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GRUPOSINVOLUTIVOS
Antonio G onziúezCarlomán
Oviedo
I
l. Relacionesde equivalencia
a) Una relación,Sc .É'xE es de equivalencia,si y sólo si
lo Es reflexiva
V"(xSx) (,8es el r¡niversodel discurso)
2oEs simétrica
xSy =+y,Sx
3oEs transitiva
xSy AySz+ ,rSe
b) Dado un elementoa de E,llamamosclasede equivalenciadel elementoa mediante
la relación,Sc E x E al conjunto
S(a) : {x I aSx} (i e S(a) <+ aSx)
Propiedades:
Siendo,Sc E x E y T c Ex Erelacionesde equivalencia,
y dadosa.b e E y A c E,
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secumplen:
1.1Cualquierelementode E pertenecea la claseque define
V..(r e S(r))
En efecto:
Sabemosque Vr(xSr), y además,por b)
V,(xSx) <+ V-,(r e S(x))
Luegose cumple1oindicado.
1.2 Cualquierelementode E definela clasea la quepertenece
b e S(a) <+ S(ó) : ,S(a)
En efecto:
a)b e,S(a)=.S(ó) -.S(a)
Ya que, supuestoó e ^Sfa)
y e S(e) e bSy L aSb AbrSy& Wo AaSye aSy<+y e S(a)
(1) Por lo supuesto(ó e ,S(a)e aSb e bSa)
(2) Por serS c E xE simétricay transitiva
b)S(ó):,S(a)+ ó e S(a)
Demostración:
: S(a), comoó e S(ó) (1.1),entoncesá e ,S(a)
Supuesto,S(á)
1,3Dos clasesde equivalenciatienenun elementocomúnsi y sólo si soniguales
S(á) n,S(a) + 0 <+S(ó) : ,S(a)
En efecto:
+ 0 e l*(r e s(ó)A¡ e s(o)) á l.1s1r): s(á)AS(r): s(a)) <+
s(á)n,s(a)
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S(ó) : S(a)
(1) Por 1.2
1.4,S[t Ies relaciónde equivalencia
en E
En efecto:
1oEs reflexiva
V,QrSn fr)
Demostración:
SabemosqueV,(xSx) y V"(rlx),y además:
v"(xSx) Av,(xlr)
e v,(rSx fvTx) <+ v"(x,Sf\ Tx)
Luegosecumple1oindicado.
2oEs simétrica
xSf)Ty+y,SñIx
Demostración:
xS fr Ty + .rSy AxTy á yS:r AyTx e yS f\ Tx
(1) Por sersimétricas,Sy
I
3oEs transitiva
xSñTy Ay,Sñ Tz > xSfiTz
Demostración:
xSf)TyAy,Srl Tz + rSyA xTy AySzAyTz + (rüyAySz) tt(xTy AyTz)j
(xTz) + xS fiTz
(rSd ¡
(1) Por sertransitivas,Sy I
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\a
l. Grupos involutivos
Un grupo es involutivo si y sólo si cadauno de sus elementosson simétricosde sí
mismo
Propiedades:
Siendo G,..rn grupoinvolutivo y e $u elementoneufro
1.1El grupoG,. osconmutativo
Paracualquiera,b e G
a.b-b.a
Demostración:
a . b : ( o . b ) . " ! @ . b ) . ( b . a ) . ( b . o )= ( a . { b . b ) . o . ( b . o ) : ( a . a ) .
(b.o):b.a
(1) Por la involuciónsupuesta,(ó . o) . (b . a) : s
1.2Siendoestableparalaoperación.unsubconjunto
HdeG (*,y e H+ v.y e ÍI),
decimosque ll forma un subgrupode G,., si 5l sólo si la estructuraH,. es un grupo
(en adelantediremosmásbrevementequeH esun subgrupode G) y se cumple:
1.2.1Un subconjunto.EIde G es un subgrupode G, si y sólo si .Í/ + 0 y H es estable
parala operación.
En efecto:
a) Si fles uR subgrupode G, entonces^ÉIesestableparala operación. y H + A
Demostración:
Por definición de subgrupo,fl es establepara la operación., y, al tener un elemento
neutro,es distinto del conjuntovacío.
b) Si Iles estableparala operación. y H + A, entoncesfies un subgrupode G.
