del sistema solar
(42) el actual jefe del gobierno francés
(43) el padre del actual presidente de los Estados Unidos.
Las descripciones definidas cambian de referencia al cambiar de mundo
posible. El número de planetas del sistema solar es 9 pero podrı́a haber sido
otro, por ejemplo 8. En una situación del último tipo la descripción ‘el número de planetas del sistema solar’ refiere a 8 en lugar de a 9. Igualmente,‘el
padre del actual presidente de los Estados Unidos’ en la época de Clinton
no referia a George Bush (padre), ni en la época de Miterrand ‘el actual
jefe del gobierno francés’ referı́a a Lionel Jospin. Se puede decir que las descripciones definidas refieren a un concepto individual. La interpretación de
una descripción definida puede considerarse como una función que a cada
mundo posible le asigna la referencia en él, si existe, de la descripción.
Para ver de modo preciso lo que hemos dicho de las descripciones consideremos la oración
(44) es necesario que el número de planetas del sistema solar sea 9,
y tratemos la descripción de acuerdo con la teorı́a de Russell. Ası́ podemos
formalizar (44) como
(44’) 2∃x(N x ∧ ∀y(N y → x = y) ∧ x = 9)
o como
(44’) ∃x(N x ∧ ∀y(N y → x = y) ∧ 2x = 9).
68
10. LóGICA MODAL CUANTIFICACIONAL
La primera formalización refleja la lectura de re y la segunda la lectura de
dicto. La primera lectura es falsa, puesto que en otras situaciones alternativas distintas a la actual el número de planetas no es 9. Lo que importa
es la referencia de las descripción en estas situaciones alternativas. La segunda lectura es verdadera si suponemos que nueve es necesariamente igual
a nueve. La referencia de la descripción que importa es la referencia en la
situación actual, que es el número nueve. El hecho de que la referencia de
una descripción varie de un mundo posible a otro es crucial para explicar la
diferencia entre la lectura de re y la lectura de dicto de oraciones como (44).
Otro ejemplo es el siguiente:
(45) El ganador del juego lo ganó necesariamente
que se puede formalizar de dos modos
(45’) 2∃x(Gx ∧ ∀y(N y → x = y))
y
(45”) ∃x(Gx ∧ ∀y(N y → x = y) ∧ 2Gx).
Si el juego se jugo, (45) es verdadera, pero aún ası́ (45”) es falsa: en otra
situación el ganador podrı́a haber sido otro.
Nombres propios. La distinción Fregeana entre sentido y referencia también se ha aplicado a los nombres propios y se ha debatido mucho sobre si,
además de referencia, tienen o no significado. Frege creı́a que cada nombre
tiene un significado (Sinn) además de referencia, y que el significado puede
expresarse como una descripción definida, pero que sin embargo no todos
los hablantes asocian el mismo significado al mismo nombre. El significado
es el modo que tienen (cada uno) de acceder a (fijar) la referencia.
Si se opta por considerar el significado de un nombre propio como una
descripción entonces los nombres funcionan como las descripciones, en cada
mundo posible tienen o no una referencia que puede variar de un mundo a
otro. Los nombres propios se tratan como refiriendo a un concepto individual.
Kripke introdujo una concepción distinta de la semántica de los nombres
propios. Aunque la referencia de un nombre propio se fije mediante una
descripción (Hesperus = la estrella matutina), una vez fijada la referencia,
no varı́a. En todos los mundos en los que refiere, refiere al mismo objeto. Se
dice que los nombres propios son designadores rigidos.
3.
Semántica de modelos con dominio constante: cuantificación
sobre posibles
Un marco es un triplo F = hW, R, Di donde:
i) W es un conjunto no vacio, el conjunto de los mundo posibles o estados,
ii) R es una relación binaria en W ,
3. SEMáNTICA DE MODELOS CON DOMINIO CONSTANTE: CUANTIFICACIóN SOBRE POSIBLES
69
iii) D es un conjunto no vacio, llamado el dominio del marco; sus elementos son los individuos posibles.
Dado un marco F = hW, R, Di, una interpretación con dominio
constante I en F es una función que asigna a cada constante un elemento
de D y a cada par formado por un sı́mbolo relacional y un elemento de
W una relación n-ádica en D, si n es la ariedad del sı́mbolo relacional.
