V i

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
VICERRECTORÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
PROGRAMA CENTROAMERICANO DE MAESTRÍA EN MATEMÁTICA
GItAFOS Y GRUPOS
María Isabel Ashaw Mea
Tesis presentada como uno
de los requisitos para optar
al grado de Maestro en
Ciencias con especialización
en Investigación de
Operaciones.
Panamá, Repúbhca de Panamá
1996
I
UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
Programa Centroamericano de Maestría en Matemática
UD
CD
CD
CD
,.,
■•
probado por:
"Z-c7i
DR. ROGELIO ROSAS
Director de Tesis
/
DR. JAIME GUTIERME2
Micallro del Jurado
M.Sc . PEDROMARRON1
Miembro del' Jurado
Fecha:
Je
Mzld
CIILICIAD UNIVERSITARIA
OCTAVIO MENDE2 PEREIRA
ESTAFETA UNIVERSITARIA
PANAMA, REPUBLICA DE PANAMA
DEDICATORIA
A ti SeXcer Todopoderoso que nunca te has apartado de mi
A mi madre Amelia, quién siempre espera Lonfiada el logro de
mis metas
A mis hijos Ariel Alberto y Jorge Isaac, quienes llenan mi
vida de alegr a y spn mi inspiración
AGRADECIMIENTO
Quiero expresar mi más sincero agradecimienta
al
Prafesor Rociello Rosas quien en un instante r tiLa en el
desarrollo de este trabajo me brindé el apryo humana y la
rolaborarión académica que hi leran posible su ulmina 1 n
Al Profesor Pedro Marrone quien desinteresadamente me
pr parLionó los medias para la ransecuslin del material
biblicgráfica básico para la investigación, además de haber
heLhu rDntaLto I_Dri investigadnres de otras universidldes y
localizado articulos que enriquecieron la misma
Al Profesor Jaime Gutiérrez por haber revisad
proyecto
inicial
de tesis y
haber
hecho
mi
val irsas
sugerencias
A
la
Licenciada Greta Salazar por
su
atinada
colabora ión en 1' que se refiere al trabajD metan qráfi o
,
GRAFOS
o
§
o2
5<
ol
%
1
I 5(1
u
1
1
1
1
1
figura 0.1
INDICE
CONTENIDO
Página
RESUMEN
1
INTRODUCCION
2
CAPITULO 1
NOCIONES BASICAS SOBRE LA TEORIA DE GRAFOS
6
1 1
Definición de Grato
1 2
Gratos Especiales
10
1 3
Operaciones Sobre Gratos
17
CAPITULO 2
EL GRUPO ASOCIADO A UN GRAVO
7
23
2 1
Definiciones
24
2 2
Operaciones Sobre Grupos de Permutaciones
28
2 3
Grupos de Automorfismos para Gratos Especiales
31
2 4
Otros Grupos Asociados a un Grato
37
CAPITULO 3
EL GRAVO ASOCIADO A UN GRUPO
45
3 1
Grafo de Color de Cayley
46
3 2
Automorfismos
51
3 3
Propiedades
55
3 4
Productos
64
3 5
Gratos Cayley
67
CONCLUSIONES
69
RECOMENDACIONES
71
BIBLIOGRAFIA
72
-1-
RESUMEN
En el presente trabajo hemos estudiado los resultados
de Konig Y Frucht quienes respondieron constructivamente a
la pregunta ‘ Cuándo un grupo abstracto dado es isomorfo al
grupo de automorfismos de un grafog La prueba de Frucht
está basada en el teorema de Cayley sobre el grafo de color
de un grupo
En
nuestra
investigación
hemos
encontrado
una
interesante relación entre la teoria de grupos, la teoria de
grafos y la topologia, tal como se describe a continuación
a cada grafo se hace corresponder el grupo de automorfismos
del grafo que preservan adyacencia, y reciprocamente dada
una presentación de un grupo es posible construir un grafo
que lo represente
El grafo de color de Cayley. Por otra
parte
dada una superficie es posible construir el grupo
fundamental correspondiente y el grafo de numero cromático
máximo asociado a la superficie
Sin embargo, en nuestro
trabajo nos hemos ocupado en analizar y proveer
las
demostraciones a los teoremas y proposiciones encontrados en
la literatura correspondiente a grafos y grupos los cuales
en la mayoria de los casos aparecen sin demostraci5n
Summary