*
4
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Demostración:
1oEl elementoneutroe de G,. pertenecea Í{
Ya que :
Sabemosqueff + fr, y además
H + 0 + 3 . - ( re I l ) = + 3 " ( r , x e f i 3
:,6.r
€ I, 3 e e H
(l) Por la supuesta
estabilidad
(2) Por serG,. un grupoinvolutivo,x . x. : e
Luego se cumple1oindicado.
2oEl simétricoen G,. de cualquierelementode,Efpertenece
a fI
xeH+x-reH
Ya que:
Al ser G,. involutivo,r : Jc-l
1.3 Si siendoAwt subconjuntode G y b e G
A. b : {r | 1r(y. A hx : y. b))
se cumplen:
I.3.IA.e:A
En efecto:
xeA.eexeA
Demostración:
x e A . e é 1 n ( y. A A x : y . e ) a 1 r ( y . A A x : ! ) e x e A
1 . 3 . 2S i c , d e G
(A"c),d:1.(c.d)
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En efecto:
xe(A.c).dexeA.(t"d)
Demostración:
x e (A. t) . d e lrQt e A " c A x : y . ct)e 1r(1r(ze A Ay : z. c A r : y . d))
e 1 r r ( ze A A y : z . c A x : y . d ) e 1 r ( z e A A x : z . c . ó < +r e A . ( c . ü
1.3.3SiendoB subconjuntode G
AcB+A.cCB.c
En efecto,supuesto
A c B
xeA.c>xeB.c
Demostración:
x e A . c + 1 r ( y. A A x : y . " ) j
f . , , ( /€ B A x : y . c ) + x e B . c
(1) Por suponerqneA c. 6
1.3.4Es biyectivala aplicaciónfo: A - A. a tal que
xeA=f"(x):x.ct
En efecto:
1oEs inyectiva
f"(x):f"(y) = x: !
Demostración:
f " ( * ) : f " ( y ) = ) i c 'Q : ! ' o I
x:y
( 1 ) P u e s t o q u e. Jac. e - x e y . a . e : y
2oEs suprayectiva
yeA.q+1,(f"(*):y)
6
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Demosffación:
y € A . a + 3 - , ( re A A y : x . a ) + 1 , V , @ ): y )
1.4 Si fI es un subgrupode G, entonceses de equivalenciala relación ,S en G
(S c Gx G) tal quexü1,<+v, y e H
En efecto:
1oLa relaciónesreflexiva
V-,(.rSr)
Demostración:
Sabemosque e e H, y además
eeH eV'(r.r€
17)eV,(xSx)
Luego securnple1oindicado.
2oLarelación es simétrica
x,Sy=+ySr
r S y +x . ! € H I y . n €
H+ySr
(1) Por ser conmutativoel grupo G,.
3oLa relaciónestransitiva
r,SyAySz+xSz
x S yA y S z+ . t r .y e H A l . z e H 3 f t . y ) . ( y . r ) e n 3 x . z € H > x S z
(1) Por la estabilidadde I/
(2)PorqueY.y:e
1.4.1Para cualquiera e G
S(a): H.a
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En efecto:
" r e S ( a ) < + r €H . a
En efecto.
.r e .9(a)<+xSa <+"tr.a e Ho
< ) . r €H . a
lr(.y e .I1Ay : -t.o) ¿ 1r0 . H Ax : y. a)
. a : x. a. e : x
(1) Puesto
que.Y
I . 4 . 2b e H . a a H . b : H . a ( I - 1 . 2 )
1 . 4 . 2b. e1 H e H . b : H
(a:e)
I.4.3bÉH.aeH.blH.a:fr
En efecto:
Su formacontrarrecíproca
b e H. a e H. b fr H. a + A secumplepor I-1.3y I.4.2
I.4.3.1
b É H + H. bf^lf1: fi (a : e)
I.4.4x,yeH.a+x.yeH
En efecto:
x,y e H. a > x,y e ,S(a)+ aSx AaSjt+ "tSaAaSy.+ r.9/ :+ r. y e H
I . 4 . 5x e H A y e H . a + x . y € H . a
En efecto:
x e H A I e H , a + r € H A 1 , ( ze H A y : z . o ) i
x.z.a)+x.yeHra
1 r . ' ( x , ze H A x . y -
(l) Por la estabilidadde 1/
1.4.6SiendaÍ{ un subgrupode G de modo queb e H'
HnH.b:(Ilnm.b
I
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En efecto:
x e H' {)H. b e x e (H' nI{). b
Demostración:
x e H' )H.b e x e H' Ax e H.b e x e fl Alr(ye H Ax : !.ó) ¿
x . b e H ' A 1 r ( y e H A x . b : y ) á J n ( y. H , A y e H A x . b : y ) a
lr(y . H nU l,x : !. á) e x e (H' nÍ{). b
( 1) Por la estabilidadde I! , yu queb e H'
(2)Puestoque.r.b:!
