Teoría de Juegos - Aplicaciones al Cálculo de Costos

Pr of. Antonio Badican MAHAVE
PROFESOR EN MATEMÁTICA, FÍSICA Y COSMOGRAFÍA, EGRESADO DE LA
FACULT AD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y AGRIMENSURA DE LA UNIVERSIDAD
NACIONAL DEL NORDEST E. Pr ofesor de la Univer sidad T ecnológica Nacional,
Facultad de Ciencias Económicas (UNNE) y Facultad de Ingenier ía (UNNE)
Pr of. Car men RESCALA
PROFESORA EN MAT EMÁT ICA, FÍSICA Y COSMOGRAFÍA, EGRESADA DE LA
FACULT AD DE CIENCIAS EXACT AS, FÍSICAS, NAT URALES Y AGRIMENSURA DE LA
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E. CONT ADORA PÚBLICA, EGRESADA DE
LA FACULT AD DE CIENCIAS ECONÓMICAS DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
NORDEST E. Docente de la Univer sidad T ecnológica Nacional, Facultad de
Ciencias Económicas (UNNE) y Facultad de Ar quitectur a y Ur banismo (UNNE),
Facultad de Administr ación, Economía y Negocios (UNAF)
Año 2003
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MATEMATICA APLICADA A LA ECONOMIA
TEORIA DE LAS DECISIONES Y TEORIA DE JUEGOS
TEORIA DE LAS DECISIONES
Las organizaciones conforman sistemas cuyas administraciones requieren de
conocimientos que hoy encuentran amplios y profusos campos de información y
colaboración en disciplinas específicas creadas y desarrolladas para ello.
A medida que surgían nuevas formas de administración, nacieron nuevas ramas
de las ciencias aplicadas para proporcionarles servicios. Así, la contribución de la física
y la química a la producción dio origen a la ingeniería mecánica y química, la gran
difusión y avance de teorías de comercialización dan lugar a lo que hoy conocemos
como mercadotecnia y marketing respectivamente; con la estadística y la sicología, se
desarrolló la ingeniería industrial.
Muchas fueron estas especialidades científicas (investigación de mercados,
contabilidad de costos específicos, sicología y sociología industrial, determinación de
modelos económicos, etc.) que con el propósito de colaborar en los problemas de la
administración de organizaciones con o sin fines de lucro dieron nuevas formas a la
misma. Y se produjo la retroalimentación entre formas de administración y disciplinas
científicas.
Mientras más especializadas eran las aplicaciones de la ciencia, (distintas
ingenierías aplicadas al manejo de materiales e insumos, procesos estadísticos para el
control de la calidad, calidad total, técnicas de mercadotecnia, etc.) surge el nuevo
concepto de la función ejecutiva de los administradores. Este concepto nuevo y actual
contempla las distintas subfunciones que encierra el administrar una organización,
funciones que deben estar integradas a través de los procesos de planificación, gestión,
decisión, información, control, etc.
Quien administra está tomando decisiones en forma permanente, y para ello
necesita poseer la información necesaria, la que fluye por los canales de comunicación
que hacen al sistema de información. Un sistema de información posee a veces
información perfecta y consecuentemente quien decide puede actuar con certeza, sin
embargo esto no siempre es posible y en ocasiones la información se conoce con
imperfecciones y en otras se desconoce.
En ayuda de quienes deben decidir, concurre la Investigación de Operaciones, la
que con la aplicación de métodos científicos y un trabajo interdisciplinario se aboca a la
solución de problemas que comprenden el control de sistemas organizados, para que
estas soluciones sirvan mejor a los propósitos de la organización como un todo.
Para llegar a influir en la toma de una decisión, la I.O. plantea etapas, las que se
conocen como: 1) planteamiento del problema, 2) construcción del modelo, 3)deducción
de una solución, 4) prueba del modelo y evaluación de la solución, 5) ejecución y
control de la solución.
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
3
Si bien son muchos los problemas que atiende la investigación de operaciones,
son los de naturaleza táctica los más comunes, lo que no impide que también preste su
colaboración a los problemas de tipo estratégicos. Esto significa que los os problemas
pueden clasificarse en tácticos o estratégicos, pero como su diferenciación es muy
subjetiva, sólo diremos que un problema es más táctico que otro si su solución es de
más corto alcance, cuanto mayor sea la duración del efecto de su solución más
estratégico es el problema, esta característica se denomina rango.
Otra característica de los problemas estratégicos es que su solución afecta a una
mayor parte de la organización, es decir que el alcance de la solución es mayor. La
tercera característica que nos permite reconocer cuándo un problema es estratégico es
que éste implique la determinación de fines, metas u objetivos.
Todos los problemas tienen forma y contenido. La forma es el modo en que se
relacionan las variables y constantes del problema. El contenido se refiere a la
naturaleza de esas variables y constantes. El lenguaje en el que expresamos la forma
desligada del contenido es el lenguaje matemático, y el modelo matemático es la
representación del problema.
La investigación de operaciones ha identificado un grupo determinado de
distintos tipos de problemas y ha elaborado los modelos necesarios para sus soluciones,
por eso podemos decir que existen problemas prototipos y clasificarlos en problemas
de: asignación, inventarios, reemplazos, líneas de espera, secuencia y coordinación,
trayectorias, competencia y búsqueda. Esta clasificación no es exclusiva ni exhaustiva,
y con el tiempo pueden presentarse nuevos tipos de problemas o combinarse los tipos ya
existentes.
Los problemas de una organización no sólo abarcan el comportamiento de los
subsistemas internos del sistema en estudio, sino que también consideran las relaciones
con sectores externos, relaciones que pueden alterar sus fines, metas y objetivos. En una
organización debemos distinguir el ámbito interno, (socios, directorio, administradores,
operarios, asesores, etc.) del contexto en el que aparecen los proveedores, clientes y
competidores.
Toda organización lleva implícito el proceso decisorio, en él la naturaleza de las
decisiones es muy variada, ya que quien administra deberá decidir sobre planificación,
metas, políticas, niveles de producción, relaciones humanas, comercialización, finanzas
y presupuestos, etc.
HOY EL TEMA QUE NOS OCUPA ES LA TOMA DE DECISIONES ANTE
PROBLEMAS DE COMPETENCIA, sean éstos de tipo interno o externos.
La investigación de operaciones, como ciencia aplicada, de carácter
interdisciplinario, provee de técnicas que permiten resolver los variados tipos de
problemas que hacen a la toma de decisiones.
Los tomadores de decisiones, una vez fijados sus objetivos, analizados los cursos
de acción de los que pueden disponer, planteadas las variables controlables y las no
controlables, establecen una medida de la eficiencia que usarán para determinar cuál es
la mejor alternativa, es decir qué función objetivo debe usarse como la mejor solución a
un problema. Para poder fijar la mejor solución es necesario poseer conocimientos de lo
que constituye la TEORIA DE LAS DECISIONES.
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La teoría de las decisiones nos dice que para considerar qué decisión es apta para
la solución de un problema, debemos conocer primero el alcance de los resultados que
suponemos están disponibles. Existen tres tipos de suposiciones, de allí que podamos
dar tres tipos de problemas:
Cuando se plantean problemas en los que la información disponible es perfecta,
las decisiones se toman en condiciones de certeza.
-1- Certidumbre: situación en la que quien decide cree que cada curso de acción
conduce a un solo resultado.
Si en una empresa de producción se quiere determinar qué productos y qué
cantidad de los mismos se debe producir para maximizar el beneficio, y se supone que
el beneficio por unidad del j-ésimo producto es cj, y xj es la variable de decisión que
representa la cantidad de unidades a fabricar del producto j, la contribución al beneficio
total del producto j-ésimo es cjxj.
Cuando la información disponible es imperfecta o parcial, las decisiones se
realizan con riesgo o con incertidumbre.
-2- Riesgo: situación en la que el tomador de decisiones cree que para cada curso
de acción pueden existir resultados alternativos, cuyas probabilidades se conocen o
pueden suponerse.
Para el riesgo, el grado de desconocimiento o ignorancia, se expresa en una
función de densidad de probabilidad, la que establece datos, mientras que en la
incertidumbre no existe esa función densidad de probabilidad.
-3- Incertidumbre: situación en la cual quien toma decisiones no conoce para
cada curso de acción cuáles son los posibles resultados y por lo tanto no puede asignar
probabilidades a los posibles resultados.
Los problemas de certidumbre (conocimiento completo de los resultados) e
incertidumbre (desconocimiento total o ignorancia absoluta de los resultados) se pueden
considerar como casos límite de los problemas de riesgo.
En el ejemplo de la empresa productora de bienes, trabajando bajo condiciones
de riesgo, el beneficio cj, no es un dato fijo, sino una variable aleatoria de la que se
desconoce su valor exacto. El valor de cj se obtiene asociándole algún enunciado de
probabilidad. La contribución del j-ésimo producto al beneficio total cjxj es también
una variable aleatoria cuyo valor exacto se desconoce.
En situación de incertidumbre no se conoce o no puede determinarse la función
densidad de probabilidad. La incertidumbre no es ignorancia completa del problema,
significa que quien investiga para luego aportar a la decisión final, no tiene la
información necesaria para asociar probabilidades y actúa con incertidumbre.
La información completa y perfecta para decidir con certeza nos permite
modelos de decisión aptos para maximizar beneficios o minimizar costos, cuando se
actúa con situaciones de riesgo o incertidumbre, existen varios criterios, entre ellos el de
maximizar la utilidad esperada.
La economía moderna ha comenzado a incorporar la incertidumbre al análisis de
la conducta de las empresas y de las economías domésticas. Un estudio completo y
exhaustivo de la vida económica debe considerar la interrelación que existe entre la
incertidumbre y las estrategias o cursos de acción que pueden ejercer los agentes
económicos.
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La actividad económica, que es compleja, presenta como principal complicación
la incertidumbre de la vida económica, y como segunda complicación la
interdependencia de los agentes económicos.
Si queremos ver el riesgo y la incertidumbre desde el punto de vista de la
economía, debemos entender que existen instituciones que tienen un mercado para
repartir los riesgos, porque cuando se materializa lo que era un riesgo, alguien tiene que
pagar los costos de lo sucedido.
Los mercados hacen frente a los riesgos repartiéndolos, de manera tal que el
riesgo que sería muy grande para una persona, su vuelve pequeño para un gran número
de ellas, a través de los seguros.
Los individuos son renuentes al riesgo, prefieren una cosa segura a un nivel de
consumo incierto, por eso las actividades que reducen el riesgo y la incertidumbre del
consumo de los individuos son las que contribuyen al bienestar económico.
Generalizando podemos afirmar que en los problemas de decisión, la solución se
halla seleccionando el mejor curso de acción de una cantidad (finita o infinita) de
opciones disponibles.
Para realizar la discusión de los problemas sobre los cuales hay que tomar una
decisión, resulta conveniente representar las situaciones a través de matrices; en esas
matrices las filas representan los cursos de acción posibles y las columnas los resultados
obtenidos. Es conveniente también que los conjuntos de resultados y de cursos de
acción sean finitos, siendo exclusivos y exhaustivos, de forma tal que sólo uno pueda
ocurrir o seleccionarse.
Ejemplo:
resultados
r1
r2
…
rj
... rn
c1
c2
.
cursos de
acción
F-1-
.
.
ci
aij
.
.
.
cn
Esta matriz recibe el nombre de MATRIZ DE PAGOS o TABLA DE
GANANCIAS
El pago aij para cada par (ci-,rj), es la utilidad de la diferencia entre la salida rj y
la entrada ci. El pago es lo que recibe ci, por el uso de ese curso de acción, es su
“costo”.
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En el siguiente ejemplo, para una situación de riesgo, la matriz de pagos es:
r1
c1
3
r2
c2
1
2
F-2-
4
Si sabemos o podemos estimar la probabilidad de cada suceso, para cada curso
de acción, P(rj / ci ), entonces podremos calcular la UTILIDAD ESPERADA de cada
curso de acción (UE).
Si hacemos
P(r1 / c1)=0,4
P(r1 / c2)=0,7
P(r2 / c1)=0,6
P(r2 / c2)=0,3
UE(c1)=0,4 (3)+0,6 (1)=1,8
UE(c2)=0,7 (2)+0,3 (4)=2,6
Para quien decide, lo lógico es elegir el segundo curso de acción, ya que c2
maximiza la utilidad esperada.
Este criterio es el más aceptado en la solución de problemas de riesgo.