Konig asked When is a given abstract group ispmorphic
with the group of some graphg Frucht answered this
question constructively based on Cayley's theorem about the
color graph of a group
We have studied these results in details providing all
the proofs which are left to the readers in the papers and
monographs consulted In our research we have found that
there exists a beatiful relationship between group theory
and graph theory as described in Konig's and Frucht's works
Also we found out about the fundamental group and the graph
of maximun chromatic number associated with a given surface
Nevertheless, we have paid special atent ion only to the
earlier problem possed by Konig about groups and graphs
-2--
INTRODUCCION
Al estudiar los tópicos fundamentales de la teoria de
gratos nos preguntabamos si es posible definir una
estruLtura de grupo sobre la colec ión de todos los grafos
finitos de cierto orden A pesar de no haber encontrado una
respuesta afirmativa a la interrogante anteripr nos
planteamos el siguiente problema el cual nos dispusimos a
estudiar Determinar o construir el grupo que represente a
un grafo dado y en el otro sentido, dado el grupo y su
conjunto de generadores buscar el grafo asociado, el cual
desde cierto punto de vista es una gráfica del grupo
Este trabajo ha tenido como fuentes bibliográficas
principales los libros Grafos Grupos y Superficies de
Arthur White y Teoria de Grafos de F Harary los cuales
tienen el defecto de que la mayoria de los teoremas y
proposiLiones aparecen sin demostración Asi, este reporte
contribuye
a enriquecer la bibliograf a existente
al
t..
presentar de manera ompleta y auta ontenida la InterlL iun
entre grafos y grupos Por lc tanto este trabajo sirve
Lomo material de apoya a estudiantes de 11 LiLenLiatura en
Matemática, profesores e investigadcres Interesados en los
fundamentas matemátiLos de la teor a de orafJs
El informe de la investigación está organizado en tres
Lapitulos Cada apitulu es antecedido par una breve
Introducción, e Ilustrado completamente (a rolores) para
esLlare er las definiciones y teoremas, y eventullmente se
realizan algunas observariones y comentarios referentes a
las proposiciones pertinentes al rapitula
El
primer
definiriones
capitulo
presenta
un
LnmpendiJ
de
conLeptos y teoremas básicas de la teoria de
grafos tales como grato, grafos esperiales, isomJrfismo
entre
grafos, uperaciones entre orafos,
et
tod s
Importantes para relacionar las propiedades de los graf s
-4-
con las propiedades de sus grupos asociados y viceversa
En el capitulo dos se determina la interacción entre
las teorias de grafos y grupos Aqui, primeramente
presentamos algunos conceptos básicos sobre grupos de
permutaciones, y definimos tres operaciones binarias entre
ellos Los resultados de Teoria de Grupos que se utilizan
en este trabajo son clásicos y los mismos pueden encontrarse
en cualquiera de las obras de Algebra Moderna citadas en
la Bibliografia, romo por ejemplo en las de Kurosh y L
Radice, por esto en el texto omitimos referencias directas
Continuamos con la demostración de teoremas que indican
algunas conexiones entre las operaciones con grafos y las
operaciones entre grupos de permutaciones Ppsteriormente,
determinamos el grupo asociado a un grafo dado, el grupo de
automorfismos del grafo, el cual induce a su vez el grupo de
automorfismos inducidos del grafo, el cual forma parte del
-5-
grupo de autnmprfismos ppr aristas del mismo qrafp
La interacción entre la teoria de grafos y la teor a de
grupos via grupo-grafo se presenta en el ter er apitulJ, en