1.5 Si Iles tm subgrupo
de G con ordenm+0y
subgnrpode G con orden2.¡n
a f ^É/,entoncesfll)H. a es un
En efecto:
Io H l) H . a es un subgrupode G
ComoHU H c a * g (H + g), bastaríacon demostrar,por 1.2.1,que
x,yeHUH.a+x.!€HUH.a
Demosffémoslo:
a) Si x,y e ,Il
Por la estabilidaddeH, ¡ . y € H
b)Six,yeH.a
Por1.4.4,x.yeH
c ) S i xe H e y e H . a
Por1.4.5,x.yeH.a
2oEI ordende Hl) H. o es2.m
Demosffación:
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Por I.3.4.,FI tiene el mismo nurnerode elementosque H.a.
Íf.a)H:A
y, por 1.4.3.1.
1.5.b
1 É H . a + H U 1 1 .a * H l ) f { . b
En efecto:
b e H. o \ H. a * H. b + Hl) H. a + HU H. b
(1) Por contrarreciprocidad
de 1.4.2
deHy b e H
1.5.2Si H1y Hz sonsubgrupos
H,, * Hz + Ilt U Ht. a + HzU H7. 61
En efecto:
H t * H z + l - , ( re H t A x É H z )l : . 1 " e H t A x € H z A x É H z . b ) +
3-,(e
. rH t t J H t . a A x É H z U H z . b ) + H t U f l r . Q + H z U H z . b )
(1) Six € Hz 'á, como
: y.ó) 3 1r(y,* e H Ay.x : ü +
x e H2. b + ar(y . Hz A.1c
1r(y. x e H /1y.)c : b) = b e H
( I ) x eH t + x e H , y e H z + y e H
'
(II) Por la estabilidadde f/
Resultaríaque ó e H, en contrade lo supuesto
1.5.3Si,Il' esun subgrupode f/, entoncesH' l) H' r 4 oSun subgrupode .H\J H ' a
En efecto:
H ' l ) H ' o a c H U H . e , y d q u e l l ' e H y , p o r 1 . 3 . 3I l, . a C H . a
1.5.4Sifl' esun subgrupode fll) H . qy b e H' n H . Q,entonces
H' : (H'nIüu (ri'n H). b
En efecto:
H t : I t n @ U f I . 4 ! H ' n ( ¡ 1 1 ) H . b ) : ( H 'n ¡ 4 U ( H ' n H . D Z
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(fI n I{)u (rf'n Ít. b
(1) por 1.4.2,ya queb e H " a
(2) Por 1.4.6,ya queb e H'
1.6 Si el grupo G,. €Sfinito de orden ru, entoncesdadacualquierpotenciade dos con
exponentenat¡ral 2' de naodoque 2" 3 ttr, existe un subgrupode G que tiene a 2u
como orden.
En efecto:
por inducciónsobren en N
Dernostrémoslo
1oSe cumpleporÍIn : 0
Elgrupo unitario {e} tiene a20 : 1 comoorden.
2oSiendon + 0; si secumplela propiedadparacualquiernúmeronaturalmenor qven,
entoncessecumplepann.
