ICAI-ETS DE INGENIEROS INDUSTRIALES RESISTENCIA DE

I.C.A.I.-E.T.S. DE INGENIEROS INDUSTRIALES
RESISTENCIA DE MATERIALES.
Ejercicios propuestos
1.-Una barra de sección circular, de 25 mm de diámetro, está sometida a una fuerza de
tracción de 5000 kg, que se supone distribuida uniformemente en la sección. A partir de la
definición de vector tensión, determinar sus componentes normal y tangencial en el plano
A-A.
A
60º
F
F
A
250
2.-En el estado de tensiones de la figura (en
kg/cm2), hallar:
a) Valores de las tensiones normal y tangencial
en el plano ABC.
b) Valores y direcciones de las tensiones
principales.
c) Valor de la tensión tangencial máxima .
B
OA = 2
OB = 3
OC = 4
o
A
150
200
400
400
600
3.-Dado el estado de tensiones de la figura (en kg/cm2), hallar:
a) Tensiones en ABC.
b) Tensiones y planos principales.
c) Tensiones cortantes máximas, sus planos y las σ-s correspondientes.
200
500
400
A
B
400
35º
500
C
200
500
500
150
C
500
200
4.-Hallar el incremento de longitud y el incremento de volumen que experimenta una barra
suspendida del techo sometida a la acción de su propio peso.
Datos: longitud=L; sección=A (uniforme); módulo de elasticidad=E; coeficiente de
Poisson=µ; densidad = ρ
5.-La figura representa un estado plano de deformaciones; es decir: sólo son posibles las
deformaciones según X e Y, siendo nulas en Z. Son datos: σx, coeficiente de Poisson (µ) ;
σy= 4σx.
a) Hallar la tensión según el eje Z.
b) Determinar para qué intervalo de valores del coeficiente de Poisson del material (µ) la
tensión tangencial máxima tiene lugar en planos paralelos al eje Z. ¿Cuál es la inclinación
de dichos planos?
σy
σx
Z
6.-Una barra homogénea de sección circular tiene un recubrimiento de pequeño espesor
adherido a su superficie. Cuando la barra queda sometida a una tensión uniforme de
tracción de 250 kg./cm2, el recubrimiento sufre unas deformaciones como consecuencia.
Representar el círculo de Mohr correspondiente al estado de las tensiones que se producen
en el recubrimiento en los planos normales a la superficie cilíndrica.
Datos:
Recubrimiento
Barra
5
2
Módulo de elasticidad
0.75x10 kg/cm
1.7x106kg/cm2
Coeficiente de Poisson
0.20
0.35
recubrimiento
σ
σ
7.-En un punto del interior de un sólido las tensiones principales valen: 953, 267 y -370
kg/cm2. Determinar la tensión equivalente según los criterios de: Rankine, Tresca, SaintVenant, Von Mises y Mohr, así como los valores respectivos del coeficiente de seguridad.
La tensión del límite elástico del material es 2400 kg/cm2, (supóngase igual a tracción que
a compresión). Coeficiente de Poisson: µ = 0.30.
8.-Una columna de hormigón armado de 20x20 cm2
con 4∅20 (cuatro redondos de acero de 20 mm de
diámetro), se carga con P = 30.000 kg (centrada).
Hallar la tensión a que queda sometido cada material
(hormigón y acero), y el acortamiento unitario de la
columna.
Datos: módulos de elasticidad:
- acero Ea = 2,1·106 kg/cm2.
- hormigón Eh = 2,1·105 kg/cm2.
P=30000kg
4 ∅20
SECCION
9.-La barra de la figura tiene los extremos fijos. Sabemos que se ha producido un error de
construcción de + 0.2mm., por lo que para su montaje será necesario someterla a una
fuerza de compresión. Son datos:
Dimensiones (mm):
a=200
b=125
c=400
r1=50
r2=65
Sección circular.
Características de los materiales:
Material 1
Material 2
Modulo de elasticidad
Coeficiente de dilatación
2.0x106
1.2x10-5
1.2x106
1.4x10-5
Material 3
0.75x106 kg/cm2
2.4x10-5 0 C -1
a)Definir la ley de variación de las tensiones normales a lo largo de la barra.
b)Hallar la variación de temperatura que debe producirse para que se anulen dichas
tensiones.
r1
1
a
r1
r2
2
b
3
2
b
c
10.- Representar las leyes de variación del momento flector, el esfuerzo cortante y el
esfuerzo normal en la siguiente estructura, acotando los valores más característicos:
2m
30°
1000 kg
4m
2m
2000 kg
3000 kg·m
3m
3
11.- En la siguiente estructura,
representar las leyes de variación del
momento flector, el esfuerzo cortante y
el esfuerzo normal en ABC, acotando
los valores más característicos.