el cual se define para cada presentación de un grupo el
grafo de Lolor de Cayley, que no es mas que la qráfiLa del
grupo dado Además estudiamos el carácter reflexivo de lus
grupps Esto es dada una presentaciSn de un crup r el
grupo de automorfismos del grato de color de Cayley asrriado
es isomprfo a
r
La correspondencia presentada en la figura O 1 ilustra
la ronjunLión entre la teorta de grafDs y la teDril de
grupos descrita en esta introducción, es precisamente esta
LDnJun ión la que desarrollamJs en este trabajD
CAPITULO 1
NOCIONES BÁSICAS SOBRE LA TEORIA DE GRAFOS
-7-
En este capítulo presentamos la terminología básica de
la teoría de gratos necesaria para el desarrollo de nuestro
estudio Además, definimos algunas operaciones entre gratos, las cuales nos sirven para construir gratos más complejos Cada una de las definiciones, conceptos y operaciones
son ilustrados a través de ejemplos sencillos, los cuales
son utilizados frecuentemente en nuestro estudio
1 1 DEFINICION DE
Definición 1 1t
GRAFO
Un Pseudografo es una terna (G,V(G),E(8)),
en la cual G es un conjunto no vacio, V(G)
es un subconJunto no vacío de G cuyos elementos llamamos vértices, y E(0) es una
familia de pares no ordenados de vértices
de V(3) A los miembros de E(8) los denominamos aristas Si a y b son los vértices
de la arista, esta se denota por Ca,b3
Definición 1 2:
Un lazo es una arista de la forma ['sople),
con v en V(G)
Definición 1 3:
Una arista es múltiple si aparece más de
una vez en E(G)
Definición 1 4t
Un grato es un pseudografo (G,V(G),E(G))
que no contiene lazos ni aristas múltiples
-8-
Por
simplicidad de
escritura, en lo que
sigue nos referiremos solamente al grato
Definición 1 S: Sea G un grato Dos vértices upv e V(6)
son adyacentes si x = Cu,v1 e E(6)
En
este caso, los vértices u y v son incidentes a la arista x Las aristas Eu,v)
y
Cu r io] son adyacentes si u y vweV(0) y
Cupvl e E(G), v 0 w Por simplicidad, en lo que sigue escribiremos simplemente uy para referirnos a la arista Cu r v3
Definición 1 6: Sea G un grato y v e V(G) El grado del
vértice v, d(v), es el cardinal del conjunto de vértices que son adyacentes con v,
y lo denotaremos de la manera siguiente:
d(v) = '<u e V(G)/ uy e
Definición 1 7: Un grato etiquetado es un grato 6 en el que
cada uno de sus vértices tiene un "nombre"
Definición 1 O: El orden p y el temario q de un grafo G son
los cardinales de V(G) y E(6) respectivamente
-9-
Ejemplo 1 O:
Definamos a 6 por
V(6) = iy y, y, y )
I 2
E(G) =
9
•
(y v ,vv
,v v ,vv ,vv e vv
19 14 29 24 94
I
Entonces el grato 0 se puede representar
por la figura 1 la 6 1 1 b
En este caso d(v) = 3 para todo v en
1
V(G) y p = 4, q = 6
El grato G es un
grato etiquetado
Vi
Q
Vi
Vi
Vi
A
G
Vi
Va
(a)
figura 11
o
Teorema 1 10:
En todo grato O,
E
d(v) = 2q
Demostracidru Sea 6 un grato
Al sumar
los grados cada arista es contada dos veces, por lo tanto la suma de todos los
grados es igual a 2q •
Corolario 1 11: En todo grato O, el número de vértices de
grado impar es par
Demostraeldru Sea G un grato
y
%UD = ív
en V(G)/d(v) es impar), y análogamente
V (6) = (1.9 e V(6)/d(v) es par)
Claramena
te, V(6) = VI (6) u V2 (6) Por el teorema
1 10, resulta que
2q =
y
d(v)
d(v) =
+ )1 d(v)
ve? <411)
de donde
d(v) = 2q vs-v
<CP
InEV (0)
y
d(v)
~
d
en
Ahora bién, el primer miembro de esta igualdad es una suma de números impares, y a
la vez es un número par por ser diferencia
de dos números pares Esto
sólo
puede
suceder si el número de sumandos es par
Por lo tanto, IV 5 (6)1 es par •
1 2 GRAFOS ESPECIALES.
