Representación de datos y aritmética básica en sistemas digitales DIGITAL II - ECA Departamento de Sistemas e Informática Escuela de Ingeniería Electrónica Rosa Corti 1 Sistemas de Numeración: Alfabeto: Símbolos utilizados Base: Cantidad de símbolos del alfabeto Sistemas Posicionales: La posición del dígito en la tira de símbolos da un “peso” a su valor 2 Sistemas de Numeración: Sistema binario {0,1} Sistema octal {0,1,2,3,4,5,6,7} Sistema hexadecimal { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} 3 Representación decimal: Código BCD Dígito decimal Dígito decimal codificado en binario 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 4 Representación y operaciones básicas con enteros. 5 Representación de enteros Magnitud y signo Utilizada en la vida diaria Complemento a la base Complementos Complemento a la base menos 1 6 Complemento a la base menos 1 Dado un número N en base r con n dígitos, el complemento (r – 1) de N se define como ( rn – 1) – N. Ejemplo en binario: N = (01101)2 -N = (10010)2 Ventaja: Implementación muy simple Inconveniente: Doble representación del cero Ejemplo en decimal: N = (31.479)10 -N = (68.520)10 7 Complemento a la base Dado un número N en base r con n dígitos, el complemento a r de N se define como rn – N. Ejemplo en binario: Ejemplo en decimal: N = (01101)2 -N = (10011)2 N = (31.479)10 -N = (68.521)10 Es el complemento más utilizado en sistemas digitales 8 Representación del signo: Ejemplo en binario: N = (14)10 = (0 00001110)2 -N = (- 14)10 = (1 11110010)2 Utilizando complemento a 2. -N = (- 14)10 = (1 11110001)2 Utilizando complemento a 1. Ejemplo en decimal: N = (+ 258)10 = ( 0000 0010 0101 1000 ) BCD -N = (- 258)10 = ( 1001 0111 0100 0010 ) BCD , en C10. 9 Suma en C2 A • Caso 1: A > 0 y B > 0 S=A+B A B S= A+B Cout B Sumador Binario Resultado correcto Sistema decimal +6 +13 +19 Cin S Sistema binario 0 0000110 0 0001101 0 0 0010011 10 Suma en C2 • Caso 2: A < 0 y B < 0 Resultado correcto S = (rn – A) + ( rn – B) = rn + rn – ( |A| + |B| ) A B S= A+B Sistema decimal -6 -13 -19 Sistema binario 1 1111010 1 1110011 1 1 1101101 11 Suma en C2 • Caso 3: A < 0 y B > 0 y |A| < |B| Resultado correcto S = (rn – A) + B = rn + ( |B| - |A| ) A B S= A+B Sistema decimal Sistema binario -6 1 1111010 +13 0 0001101 +7 1 0 0000111 12 Suma en C2 • Caso 4: A > 0 y B < 0 y |A| < |B| Resultado correcto S = A + (rn – B) = rn - ( |B| - |A| ) A B S= A+B Sistema decimal Sistema binario +6 0 0000110 -13 1 1110011 -7 0 1 1111001 13 Sumador binario en C2 A Cout B Σ Sumador Binario Cin S Cuando sumamos números positivos y negativos utilizando complemento a r, se obtendrá el resultado correcto siempre, si se ignora rn. 14 Sobreflujo (Overflow) El sobreflujo ocurre cuando al sumar dos números de n bits, el resultado ocupa n + 1bits. Es un problema de la representación ligado al tamaño finito de los registros del sistema En general se detecta y se informa. 15 Bibliotecas Unificadas: Sumador binario Se disponen en distinto tamaño: 4, 8, 16 bits Son encadenables Sumadores de mayor tamaño Números sin signo o C2 Interpretación de los operandos 16 Suma Binaria Suma BCD de dos dígitos Se puede obtener utilizando un sumador binario ? Suma BCD Valor decimal K Z8 Z4 Z2 Z1 C S 8 S4 S2 S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 5 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 6 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 7 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 8 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 9 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 10 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 11 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 12 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 13 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 14 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 15 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 16 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 17 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 18 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 19 17 Suma en BCD • Ejemplo 1: S = A + B, dónde A = (+ 184) y B = (+ 576) Signo Centena Decena 1 1 0000 0001 1000 0100 184 0000 0101 0111 0110 + 576 0000 0111 1 0000 1010 0110 0110 0110 1 0000 Acarreo BCD Suma Binaria