Formalmente,
una interpretación I en F es una función de Con ∪ (Rel × W )
S
n
en n>0 P(D ) tal que,
i) para cada constante c, I(c) ∈ D,
ii) para cada sı́mbolo relacional n-ario R y cada w ∈ W , I(hR, wi) ⊆ Dn ,
donde Dn es D, si n = 1, y es el producto cartesiano de D por si mismo
n-veces si n < 1.
Un modelo con dominio constante es un par M = hF, Ii donde F
es un marco e I es una interpretación en él. El dominio de M es el dominio
de su marco F y el conjunto de mundos posibles de M es el conjunto de
mundos posibles de F.
Dado un modelo M = hhW, R, Di, Ii, denotaremos con
cM a I(c)
y con
RM,w a I(hR, wi).
El objeto cM se llama la denotación (en el modelo M) de la constante c. La
denotación de cada constante es la misma en todo mundo posible, es decir
no varı́a de un mundo a otro, por ello se dice que las constantes se tratan
como (o son) designadores rı́gidos.
Dado un modelo M, una asignación en M es una función que asigna
a cada variable un elemento del dominio D de M. Dado a ∈ D y una
variable x la variante en x de una asignación s determinada por a es la
asignación sxa definida por: cada variable y diferente de x, sxa (y) = s(y) y
sxa (x) = a. Si x1 , . . . , xn son variables distintas y a1 , . . . , an son elementos
,...,xn
de D (no necesariamente diferentes) con sxa11,...,a
n denotamos la asignación
x
x
n
(. . . (sa11 ) . . .)an que se obtiene a partir de s.
Verdad en un mundo de un modelo con dominio constante.
Sea M = hhW, R, Di, Ii. Dada una asignación s en M, definimos para cada
término t su denotación tM [s] en M bajo s mediante:
1. para cada constante c, cM [s] = cM
2. para cada variable x, xM [s] = s(x)
La relación M, w |= α[s] entre mundos posibles de M, formulas y asignaciones en M se define como sigue:
1. Si R es un sı́mbolo relacional n-ario y t1 , . . . , tn son términos, M, w |=
M
M,w .
Rt1 . . . tn [s] sii htM
1 [s], . . . , tn [s]i ∈ R
2. M, w |= ¬α[s] sii M, w 6|= α[s].
3. M, w |= (α ∧ β)[s] sii M, w |= α[s] y M, w |= β[s].
4. M, w |= (α ∨ β)[s] sii M, w |= α[s] o M, w |= β[s].
5. M, w |= (α → β)[s] sii M, w 6|= α[s] o M, w |= β[s].
70
10. LóGICA MODAL CUANTIFICACIONAL
6. M, w
M, w
7. M, w
M, w
8. M, w
9. M, w
|= 2α[s] sii para todo w0 ∈ W tal que wRw0 , M, w0 |= α[s] y
|= β[s].
|= 3α[s] sii existe w0 ∈ W tal que wRw0 y M, w0 |= α[s] y
|= β[s].
|= ∀xα[s] sii para cada a ∈ D, M, w |= α[sxa ].
|= ∃xα[s] sii existe a ∈ D tal que M, w |= α[sxa ].
Lema 94. Si M es un modelo, α es una fórmula y s y s0 son dos asignaciones que coinciden en lo que asignan a las variavbles libres de α entonces
para cada w ∈ W ,
M, w |= α[s] sii M, w |= α[s0 ].
Corolario 95. Si M es un modelo y α es una sentencia entonces para
cada w ∈ W son equivalentes
1. M, w |= α[s] para alguna asignación s
2. M, w |= α[s] para toda asignación s
Dado un modelo M, uno de sus mundos posibles w y una sentencia α,
se dice que α es verdadera en w de M si hay alguna asignación s en M
tal que M, w |= α[s]. Se dice además que α es válida en M si es verdadera
en todo mundo posible w de M. Finalmente, α es válida si es válida en
todo modelo M.
Lema 96. Si M es un modelo, α es una fórmula, c una constante y s
una asignación, entonces para cada w ∈ W ,
M, w |= α(x/c)[s] sii M, w |= α[sxcM ].
Ejemplos de sentencias válidas.
1. Todas las sentencias de la forma de una sentencia lógicamente válida
de primer orden.
