INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ARQUITECTURA INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD MOMENTO DE INERCIA MÓDULO RESISTENTE RADIO DE GIRO ESBELTEZ INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS El estudio de las entidades matemáticas de las formas es IMPORTANTE en el cálculo estructural porque: permitirá determinar la distribución de tensiones en una pieza estructural INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS Una tensión (x) cualquiera de una pieza estructural puede calcularse como: Tensión (x) = Solicitación (x) Propiedad geométrica de la sección INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS Algunas propiedades geométricas y las solicitaciones asociadas a ellas son: Propiedad geométrica de la sección Solicitación asociada Área Esfuerzo normal y esfuerzo de corte Baricentro o centro de gravedad En todas las solicitaciones Momento estático de primer orden Corte y flexión Momento de inercia Corte y flexión Producto de inercia Flexo - tracción Momento de inercia polar Torsión Radio de Giro o Radio de inercia Pandeo y torsión INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD MOMENTOS DE INERCIA MÓDULO RESISTENTE RADIO DE GIRO ESBELTEZ ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA. Definición El área de una sección transversal cualquiera (o de una figura plana) es la superficie limitada por ese contorno. ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA. Determinación El área de una sección transversal puede obtenerse como la suma de formas geométricas de área conocida (triángulos, rectángulos, parte de circunferencias) = A1 A A2 A = A1 + A2 + A3 A3 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA. Determinación Si se divide en “n” formas geométricas a la sección el área total será: A = A1 + A2 + … + An n A A = Ai i1 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD MOMENTOS DE INERCIA MÓDULO RESISTENTE RADIO DE GIRO ESBELTEZ ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN • Dada una sección transversal o figura plana cualquiera y un eje en una posición cualquiera del plano Figura plana Eje x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN Figura plana • La dividimos en secciones rectangulares, Ai Ai • Analizamos en particular a la sección Ai Eje xx ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN • Determinamos la distancia entre su centro y el eje, distancia yi (medida perpendicularmente al eje) Ai Ai yi x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN • El momento estático de primer orden del área Ai con respecto al eje x será: Ai yi Sx = Ai.yi x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN • El momento estático de primer orden de TODA la sección con respecto al eje x será: Ai yi n Sx = Ai.yi i 1 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN • Empleando el cálculo diferencial e integral dA Sx = y.dA y A x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN • Ejemplo: Determinación del momento estático de primer orden con respecto al eje x de la siguiente sección: 4 cm 8 cm 4 cm 4 cm x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 1) Dividimos a la sección en secciones simples y determinamos el área y la distancia de cada sección al eje x. 4 cm A1= 4 cm . 8 cm = 32 cm2 A1 A2= 4 cm . 4 cm = 16 cm2 y1 = 4 cm 8 cm 4 cm 2) Determinamos el momento estático planteando: 4 cm A2. y2 y1 y2 = 2 cm n Sx = Ai.yi x Sx = 32 cm2. 4 cm + 16 cm2. 