Geometría del triángulo

Geometría del triángulo
Si construimos un paralelogramo, u otro polígono de más lados, con tiras de cartón y
alfileres, obtenemos estructuras que se deforman presionando.
Realizando la operación con el triángulo, no conseguiremos modificarlo: es la rigidez del
triángulo lo que hace que sea utilizado en multitud de estructuras
de construcción.
Parece ser que uno de los motivos que impuso el desarrollo de la Geometría fue la
necesidad de medir la tierra. Como sabrás, la palabra Geometría procede del griego: Geo,
que significa tierra y metron que significa medida.
En el antiguo Egipto, cuando sucedían las crecidas veraniegas del Nilo, las lindes de los
terrenos se borraban y era necesario redefinir la
separación entre terrenos. Un instrumento de
medida, que utilizaban los agrimensores egipcios,
eran unas cuerdas anudadas convenientemente, de tal
forma que les fuera fácil la construcción de los
ángulos rectos que formaban las parcelas.
(Construcción de un ángulo recto y un triángulo equilátero con una cuerda de 12 nudos)
Clasificación de los triángulos
Por sus lados
Propiedad
La suma de los ángulos de untriángulo vale 180º
A + B + C = 180°
De lo anterior se deduce que en todo triángulo
hay, al menos, dos ángulos agudos. Este hecho
nos permite clasificar los triángulos en virtud de sus ángulos.
Por sus ángulos
Entre tus herramientas de dibujo tienes un cartabón, que no es más que un triángulo
rectángulo isósceles.
Con este instrumento puedes calcular algunas distancias inaccesibles como se muestra en
el siguiente dibujo.
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Calcula la altura del techo de tu clase.
Estima la altura del instituto.
Construcción de triángulos
Conocidos un lado y sus ángulos adyacentes
Construir un triángulo con un lado de 7 cm y ángulos adyacentes de 30° y 50°.
Dibujamos como base un segmento de 7 cm y sobre sus extremos, con la ayuda de un
transportador de ángulos, dibujamos los ángulos señalados. Prolongando los lados de los
ángulos, obtenemos el tercer vértice.
Conocidos dos lados y el ángulo comprendido
Construir un triángulo de lados 5 cm y 7 cm, siendo el ángulo comprendido de 40°.
Con el transportador dibujamos un ángulo de 40° y, sobre los lados del ángulo señalamos
sendos segmentos de 5 y 7 cm, respectivamente. Uniendo los extremos de lso segmentos
por un tercero, obtenemos el triángulo.
Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Construir un triángulo con dos lados de 7 y 5 cm, y un ángulo de 30° opuesto al lado
pequeño.
Sobre un extremo del lado mayor dibujamos un ángulo de 30°. Con un compás de radio 5
cm, trazamos un arco desde el otro extremo que corta en dos puntos el lado del ángulo.
Obtenemos de esta manera dos soluciones al problema: los triángulos ABC y ABD de la
figura adjunta.
Repite el problema anterior con un lado mayor de 15 cm y comenta el resultado.

Haz lo mismo con un primer lado de 2 cm.
Conocidos los tres lados
Construir un triángulo de lados 3, 5 y 6 cm.
Desde los extremos del lado mayor trazamos dos circunferencias de radios 3 y 5 cm. El
punto de corte nos da el tercer vértice.
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¿Puedes construir un triángulo de lados 3, 5 y 9 cm?
Cuál es la condición para que tres segmentos formen un triángulo?
Actividades
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Construye un triángulo equilátero de 4 cm de lado.
Construye un triángulo con dos lados que midan 3'5 cm y 2'5 cm, de tal manera que
ambos determinen un ángulo de 45°.
Construye un triángulo con un lado de 8 cm y ángulos adyacentes de 60° y 45°.
Construye un triángulo con dos lados de 10 cm y 7 cm, de tal manera que el ángulo
opuesto al último sea de 30°.
Construye un triángulo rectángulo con un cateto de 2'4 cm y la hipotenusa de 5 cm.
Demostrar que si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 60°, el cateto adyacente
es la mitad de la hipotenusa.
Puntos notables de un triángulo
Circunferencia circunscrita a un triángulo
Se llama mediatriz de un segmento al lugar geométrico de los puntos
equidistantes de sus extremos.
Para dibujar la mediatriz, se trazan, con igual radio, dos arcos desde
cada extremo. La recta que une los dos puntos en los que se cortan
dichos arcos es la mediatriz del segmento.
Si dibujamos las mediatrices de los lados de un triangulo cualquiera, observamos que se
cortan en un punto C, llamado circuncentro, que está a igual distancia de los tres vértices
(¿por qué?). Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Actividades
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Dibuja tres puntos no alineados y construye una circunferencia que pase por ellos.
Comprueba que el circuncentro de un triángulo rectángulo coincide con el punto
medio de la hipotenusa. Esta propiedad
caracteriza a los triángulos rectángulos.
En la figura adjunta, se ha tomado como
hipotenusa de todos los triángulos un diámetro de
la circunferencia circunscrita a ellos. ¿Son todos
ellos rectángulos?
Circunferencia inscrita en un triángulo
Se llama bisectriz de un ángulo al lugar geométrico de los
puntos equidistantes de sus lados. La bisectriz divide al
ángulo en dos mitades iguales.
Para dibujar la bisectriz de un ángulo cualquiera conocido,
se trazan, con igual radio, dos arcos desde A y B. El punto
donde se cortan, junto con el vértice O del ángulo nos
determina la bisectriz.
Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto I que está a igual
distancia de los tres lados (¿por qué?). Este punto se llama incentro y es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
Actividad
Dibuja una circunferencia que sea tangente a las tres rectas.
Alturas de un triángulo
Se llaman alturas de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que son perpendiculares
a un lado y pasan por el vértice opuesto.
Las tres alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.
Medianas de un triángulo
Se llaman medianas a los segmentos que unen el punto medio de
un lado con el vértice opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado baricentro.
El baricentro tiene la siguientes propiedades:
1.- Es el centro de gravedad del triángulo.
Ata una plomada a un alfiler y pincha el triángulo por cada una de sus esquinas. El hilo
define tres rectas que son las medianas.
Si sostenemos desde el baricentro, el triángulo se mantendrá paralelo al suelo (en
equilibrio).
2.- La distancia del baricentro a un lado es la mitad de su distancia al vértice opuesto.(En
la figura anterior,
Recta de Euler
En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están contenidos en una
misma recta, llamada recta de Euler.
Arrastra con el ratón los vértices del triángulo y observarás cómo se comportan sus puntos
notables:
Actividades