Generalizando: máx .ci UE (ci ) =

n
∑
j =1

P (rj /ci ) aij 

En los problemas de certidumbre se conoce la probabilidad o se supone que ésta
es uno o cero, y el criterio que se utiliza para resolverlos es el caso límite de maximizar
la utilidad esperada, sustituyendo en la fórmula dada los valores de uno y cero para la
probabilidad: P (rj /ci ) Luego la fórmula será:
máx ci [UE (ci )] = aij este valor es la maximización de la utilidad.
En los problemas de incertidumbre los investigadores no conocen las
probabilidades y buscan información sobre las mismas en lo ya se ha trabajado sobre el
problema. Existen varios criterios para resolver estos problemas, el más difundido y que
aquí trataremos es el CRITERIO DEL MAXIMIN O MINIMAX.
En este criterio se busca el máximo de los mínimos posibles o el mínimo de los
máximos, cuando estos dos valores coinciden, el problema está resuelto y el valor
obtenido se llama PUNTO DE SILLA.
En el siguiente ejemplo la matriz de pagos es:
r1
c1
c2
1
r2
5
2
F-3-.
3
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Si la elección es c1, la ganancia mínima que se obtiene es 1.
Si la elección es c2, la ganancia mínima que se obtiene es 2.
Se elige entonces la mayor de esas ganancias mínimas que es 2.
2 es el máximin o máximo de los mínimos posibles.
Si miramos del lado de quien paga, razonamos de la siguiente forma:
Si la elección es r1, la pérdida máxima es 2.
Si la elección es r2, la pérdida máxima es 5.
Se elige entonces la menor de esas pérdidas máximas que es 2.
2 es el minimax o mínimo de los máximos posibles.
Por lo tanto: máx ci mín r j a  = mín r j máx ci a  = 2
 ij 
 ij 
2 es el valor más alto en su columna y el más bajo en su fila.
La teoría que estudia los problemas de competencia, establece que ellos pueden
caracterizarse en tres modelos, llamados LUCHAS, (el objetivo es vencer al oponente),
JUEGOS (el objetivo es sacar ventaja del oponente), y DEBATES, (el objetivo es
convencer al oponente).
La teoría competitiva que se ocupa de las luchas y los juegos, surge con el
trabajo de von Neumann y Morgenstern, llamado LA TEORIA DE JUEGOS Y EL
COMPORTAMIENTO ECONOMICO.
TEORIA DE JUEGOS
¿Qué es un juego? ¿A qué se llama juego?
Siguiendo a Russell ACKOFF y Maurice SASIENI diremos que un juego es una
situación en la que dos o más tomadores de decisiones ( en adelante llamados jugadores)
seleccionan cursos de acción y en la que el resultado se ve afectado por la combinación
que pueden hacer de esas selecciones tomadas colectivamente.
En todo juego existen:
-1-Una cantidad n de tomadores de decisiones, con n≥2. Si n=2, el juego se
llama juego de dos personas, si n>2, el juego se llama juego de n personas.
-2-Un conjunto de reglas que especifican cuáles cursos de acción se pueden
seleccionar, es decir qué jugadas se pueden realizar, y los jugadores las conocen.
-3-Un conjunto bien definido de estados finales que especifican en qué momento
termina la competencia, es decir cuándo se gana o se pierde o se retira el jugador.
-4-Pagos asociados con cada estado final posible, los que se determinan a priori
y cada jugador los conoce.
No siempre se cumplen las condiciones 2, 3, y 4, es por ese motivo que no a
todas las situaciones competitivas es factible aplicarle modelos de la teoría de juegos.
Al conjunto de reglas que especifican cuál de las alternativas o cursos de acción
debe seleccionar el jugador en cada jugada, lo llamamos estrategia de ese jugador, y
cuando un jugador selecciona su propio curso de acción decimos que realizó una
jugada.
Estrategia: regla predeterminada que especifica por completo cómo se intenta
responder a cada circunstancia posible del juego.
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En el juego, los jugadores son racionales, los oponentes juegan con inteligencia,
tratando de optimizar su propia decisión, a costa de los otros. Ejemplos de juegos son
las batallas, las campañas publicitarias, los concursos, licitaciones, etc.
La aplicación de la Teoría de Juegos en la economía, le brinda a ésta los
elementos necesarios para el análisis que involucra a los individuos, las empresas y los
países en un permanente juego competitivo. En ese juego se manifiesta la
interdependencia estratégica de las empresas, las economías domésticas, los estados y
otros agentes. La teoría de juegos analiza la forma en que dos o más agentes
económicos, que se relacionan en una estructura que es el mercado, eligen un curso de
acción o unas estrategias que afectan conjuntamente a todos los participantes.
(ECONOMÍA - Paul A. SAMUELSON Y William D. NORDHAUS).
La Teoría de Juegos plantea modelos matemáticos para la toma de decisiones,
modelos que contienen estrategias que convenientemente jugadas permiten maximizar o
minimizar una función objetivo. Esa función objetivo a maximizar es alguna función
de las utilidades de los pagos al tomador (o tomadores) de decisiones. En el juego un
jugador (o jugadores) busca maximizar el pago que recibe, el otro jugador (o jugadores)
trata de minimizar sus pérdidas.
Se llama juego de suma cero a aquél en el que la pérdida que sufre un jugador (o
jugadores) es igual a la ganancia que recibe el otro jugador (o jugadores). Un juego de
suma cero de dos personas puede representarse en una matriz de pagos (la que los
economistas suelen llamar tabla de ganancias) de la siguiente manera:
Tabla para el
Jugador I
Tabla para el
Jugador II
Jugador II
1
2
1
3
5
2
2
3
Jugador II
1
Jugador I
2
1
-3
-5
2
-2
-3
Jugador I
F-4-
Estas matrices muestran que en el juego de suma cero los pagos al jugador II son
iguales a menos los pagos al jugador I. Si ambos seleccionan la estrategia 1, el jugador I
gana 3 y el jugador II pierde 3.
El juego de suma no cero tiene un tercer componente o parte, “la casa” o una
“polla”, quien recibe o realiza algún pago.
Jugador II
1
1
2
1
1
3
0
2
-3
3
F-5-
Jugador I
2
-2
2
-4
4
0
1
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En la figura F-5- la matriz de pagos ilustra un juego de dos personas de suma no
cero; en cada casillero aparecen dos valores, el superior derecho representa el pago que
recibe el jugador II y el inferior izquierdo corresponde al pago que recibe el jugador I.
Las jugadas que involucran los pares (1;1), (1;2), (2;3) representan pagos cuyas
sumas no son cero.
¿Cuándo termina el juego? Cuando se arriba a una solución que implica la mejor
estrategia para cada jugador. La mejor estrategia es la función objetivo específica de la
jugada, y depende de los conocimientos que tengan los jugadores a priori, sobre las
alternativas de los otros. Si la información que posee cada jugador es perfecta y conoce
exactamente qué estrategia elegirá el o los oponentes, el jugador está ante una situación
de certeza, y la función objetivo a maximizar es la utilidad.
Si la información que posee cada jugador no es perfecta, pero puede suponer las
probabilidades para las estrategias de los oponentes, se estará ante una situación de
riesgo. Si el jugador desconoce las probabilidades de las alternativas, el juego es de
incertidumbre. Para las situaciones de incertidumbre el criterio más aplicado es el
maximin ( minimax).
Es tarea de la Teoría de Juegos convertir una situación de incertidumbre en una
de certeza utilizando ciertas suposiciones racionales con respecto a los jugadores. Las
suposiciones permiten calcular cual será la estrategia que usará un jugador para
maximizar su ganancia mínima o para minimizar su pérdida máxima.
En la tabla de la F-4-, el jugador I supone que el jugador II es racional y que por
ello elegirá la estrategia 1, donde la mayor pérdida es 3, que es menor que 5, pérdida
máxima de la alternativa 2. Este tipo de razonamiento elimina la incertidumbre.
La dificultad radica aquí en creer que el jugador seguirá una conducta racional
para maximizar su ganancia o minimizar su pérdida. No existe un criterio único que
garantice la racionalidad del actuar del jugador, la teoría de juegos parte de la
suposición de que los jugadores son racionales y que actúan eligiendo alternativas que
les permitirán maximizar las ganancias mínimas, pero esas alternativas fueron
seleccionadas arbitrariamente.
JUEGO DE DOS PERSONAS DE SUMA CERO
En este tipo de juego los jugadores tienen intereses opuestos y algunos los
llaman juegos estrictamente competitivos. Para iniciar el juego se plantean
primeramente las condiciones dadas por von NEWMANN:
*-Los dos jugadores conocen la matriz de pagos.- Ambos la pueden construir.
*-Cada jugador tiene un número finito o infinito de estrategias. Cada jugador
conoce las estrategias que tiene y las de su oponente.
*-Ambos jugadores son racionales.
*-Los dos jugadores son conservadores, juegan con precaución y seguridad.
*-Ambos jugadores eligen sus estrategias sólo para promover su propio
