2013/14 - MasMates

Derivadas
Selectividad CCNN 2014
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
cos(3x) - ex + ax
es finito, calcula a y el valor del límte.
xsen(x)
x0
1. [ANDA] [EXT-A] Sabiendo que lim
2. [ANDA] [EXT-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.
3. [ANDA] [JUN-A] Sea f:    definida por f(x) = x3+ax2+bx+c.
a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x =
1
y que la recta tangente en el punto de
2
abscisa x = 0 tenga por ecuación y = 5-6x.
b) Para a = 3, b = -9 y c = 8, calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
4. [ANDA] [JUN-B] Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una
capacidad de 125 m3. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.
x2
2x-6
a) Determine el dominio y las asíntotas, si existen, de esa función.
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de esa función.
5. [ARAG] [EXT-A] Considere la función: f(x) =
6. [ARAG] [EXT-B] a) Considere la función: f(x) =
x2
2x+a
si x < 2
si 2  x  4
-x2+3x+b si x > 4
Determine los valores de a y b para que la función sea continua.
b) Supongamos ahora que a = 0. Usando la definición de derivada, estudie la derivabilidad de f(x) en x = 2.
x2+3
.
x2+2
a) Determine las asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas, que tenga la función f(x).
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) ¿Tiene la función algún máximo o mínimo relativo?
7. [ARAG] [JUN-A] Considere la función: f(x) =
8. [ARAG] [JUN-B] a) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función: g(x) =
b) Determine:
lim
x+
ex
.
x+1
3x2+2x+2- 3x2+x
ex-1
si x  0
9. [ASTU] [EXT-A] Sea la función f(x) =
x
k si x = 0
a) Determine razonadamente el valor del parámetro k para que la función sea continua para todos los números reales.
b) Estudie si esta función es derivable cuando x = 0, y en caso afirmativo halle f'(0).
b
.
x2
a) Determine el valor de los números reales a y b para que en el punto de abscisa x = 1 su gráfica admita como tangente la recta
y = 3x.
b) Halle las asíntotas de la curva cuando a = 1 y b = -1.
10. [ASTU] [EXT-B] Considere la función f(x) = ax + 3 +
2
11. [ASTU] [JUN-A] Dada la función f:    definida por f(x) = x2e-x
a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
17 de julio de 2015
Página 1 de 5
Derivadas
Selectividad CCNN 2014
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
b) Halle, si existen, los máximos y mínimos de la función.
c) Dibuje aproximadamente su gráfica.
12. [ASTU] [JUN-B] Un agricultor hace un estudio para plantar árboles en su finca. Sabe que si planta 24 árboles la producción
media de cada uno de ellos será de 600 frutos. Estima que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol
disminuye en 15 frutos.
a) ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima?
b) ¿Cuál es esa producción?
13. [C-LE] [EXT-A] Sea la función f(x) = x2e-x. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos,
intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
14. [C-LE] [EXT-B] Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una
capacidad de 32.000 litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa
posible en su construcción?
2
15. [C-LE] [JUN-A] Sea la función f(x) = e-x . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de
inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
16. [C-LE] [JUN-B] Sea la función f(x) = +2 x.
a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Calcular el punto de la gráfica de f(x) más cercano al punto (4,0).
17. [C-MA] [EXT-A] a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x) =
x-1
.
2x+2
Estudia si tiene puntos de inflexión.
b) ¿En qué puntos de la gráfica de f(x) la recta tengente es paralela a la recta y = x-2?
18. [C-MA] [EXT-B] Para la función f(x) = x2+x+1
a) Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus extremos relativos.
b) Estudia si tiene asíntota oblicua cuando x  +.
19. [C-MA] [JUN-A] a) Calcula los valores de los parámetros a,b para que la función f(x) =
x2-2x+a si x  0
x2+bex+3 si x > 0
sea continua y
derivable en x = 0.
b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 0.
2
20. [C-MA] [JUN-B] a) Calcula los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 1+x2e-x .
b) Calcula las asíntotas de f(x).
2
21. [CANA] [EXT-A] Sea la función f(x) = ex +ax+b
a) Calcular a y b para que f(x) tenga un extremo en el punto (1,1).
b) Calcular los extremos de la función f(x) cuando a = 0 y b = 0.
17 de julio de 2015
Página 2 de 5
Derivadas
Selectividad CCNN 2014
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
22. [CANA] [EXT-B] En la figura siguiente se muestran la parábola de ecuación f(x) =
4-x2 y la recta r que pasa por los puntos A y B de la parábola de abscisas respectivas
-1 y 2. Hallar la ecuación de una recta s tangente a la parábola f(x) y paralela a r.
23. [CANA] [JUN-A] Se sabe que la gráfica de f(x) =
ax2+b
tiene una recta tangente horizontal en el punto P(2,4). Hallar los
x
valores de a y b.
24. [CANA] [JUN-A] La fabricación de x tabletas gráficas supone un coste total dado por la función C(x) = 1.500x+1.000.000. Cada
tableta se venderá a un precio unitario dado por la función P(x) = 4.000-x. Suponiendo que todas la tabletas fabricadas se
venden, ¿cuál es el número que hay que producir para obtener el beneficio máximo?
25. [CANA] [JUN-B] a) Calcular lim
x0
b) Calcular lim
x0
1-
1 - cos(x)
x2
1-x2
x
c) Calcular el valor de m de tal forma que
lim
x+
(1-mx)(2x+3)
x2+4
= 6.
eax+b
y g(x) = + 3x+4.
4
a) Determine el dominio y el recorrido de la función g.
b) Calcule para qué valores de a y b las gráficas de las dos funciones son tangentes (es decir, tienen la misma recta tangente) en
el punto de abscisa x = 0.