1
Carga q = 3000 kg/m
C
B
A
0.5
D
(Cotas en metros)
0.5
E
1
1
Apoyo
móvil
Articulaciones en A, B, C, D, E
12.- Representar las Leyes de Variación del momento flector, el esfuerzo cortante, el
esfuerzo normal y el momento torsor en la estructura de la figura, acotando los valores
más característicos:
y
abrazadera
1000 N
A
500 N
B
200
200
x
300
Cotas
en mm.
rueda sobre carril
C
z
q uniforme
13.- La viga ABC tiene una longitud total
de 5 m .
Determinar dónde debe colocarse el
apoyo B (hallar a) para que el Mf máximo
sea lo menor posible .
C
B
A
a
5m
14.1.-Representar las leyes de variación del momento flector, el esfuerzo cortante y el
esfuerzo normal en la viga de la figura, acotando los valores más característicos:
5000 kg
q =2000 kg/m
4
1
1
4
(metros)
14.2.a) Dimensionar la sección de la viga sabiendo que está compuesta
por dos tablones dispuestos como se indica en la figura (hallar a
expresado en número entero de centímetros). Tensión admisible
de la madera:
σ tracción = 250 kg/cm2
σ compresión = 400 kg/cm2
b) Razonar si sería o no más conveniente invertir la posición de
los tablones.
3a
a
3a
a
14.3.a) Dimensionar la sección de la viga sabiendo que está
compuesta por un perfil IPN.
Platabandas
b) Una solución alternativa consiste en elegir el segundo perfil
anterior al que resulta en el apartado a) y suplementarlo, donde
sea necesario, con platabandas de 80x10 mm. Comprobar si esta
solución es aceptable y determinar el intervalo teórico de la viga en que habrían de
colocarse las platabandas.
σadm = 1600 kg/cm2
14.4.- En la viga:
a) Para la solución de construirla con tablones, se han elegido éstos finalmente con
dimensiones 27 x 9 cm. Se trata ahora de mantenerlos unidos mediante pernos de ∅12
mm. y τadm = 800 kg/cm2, dispuestos como se indica en la figura.
Determinar el número de pernos necesarios por metro lineal de
viga, en la zona más desfavorable.
b) Para la solución con IPN-200 más dos platabandas, y
suponiendo que cada una de éstas se sujeta al perfil por dos
soldaduras continuas laterales de garganta = 6mm., hallar la
tensión tangencial en el plano de la garganta de las soldaduras,
en la sección más desfavorable.
15.1.- Representar las leyes de variación del momento flector, el esfuerzo cortante y el
esfuerzo normal en la viga de la figura, acotando los valores más característicos. Hallar
además la expresión analítica del momento flector y el esfuerzo cortante en función de x.
El origen está en O.
qo = 6000 kg/m
P = 6000 kg
M = 2000 kg·m
O
1
2
0.5
(Cotas en metros)
15.2a) Calcular los momentos de inercia y el producto de
inercia de la sección de la figura respecto a los ejes Y-Z.
b) Determinar si la sección es válida para la viga .
σadm = 1600 kg/cm2
Z
Y
UPN-200
UPN-200
G
SECCIÓN
16.- Hallar Wz de un cuadrado de 10 cm de lado en cada uno de los casos representados;
en c) se han suprimido las esquinas superior e inferior, d = 0’8 cm.
¿Qué comentarios se te ocurren a la vista de los resultados? Cita otras secciones en las
que pudieran darse circunstancias similares.
d
c)
b)
a)
Z
Z
Z
d
17.- Dimensionar la viga de la figura con perfil HEB.
σadm = 1730 kg/cm2
6000 kg
2500 kg
1m
1m
1m
18.a) En la estructura de la figura, representar las leyes de
variación de la fuerza normal, la fuerza cortante y el
momento flector para q = 100 kg/m (la unidad de longitud
de los kg/m se entiende en proyección horizontal).
b) Hallar el máximo valor posible de q para σadm = 1730
kg/cm2. La sección transversal está constituida por dos IPN
160 colocados como se indica :
q
q
a
q
q
a
Dato: a = 2’00 m.
a
a
19.- En la viga de la figura:
a) Dimensionar la sección en el
empotramiento con b = a, h =2a (dar a en
número entero de mm.)
b) Hallar la ley de variación de ancho b =
b(x) para que la viga sea equirresistente; es
decir, que la tensión normal máxima sea
igual en todas las secciones.
P = 1500 kg
q=2000 kg/m
x
h
2m
b
Dar el resultado de forma que, para x en metros, se obtenga la b en mm.(Tómese el
canto constante, igual al obtenido en a).
c) La solución anterior da b = 0 para el extremo libre, lo que no permite soportar
esfuerzo cortante alguno. Hallar b = b(x) para las proximidades de dicho extremo con la
condición de que τmax sea constante.