bienestar.- Juegan con intereses opuestos. Cada jugador aspira a optimizar su
propia decisión, pero a costa del otro.
*-Siempre son dos jugadores, aunque sean muchos los que juegan. Uno es el jugador I y todos los demás son II.
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Los resultados o pagos de un juego se resumen como funciones de diferentes
estrategias para cada jugador.
Cuando se trata de un juego de dos jugadores de suma cero, la ganancia de uno
es igual a la pérdida del otro, lo que es suficiente para expresar la matriz de pago en
términos de los pagos al jugador I, cuyas estrategias figuran en las filas de la matriz.
Hemos dicho ya que la selección de un criterio para resolver un problema de
decisión depende de la información de la que se dispone. En la teoría de los juegos los
oponentes inteligentes están trabajando en un medio circundante conflictivo. Existe un
criterio conservador, propuesto para resolver el juego de dos personas de suma cero. El
criterio se llama minimax-maximin.
En este aspecto la teoría de juegos se diferencia de la teoría de las decisiones,
donde el tomador de decisiones está jugando un juego contra un oponente pasivo, no
malo, que es la naturaleza. En la teoría de los juegos cada jugador es inteligente, activo
y trata de derrotar a los demás.
El criterio minimax-maximin elige la estrategia -pura o mixta- de cada jugador
que proporciona el mejor de los resultados posibles. Este criterio establece que la
solución óptima se alcanza cuando ningún jugador encuentra beneficioso alterar su
estrategia. En ese momento el juego es estable o se encuentra en equilibrio.
Como la matriz de pago se hace en términos de los pagos al jugador I, el criterio
requiere que I seleccione la estrategia (pura o mixta) que maximice su ganancia mínima
-el mínimo se toma sobre las estrategias de II-. Naturalmente, el jugador II, elegirá la
estrategia que minimice sus máximas pérdidas -el máximo se toma sobre todas las
estrategias del jugador I.
JUEGOS DE PUNTO DE SILLA
Ejemplo: La siguiente matriz de pagos representa la ganancia del jugador I, en
un juego donde cada jugador tiene tres estrategias.
Jugador II
1
Jugador I
2
máx.columna
1
2
3
9
8
2
6
3
mín.fila
7
7
5
-2
9
8
2
5
3
-2
55
minimax
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
F-6maximin
11
Si el jugador I, de sus estrategias puras selecciona la estrategia 1, puede ganar
9,8 o 2. La ganancia mínima es 2. Si selecciona la estrategia 2, la ganancia mínima es 5
y en la estrategia 3 es –2. El jugador I elegirá la segunda estrategia porque maximiza su
ganancia mínima. El valor 5 es el maximin, al que representaremos con v .
El jugador II, que quiere minimizar su pérdida, si elige la primera estrategia
puede perder 9, 6 o 7. La pérdida máxima es 9. Si selecciona la estrategia 2, la pérdida
máxima es 8 y en la estrategia 3 es 5. El jugador II elegirá entonces la estrategia pura 3,
la que minimiza su pérdida máxima. El valor 5 es el minimax, al que llamaremos: v , o
valor del juego, es 5 y corresponde al par (2;3) de estrategias óptimas.
El valor del juego, v , cumple con la relación:
v≤v≤v
Cuando en el juego el valor del maximin es igual que el valor del minimax, ése
es el valor del juego, v, y recibe el nombre de punto de silla. En el ejemplo el valor del
juego es 5 y corresponde al par (2;3) de estrategias óptimas.
Las estrategias puras que corresponden a ese valor se llaman estrategias
óptimas. En el juego ningún jugador desea abandonar las estrategias óptimas, porque si
no su oponente puede jugar eligiendo otra estrategia que le proporcione menor pago.
Un elemento aij es punto de silla si es el mínimo de su fila y el máximo de su
columna. Si el jugador I escoge la fila i, gana cuando menos aij ya que los demás
elementos de la fila i lo superan, si I elige otra fila distinta de i, por ejemplo m, no está
seguro de que ganará tanto como aij, porque el jugador II puede elegir j y amj ser menor
que aij para todo m≠i.. Por lo tanto el jugador I elegirá i y el jugador II j.
¿Qué son las dominancias en una matriz de pago? Para explicarlo se considera
la matriz de la figura F-6-. Si ningún elemento de una columna cualquiera (en nuestro
ejemplo consideramos la tercera columna) es mayor que el correspondiente de otra
columna (la primera de nuestra matriz), el jugador II nunca seleccionará la primera, la
que puede eliminarse sin que se altere el valor del juego. La columna que se elimina se
llama columna dominante.
ai1 ≥ ai3
∀i
es ai1 dominante
La matriz de la figura F-6-, por dominancias se reduce a:
8
2
7
5
-2
3
F-7-
Si ningún elemento de una fila (en nuestro ejemplo la segunda) es menor que el
correspondiente de otra fila (en el ejemplo la tercera), entonces I no elegirá nunca la
tercera fila, la que puede eliminarse sin que altere el valor del juego. La fila que se
elimina se llama fila dominada.
a2j ≥ a3j ∀j
a3j dominada
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La matriz que resulta es:
8
2
7
5
F-8-
Como la primera columna es dominante puede eliminarse, con lo que resulta:
2
F-9-
5
Al ser la segunda fila dominada, puede eliminarse, con lo que obtenemos:
5
F-10-
El punto de silla
El orden de eliminación de fila y columna es indistinto.
Si la matriz tiene punto de silla, con la eliminación de columnas dominantes y
filas dominadas se llega a él. Si la matriz no tiene punto de silla queda reducida a una
matriz de menores dimensiones.
JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS
Si el juego no tiene punto de silla, la Teoría de los Juegos aconseja a cada
jugador asignar una distribución de probabilidad sobre el conjunto de sus estrategias, las
que dejan de llamarse estrategias puras para llamarse estrategias mixtas.
Al no existir punto de silla, las estrategias puras maximin y minimax dejan de
ser óptimas y el juego es inestable. Los jugadores buscarán otras estrategias que puedan
mejorar sus pagos.
Cada jugador jugará todas sus estrategias, pero cada una con una frecuencia, de
manera tal que la suma de todas esa frecuencias sea igual al número de jugadas que
realiza. La frecuencia de cada estrategia sobre el número total de jugadas es la
probabilidad con que juega cada alternativa. Los valores que representan las
probabilidades son no negativos y sumados dan uno.
Cada jugador jugará ahora sus estrategias (no puras) de acuerdo con un
conjunto predeterminado de probabilidades. En el caso de las dominancias las filas y
columnas eliminadas se juegan con probabilidad cero.
Sean las estrategias mixtas:
x
i = probabilidad de que el jugador I use la esrategia i, con i =1,2 ,...m
y
j = probabilidad de que el jugador II use la esrategia j, con j =1,2 ,...n
m y n son el número de estrategias disponibles de los jugadores I y II respectivamente.
Entonces:
xi , y j ≥ 0
∧
m
∑ xi
i =1
=
n
∑ yj
j =1
= 1 ∀ i, j
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En el caso de las dominancias las filas y columnas eliminadas se juegan con
probabilidad cero.
En el siguiente cuadro matricial se representa en forma teórica la matriz de pago
para un juego con estrategias mixtas.
Jugador II
x1
x2
y1
y2
…
yj
…
yn
a11
a21
a12
a22
a1j
a2j
a1n
a2n
ai1
ai2
aij
ain
am1
am2
.
.
F-11-
.
Jugador I
xi
.
.
.
xm
amj
amn
Al hacer extensivo el criterio minimax a juegos que no tienen punto de
silla y que por lo tanto necesitan estrategias mixtas, se dice que el jugador II debe elegir
la estrategia mixta que minimice la máxima pérdida esperada. Si lo que se analiza es
el comportamiento del jugador I, el criterio maximin, establece que éste seleccionará la
estrategia mixta que maximice el pago esperado mínimo.
Por pago esperado mínimo se entiende el pago esperado más pequeño que puede
resultar de cualquier estrategia mixta que el oponente pueda usar.
Máxima pérdida esperada significa la pérdida esperada más grande, que puede
resultar de las jugadas del otro jugador.
La estrategia mixta óptima para el jugador I es la que le proporciona la garantía
(garantía aquí significa pago mínimo esperado) de que es la mejor ( máxima). El valor
de este mayor pago mínimo esperado es el maximin v .
La estrategia mixta óptima para el jugador II es la que le proporciona la mejor
garantía (garantía aquí significa máxima pérdida esperada y mejor significa mínimo)
que de todas las pérdidas máximas esperadas ésa es la menor. El valor de esa menor
pérdida máxima esperada es el minimax v .
Si ambos jugadores usaran estrategias puras estos juegos no tendrían una
solución estable, porque v < v , entonces ambos cambiarían las estrategias para mejorar
su posición. Para salvar la estabilidad o equilibrio del juego se usan las estrategias
mixtas, con las que se llega a la solución óptima que es estable y en la que v = v .
m
m