26. [CATA] [EXT] Sean las funciones f(x) =
27. [CATA] [JUN] Un nadador está en el mar en un punto N, situado a 3 km de una playa recta, y justo delante de un punto S, situado
en la misma orilla el mar; y quiere ir a un punto A, situado también en la orilla y a 6 km del punto S, de manera que el triángulo
NSA es rectángulo en el vértice S. El nadador nada a una velocidad constante de 3 km/h y camina a una velocidad constante de 5
km/h.
a) Si P es un punto entre el punto S y el punto A que está a una distancia x de S, demuestre que el tiempo, en horas, que necesita
el nadador para nadar del punto N al punto P y caminar del punto P hasta el punto A viene dado por la expresión
x2+9 6-x
+
.
5
3
b) Calcule el valor de x que determina el mínimo tiempo necesario para ir del punto N al punto A, pasando por P. ¿Cuál es el valor
de ese tiempo mínimo?
t(x) =
28. [EXTR] [EXT-A] a) Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función
(x+1)3
.
x2
b) Represente la función f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado a).
f(x) =
29. [EXTR] [EXT-B] a) Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange.
b) Aplicando el anterior teorema a la función f(x) = senx, pruebe que cualesquiera que sean los números reales a < b se cumple la
desigualdad senb - sena  b-a.
17 de julio de 2015
Página 3 de 5
Derivadas
Selectividad CCNN 2014
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
30. [EXTR] [JUN-A] a) Enuncie la condición que se debe cumplir para que una recta x = a sea asíntota vertical de una función f(x).
b) Calcule las asíntotas verticales y horizontales ( en - y en +) de la función f(x) =
31. [MADR] [JUN-A] Calcular justificadamente: a) lim
1-2x-ex+sen(3x)
x0
32. [MADR] [JUN-B] Dada la función f(x) =
a+ln(1-x) si x < 0
x2e-x
si x  0
x2
; b) lim
x
x2+x-1
x2-x-2
.
5x2+2 (x-6)
x2-1 (2x-1)
(donde ln denota logaritmo neperiano) se pide:
a) Calcular lim f(x) y lim f(x).
x
x-
b) Calcular el valor de a para que f(x) sea continua en todo .
c) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f', donde sea posible.
33. [MURC] [EXT-A] Dada la función f(x) = ax+b x, determine los valores de los parámetros a y b sabiendo que f(x) cumple las
siguientes propiedades:
a) f(x) alcanza su máximo en el punto de abscisa x = 100
b) La gráfica de f(x) pasa por el punto (49,91).
34. [MURC] [EXT-B] Calcule los siguientes límites:
a) lim
x+
b) lim
x1
x2-3 x2
x-5 x-2
xlnx + 1 - x
(x-1)2
ex
, se pide:
x
a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.
35. [MURC] [JUN-A] Dada la función f(x) =
36. [MURC] [JUN-B] Dada la función f(x) = xlnx - x, se pide:
a) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcule la
ecuación de dicha recta.
b) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela al eje OX. Calcule la ecuación de dicha recta.
37. [RIOJ] [EXT-A] Sea f(x) =
(x-2)2
.
x-1
i) Determina el dominio de f.
ii) Halla sus asíntotas.
iii) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de f.
iv) Dibuja la gráfica de f destacando los elementos hallados anteriormente.
38. [RIOJ] [EXT-B] Sean A una constante positiva y p(x) un polinomio de tercer grado tal que su derivada es p'(x) = Ax(x-1),
- < x < .
i) Determina la abscisa de los extremos relativos y estudia la monotonía de p.
ii) Enuncia el teorema de Rolle.
iii) Justifica que existe b > 1 tal que p(b) = p(0).
17 de julio de 2015
Página 4 de 5
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
39. [RIOJ] [JUN-A] Sea g(x) =
Derivadas
Selectividad CCNN 2014
1 - lnx
x
i) Determina el dominio de g.
ii) Halla sus asíntotas.
iii) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de g.
iv) Dibuja la gráfica de g destacando los elementos hallados anteriormente.
40. [RIOJ] [JUN-B] Sea h(x) = x4-2x3-1.
i) Enuncia el teorema de Bolzano.
ii) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de h.
iii) Utiliza el teorema de Bolzano pra probar que la ecución h(x) = 0 tiene exactamente dos soluciones reales.
41. [VALE] [EXT-B] Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para realizar un viaje a la empresa VR. Hay 60 miembros del club
que han reservado su billete. En el contrato de alquiler se indica que el precio de un billete será 800 euros si solo viajan 60
personas, pero que el precio del billete disminuye en 10 euros por cada viajero adicional a partir de esos 60 viajeros que ya han
reservado el billete. Obtener razonadamente:
a) El total que cobra la empresa VR si viajan 61, 70 y 80 pasajeros.
b) El total que cobra la empresa VR si viajan 60+x pasajeros, siendo 0  x  20.
c) El número de pasajeros, entre 60 y 80 que maximiza lo que cobra en total la empresa VR.
42. [VALE] [JUN-B] Se tiene un cuadrado de mármol de lado 80 cm. Se produce la rotura de una esquina y queda un pentágono de
vértices A=(0,20), B=(20,0), C=(80,0), D=(80,80) y E=(0,80). Para obtener una pieza rectangular se elige un punto P=(x,y) del
segmento AB y se hacen dos cortes paralelos a los ejes X e Y. Así se obtiene un rectángulo R cuyos vértices son los puntos
P=(x,y). F=(80,y), D=(80,80) y G=(x,80). Obtener razonadamente:
a) El área del rectángulo R en función de x, cuando 0  x  20.
b) El valor de x para el que el área del rectángulo R es máxima.
c) El valor del área máxima del rectángulo R.
17 de julio de 2015
Página 5 de 5