τadm = 800 kg/cm2
Datos: σadm = 1600 kg/cm2;
20.- La viga de la figura se ha dimensionado con la sección indicada para t = 8mm.
a) Determinar la tensión principal máxima.
b) ¿Para qué valores de x resulta que la tensión principal en B es mayor que la tensión
principal en A?
P=5000 kg
t
t
20t
x
L=0.50 m
B
A
t
20t
21.1- Para el perfil representado en la figura, dibujar la ley de variación del esfuerzo
cortante, acotando los valores más característicos.
a) Para Ty = 10.000 kg.
100
b) Para Tz = 2.000 kg.
10
21.2.- Situación del centro de esfuerzos cortantes.
10
200
G
10
Cotas en mm
22.- Razonar la posición del centro de esfuerzos cortantes de las secciones representadas en la
figura.
100
100
10
100
10
10
10
100
Cotas en mm
23.- En la barra representada
en la figura, se pide:
a)
Máximo valor de la
tensión normal.
b)
Tensión tangencial en
el plano de la garganta de las
soldaduras.
Dato: Cordones de soldadura
de 5mm de espesor y 50mm,
de longitud eficaz, situados
cada 0’25 m.
5mm L=50 mm
cada 0’25 m
750 kg
2 IPN-200
0.5 m
1.5 m
1800 kg
SECCION
5 mm
Detalle de las soldaduras
24.- Las soldaduras A y B de la viga representada han sido dimensionadas en base a la
fuerza cortante máxima.
a) Obsérvese que las secciones de soldadura son (de forma aproximada) inversamente
proporcionales a sus distancias dA y dB al eje del angular. Se pide: exponer una
justificación de este criterio de proyecto.
b) Hallar la tensión tangencial en cada una de las soldaduras para la fuerza cortante
máxima.
Datos:
L = 4’50 m
q = 1000 kg/m
angulares: 40 x 6
platabanda: 250 x 10 (mm)
soldaduras: sección eficaz
de soldadura por unidad
de longitud de viga
A: 4’80 cm2/m
B: 2’00 cm2/m
A
B
A
dA
q
G
B
A
L
dB
B
25.- Una rueda motriz M dispone de una potencia de 100 kW y gira a 1000 r.p.m. De
esta potencia se transmiten 60 kW a la rueda A y 40 kW a la rueda B. Dimensionar el
eje de transmisión (diámetro) con el criterio: τadm = 800 kg/cm2, en los dos casos a) y b)
representados en la figura.
a)
A
M
B
60kw
100 kw
40kw
b)
A
M
60 kw
100 kw
B
40kw
26.- La barra de la figura está sometida a dos leyes triangulares de carga de valor máximo
qo. Se pide:
a) Expresión analítica y representación gráfica de la ley de momentos torsores.
b) Giro del extremo libre.
Datos: qo, L, G, r (radio de la sección)
qo
qo
l
27.1- La varilla doblada está situada en el plano XZ, soportada por cojinetes en A y B y
por un cable en C. Está sometida a las fuerzas que se indican en la figura.
Y
50
150
100
D
100
100
75
Fy=200N
A
C
Z
B
E
Cable
Fz=300N
Fx=100N
X
Representar las leyes de variación de las acciones internas en el tramo D-A-B-E.
(Signos según el sistema de ejes habitual situado en la cara frontal de la rebanada).
27.2.a) Dimensionar el eje con el criterio de Tresca, τadm = 85 N/mm2.
b) Id. con el criterio de Von Misses, σadm = 170 N/mm2.
(La sección es circular, dar el diámetro en mm. Considerar sólo D-A-B-E.)
M
28.1.- Una barra de sección cuadrada uniforme, empotrada
en su extremo A y libre en el B, está sometida a los dos
momentos M que se indican; uno de ellos está en el plano
XY, y el otro en un plano a 45º que pasa por el eje X.
Hallar la expresión analítica de las leyes de momentos
flectores y de momentos torsores (en función de s) y
dibujarlas acotando los valores más característicos.
28.2.- Dimensionar la barra (dar el lado del cuadrado en
mm)con el criterio: σadm = 1600 kg/cm2.
c) Dimensionar la barra con el criterio: τ adm = 800 kg/cm2.
s
B
Y
M
X
Z
r=250 mm
A
M=5 kg·m
29.- El eje biempotrado de la figura tiene sección uniforme.
Dibujar y acotar la ley de momentos torsores .
2 ton·m
3 ton·m
1
0.5
1
( Cotas en m. )
30.a) Dimensionar la sección de la viga de
la figura con IPN, de forma que la flecha
no exceda de 2’5 mm en ningún punto.
b) Lo mismo, pero suprimiendo la
articulación.