Demostración:
Por 1osupuesto,existewr subgrupoll de G que tiene a2"-r como orden, y si a es un
elementoarbitrariode G-II, entonces,por 1.5,Hl) H. a es un subgrupode G con
orden2.2"-r :2o'
1.6.1El grupoG' tienecomoordenunapotenciade dos'
En efecto:
Si 2" esla mayorpotenciade dos tal que2n 1 m,entonces2n : m
Demosffación:
Sabemosque2" 3 *,y además
'I
t
2 " 1 m = O ( t ü = 2 "3 H : G A O ( G ) : 2 " + 2 n : m
(t) Siendo Hwtsubgrupo de G, cuyaexistenciaafirrnamosen 1.6
a e G-H, Hl)H.a
(2)Si H + G, entonces,siendo
deG
seríaunsubgrupo
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con orden2"*1, en contrade 1osupuesto.
Luego2n : m
1.7 Si G es de orden 2 en que /? + 0, entoncesexisten2" - 1 subgruposde G de
orden2"-r y solamente2"-1
Demostrémoslopor inducciónsobren en N - {0}
1oSe cnmpleperffi"n: I
Si G tiene a 2 r como orden,entoncessólo tiene como subgruposde orden 21-r - 20 1 al grupounitario{e}, luegolos subgruposde G con orden21-I son 2t -I:
1y
solamente2r I
2o Siendo n > I, si se cumple la propiedadpara cualqüer número natural menor que
n, entoncesse cumpleparan
En efecto:
'a)
Existenlas potencias2"-r y 2"-2, ya que n > I; luego,por 1.6 y 1.6.1,existeun
subgrupoH de G de orden2o-ty un subgrupofI, de H de orden?"-2
b)Sict¡,clt¡eG-H,ye'¡ÉH¡.oi,entonceslasclasesdeequivalenciaH¡,H¡to¡y
H¡ . cI'¡(1.4.1y 1.a.3)sondisjuntasdosa dos.
H¡U H¡. a¡y H¡U H¿. o'¡(1.5)sondistintos(f/¡ . o¡ * ff¡ . ai) ¡r su
c) Los subgrupos
orden es2"-172"-z+2"-2 - 2n-r)
d)&.o¡l)H¡.e'¡=G-H
dt)H¡.a¡l)H¡.d'¡=G-H
dn)H,.q¡CG-H
Demostración:
x e H¡.a¡! x e H.a¡ 3 x É H=).r € GAx É H + x e G-H
(l) Ht s Hy por1.3.3
(2) Las clasesH . a¡ y fl sondisjuntas
queH¡ . e'¡ c G - H,y porlo tanto
drz) De lamismamanerademostramos
t2
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que f/i . a¡l) H¡. ctt¡-
G- H
dz) O(H¡ . a¡ \) H¡ . a'¡) : )n-1
Ya que:
Q(Ht. e¡l) H¡. a'¡)1O(¿ . a¡)*A(Ht. o',)? 2"a +2n-2- 2n-r
(1) Por serdisjuntaslas clasesH¡ . a¡y H¡ . e'¡
(2) Por 1.3.4
d.) O(G - l{) : 2"-r
Ya que:
o(G- Ir) :o(G) - o(¡¿) : 2n-2n-t - 2n-1
Luegopor d1,dzy d: se cumple1oindicadoen d).
por f/i y sólo dos, pues
e) Por d), sólo existendos subgruposde orden2"-t generados
otro cualquieraH¡\-) H¡. a'l en que a| e G - ff seríatal que o bien a',1e Hi . e¡ o
bien a'! e H¡ . qt,.
0 Si ff, fuese,por lo supuesto,otro de los 2*1 - 1 subgruposde f{ con orden2"¿,
distinto de Hi, tarrbién generaríaotros dos subgruposde G con orden 2"-r y solamentedos que, por 1.5.2,seríandistintosde los generadospor H¡. Luegolos 2n-1- 1
-2 subgruposde de G y solasubgruposde H generaríanen total (2"-t -l).2:2
tendríamos2" - 2 + I :2" - I
mente2" - 2; pero si contarnosal propio subgrupo^É1,
subgruposde G con orden2"-1.
g) Ningun otro subgrupode G con orden2"-r sertadistinto de los 2" * I anteriormente
indicados,ya que:
gr) Si fI fuese un subgrupo de G con orden 2"-r en que Il + H, como, para
a e G-H, Hl)H.o:
G , e n t o n c eHs' a H o a * 0 , p u e s t oq u e1 1 c - H l ) H . a y
H' +H
: (Il nfilU (¡{'n m. b
ez)Sib e H'f^ll/.a,por1.5.4,H'
2* : /n--2
g¡ ) Si H' n fl es de orden2* , errtonces
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Pues 2t'-l : 2'n *2''
: 2il1+r
y m + | - n - I o sea nt : n -2
gc)H' estágeneradopor el subgrupo Íl n H de l/ que tiene de orden2"-2
Luego secumplelo afirmadoen g).