2. 3∀xP x → ∀x3P x
3. ∃x2P x → 2∃xP x
4. 2∀xP x → ∀x2P x
5. ∃x3P x → 3∃xP x
6. ∀x2P x → 2∀xP x
7. 3∃xP x → ∃x3P x
Fórmulas Barcan y Fórmulas Barcan inversas. Las fórmulas de
la forma
∀x2ϕ → 2∀xϕ
o
3∃xϕ → ∃x3ϕ
se llaman Fórmulas Barcan. Las de la forma
2∀xϕ → ∀x2ϕ
o
∃x3ϕ → 3∃xϕ
se llaman Fórmulas Barcan inversas. Tanto las unas como las otras son
válidas con la semántica de dominios constantes.
4. SEMáNTICA DE MODELOS CON DOMINIO VARIABLE: CUANTIFICACIóN SOBRE ACTUALES Y DESIGNACIóN RÍ
4.
Semántica de modelos con dominio variable: cuantificación
sobre actuales y designación rı́gida
Un marco con dominio variable es un triplo F = hW, R, Di donde:
i) W es un conjunto no vacio, el conjunto de los mundo posibles o estados,
ii) R es una relación binaria en W ,
iii) D es una función que asigna a cada w ∈ W un conjunto no vacio.
Dado un marco F = hW, R, Di, para cada S
w ∈ w, denotaremos D(w)
con Dw , y denotartemos con D(F) el conjunto w∈W Dw . El conjunto Dw
es el conjunto de individuos que existen en el mundo w, se llama dominio
de w. El conjunto D(F) es el dominio del marco.
Dado un marco F = hW, R, Di, una interpretación con dominio
variable I en F es una función que asigna a cada constante un elemento de
D(F) y a cada par fomado por un sı́mbolo relacional y un elemento de W
una relación n-ádica en D(F), donde n es la ariedad del sı́mbolo relacional.
Formalmente,
una interpretación I en F es una función de Cont ∪(Rel ×W )
S
en n>0 P(D(F)n ) tal que,
i) para cada constante c, I(c) ∈ D(F),
ii) para cada sı́mbolo relacional n-ario R y cada w ∈ W , I(hR, wi) ⊆
D(F)n ,
donde D(F)n es D, si n = 1, y es el producto cartesiano de D(F) por si
mismo n-veces si n < 1.
Un modelo con dominio variable es un par M = hF, Ii donde F es
un marco e I es una interpretación en él. El dominio de M es el dominio
de su marco F y el conjunto de mundos posibles de M es el conjunto de
mundos posibles de F. Se dice que M = hF, Ii es un modelo sobre el marco
F.
Dado un modelo M = hhW, R, Di, Ii, denotaremos con
cM a I(c)
y con
RM,w a I(hR, wi).
El objeto cM se llama la denotación (en el modelo M) de la constante
c. La denotación de cada constante es la misma en todo mundo posible
w, independientemente se si pertenece o no al dominio de w, es decir las
constantes se tratan también en esta semática como designadores rı́gidos.
Dado un modelo M, una asignación en M es una función que asigna
a cada variable un elemento del dominio D de M. Dado a ∈ D y una
variable x la variante en x de una asignación s determinada por a es la
asignación sxa definida por: cada variable y diferente de x, sxa (y) = s(y) y
sxa (x) = a. Si x1 , . . . , xn son variables distintas y a1 , . . . , an son elementos de
,...,xn
D(F) (no necesariamente diferentes) con sxa11,...,a
n denotamos la asignación
x
x
n
(. . . (sa11 ) . . .)an que se obtiene a partir de s.
Verdad en un mundo de un modelo con dominio variable. Sea
M = hhW, R, Di, Ii. Dada una asignación s en M, definimos para cada
término t su denotación tM [s] en M bajo s mediante:
72
10. LóGICA MODAL CUANTIFICACIONAL
1. para cada constante c, cM [s] = cM
2. para cada variable x, xM [s] = s(x)
La relación M, w |= α[s] entre mundos posibles de M, formulas y asignaciones en M se define como sigue:
1. Si R es un sı́mbolo relacional n-ario y t1 , . . . , tn son términos, M, w |=
M
M,w .
Rt1 . . . tn [s] sii htM
1 [s], . . . , tn [s]i ∈ R
2. M, w |= ¬α[s] sii M, w 6|= α[s].
3. M, w |= (α ∧ β)[s] sii M, w |= α[s] y M, w |= β[s].
4. M, w |= (α ∨ β)[s] sii M, w |= α[s] o M, w |= β[s].
5. M, w |= (α → β)[s] sii M, w 6|= α[s] o M, w |= β[s].
6. M, w |= 2α[s] sii para todo w0 ∈ W tal que wRw0 , M, w0 |= α[s] y
M, w |= β[s].