Corrección Suma BCD 0000 0111 Unidad Suma Decimal 760 18 Suma en BCD • Ejemplo 2: S = A + B, dónde A = (- 184) y B = (- 576) C10(A) = 9 816 Signo Centena C10(B) = 9 424 Decena Unidad Suma Decimal Acarreo BCD 1 1001 1000 0001 0110 - 184 1001 0100 0010 0100 - 576 1 1011 1100 0100 1010 0110 0110 1 1001 1 0010 Suma Binaria Corrección Suma BCD 1 0110 0100 1 0000 - 760 19 Suma en C1 • Caso 1: A A>0yB>0 Cout S=A+B Resultado correcto B Sumador Binario Cin S A B S= A+B Sistema decimal +6 +13 +19 Sistema binario 0 0000110 0 0001101 0 0 0010011 20 Suma en C1 • Caso 2: A < 0 y B < 0 Resultado correcto S = (rn – 1 – A) + ( rn – 1 – B) = rn – 1 + rn – 1 – ( |A| + |B| ) A B S= A+B Sistema decimal -6 -13 -19 Sistema binario 1 1111001 1 1110010 1 1 1101011 (- 20) 1 1 1101100 21 Suma en C1 • Caso 3: A < 0 y B > 0 y |A| < |B| Resultado correcto S = (rn – 1 – A) + B = rn – 1 + ( |B| – |A| ) A B S= A+B Sistema decimal -6 +13 +7 Sistema binario 1 1111001 0 0001101 1 0 0000110 ( + 6) 1 00000111 22 Suma en C1 • Caso 4: A > 0 y B < 0 y |A| < |B| Resultado correcto S = A + (rn – 1 – B) = rn – 1 – ( |B| – |A| ) A B S= A+B Sistema decimal Sistema binario +6 0 0000110 -13 1 1110010 -7 0 1 1111000 23 Sumador binario en C1 A Cout B Σ Sumador Binario Cin S Cuando sumamos números positivos y negativos utilizando complemento a r – 1, se obtendrá el resultado correcto siempre, si se suma rn al dígito menos significativo. 24 Resta binaria R=A-B R = A + (- B) Se complementa el sustraendo ( C2 ó C1) Se obtiene a partir del bloque sumador 25 Bibliotecas Unificadas: Sumador/Restador binario Se disponen en distinto tamaño: 4, 8, 16 bits Son encadenables Operandos de mayor tamaño Números sin signo o C2 Interpretación de los operandos 26 Multiplicación y división binarias Se obtienen a partir de la suma y resta binarias , realizando los corrimientos correspondientes. Se opera con los valores absolutos y se obtiene el signo del resultado a partir de los signos de los operandos. ALU • Operaciones aritméticas • Operaciones lógicas • Corrimientos y rotaciones 27 Representación de números reales. 28 Representación de números reales Se considera la coma o punto, fijo en cierta posición. Representación de punto fijo Se almacena la posición que ocupa la coma o punto. Representación de punto flotante 29 Representación en punto fijo El punto en el extremo izquierdo El número es una fracción El punto en el extremo derecho El número es un entero 30 Representación en punto flotante Mantisa: Número de punto fijo con signo N = m x re Exponente: Representa la posición del punto La mantisa y el exponente se representan físicamente 31 Normalización en punto flotante Un número con punto flotante está normalizado si el dígito más significativo de la mantisa es distinto de cero. Ejemplo: Mantisa fraccionaria (magnitud y signo 8 bits), exponente (C2, 6 bits) Nro. binario + 0011,011 Número sin normalizar Número normalizado Mantisa Exponente Mantisa Exponente 0 0011011 0 00100 0 1101100 0 0010 Bit de signo El punto está a la derecha del bit de signo 32 Representación computacional de datos. 33 Representación computacional de datos Enteros o en punto fijo Reales en punto flotante Decimales Caracteres Código ASCII 34 Representación computacional de enteros BYTE 8 Bits SBYTE WORD 16 Bits SWORD DWORD 32 Bits SDWORD 35 Conversión entre distintas longitudes Ejemplo: + 18 = 00010010 (complemento a dos, 8 bits). + 18 = 0000000000010010 (complemento a dos, 16 bits). -18 = 11101110 (complemento a dos, 8 bits). - 18 = 1111111111101110 (complemento a dos, 16 bits). Debe completarse el formato usando el bit de signo 36 Representación computacional de decimales 9 BCD Empaquetado 9 BCD Desempaquetado 9 Modo Carácter Nº BCD Empaquetado BCD Desempaquetado 12 0001 0010 0000 0001 0000 0010 623 0000 0110 0010 0011 0000 0110 0000 0010 0000 0011 910 0000 1001 0001 0000 0000 1001 0000 0001 0000 0000 Nº ASCII 12 0011 0001 0011 0010 623 0011 0110 0011 0010 0011 0011 910 0011 1001 0011 0001 0011 0000 37 Representación computacional en punto flotante Mantisa normalizada Exponente sesgado Representada en magnitud y signo Se asume que es fraccionaria Se suma un valor fijo para que sea siempre positivo La base se conoce y por lo tanto no se representa 38 Estándar 754 de IEEE para punto flotante Los distintos formatos del esquema tienen la misma estructura La mantisa se normaliza y no se representa el bit más significativo SIGNIFICANTE El significante es un número entre 1 y 2. 