2 cm i 1 Sx = A1. y1 + A2 . y2 Sx = 160 cm3 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD MOMENTOS DE INERCIA MÓDULO RESISTENTE RADIO DE GIRO ESBELTEZ ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Definición • Se define como centro de gravedad o baricentro de una sección transversal al punto por el cual pasan todos los infinitos ejes respecto de los cuales el momento estático es nulo. 1 2 3 4 G i 5 S1 = 0 S2 = 0 S3 = 0 S4 = 0 S5 = 0 Si = 0 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas DETERMINACIÓN DE LAS COORDENADAS DEL BARICENTRO Habíamos visto que el momento estático de una sección era: Sx = A . yG A G yG x Sx yG= A ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas n n Sx = Ai.yi Como: A = Ai y i 1 reemplazando: i1 n yG= S x = A Ai.yi i 1 n Ai i1 n Ai.yi yG= i 1 n Ai i1 Distancia entre el eje x y el baricentro de la sección ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas • Análogamente, se podría plantear momento estático con respecto al eje “y”, y se obtendría: y n Ai.xi A xG xG= G i 1 n Ai i1 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas RESUMIENDO LAS COORDENADAS DEL BARICENTRO SERÁN: n Ai.xi y xG= A i 1 n Ai i1 xG G n Ai.yi yG yG= x i 1 n Ai i1 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas Conclusión: Dada una figura plana cuyo baricentro se desea determinar, debemos: 1) Subdividir la sección en formas geométricas simples, cuyos baricentros sean conocidos; 2) Ubicar ejes convencionales “x” e “y”, 3) Determinar los momentos estáticos de primer orden con respecto a los ejes “x” e “y”. 4) Determinamos las coordenadas del baricentro xG e yG y y A1 A xG G1 G yG x A2 A3 G2 G3 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO Ejemplo: El valor de la distancia baricéntrica yG para la figura será: n Ai.yi yG = i 1 n Ai = A1.yG1 + A2.yG2 + A3.yG3 A1 + A2 + A3 i1 yG y y A1 A G1 xG G yG xG x yG1 A2 G2 yG2 A3 G3 yG3 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO Análogamente, el valor de la distancia baricéntrica xG será: n Ai.xi xG= i 1 n Ai = A1.xG1 + A2.xG2 + A3.xG3 A1 + A2 + A3 i1 yG y y A A1 xG1 G1 xG G yG xG x xG2 A2 xG3 G2 A3 G3 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO Observación 1: un eje de simetría en una sección transversal es un eje respecto del cual el momento estático es nulo. Por lo tanto el baricentro o centro de gravedad siempre está sobre el eje de simetría de una sección. 1 eje de simetría 2 ejes de simetría 3 ejes de simetría ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO Observación 2: el momento estático de una sección con orificios puede considerarse como la suma del momento estático de la sección sin descontar los orificios menos el momento estático de las formas geométricas que representen a los orificios. yG A xG G A2 A1 G1 = y - yG1 x G2 yG2 x x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 1 BARICENTRO: TRABAJO B AR IC E NT R O S PRÁCTICO Nº 1 T R AB AJ O P R AC T IC O Nº1 E jemplo: D eterminación del baricentro de la s iguiente figura . 20 cm y 20 cm 40 cm 60 cm A1 20 cm A2 20 cm x 40 cm 40 cm 1) S ubdividimos una s ección cualquiera en varias s ecciones de área y centro de gravedad conocidos . 2) S e calculan las áreas y los momentos es táticos de las áreas 2a) C álculo de las áreas A 1 y A2 A1 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 1 2a) C álculo de las áreas A 1 y A2 A1 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2 A2 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2 2b) D eterminación de la dis tancia entre los baricentros de las áreas A 1 y A2 y los ejes arbitrarios D is tancias con res pecto al eje x: y1 = 40 cm y2 = 10 cm D is tancias con res pecto al eje y: x1 = 10 cm x2 = 20 cm 2c) Determinación de los momentos es táticos con res pecto a los ejes arbitrarios y 20 cm Momento es tático con res pecto al eje x S x = A1 . y1 + A2 . y2 Sx = 800 cm2 . 40 cm + 800 cm2 . 10 cm Momento es tático con res pecto al eje y S y = A1 . x1 + A2 . x2 Sy = 800 cm2 . 10 cm + 800 cm2 . 