7. M, w |= 3α[s] sii existe w0 ∈ W tal que wRw0 y M, w0 |= α[s] y
M, w |= β[s].
8. M, w |= ∀xα[s] sii para cada a ∈ Dw , M, w |= α[sxa ].
9. M, w |= ∃xα[s] sii existe a ∈ Dw tal que M, w |= α[sxa ].
La diferencia con el caso de la semántica de modelos con dominio constante
está en las condiciones para los cuantificadores. Ahora la cuantificación se
realiza sobre los individuos que existen en el mundo en que se evalua la
fórmula, antes se realizaba sobre el dominio del marco.
Lema 97. Si M es un modelo, α es una fórmula y s y s0 son dos asignaciones que coinciden en lo que asignan a las variavbles libres de α entonces
para cada w ∈ W ,
M, w |= α[s] sii M, w |= α[s0 ].
Corolario 98. Si M es un modelo y α es una sentencia entonces para
cada w ∈ W son equivalentes
1. M, w |= α[s] para alguna asignación s
2. M, w |= α[s] para toda asignación s
Dado un modelo M, uno de sus mundos posibles w y una sentencia α,
se dice que α es verdadera en w de M si hay alguna asignación s en M
tal que M, w |= α[s]. Se dice además que α es válida en M si es verdadera
en todo mundo posible w de M.
Lema 99. Si M es un modelo, α es una fórmula, c una constante y s
una asignación, entonces para cada w ∈ W ,
M, w |= α(x/c)[s] sii M, w |= α[sxcM ].
Observación 100. Las fórmulas siguientes, que son válidas en lógica
de primer orden, no son válidas con semántica de dominios variables.
1. ∀xP x → P c
2. P c → ∃xP x
4. SEMáNTICA DE MODELOS CON DOMINIO VARIABLE: CUANTIFICACIóN SOBRE ACTUALES Y DESIGNACIóN RÍ
Por ello la lógica modal de primer orden con dominios variables no es una
extensión conservadora de la lógica de primer orden. Es una extensión conservadora de la lógica libre.
Observación 101. Las fórmulas siguientes no son válidas con semántica de dominios variables.
1. 3∀xP x → ∀x3P x
2. ∃x2P x → 2∃xP x
3. 2∀xP x → ∀x2P x
4. ∃x3P x → 3∃xP x
5. ∀x2P x → 2∀xP x
6. 3∃xP x → ∃x3P x
Un marco F = hW, R, Di se dice que es monótono si para cada w, w0 ∈
W tal que wRw0 ocurre que Dw ⊆ Dw0 . Se dice que es antimonótono si
para cada w, w0 ∈ W tal que wRw0 ocurre que Dw0 ⊆ Dw . Obsérvese que F
es monótono y antimonótono sii para cada w, w0 ∈ W tal que wRw0 ocurre
que Dw = Dw0 .
Proposición 102. Un marco F es monótono sii las fórmulas Barcan
inversas son válidas en todo modelo M sobre F.
Proposición 103. Un marco F es antimonótono sii las fórmulas Barcan
son válidas en todo modelo M sobre F.
Proposición 104. Un marco F es monótono y antimonótono sii las
fórmulas Barcan y sus inversas son válidas en todo modelo M sobre F.
La demostración de la proposición siguiente utiliza técnicas que no se
han estudiado en el curso.
Proposición 105. Las fórmulas válidas en todo modelo con dominio
constante son exactamente las fórmulas válidas en todo modelo sobre un
marco monótono y antimonótono.
Las fórmulas Barcan y sus inversas no sólo expresan permutaciones del
orden de los operadores modales y los cuantificadores, sino que dicen algo
sobre las suposiciones de existencia que se están haciendo en la semántica. Las fórmulas Barcan dicen que al pasar de un mundo a otro accesible
desde él no aparecen nuevos individuos pero pueden desaparecer algunos.
Las inversas de las fórmulas Barcan expresan que al pasar de un mundo a
otro accessible desde él pueden aparecer nuevos individuos pero que los que
existian en el primer mundo siguen haciendolo en el segundo.