m

máx mín  ∑ ai xi , ∑ ai xi , ... ∑ ain xi  = maximin = v .
x 
i =1 2
i =1
 i =1 1

i

 n

n
n
min máx ∑ a1 j y j , ∑ a2 j y j ,.. ∑ amj y j  = minimax = v .
 j =1

y 
j =1
j =1
j


Cuando las xi , y j corresponden a la solución óptima, los dos valores se igualan
y son iguales al valor esperado del juego.
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
14
Usaremos la siguiente simbología para los óptimos: x*i , y*j , v* , entonces el
m n
valor esperado es: v* = ∑ ∑ aij x*i y*j
i =1 j =1
Los juegos con estrategias puras o mixtas pueden resolverse gráficamente en el
plano siempre que las matrices de pago (originales u obtenidas luego de las
eliminaciones por dominancias), sean de clase (2xn) o (mx2), esto significa que por lo
menos uno de los jugadores tiene sólo 2 estrategias Si las estrategias de los dos
jugadores fueran tres, la representación gráfica de las estrategias en el espacio de tres
dimensiones serían planos.
Si consideramos la siguiente matriz de pagos:
Jugador II
x1
y1
y2
…
yj
…
yn
a11
a12
a1j
a1n
a21
a22
a2j
a2n
Jugador I
F-12x2= (1- x1)
Las probabilidades x y x = 1 − x , son no negativas y su suma x1 + x2 = 1
1
2
1
Los pagos esperados o esperanzas del jugador I , para las estrategias puras del
jugador II son:
E11 = a11 x1 + a21 x2 = a11 x1 + a21( 1 − x1 ) = a11 x1 − a21 x1 + a21 = (a11 − a21 )x1 + a21
En forma similar se calculan las demás esperanzas, las que figuran en la F-13-:
Estrategia pura de II
1
2
Pago esperado de I
E11 = (a11 − a21 )x1 + a21
E12 = (a12 − a22 )x1 + a22
F-13-
.
.
.
n
E1n = (a1n − a2 n )x1 + a2 n
Según el criterio del maximin, el jugador I debe escoger la x1 que maximice sus
pagos esperados. Gráficamente podemos representar trazando líneas rectas de variable
independiente x1.
El ejemplo que damos a continuación se resuelve aplicando la teoría desarrollada
sobre estrategias mixtas y también el método gráfico.
Ejemplo: Dada la siguiente matriz de pago, encontrar las estrategias óptimas y el
valor del juego.
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
15
Jugador II
1
mín. fila
1
2
3
5
4
-3
-3
F-14
2
-2
maximin
-4
Jugador I
2
0
3
máx.columna
-2
2
3
-4
5
4
2
minimax
v = −2 ∧ v = 2 ⇒
− 2 ≤ v ≤ 2 , cumple con
v ≤ v≤ v
Como la tercera estrategia del jugador I está dominada por la primera, se puede
eliminar la estrategia 3, con lo que la tabla queda:
Jugador II
1
1
2
3
5
4
-3
0
-2
2
F-15-
Jugador I
2
Como la primera estrategia del jugador II domina a la segunda estrategia, se
puede eliminar. A continuación escribiremos la tabla considerando las probabilidades:
Jugador II
Probabilidades
y2
Ep
2
y3
Ep: estrategias puras
3
F-16-
x1
1
4
-3
1-x1
2
-2
2
Jugador I
Al calcular las esperanzas tenemos:
EI2 = [ 4 − (− 2 )] x + (− 2) = 6 x − 2
1
1
3
EI = [-3 − ( 2 ) ] x + ( 2 ) = -5 x + 2
1
1
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
16
Es el momento de comenzar la representación gráfica, para ello se trazan dos
líneas paralelas separadas por una distancia que hacemos igual a la unidad y marcamos
sobre ella una escala. A continuación se trazan las dos líneas que representan las dos
estrategias disponibles para el jugador I.
Si x1 = 0 ⇒ 6.0 − 2 = −2
Si x1 = 0 ⇒ -5.0 + 2 = 2
∧
∧
x1 = 1 ⇒ 6.1 − 2 = 4
x = 1 ⇒ -5.1 + 2 = −3
1
4
3
punto máximo
2
1
F-171
4
1
3
4
11
2
4
x
1
1
-1
-2
-3
el valor de x1, hacemos: 6 x − 2 = −5 x + 2 , y resolviendo
1
1
4
7
obtenemos: x1 = ; luego x2 = . El punto de abscisa x1 es el máximo de todos los
11
11
mínimos.
Para calcular
(
)
4 7 
x* = x* ; x* ; x* =  ; ; 0  es la estrategia óptima para el jugador I.
1 2 3  11 11 
Las dos rectas determinan un polígono convexo donde todos los v del jugador I
son menores que el v del juego, por eso el jugador I hará crecer v , hasta llegar a v* .
Para determinar el maximin, podemos realizar la siguiente tabla, aplicando:

m
máx mín ∑ ai1 xi ,
x 
 i =1
i

∑ ai 2 xi ,...∑ ain xi  = maximin = v .
m
m
i =1
i =1

P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
17
x1
2
∑ ai1xi
i =1
2
∑ ai 2 xi
i =1
0
-2
2
-2
1/4
-1/2
3/4
-1/2
4/11
2/11
2/11
2/11
1/2
1
-1/2
-1/2
3/4
5/2
-7/4
-7/4
1
4
-3
-3
v = v* = máx
mínimo
máx. min.
x* = ( 4/11; 7/11; 0)
2/11
{ mín (6 x1 − 2; − 5x1 + 2) }= 112
es el valor del juego y se verifica
que es mayor que el maximin (-2) de la tabla original.
E1II = (4 + 3) y2 − 3 = 7 y2 − 3
E 2II = −(2 + 2 ) y2 + 2 = −4 y2 + 2
Para el jugador II:
5
Procediendo de igual forma que para el jugador I, obtenemos: y2 = ,
11
6
luego y = . El punto de abscisa y2 es el mínimo de todos los máximos.
3 11
 5 6
y* = y* ; y* ; y* =  0; ;  es la estrategia óptima para el jugador II.
1 2 3  11 11 
)
(
4
punto mínimo
3
2
1
F-181
5
1
3
4
11 2
4
1
y
2
-1
-2
-3
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
18
Para determinar el minimax, podemos realizar la siguiente tabla, aplicando:

 n

n
n
min máx ∑ a1 j y j , ∑ a2 j y j ,.. ∑ amj y j  = minimax = v .
 j =1

y 
j =1
j =1
j


y2
3
∑ a1 j y j
j =2
3
∑ a2 j y j máximo mín.. máx.
j =2
0
-3
2
2
1/4
-5/4
1
1
5/11
2/11
2/11
2/11
1/2
1/2
0
1/2
3/4
9/4
-1
9/4
1
4
-2
4
{ máx (7 y2 − 3 ;
2/11
y* = ( 0; 5/11; 6/11)
)}
2
, es el valor del juego y se
11
verifica que es menor que el minimax (2) de la tabla original.
v = v* = mín
− 4 y2 + 2 =
2
=v
Hemos obtenido el valor del juego: v = v* =
11
Este valor también puede calcularse a través del álgebra matricial:
v = v = v* = x*. A. (y*) t
x* ∈ K1xm
A ∈ K mxn
x* ∈ K1x3
A∈ K 3x3
 y *  t∈ K nx1
 