20 cm = 40000 cm3 40 cm A1 = 24000 cm3 A2 20 cm 3) Determinación de las coordenadas del baricentro x 40 cm C oordenada en y C omo: Mx = SAi . yG C oordenada en x C omo: My = SAi . xG yG = Mx SAi yG = 40000 cm3 800 cm2 + 800 cm2 = 25,00 cm xG = My SAi xG = 24000 cm3 800 cm2 + 800 cm2 = 15,00 cm ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 1 E l baricentro s e ubica a una dis tancia con res pecto a los ejes adoptados de: xG = 15 cm ; yG = 25 cm y 60 cm yG 20 cm 15 cm xG G 25 cm 20 cm x 40 cm ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 2 BARICENTRO: B AR IC E NT R O S PRÁCTICO Nº 2 TRABAJO T R AB AJ O P R AC T IC O Nº2 E jemplo: D eterminación del baricentro de la s iguiente figura . 0,44 cm y 0,44 cm A1 8 cm 8 cm 0,44 cm 6 cm A2 0,44 cm 5,56 cm 1) S ubdividimos una s ección cualquiera en varias s ecciones de área y centro de gravedad conocidos . 2) S e calculan las áreas y los momentos es táticos de las áreas 2a) C álculo de las áreas A 1 y A2 A1 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2 A2 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 2 2a) C álculo de las áreas A 1 y A2 A1 = 0,44 cm . 8,00 cm = 3,52 cm2 A2 = 0,44 cm . 5,56 cm = 2,45 cm2 2b) D eterminación de la dis tancia entre los baricentros de las áreas A 1 y A2 y los ejes arbitrarios D is tancias con res pecto al eje x: y1 = 4,00 cm y2 = 0,22 cm D is tancias con res pecto al eje y: x1 = 0,22 cm x2 = 3,22 cm 2c) Determinación de los momentos es táticos con res pecto a los ejes arbitrarios Momento es tático con res pecto al eje x Mx = A1 . y1 + A2 . y2 Mx = 3,52 cm2 . 4,00 cm + 2,45 cm2 . 0,22 cm Momento es tático con res pecto al eje y My = A1 . x1 + A2 . x2 My = 3,52 cm2 . 0,22 cm + 2,45 cm2 . 3,22 cm y 0,44 cm A1 = 14,62 cm3 8 cm = 8,66 cm3 3) Determinación de las coordenadas del baricentro A2 5,56 cm C oordenada en y C omo: Mx = SAi . yG 0,44 cm x yG = Mx SAi yG = 14,62 cm2 3,52 cm2 + 2,45 cm2 = 2,45 cm xG = My SAi xG = 8,66 cm3 3,52 cm3 + 2,45 cm2 = 1,45 cm C oordenada en x C omo: My = SAi . xG ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 2 E l baricentro s e ubica a una dis tancia con res pecto a los ejes adoptados de: xG = 1,45 cm ; yG = 2,45 cm y 0,44 cm yG 1,45 cm 8 cm xG G 2,45 cm 0,44 cm 5,56 cm x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 3 BARICENTRO: TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 E jemplo: D eterminación del baricentro de la s iguiente figura. y 8 cm 8 cm A1 3 cm 5 cm 5 cm 3 cm y1 A2 y2 4 cm 4,00 cm x IMPORTANTE: Como la sección tiene un eje de simetría solo se determinará yG. C omo la s ección tiene un eje de s imetría s olo s e determinará yG 1) S ubdividimos una s ección cualquiera en varias s ecciones de área y centro de gravedad conocidos . 2) S e calculan las áreas y los momentos es táticos de las áreas 2) S e calculan las áreas y los momentos es táticos de las áreas 2a) C álculo de las áreas A1 y A2 A1 = 8,00 cm . 3,00 cm = 24,00 cm2 A2 = 5,00 cm . 4,00 cm = 2b) Determinación de la dis tancia entre los baricentros de las áreas A1 y A2 y el eje x arbitrario. Dis tancias con res pecto al eje x: y1 = 6,50 cm y2 = 2,50 cm 20,00 cm2 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 3 2c) Determinación del momento es tático con res pecto al eje x arbitrario Mx = A1 . y1 + A2 . y2 Mx = 24,00 cm2 . 6,50 cm + 20,00 cm2 . 