del grupoG,. de orden2" en quei? + 0
1.8Sucesióngeneradora
Llamamossucesióngeneradora(a1,a2,...,a2,)de G a la sucesiónordenadaformada
por los términosde las aplicaciónesbiyectivassobreG
a : { I , 2 , . . . , 2 " }- - 6
de la siguientem¿ulera:
Cuya definiciónsehacerecursivamente
1oSiendoat el elementoe de G (a,,: e)y az un elementoarbitrariode G- {ot},
del grupo
(at,ar) esla sucesióngeneradora
{ot} u {ot} . az: {atl U {azl : {at,azl (1.5)
es la sucesidnge2oSiendoc: un elementoarbitrariode G - {ar,arl, (at,oz,ct3,aa)
neradoradel grupo
: { Qr ,az,at,aql
{ a t , a r ) l ) { a 1 ,a 2 l t ct3: {o t,o rl l ) { at,az . or )
En que Q4 : a2. 43 os arbitrario
arbitrariode G - {ot,Q2,Q3,a+I,(at,Ct2,Ct3,€t4,as,o6,a7,as)
3' Siendoas rmrelemento
es la sucesióngeneradoradel grupo
:
a +{ }a s , a z ' C l s , o 3 ' a s , o'4 o t l
{ q t , q z , a z , o qU
) { o r ,Q z , o 3 , o o. . a| |s : | a t , 6 1 2 , C t 3 ,U
{ a t , a z , a 3 , ü 4 , Q5 , a 6 , a l , a e )
- A3 ' Q5, A8 - O4 '45 SOflarbitrariOS
En qUe a6 : Q2 . a5. a7
si 2" > 8 (n > 3), se obtiene la sucesióngeneradora
40 Y así sucesivamente,
az">
(or,or, ...,az,)delgrupo{a t,a2,...,
En que o2,a3,...,e2nson arbitrarios,y por lo tanto se puedendefinir distintassucedel grupoG,.
sionesgeneradoras
1.9Dos gruposinvolutivoSG,. y G',.' del mismoordenV" enquen + 0, sonisomor-
T4
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fos
En efecto:
si (ar,o2;...,a2,)y(a\,aL,...,ai) son sucesiones
generadoras
respectivamente
de G y
G'.Iabiyecciónú: G G' talque
a ¡ e { a 1 , c t 2 , . . . , a 2 " 1+ Ó ( a , ) : o ' ,
Defineun isomorfismode G, . enG' ,.'
ai,aj € {ar ,azl + Ó(o,. a¡): 6@).' ú(o¡)
Lo cual es consecuencia
de la eüdente similar marchageneradorarespectivamente
de
(or,or, ...,az")y (a't,a'2,...,a'2,)
ilI
I Grupos involutivos numéricos
La estructura{0,1},+ forma un grupo involutivo de orden 2 con la siguientedefinición:
0+0:0
0 + 1 : 1
1 + 0 : 1
1 + 1 : 0
En efecto:
1oLa operaciónesasociativa
Paracualesquiera
e,b,c e {0, l}
(a+b)rc: a+(b+c)
Demostración:
15
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,
a b c (a+b) ( a + b ) + c (b+c) a + ( b + c )
0 0 0
0
0
0
0
0 0 I
0
1
I
1
0 I 0
I
I
I
I
0 I I
I
0
0
0
I 0 0
1
I
0
I
1 0 I
1
0
I
0
I 0
0
0
1
0
1 1 1
0
I
0
I
I
2oLa operacióntiene al cero como elementoneutro
e {0,1}
Paracualquiera
a+A:0+o:o
Demostración:
a o+0 0+a
0
0
0
t
I
I
3oLa operaciónes simetrizableinvolutivamente
Paracualquierae {0,1}
a*a:0
Demostración:
16
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2. Siendon e N - {0, 1}, forma grupo involutivo de orden2" la esüructura
{0, 1}',+ en que
{ 0 , 1 } " : { ( r r , x 2 , . . . x r|) x r , x z , . . . , xe, { 0 , 1 } }
Y con la siguientedefinición:
(x t, xz,...xn),(y t,y z,...!") e {0, 1}"
Paracualesquiera
( x t , x z , . . . x r ) * ( y t , y 2 , . . . ! r ) : ( x 1 + y r , x 2 * ! 2 , . . . , x n* ! n )
En efecto:
lo La operaciónesasociativa
e {0, 1}t
(at,az,...,en),(b
Pa¡acualesqúiera
r,bz,...,bn),(ct,cz,...,cn)
( ( a t , a z , . . . , a , r+) ( ó r , b 2 , . . . , b " ) )+ ( c t , c z , - . . , c n :) ( a t , Q 2 , . . . , a n+) ( ( b u b r , - . . , b r )*
(ctrcr, '.'rcn))
Demostración:
( ( a t , a 2 , . . . , o+, )( b r , b z , . . . , b "+) )( e t , c r , . , . , c r- )( o t + b t , a z+ b z , . . . , a ¡n b " ) * ( c r ,c 2 , . . . , c n:)
l
( ( a t + ó r ) + c t , ( a z a b z )* c 2 , . . . , ( o +
n b " ) + c n )4
(ot + (ár + ct),oz + (bz * cz),...,on+ (b" + c,)) :
( a t , q z ,. . . , o n +
, c n ):
) ( á l * C 1 , b 2* c 2 , . . . , b +
( a t , a z , . . . , a n+) ( ( á r, b 2 , " . . , b "+) ( c t , c 2 , . . . , c " ) )
(1)Por1-1"
2o La operacióntiene a (0,0, ...,0) como elementoneutro
Paracualquier(a1,ez,...,an)e {0, 1}'
( o r , a z , . . . , a n+) ( 0 , 0 , . . . , 0:) ( 0 , 0 , . . . , 0*) ( a 1 , a 2 , . . . , a o ) (: a r , Q 2 , . . . , Q n )
Demostración:
( a t , q z , . . . , a+
n )( 0 , 0 , . . . , 0: ) ( a , + 0 , a 2+ 0 , . . . , e n +0 ) f ( q t , a z , . . . , o r )
(1) Por l-2'
T7
El Catoblepas, número 85, marzo 2009, página 15, http://www.nodulo.org/ec/2009/n085p15.htm
que
De la mismamanerademostrarí¿rmos
( 0 , 0 ,. . . , 0 )+ ( a t , a z , . . . , d r ): ( a t , a z , . . . , a n )
3oLa operaciónes simetrizableinvolutivamente
(41,ct2,...,an)
e {0, 1}'
Paracualquier
( a t , a z , . . . , o o*) ( a t , € t 2 , . . . , a n: ) ( 0 , 0 , . . . , 0 )
Demostración:
( a t , a z , . . . , a r ) + ( a t , ,a z , . . . , a n ) : ( 4 , + Qr , c t 2* Q z ,. . . ,o , ¡ a n ) f ( 0 , 0 , . . . ,0 )
( 1)Por 1-3"
4o El grupoinvolutivo{0,1}'es de orden2" comoya sabemos(II-1.6.1).Aquí lo
vemos más directamente,pues tal orden coincide con el número de variacionescon
repeticiónde 2 elementostomadosn an, que son:
VR\ = 2"
En adelanteconvenimosen representaral elementa(xr,x2,...,x,) de {0,1}n, más
mediante x62....r,¡que es un número de n cifras en el sistemade
abreviadamente,
mrmeraciónde basediádica.
Y por lo tanto
+ b úz...bn
d16t2...Ctn
:
CIC2...Cn
Si y sólosi
at*bt:
C I ,a z * b z :
C 2 , . . . , 0 n * b n :C n
,
IrJota:En el libro del autor de estetrabajo,publicadopor el Serviciode Publicaciones
"Estructurasinducidasdel grupo de Piaget[NRC", puede la Universidadde Oüedo,
den verseaplicacionesde 1oaquítratadoy tambiénnuevaspropiedades.
18
El Catoblepas, número 85, marzo 2009, página 15, http://www.nodulo.org/ec/2009/n085p15.htm
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