 
 *t
3x1
y  ∈K


P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
19
El producto x*. A es:
4
11
7
11
0
5
4
-3
0
-2
2
2
3
-4
20
11
2
11
2
11
El producto x*. A. (y*) t es:
0
5
11
6
11
20
11
2
11
2
11
2
11
valor del juego
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
20
APLICACIÓN AL CALCULO DE COSTOS
El problema que nos ocupa es el de repartir, asignar o distribuir, en forma
equitativa, racional y objetiva, un determinado beneficio, gasto, utilidad, bien material,
costo, etc., entre dos o más individuos. Este tipo de repartos puede admitir distintos métodos de solución, conforme
con la naturaleza misma del problema. Estas soluciones, en algunas oportunidades
pueden ser simples y fáciles de resolver, en base a una ley, acuerdo previo o una función
matemática que permita determinar las proporciones del bien a repartir que corresponde
a cada una de las partes interesadas. Por ejemplo, si se establece una sociedad entre tres personas, que
representamos por A, B y C, que al final rinde una utilidad de $ 1.200,00 y se convino
previamente en que las ganancias o pérdidas serían asumida por cada socio en
proporción al capital aportado; el socio A contribuyó a la formación de ese capital con
$ 1.000,00, el B con $2.000,00 y el C con 3.000,00; la utilidad o beneficio que
corresponde a cada uno de ellos se determina fácilmente con la fórmula:
bi =
beneficio total
capital aportado por i
capital total aportado
( con i = A, B, C )
Así resultan los siguientes valores:
bA =
12000
1000 = 200
6000
bB =
12000
2000 = 400
6000
bC =
donde bA , bB , bC son las utilidades que corresponde a
respectivamente y además se verifica que:
bA
+
bB
+
bC
12000
3000 = 600
6000
los socios A, B y C,
= 200 + 400 + 600 = 1.200 ( beneficio total )
En este ejemplo la distribución del beneficio conjunto obtenido por un equipo o
asociación, resultó fácil porque previamente se estableció o acordó una regla o función
matemática para repartir las ganancias. Esta regla es:
b
bi = t Ai
At
donde
integrado por los tres socios y
capital. -
bt
es el beneficio total a repartir;
Ai
At
es el aporte total,
es el aporte del socio i = A,B.C, a la integración del
En la mayoría de los casos el problema no es tan sencillo y, según la
naturaleza de los bienes, gastos, o efectos que se deben repartir, se pueden adoptar
distintas metodologías, algunas clásicas, otras nuevas, las que tienden a disminuir la
carga de arbitrariedad y subjetividad que siempre acompaña estos procedimientos, para
más, muchas son las veces en las que la ley de distribución no puede establecerse a
priori.-
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
21
Para dar una idea de la variedad de problemas que pueden considerarse
citaremos a continuación los siguientes ejemplos:
1) La asignación de recursos a cada una de las unidades académicas para la
distribución del presupuesto de una Universidad. Por cantidad de alumnos?, Por
cantidad de carreras? Por el tipo de carreras? Por cantidad o tipo de laboratorios,
instalaciones o equipamientos a mantener? . . . Este es un problema complejo que no
pretendemos resolverlo, ni siquiera tratarlo, pero seguramente, si se adoptara una
fórmula de reparto, la misma deberá contener las variables que representen a cada uno
de estos factores, y algunos más, acompañados por coeficientes de peso para cada uno
de ellos, con el fin de efectuar las correcciones o valoraciones tendientes a encuadrar la
distribución dentro de las políticas educativas que se desean llevar adelante. - Muchos
de estos elementos se fijan arbitrariamente en base a acuerdos y muchas de las
valoraciones deben ser necesariamente subjetivas. 2) La asignación de espacios físicos disponibles para la práctica de dos o
más disciplinas en la planificación de un campo de deportes. 3) La distribución de un costo conjunto entre dos o más artículos que salen
de una planta de producción, a los efectos de poder establecer el beneficio de cada uno
de esos productos y, como consecuencia, la conveniencia o no de su fabricación. Precisamente, de este último tipo de problemas es del que nos ocuparemos. -
ASIGNACIÓN DE COSTOS CONJUNTOS
Supongamos que en una planta industrial se produce un elemento básico del
que se obtienen posteriormente dos o más productos derivados, que representaremos
por A, B, C, ..., con valores agregados propios. Distinguiremos dos etapas de producción:
La primera, hasta la producción del elemento básico, tiene un costo
(alquileres, mantenimiento de equipos, personal, combustibles, materias primas,
insumos, etc.), que debe ser absorbido por toda la producción final, al que llamaremos
costo conjunto, C c . La segunda, para la elaboración y terminación de los productos derivados,
que agrega nuevos costos autónomos o individuales para cada uno de estos artículos,
perfectamente determinados, que representaremos por Cia (donde i = A, B, C,...)
Para poder calcular el beneficio real que la producción y venta de cada uno
de estos productos brinda a la empresa, es necesario determinar previamente, con la
mayor objetividad posible, la parte del costo conjunto que corresponde a cada uno de
los productos por separado.
Una vez resuelta esta cuestión se podrá determinar el costo total por
artículo: Ct (i ) = Cic + Cia
y luego, conociendo el Ingreso por producto I i , calcular el
beneficio aportado por el mismo, Bi = Ii − Ct (i ) , siendo i = A, B, C, ...
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
22
Nuestra cuestión entonces, consistirá en hallar las partes del costo conjunto
para cada i. Existen distintos métodos para resolverlo, cuya elección depende de los
datos disponibles y de la naturaleza misma del problema. Entre estos métodos,
citaremos algunos tradicionales y otros nuevos, que tienden a disminuir la carga de
arbitrariedad y subjetividad que siempre inevitablemente acompaña a estos cálculos. -
MÉTODOS TRADICIONALES
1) MÉTODO BASADO EN LAS CANTIDADES DE MATERIAL PRODUCIDO
Si es posible medir en unidades homogéneas la cantidad, peso, o dimensión
de cada uno de los artículos A, B, ..., que representaremos Pi (i =A, B, ...), el costo
conjunto se puede distribuir proporcionalmente a esos pesos, correspondiendo a cada
uno de ellos las cantidades dadas por la fórmula:
Cic =
donde
Pt
Cc
Pi
Pt
y
∑C
c
c
i =C
es el peso total que resulta de sumar los pesos de todos los productos A,B, ...
Este método, que ya casi no se usa puede tener dos grandes objeciones:
1) La calidad, el valor y el costo mismo de los productos derivados pueden no guardar
relación con sus pesos, de modo que la solución sería arbitraria e inadecuada. 2) Los productos derivados, por su distinta naturaleza pueden venir medidos en
unidades no homogéneas, por ejemplo, líquidos y sólidos, lo que hace impracticable el
método. -
2) MÉTODO BASADO EN EL VALOR DE LAS VENTAS
Si se conocen los ingresos que produce cada producto Ii , el método
consiste en cargar a cada producto una parte del costo conjunto, proporcional a dichos
ingresos, mediante la fórmula:
Cic =
Cc
Ii
It
y
∑C
c
c
i =C
Se pueden realizar las siguientes objeciones
1) Los costos reales de producción no están en relación, en todos los casos, con los
ingresos que cada producto proporciona. 2) Tampoco considera este método la capacidad de los costos autónomos para producir
ingresos como valor agregado. -
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
23
3) MÉTODO DEL VALOR NETO DE REALIZACIÓN
Considerando valor neto de realización de cada producto a la diferencia
entre el ingreso producido por el mismo y su costo auténtico: VNRi = Ii − Cia
y valor neto de realización total:
VNRt =
∑I
i
Podemos distribuir el costo conjunto proporcionalmente a estos valores
mediante la fórmula:
Cic =
Cc
VNRi
VNRt
y
∑C
c
c
i =C
Este método, si bien supera a los anteriores ya que considera a los costos
autónomos no alcanza para salvar todas las objeciones formuladas. -
NUEVOS MÉTODOS.
Para la distribución de costes existen modernos métodos que tienden a
disminuir los aspectos arbitrarios o subjetivos de los anteriores, aunque estos problemas
siempre existen en alguna medida. Estos métodos, que como contrapartida aumentan en
complejidad, se han desarrollado principalmente en las tres últimas décadas.
Consideraremos entre ellos:
1. - COSTES ALTERNATIVOS DE MORIARITY
En este caso la distribución se hace en proporción al beneficio estimativo
obtenido por cada uno de los productos. Para ello es necesario contar como datos,
además del costo conjunto y costos autónomos, los ingresos por producto, para poder
establecer el beneficio que cada uno de ellos aporta, como la diferencia entre ingresos y
costes totales correspondientes. –
La novedad que introduce el método se basa en la posibilidad de que la
empresa, en lugar de fabricar cada producto pueda adquirirlo en el mercado, al precio
más bajo posible; o bien considerar que cada uno de los productos absorbe en el proceso