2,50 cm = 206,00 cm3 3) Determinación de las coordenadas del baricentro C omo: Mx = SAi . yG yG = Mx/SAi yG = 206,00 cm2 24,00 cm2 + 20,00 cm2 El baricentro se ubica a una distancia con respecto a los ejes adoptados de: xG = 0,00 cm ; yG = 4,68 cm la s iguiente figura. y yG 8 cm A1 y 3 cm xG G 5 cm A2 y1 yG = 4,68 cm y2 4,00 cm x x = 4,68 cm INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD MOMENTO DE INERCIA MÓDULO RESISTENTE RADIO DE GIRO ESBELTEZ ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Definición El momento de inercia de una figura plana cualquiera con respecto a un eje se define como el producto del área de la figura por el cuadrado de la distancia entre el centro de gravedad y el eje. Ixx = A. yG2 Figura plana G yG Eje x Ixx: momento de inercia con respecto al eje x A : área de la figura plana yG: distancia desde el baricentro al eje arbitrario ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Definición Si imaginamos a la figura dividida en rectángulos el momento de inercia con respecto a un eje arbitrario x se podrá calcular como: Ai yi n Ixx = Ai.yi 2 i 1 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Definición • Empleando el cálculo diferencial e integral dA 2 y Ixx = .dA y A x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación Determinación de los momentos de inercia del rectángulo de la figura con respecto a los ejes baricéntricos x e y, empleando el cálculo integral. Consideramos un elemento de área diferencial en forma de un franja delgada de ancho b y altura dy. El área del elemento será: dA = b. dy h/2 El momento de inercia con respecto al eje x será: Ixx y .dA -h/2 2 h/2 2 y .b.dy -h/2 y h/2 dA dy h/2 b -h/2 y b. 3 -h/2 b h h . 3 2 2 3 3 y G h/2 b/2 Ixx b. y .dy 2 3 h/2 b/2 x b h3 h3 Ixx . 3 8 8 b h3 h3 . 38 8 b.h3 Ixx 12 b h3 . 3 4 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación Si se hiciera un planteo similar, pero analizando una franja delgada vertical, el momento de inercia con respecto al eje y resultaría: h.b 3 Iyy 12 Resumiendo: los momentos de inercia con respecto a los ejes baricéntricos “x” e “y” resultan: y G x h b.h3 Ixx 12 h.b 3 Iyy 12 b ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación De la misma manera se podría plantear para otras formas, y para otras posición de los ejes. Los resultados obtenidos efectuando el mismo planteo se detallan, a continuación: h/2 G G x h x r h/2 r x x b b Ixx= b.h3/12 2.h/3 G Ixx= p.r4/4 Ixx= b.h3/3 h x G h r Ixx= 5. p.r4/4 x r x x h/3 b b Ixx= b.h3/36 Ixx= b.h3/12 Ixx= p.r4/8 Ixx= 5.p.r4/8 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación Observaciones 1) En general, el momento de inercia se incrementa según el eje se aleja del baricentro. Por ejemplo: h/2 G x h h/2 x b b Ixx= b.h3/12 2) Sin importar cuales sean los ejes seleccionados, los momentos de inercia son cantidades positivas, ya que las distancias están elevadas al cuadrado. n Ixx = Ai.yi2 i1 n 2 Iyy = Ai.xi i1 < Ixx= b.h3/3 Ixx = y 2 .dA A 2 Iyy = x .dA A ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación Observaciones 3) El momento de inercia sección con orificios puede considerarse como la suma del momento de inercia de la sección sin descontar los orificios menos el momento de inercia de las formas geométricas que representen a los orificios. Por ejemplo: y G h1 h b1 b b.h3 b1.h13 Ixx 12 12 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación El momento de inercia de una sección con respecto a un eje cualquiera es igual a la suma del momento de inercia propio (respecto a un eje baricéntrico paralelo al primero) más el producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes. Figura plana G x’ d Eje x Ixx = Ix’x’ + A.d2 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación Ejemplo: Determinar el momento de inercia del rectángulo con respecto al eje x. Consideramos un elemento de área diferencial en forma de un franja delgada de ancho b y altura dy. y = yG + d La distancia entre el baricentro del área diferencial y el eje x resulta: y y` El momento de inercia con respecto al eje x será: dA h/2 dy h/2 b x’ Ixx y .dA 2 -h/2 yG h/2 2 ( y G d) .dA -h/2 Operando: G h/2 d h/2 Ixx (y G2 2.yG.d d2 ).dA -h/2 b/2 b/2 x h/2 2 h/2 h/2 -h/2 -h/2 Ixx y G .dA 2.yG.d.dA d2.dA -h/2 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación Analizamos cada uno de los términos de la integral: h/2 2 h/2 h/2 -h/2 -h/2 Ixx y G .dA 2.yG.d.dA d2.dA -h/2 h/2 d .dA d 2 -h/2 2 h/2 2 dA d . A -h/2 h/2 h/2 -h/2 -h/2 2.yG.d. dA 2d. y G.dA 2d. Mestático baricéntrico 2d.0 0 h/2 2 y G .dA Ixx' Momento de inercia con respecto al eje x’x’ baricéntrico. -h/2 y y` dA Reemplazando: Ixx Ixx' 0 A.d 2 dy h/2 b x’ yG G h/2 Finalmente: Ixx Ixx' A.d 2 d b/2 b/2 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación Ejemplo: Determinar el momento de inercia del rectángulo con respecto al eje x. Incógnita: Ixx h/2 G x’ Ix’x’= b.h3/12 Datos: h/2 x b A= b.h d= h/2 Área del rectángulo Distancia entre ambos ejes Ixx = Ix’x’ + A.d2 Aplico el Teorema de Steiner Reemplazo los datos Operando Finalmente Momento de inercia con respecto al eje baricéntrico x Ixx = b.h3/12 + b.h.(h/2)2 Ixx = b.h3/12 + b.h.(h2/4) = b.h3/12 + b.h3/4 Ixx = b.h3/3 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Determinación Ejemplo: Determinar el momento de inercia del rectángulo con respecto al eje y. y’ y Incógnita: Iyy h/2 G Iy’y’= b.h3/12 Datos: h/2 A= b.h d= b/2 Momento de inercia con respecto al eje baricéntrico x Área del rectángulo Distancia entre ambos ejes b Ixx = Ix’x’ + A.d2 Aplico el Teorema de Steiner Reemplazo los datos Operando Finalmente Ixx = h.b3/12 + h.b.(b/2)2 Ixx = h.b3/12 + h.b.(b2/4) = h.b3/12 + h.b3/4 Ixx = h.b3/3 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD MOMENTO DE INERCIA MÓDULO RESISTENTE RADIO DE GIRO ESBELTEZ ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MÓDULO RESISTENTE. Definición y El módulo resistente de una sección cualquiera se define como el cociente entre el momento de inercia baricéntrico de la sección y la distancia entre el baricentro y la fibra más alejada de la misma: G dx x dy Ixx Wx = dy Iyy Wy = dx ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MÓDULO RESISTENTE. Determinación Ejemplo: Determinar el módulo resistente de una sección rectangular Según la definición vista de el Ixx módulo resistente es: Wx = dy El momento de inercia baricéntrico de una sección rectangular con respecto al eje x es: b.h 3 Ixx = 12 La mayor distancia entre el baricentro y la fibra más alejada de la sección es: dy = h/2 h/2 G dy = h/2 b Reemplazando: Ixx Wx= = dy b.h 3 12 h/2 = 2.b.h3 12.h 2 b.h Wx = 6 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MÓDULO RESISTENTE. Determinación Ejemplo: Determinar el módulo resistente de una sección rectangular Procedemos análogamente para determinar Wy: Iyy y Wy = dx El momento de inercia baricéntrico de una sección rectangular con respecto al eje x es: h.b 3 Iyy = 12 La mayor distancia entre el baricentro y la fibra más alejada de la sección es: dx = b/2 G h b/2 b/2 Reemplazando: Iyy Wy= = dx h.b 3 12 b/2 = 2.h.b3 12.b 2 h.b Wx = 6 x ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MÓDULO RESISTENTE. Determinación Ejemplo: Determinar el módulo resistente de una sección circular Según la definición vista de el Ixx módulo resistente es: Wx = d El momento de inercia baricéntrico de una sección circular con respecto al eje x es: Ixx= p.r4/4 y G r x d La mayor distancia entre el baricentro y la fibra más alejada de la sección es: dx = r Reemplazando: Ixx Wx = = dy p.r4/4 r = p.r4 4.r Wx = Wy = p.r3 4 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS AREA MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD MOMENTO DE INERCIA MÓDULO RESISTENTE RADIO DE GIRO ESBELTEZ ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS RADIO DE GIRO. Definición y El radio de giro de una sección cualquiera se define como la raíz cuadrada del cociente entre el momento de inercia de la sección y el área de la misma: ix = G x A Ixx A iy = Iyy A ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6 TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 eldel momento de inercia, eldemódulo resistente giro de la siguiente sección: jemplo: DDeterminar eterminación baricentro de la s iguiente figura. E jemplo: D eterminación del baricentro la s iguiente figura. y el radio de y y 8 cm 3 cm 5 cm 8 cm 8 cm A1 3 cm 5 cm 5 cm 4 cm A1 3 cm y1 y2 4,00 cm 4 cm 3 cm A2 y1 5 cm A2 y2 8 cm 4,00 cm x 1) Subdividimos una sección cualquiera en varias secciones de área, momento de inercia baricéntricos y centro de gravedad conocidos. x 2) Cálculo de las áreas A1 = 8,00 cm . 