Datos: a = 1’2m
q = 800 kg/m
E = 2,1·106 kg/cm2
c) Para el caso b), calcular la flecha en el
extremo del voladizo utilizando el
formulario de vigas.
q
articulación
a
3a
31.- Aplicando los teoremas de Mohr, hallar el giro y la flecha en el extremo libre.
Datos: qo, L, I 1, E.
qo
I2 =
2
I1
3
I1
L/2
I2
L/2
a
32.- La viga biempotrada de la figura tiene una articulación en su punto medio, sobre la
que actúa una fuerza F horizontal.
Datos:
articulación
q
L = 1’50 m
F
q = 400 kg/m
F = 2000 kg
L
L
E = 2,1·106 kg/cm2
Sección IPE-100
Se pide:
a) Reacciones en los empotramientos y leyes de variación del momento flector, la
fuerza cortante y la fuerza normal, acotando los valores más característicos.
b) En la articulación, la flecha, y el ángulo que forman las dos tangentes.
33.- Datos de la estructura de la figura:
a
a = 3’00 m. b= 2’50 m c= 1’50 m
q
P = 2000 kg q = 800 kg/m
E = 2,1·106 kg/cm2
Iz,pilar = 500 cm4
Iz,dintel = 700 cm4
Se pide:
P
a) Reacciones en el apoyo y en el
b
empotramiento, y leyes de momentos
c
flectores, fuerzas cortantes y fuerzas
normales, acotando los valores más
característicos.
b) Giro del apoyo y de la esquina.
c) Dibujar a estima (pero cuidando detalles: tangencias, inflexiones, etc.) la deformada
de la estructura.
34.- La viga de la figura está soportada por un apoyo y dos tirantes, como se indica en la
figura.
Sección de cada tirante: 1 cm2
45º
45º
Sección de la viga: IPE 120
E = 2,1·106 kg/cm2
Hallar:
a) σ en los tirantes .
q=1000 kg/m
b) σmax en la viga .
c) Flecha en los extremos .
(Cotas en metros)
0’5
2
2
0’5
NOTA.- Este problema es más sencillo de lo que aparenta a primera vista. Obsérvese
que la estructura es simétrica, lo que permite reducir el problema a un caso más simple.
y
35.- Para el eje de la figura:
a) Dimensionar con sección circular, con el
criterio:
σadm = 1600 kg/cm2.
b) Representar el diagrama de giros y acotar los
máximos (en radianes).
Datos: P = 2500 kg E = 2,1·106 kg/cm2 µ = 0’3
a = 500 mm b = 700 mm r = 250 mm
x
z
P
r
P
r
a
a
b
36.- Dimensionar el elemento resistente ABC-BD con sección circular maciza uniforme
(dar el diámetro en nº entero de mm.), con el criterio: Flecha en D≤ 1 mm.
Datos:
y
B 200 C
A 200
P = 1000 kg
6
2
E = 2,1·10 kg/cm
µ = 0’3
x
(Cotas en mm. )
D
P
z
100
Indicación: Considerar las deformaciones por torsión y flexión en ABC y la
deformación por flexión en BD.
37.- Dimensionar la sección de la
viga de la figura con perfil IPN,
con la condición de que la flecha
en el punto de aplicación de la
carga no exceda de 4 mm.
E = 2,1·106 kg/cm2
P=4000 kg
1
38.- La barra ABC de la figura es de cobre con
sección 25x25 mm2 ; los extremos A y C están
unidos por un alambre de acero de 10 mm2 de
sección. Se somete todo ello a un aumento de
temperatura de 100 ºC. Se pide:
a) Tensión a que queda sometido el alambre.
b) Valor de la tensión normal máxima en ABC .
c)Rotación de las secciones en A y C, y
desplazamiento (horizontal y vertical) de B.
Datos:
Módulo de elasticidad
(kg/cm2)
ACERO
2·106
COBRE
106
Cotas en metros
1
2
2
B
200
200
A:25x25
A
45º
45º
2
A = 10mm
Cotas en mm.
Coeficiente de dilatación
lineal (ºC-1 )
10-5
2·10-5
C
39.- Calcular la flecha máxima y la
σx máxima que resultan con el
modelo de soporte esbelto sometido
a carga excéntrica.
E = 2,1 · 106 kg/cm2
P=10000 kg.
M=5000 kg⋅m
Sección 2Ipn 220
soldados a tope en las
alas
4 m.
x
x
y
40.- ¿Cuál es la longitud de pandeo, en el plano de la figura, en los casos siguientes? En
todos los pórticos se supone el dintel infinitamente rígido. Supóngase que solo es
posible el pandeo en el plano de la figura.
a
2a
a
P
41.- Dimensionar la sección del pilar
biempotrado de la figura con el criterio:
N ⋅ω
1730 kg/cm2 ≥
A
Datos: P = 30000 kg
Acero A-42 E = 2,1·106 kg/cm2
Sección 2 Upn
Soldados en
cajón
6m
P