de fabricación propia, la totalidad del coste conjunto, que es el valor máximo que
podría tener su producción. - Se obtienen así, dos valores para un mismo producto,
entre los que debe elegirse:
El coste total del producto i, a mejor precio de mercado:
Cio
El coste máximo de producción propia de i, cargándole el coste conjunto:
C c + Cia
Entre estas dos posibilidades se elige la mínima para cada producto, que
llamaremos mejor alternativa: Yi = min {C oi , C c + C ai }
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
24
La suma de las mejores alternativas de adquisición o fabricación de los
productos i = A, B, C, ... menos el costo total de fabricación propia de los mismos,
permite evaluar el ahorro que obtiene la empresa en la elaboración propia.
Representaremos dicho ahorro por: H = ∑ Yi − C t .
Calculado así este ahorro total H , se lo puede asignar a cada uno de los
productos en partes proporcionales a las mejores alternativas Yi .
Para cada producto
i = A, B, ... corresponderá un ahorro por fabricación propia:
Hi =
H
Yi
∑ Yi
En consecuencia, el coste total por producto será:
mejor alternativa menos el ahorro por producción propia).
Cit = Yi − Hi
(valor de la
Esto permite determinar la parte del coste conjunto por producto
Cic = Cit − Cia
El modelo de Moriarity, que posee considerables ventajas sobre los
métodos clásicos, puede, en algunos casos, asignar costos negativos resultantes de su
aplicación. Los modelos de Louderback y de Balachandran y Ramakrisman introducen
variables tendientes a superar estos problemas. Para un desarrollo completo del tema recomendamos el libro
CONTABILIDAD DE COSTOS Y CONTABILIDAD DE GESTION. Angel Sáez,
Antonio Fernández Fernández y Gerardo Gutierrez Díaz.
MÉTODO DE LOS JUEGOS
La teoría de los juegos se aplica para resolver situaciones de conflicto o
incertidumbre, donde dos personas compiten inteligentemente por un mismo objetivo.
Cada jugador desarrolla sus estrategias para derrotar a su rival, en base a reglas
preestablecidas.
Según Samuelson “La teoría de los juegos analiza la forma en que dos o
más agentes, que se interrelacionan en una estructura como el mercado, eligen un curso
de acción o unas estrategias que afectan conjuntamente a todos los participantes”.
“La estructura básica de un juego comprende a los jugadores que tienen
distintos cursos de acción o estrategias, y las ganancias, que describen los beneficios
que obtienen los jugadores en cada resultado. El nuevo concepto clave es la tabla de
ganancias de un juego, que muestra las estrategias y las ganancias o beneficios de los
diferentes jugadores”.
“La clave para elegir las estrategias en la teoría de los juegos consiste en
que los jugadores analicen tanto sus propios objetivos como los del adversario, sin
olvidar nunca que éste hace lo mismo”. “En economía, o en cualquier otro campo, se
debe suponer que el adversario elegirá sus mejores opciones, y se debe elegir la
estrategia que maximice nuestro beneficio, suponiendo siempre que el adversario
analizará de la misma manera nuestras opciones.”
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
25
En el problema que nos ocupa, de la distribución de costos conjuntos entre
dos o más productos, el método más moderno consiste en aplicar elementos de la teoría
de los juegos, considerando a cada uno de los artículos en cuestión como jugadores
que compiten por la asignación de un beneficio común. Lo que cada artículo (jugador)
puede obtener de ese beneficio corresponde exactamente a lo que pierden los demás en
el reparto. La estrategia que cada jugador, o producto, aplicará, será la de jugar
individualmente o asociado a los otros jugadores y el beneficio que recibirá será el que
le corresponda por su actuación personal más los de su participación en los equipos
formados con los demás jugadores.
Si bien el método de juegos, que desarrollaremos, aumenta en complejidad,
brinda una nueva e interesante forma de repartir costos, que también puede aplicarse a
otros problemas de distribución.
Para ver un desarrollo completo del método recomendamos la lectura de
CONTABILIDAD DE COSTOS Y CONTABILIDAD DE GESTION. Angel Sáez,
Antonio Fernández Fernández y Gerardo Gutierrez Díaz.
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
26
UNA ASIGNACIÓN DE COSTOS CONJUNTOS
Nos proponemos, a continuación, resolver el problema de asignar la parte
correspondiente del costo conjunto, que se produce en una primera etapa de
fabricación de material básico, del que se extraen posteriormente tres productos, A, B y
C, con costos agregados autónomos de 400, 600 y 800, respectivamente, por cada
1000 del costo conjunto de la etapa inicial. Simbólicamente, representaremos a éstos por:
Costo conjunto: C C = 1000,
Costos autónomos: C a (A) = 400, C a (B) = 600 y C a (C) = 800
Entre la información, disponible del ejercicio de la misma empresa, que se
puede usar para resolver el problema de distribución de costos autónomos, se cuenta con
los siguientes datos:
a) La cantidad de unidades, o el peso, de cada producto:
P(A) = 1400,
P(B)= 1000,
P(C) = 800
b) Los ingresos por producto:
I(A) = 2000,
I(B) = 2400,
I(C) = 3600.
Aplicaremos los siguientes métodos:
1) MÉTODO PROPORCIONAL A LOS PESOS
Si consideramos peso total en: P = ∑ P(i) , donde i = A, B, C.
Para nuestro problema: Peso total: P = P(A) + P(B) + P(C) = 3200
A cada producto le asignamos como parte del coste conjunto:
C c (A)
=
C c (B)
=
C c (C)
=
Cc
P
Cc
P
Cc
P
P(A) =
P(B) =
P(C) =
1000
3200
1000
3200
1000
3200
1400 = 438
1000 = 312
800 = 250
Coste conjunto total: C c = 1000
La aceptación o no de esta distribución de costos conjuntos
entre los tres productos, aún cuando estas cantidades puedan medirse en
unidades homogéneas, será una cuestión de carácter subjetivo, que deben
resolver los administradores de la empresa, en razón de que los pesos o
cantidad de producción guarden relación real con los gastos, los
beneficios o utilidades aportados por cada artículo. En general este método
se usa muy poco actualmente. –
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
27
2) MÉTODO BASADO EN EL VALOR DE LAS VENTAS
Si consideramos ingreso total en: I = ∑ I(i) , donde i = A, B, C.
Para nuestro problema: Ingreso total: I = I(A) + I(B) + I(C) = 8000
A cada producto le asignamos como parte del coste conjunto:
C c (A)
=
C c (B)
=
C c (C)
=
Cc
I
Cc
I
Cc
I
I(A) =
I(B) =
I(C) =
1000
8000
1000
8000
1000
8000
2000 = 250
2400 = 300
3600 = 450
Coste conjunto total : C c = 1000
Si bien esta distribución tiene la ventaja de considerar la capacidad de cada
producto para soportar sus propios costos, no supera en general, las observaciones
hechas al método aplicado anteriormente. Entre las muchas objeciones, se señala que no
se considera la capacidad que tienen los costos autónomos para producir aumentos en
los ingresos por producto. -
3) METODO BASADO EN EL VALOR NETO DE REALIZACION
Este método tiende a superar las observaciones formuladas al anterior, en lo
que respecta a la consideración de los costos autónomos. Se llama Valor Neto de Realización de un producto i, a la diferencia entre
el ingreso producido por ese producto y su costo autónomo
VNR(i) = I(i) - C a (i)
En este caso:
donde i = A, B, C
VNR(A) = 2000 - 400 = 1600
VNR(B) = 2400 - 600 = 1800
VNR(C) = 3600 - 800 = 2800
y Valor Neto de Realización (total) :
VNR =
∑ VNR(i)
= 6200
La asignación del costo conjunto C c = 1000, en forma proporcional a estos valores
netos de realización, resulta :
C c (A)
=
C c (B)
=
C c (C)
=
Cc
VNR
Cc
VNR
Cc
VNR
VNR(A) =
VNR(B) =
VNR(C) =
1000
6200
1000
6200
1000
6200
1600 = 258
1800 = 290
2800 = 452
Coste conjunto total: C c =1000
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
28
NUEVAS METODOLOGÍAS
4)METODO DE MORIARITY
Como se dijo antes, la empresa puede considerar dos alternativas para
la obtención de los productos. Una es la de adquirirlos a los mejores precios de
mercado, en lugar de fabricarlos. Consideremos que las mejores propuestas obtenidas en
este sentido (Costos de oferta), para la adquisición de los productos A, B y C, sean
respectivamente :
C o (A)
= 1200, C o (B) = 1400,
C o (C)
= 2000
La otra alternativa es considerar la posibilidad de producir únicamente un
producto, en cuyo caso debe cargarse a éste las totalidad del costo conjunto. Se obtienen
así como costos máximos de producción los valores C c + C a (A)=1400, C c + C a (B)=1600
y C c + C a (C) = 1800, respectivamente, para A, B y C.
Entre las dos alternativas, la empresa elige la más conveniente, que
representamos por:
{
}
Y(i) = mín C o (i ), C c + C a (i )
Resulta:
Y(A) = 1200,
para cada i = A, B, C
Y(B) = 1400,
Y(C) = 1800
La empresa considera el ahorro total resultante de producir sus propios
productos con respecto a las mejores alternativas descriptas, ahorro total que se calcula