3,00 cm = 24,00 cm2 A2 = 5,00 cm .4,00 cm = 20,00 cm2 SAi = A1 + A2 = 44,00 cm2 3) Determinación de las coordenadas del baricentro (Como la sección tiene un eje de simetría solo se determinará yG) yG= Mx/SAi Mx = A1 . y1 + A2 . y2 = 24,00 cm2 . 6,50 cm + 20,00 cm2 . 2,50 cm = 206,00 cm3 yG= 206,00 cm3 / 44,00 cm2 yG= 4,68 cm ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6 El baricentro se ubica a una distancia con respecto a los ejes adoptados de: y = y' xG= 0,0 cm, yG= 4,68 cm y 8 cm 3 cm A1 3,32 cm dx1 G x' dx2 A2 5 cm 4,68 cm X’ 4 cm 4) Determinación de los momentos de inercia con respecto al eje x Aplicando el Teorema de Steiner: Ix'x'1 = 8 cm. (3 cm)3 = 18 cm4 12 Ix'x'2 = 4 cm. (5 cm)3 = 41,66 cm4 12 Ixx = Ix'x'1 + A1. dx12 + Ix'x'2 + A2. dx22 A1 = 24,00 cm2 dx1 = 3,32 cm – 1,5 cm = 1,82 cm A2 = 20,00 cm2 dx2 = 4,68 cm – 2,5 cm = 2,18 cm Ixx = 18 cm4 + 24,00 cm2. (1,82 cm)2 + 41,66 cm4 + 20,00 cm2. (2,18 cm)2 Ixx = 234,21 cm4 ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6 5) Determinación de los momentos de inercia con respecto al eje y Aplicando el Teorema de Steiner: y = y' 8 cm Iyy = Iy‘y'1 + A1. dy12 + Iy‘y'2 + A2. dy22 3 cm A1 Iy‘y'1 = 3 cm. (8 cm)3 = 128 cm4 12 A1 = 24,00 cm2 dy1 = 0,00 cm Iy’y'2 = 5 cm. (4 cm)3 = 26,67 cm4 12 dx1 X’ dx2 A2 5 cm 4 cm y = y' A2 = 20,00 cm2 dy2 = 0,00cm Iyy = 128 cm4 + 26,67 cm4 3,32 cm G Iyy = 154,67 cm4 x' 4,68 cm ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6 6) Determinación de los módulos resistentes y = y' Wx = Ixx = 234,21 cm4 = 50,04 cm3 4,68 cm dy Wy= Iyy = 154,67 dx cm4 = 38,67 3,32 cm G cm3 x' 4,00 cm 4,68 cm 7) Determinación de los radios de giro y = y' ix = iy = Ixx A Iyy A 4 = 234,21 cm 44 cm4 8 cm = 2,31 cm 3 cm A1 4 = 1,87 cm = 154,67 cm 4 44 cm dx1 dx2 5 cm A2 4 cm X’ ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 7 TRABAJO PRÁCTICO Nº 7 Calcular los momentos de inercia y módulos resistentes de las secciones de columnas que se indican a continuación, que corresponden a una sección simple y compuesta: y y Sección B Sección A 22 cm G x 16 cm 22 cm G x 8 cm 10 cm 8 cm A) Análisis de la sección A Ixx = 16 cm. (22 cm)3 = 14.197,33 cm4 12 Wx = Ixx = 14.197 cm4 = 1290,64 cm3 dy 11 cm Iyy = 22 cm. (16 cm)3 = 7509,33 cm4 12 Wy = Iyy = 7509,3 cm4 = 938,66 cm3 dx 8 cm Observaciones: Como Ixx > Iyy entonces Wx > Wy, por ende la resistencia a la flexión simple será mayor respecto al eje x. ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 7 B) Análisis de la sección B Se emplea la misma sección que la anterior pero la cortamos longitudinalmente y la separamos com presillas metálicas u outro elemento de unión, teniendo una sección compuesta. Sección B 22 cm Ixx = 26 cm. (22 cm)3 - 10 cm. (22 cm)3 = 14197,33 cm4 12 12 y G x Iyy = 22 cm. (26 cm)3 - 22 cm. (10 cm)3 = 30389,33 cm4 12 12 Wx = Ixx = 14.197,33 cm4 = 1290,67 cm3 11 cm dy 8 cm 10 cm 8 cm Wy = Iyy = 30389,33 cm4 = 2337,64 cm3 13 cm dx ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 7 C) Comparación de Resultados y y Sección B Sección A 22 cm G 16 cm x G 22 cm 8 cm 10 cm 8 cm I xx = 14197,33 cm4 I xx = 14197,33 cm4 I yy = 7509,33 cm4 I yy = 30389,33 cm4 Wx = 1290,67 cm3 Wx = 1290,67 cm3 Wy = 938,66 cm3 Wy = 2337,64 cm3 x