39 Estándar 754 de IEEE para punto flotante 40 Estándar 754 de IEEE para punto flotante 41 Estándar 754 de IEEE: Ejemplos 42 Estándar 754 de IEEE para punto flotante Los bits disponibles en cada formato de la norma se reparten entre significante y exponente Existe un compromiso entre rango representable y resolución. 43 Suma y resta en punto flotante Se siguen los siguientes pasos: Verificación de operandos nulos Alineación de significantes Suma o resta de significantes Normalización y redondeo del resultado 44 Suma y resta en punto flotante La suma y la resta obligan a realizar un alineamiento de significantes Los exponentes deben ser iguales Se pierden dígitos significativos Se desplaza el significante del número más chico Ejemplo en decimal: S = 123 100 + 456 10-2 = 123 100 + 4,56 100 = 127,56 100 45 Estándar 754 de IEEE: Bits de guarda Z = X – Y = 1,000 … 00 21 – 1,111 … 11 20 Sin bits de guarda: Con bits de guarda: X = 1,000.........00 x 21 X = 1,000.........00 0000 x 21 21 - Y = 0,111.........11 1000 x 21 Z = 0,000.........01 x 21 Z = 0,000.........00 1000 x 21 Z = 1, 000........00 x 2-22 Z = 1, 000........00 0000 x 2-23 - Y = 0,111.........11 x Sirven para reducir los errores al operar 46 Estándar 754 de IEEE: Redondeo Trunca los bits de guarda Redondeo a cero Redondeo al más próximo Usada por defecto Redondeo hacia + ∞ Redondeo hacia - ∞ Se utilizan sólo si las necesidades de exactitud son muy altas 47 Multiplicación y división en punto flotante Se siguen los siguientes pasos: Verificación de operandos nulos Suma o resta de exponentes Multiplicación o división de significantes Normalización y redondeo del resultado 48 Caracterización de las representaciones. 49 Caracterización de los sistemas de representación Capacidad de representación: Cantidad de tiras de datos distintas que es posible representar en el sistema. Depende del número de símbolos del alfabeto y de la longitud de la tira con la que se representan los valores. 50 Caracterización de los sistemas de representación Capacidad de representación, ejemplos: Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits Número de representaciones posibles 26 = 64 Que ocurre con el valor anterior si la representación es: Punto fijo, se representan enteros positivos. Punto fijo fraccionaria pura > = 0. Punto flotante, mantisa entera en C2 de 3 bits, exponente positivo de 3 bits. 51 Caracterización de los sistemas de representación Rango: En sistemas de numéricos, es un entorno que queda definido por los valores mínimo y máximo que pueden representarse en la recta numérica. 52 Representación restringida a n bits: Parámetros Rango, ejemplos: Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits Números enteros >= 0 Números enteros, en C1 [0 , 63] [- 31 , +31] Mantisa fraccionaria pura >= 0 [0 , 0.111111] Mantisa entera >= 0 (2 bits), exponente en C1 [0 , 3*2 7] 53 Caracterización de los sistemas de representación Resolución: En sistemas de representación numéricos, se define a partir de los números consecutivos en la recta numérica. 54 Representación restringida a n bits: Parámetros Resolución, ejemplos: Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits Números enteros >= 0 Mantisa fraccionaria pura >= 0 (1)2 (0.000001)2 Mantisa entera >= 0 (2 bits), exponente en C1 RM = (1* 27)2 Rm = (1*2-7)2 55 Conclusiones El número de símbolos del alfabeto y la longitud de la tira que se utiliza para representar los valores, son quienes determinan la capacidad de representación de un sistema. Representaciones numéricas restringidas a n dígitos El rango en punto flotante es más amplio que en punto fijo. 56 Conclusiones Los sistemas numéricos en punto flotante, tienen resolución variable a lo largo de la recta numérica. La distribución de los dígitos de la representación entre mantisa y exponente en un sistema en punto flotante constituye una solución de compromiso. 57 Conclusiones Los sistemas reales tienen recursos limitados Los requerimientos del diseño determinan las características de la representación más adecuada. La bondad del sistema de representación se evalúa en el contexto de la aplicación en la que se lo utiliza 58