como diferencia entre la suma de las mejores alternativas y el costo total de producción
y representamos por:
H=
∑ Y( i) − ( C + ∑ C
c
a
(i))
=
4400 - 2800 = 1600
Si se asigna el Ahorro total obtenido a cada producto, proporcionalmente
con respecto a la mejor oferta, se obtiene para cada uno de éstos, una participación de :
H(A) =
H
∑Y
Y(A) =
1600
4400
1200 = 436
H(B) =
H
∑Y
Y(B) =
1600
4400
1400 = 510
H(C) =
H
∑Y
Y(C) =
1600
4400
1800 = 654
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
29
Como consecuencia de esta distribución del ahorro, el costo total por
producto es:
C t (A)
= Y(A) - H(A) = 1200 - 436 =
764
C t (B)
= Y(B) - H(B) = 1400 - 510 =
890
C
t
(C) = Y(C) - H(C) = 1800 - 654 = 1146
y la asignación del costo conjunto resulta de restar a la parte correspondiente del costo
total el costo autónomo correspondiente:
C c (A) = C t (A) - C a (A) = 764 - 400 = 364
C c (B) = C t (B) - C a (B) = 890 - 600 = 290
C c (C) = C t (C) - C a (C) = 1146 - 800 = 346
Coste conjunto total: C c =1000
La siguiente tabla resume los pasos y resultados anteriores:
PRODUCTOS
Cc
Ca
Cc + C
Co
a
(i)
Mejor
alternativa
Y(i)
Ahorro
total
H
Distribución
del
Ahorro
H(i)
Participación
en el costo total
C t (i)
Parte del costo
conjunto
C c (i)
A
B
C
400
1400
600
1600
800
1800
1200
1400
2000
1200
1400
1800
totales
1000
1800
4400
4400(1000+1800) =
= 1600
436
510
654
1600
764
890
1146
2800
364
290
346
1000
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
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5 MÉTODO DE JUEGOS
Para aplicar el método de los juegos emplearemos como datos los mejores
costos alternativos del método de Moriaritiy, que se resume en la siguiente tabla:
PRODUCTOS
A
B
C
totales
1000
1800
c
C
Ca
c
C + C a (i)
Co
400
1400
1200
600
1600
1400
800
1800
2000
Y(i)
1200
1400
1800
Este método consiste en considerar a cada uno de los productos A, B, y C,
como jugadores en disputa por llevar la mayor parte de un pozo común Este pozo estará
constituido por el beneficio total que obtiene la empresa y, una vez .repartido permitirá
calcular la parte del costo común con que participó cada artículo. La estrategias que cada jugador, o producto, aplicarán en este juego, serán
las de participar solos (individualmente), o bien formando equipos con los otros
jugadores. Por eso la tabla anterior de datos disponibles, debe ser ampliada para atender
a la totalidad de los equipos que entran en juego. A
B
C
AB
AC
BC
ABC
1200
3200
2200
5600
1400
3400
2400
6000
1800
4600
2800
8000
c
C
C ai
C oi
C c + C ai
I(S)
400
1200
1400
2000
600
1400
1600
2400
800
2000
1800
3600
1000
2600
2000
4400
totales
1000
En este tabla I(S) representa los ingresos que obtiene cada jugador o equipo
de jugadores como suma de lo aportado por cada participante. La variable S representa a
cada uno de los jugadores o equipos S = A, B, C, AB, AC, BC, ABC
En el cuadro se han sombreado los datos iniciales del problema. Tendremos en cuenta para nuestro cálculo, las mejores alternativas para la
adquisición de estos productos o conjuntos de estos productos, que representaremos por
{
}
Y(S) = min Co ( S ), C c + C a ( S ) .
Estos datos se consignan en la fila sexta de la siguiente tabla y resultan de
comparar los de las filas 3 y 4. Para completar nuestro trabajo de asignación de beneficios conjuntos
convendremos en fijar previamente los siguientes convenios o axiomas. -
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
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a) la utilidad o beneficio que cada equipo obtenga, cualquiera sea el número
o asociación de jugadores, representada por S, estará determinada por la función
característica: V(S) = I(S) - Y(S) Diferencia entre el ingreso aportado por la
asociación S (fila 5) y el mejor costo del equipo (fila 6). Los valores de esta función
característica, para cada equipo de jugadores, se consignan en la fila 7.
b) El beneficio así obtenido por cada equipo V(S), debe ser igual a la suma
de las contribuciones residuales de cada uno de los jugadores que lo componen,
actuando individualmente o en asociaciones, incluido el mismo grupo S.-
Este axioma permite calcular las contribuciones residuales para cada S, así :
Cuando un equipo está compuesto por un solo jugador, la utilidad de S coincide con el
aporte residual único:
CR(A) = V(A) = 800
CR(B) = V(B) = 1000
CR(C) = V(C) = 1800
Para asociaciones de dos jugadores, por ejemplo, para S= AB, calculamos:
V(AB) = CR(A) + CR(B) + CR(AB) ⇒
CR(AB) = V(AB) - CR(A) - CR(B)
Con el mismo razonamiento se obtienen las contribuciones residuales :
CR(AB) = V(AB) - CR(A) - CR(B)
CR(AB) = V(AB) - CR(A) - CR(B)
Con los datos de nuestro problema resultan :
CR(AB) = 2400 - (800 +1000) = 600
CR(AB) = 3400 - (800 + 1800) = 800
CR(AB) = 32600 - (1000 + 1800) = 800
Para el grupo de jugadores integrado por A,B y C, es:
V(ABC) = CR(A) + CR(B) + CR(C) + CR(AB) + CR(AC) + CR(BC) + CR(ABC)
Despejando aquí la CR(ABC) y sustituyendo las otras contribuciones residuales por las
fórmulas obtenidas antes, resulta :
CR(ABC) = V(AVC) - V(AB) -V(AC) - V(BC) + V(A) + V(B) + V(C)
En nuestro caso:
CR(ABC) = 5200 - (2400 + 3400 + 3600) - (800 + 1000 + 1800) = - 600
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
32
La suma de las contribuciones residuales, igual a la utilidad total del conjunto ABC, es
de 5200.. Los valores correspondientes a las contribuciones residuales para cada grupo S, están
consignadas en la fila 8 de la tabla. Un segundo axioma o acuerdo determina que el producido de cada grupo
se reparte en partes iguales entre sus integrantes. Para eso se fija a cada grupo un factor
de distribución o peso W(S) = 1 r , donde r es el número de integrantes con que cuenta
cada equipo. En este problema, W(A) = W(B) = WC) = 1, W(AB) = W(AC ) = W
(BC) = 1 2 y
W(ABC) = 1 3 Datos consignados en fila 9.
c)
d) Por último, se conviene que el total obtenido por cada jugador debe ser
igual a la suma de sus producidos en cada uno de los grupos en los que intervino, de
acuerdo con la siguiente función de beneficio:
b(i) = ∑ Wi (S)CR(S)
donde
i = A, B, C
y
W(S) si i ∈ S
Wi (S) = 
 0 si i ∉ S
Los beneficios por producto serán para este ejercicio :
b(A) = 800 +
1
2
600 +
1
2
800 -
1
3
600 = 1300
b(B) = 1000 +
1
2
600 +
1
2
800 -
1
3
600 = 1500
b(C) = 1800 +
1
2
800 +
1
2
800 -
1
3
600 = 2400
Beneficio total :
A
1) C c
2) C ai
3) C oi
4)
1300 + 1500 +2400 = 5200 Estos datos se consignan en la fila 10
B
C
AB
AC
BC
ABC
400
1200
1400
600
1400
1600
800
2000
1800
1000
2600
2000
1200
3200
2200
1400
3400
2400
1800
4600
2800
2000
2400
3600
4400
5600
6000
8000
1200
1400
1800
2000
2200
2400
2800
800
800
1
1300
300
1000
1000
1
1500
300
1800
1800
1
2400
400
2400
600
3400
800
3600
800
5200
- 600
12
12
12
13
totales
1000
C c + C ai
5)
I(S)
6) Y(S)
o
c
a
min C i , C + C i
7){V(S) =}
I(S) − Y(S)
8) C R (S)
9) W(S)
10) b(i)
11) C c (i)
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
5200
5200
1000
33
Obtenidas así, aplicando principios de la teoría de los juegos, las partes del beneficio
común asignadas a cada uno de los productos A,B y C, cuyos valores están consignados
en la fila 10 del cuadro anterior, resulta fácil ahora determinar las partes del costo
conjunto que corresponde a cada uno de ellos:
Beneficio = Ingreso - costo total ⇒
⇒
C c (i)
b(i) = I(i) - ( C c (i) + C a (i)) ⇒
= I(i) - b(i) - C a (i))
En el presente problema : C c (A) = 2000 - 1300 - 400 = 300
C c (B)
= 2400 - 1500 - 600 = 300
C c (C)
= 3600 - 2400 - 800 = 400
C i0
C c+ C i0
Y(S)
A
1200
1400
1200
B
1400
1600
1400
C
2000
1800
1800
AB
2600
2000
2000
AC
3200
2200
2200
BC
3400
2400
2400
ABC
4600
2800
2800
Máximos
4600
2800
Minimax
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A
Maximin
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B IB L IOGR AF A
1) TEORÍA DE JUEGOS. Ken BINMORE. Editorial McGRAW-Hill/ INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Primera Edición, Madrid, 1994.
2) INVESTIGACIÓN
DE
OPERACIONES.
Hamdy
TAHA.
ALFAOMEGA GRUPO EDITOR. Quinta Edición, México D:F:, 1995.
Editorial
3) INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Frederick S.
HILLER
y
Gerald
J.
LIEBERMAN.
Editorial
McGRAW-Hill/
INTERAMERICANA DE MÉXICO. Quinta Edición, México D.F., 1993.
4) FUNDAMENTOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Russell L.
ACKOFF y Maurice W. SASIENI. Editorial LIMUSA, GRUPO NORIEGA.
Octava Edición, México D.F., 1991.
5) ECONOMIA. Paul A. SAMUELSON y William D. NORDHAUS. Editorial
McGRAW-Hill / INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Decimocuarta Edición,
Madrid, 1993.
6) CONTABILIDAD DE COSTOS Y CONTABILIDAD DE GESTIÓN. Ángel SÁEZ
TORRECILLA, Antonio FERNÁNDEZ FERNÁNDEZ y Gerardo GUTIÉRREZ
DÍAZ. Editorial McGRAW-Hill / INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Primera
Edición, Madrid, 1993. Volumen I.
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A