Ana, Benito y Celia viven
junto al parque. Halla en el
plano el lugar en el que han
de encontrarse para que
recorran lo mismo.

Raquel desea construir en su jardín (triangular) una pista circular lo mayor posible.
¿Sabrías ayudarle a situarla?

La apotema de un triángulo equilátero vale 7'2 cm. Calcula el perímetro del
triángulo.
Relaciones métricas en el triángulo
Teorema de Pitágoras
En la figura tienes un triángulo rectángulo. Sobre
sus lados hemos construido sendos cuadrados y
calculado sus áreas. Se observa que el área del
cuadrado construido sobre la hipotenusa es la suma
de las áreas de los cuadrados sobre los catetos, es
decir,
El teorema de Pitágoras afirma que esta propiedad
se cumple en cualquier triángulo rectángulo.
En todo triángulo rectángulo se verifica que la hipotenusa al cuadrado es igual que la suma
de los cuadrados de los catetos
Actividad

Dibuja dos cuadrados cualesquiera de distinto
tamaño y copia el contorno del más chico como se
muestra en la figura.
Dibuja las líneas AB y BC y recorta por estas las líneas. Si reordenas los trozos anteriores,
comprobamos el teorema de Pitágoras.
Veamoslo desde otro punto de vista.
En la figura observamos los cuadrados ABCD y MNPQ, así como cuatro triángulos
rectángulos iguales.
Sumando las áreas de los triángulos y del cuadrado MNPQ, se obtiene el área de ABCD:
. Si desarrollamos el cuadrado de la suma:
Simplificando:
.
El teorema de Pitágoras nos permite calcular un lado de un triángulo rectángulo, conocidos
los otros dos.
La matemática americana E. Scott reunió 367 demostraciones diferentes del teorema de
Pitágoras.
Actividad

Deduce el teorema de Pitágoras del siguiente esquema:
En un triángulo cualquiera, si c es el lado más grande, entonces se verifica:
Actividades

Halla la altura del trapecio de la figura
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Halla la diagonal de un rectángulo de 4 m de ancho y 6 m de largo.
Expresa el lado de un cuadrado en función de su diagonal. Si la diagonal es 8'2 cm
¿cuál será el lado?
Hallar la altura de un triángulo isósceles de base 3 cm y altura 5 cm.
Hallar el lado de un rombo cuyas diagonales miden 7 y 4 cm respectivamente.
Si el lado de un pentágono regular mide 7 cm y el radio de la circunferencia
circunscrita es de 6 cm ¿cuánto medirá la apotema?
Deduce el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 3 cm de
radio.
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Teorema de la altura
En la figura tienes tres triángulos rectángulos: AHC,
BHC y ABC.
Aplicando el teorema de Pitágoras en los dos primeros,
tenemos:
y
Si aplicamos el mismo teorema en el triángulo mayor y sustituimos c por m+n, tendremos:
Por tanto:
afirma el teorema de la altura.
, que es lo que
Teorema del cateto
En el triángulo AHC de la figura anterior:
decir:
Análogamente, razonando sobre el triángulo BHC, se obtiene que
, es
.