Definición 1 12:
Un multigrafo es un pseudografo que no
contiene lazos
Definición 1 13:
Un grato dirigido o digrafo es una terna
(6,V(8),E(6)) en la cual V(6) es un subconjunto no vacío de 6, y E(6) es un conjunto
de pares ordenados de vértices distintos de
V(6) El par ordenado (a,b) recibe el
nombre de aristas dirigidas El grafo base
de un grato dirigido 8 es aquel que se
obtiene eliminando la dirección de las
aristas
Nota 1 14*
Si el conjunto de vértices del grato es
infinito el grato es infinito
Ejemplo 1 15:
En la figura 1 2 se ilustran las definiciones anteriores
o o
Dirigida
Arista Multiple
Pseudografo
figura 1.2
Definición 1 10* Un subgrafo H de un grato G es un grato en
la cual V(H) S V(G) y E(H)
5
E(0) Si
V(H) = V(G), el subgrafo H es un subgrafo
cobertor de 13
-12-
Definición117: Sea0un grafoy 00SSV(8) El subgra
fo generado <S> es el subgrafo maximal de 8
con el conjunto de vértices igual a S (es
decir, EC<S>1 = <uy e ECO/ u m v e S> El
grato O - v, v e V(0) es el subgrafo
<V(0) - v>, es decir, el grato original
omitiendo el vértice v y todas las aristas
adyacentes a él El grato 0-x, x e E(0) es
el grato original omitiendo la arista x
Ejemplo 1 10:
El grato de la figura 1 3 b es el subgrafo
generado por S = (v e ve , v4 > ó <6 - ve > y
el subgrafo de la figura 1 3 c 6-x es un
subgrafo cobertor de G (figura 1 3 a)
t'y:1111.3
Definición 1 10: Una trayectoria de un grato 8 es una secuencia alternada de vértices y aristas
v
Of?V »pX t V
i
n
n
que comienza y
-13-
términa con vértices Cada arista incide
en el vértice precedente y en el siguiente,
la longitud de la trayectoria es n Si
vo = v , la trayectoria es cerrada; en
caso contrario, es abierta
Si consideramos la trayectoria vo ,xl ,v1 , ,vn-o xn , v n
del grato 6 es claro que si V(H) = (v o, ,vn ) y E(H) =
(x ,x) entonces H es un subgrafo de S, esto nos permite
identificar la trayectoria anterior como un subgrafo de 6
Definición 1 201 Una trayectoria de un grato es simple si
todas las aristas son distintas Si
además, todos los vértices son distintos es
un camino
Definición 1 21: Un ciclo es una trayectoria cerrada de un
grato 6 con un minimo de 3 vértices todos
ellos distintos
Definición 1 22: Un grato Euleriano es aquel que puede ser
expresado como una trayectoria simple cerrada
Definición 1 23: Un grato Házalltoniano es un grafo 6 que
tiene un ciclo cobertor
-14-
Definición 1 24: Un grato es conexo si para cada par de
vértices existe un camino que los une Una
componente conexa de 6 es un subgrafo manmal conexo de 6
Nota 1 25:
El grato 6 de la figura 1 3 es conexo
Definición 1 26: Sea 6 un grato
La distancia entre dos
vértices cualesquiera de 6 se puede definir
en términos de la siguiente función
d V(6) x 1/(6)
IR', en donde 11(11,v) es la
longitud del camino más corto que une a u
con v si tal camino existe, en caso contrario d(u,v) =co
Definición 1 27: Dos gratos 6 1 y
ez
son isomorfos, 6 1 a
60
si existe una función bayectiva e de V(6 1 )
sobre V(6) que preserva la adyacencia;
esto es, uy e E(3 1 ) si y sólo si e(u)e(v)
pertenece a E(62)
Definición 1 22: Un automnrfismo de un grato es un isomorfismo de G consigo mismo
Definición 1 29: Un grato regular de grado r es un grato G
cuyos vértices tienen todos grado r
-15--
Teorema 1 30:
Sea e:V(6) • V(6) un isomorfismo entre
0 y
; entonces d(e(v)) = d(v), para todo
a
v en V(6 )
t
Demostración: Como 6 es isomorfo a 6a por
O,
se tiene que e es un isomorfismo que
preserva la adyacencia por lo tanto, d(v) =
d(e(v)) para todo v e V(6 2 ) m
Corolario 1 31: Si 8 t es regular de grado r y
entonces 02 es regular de grado r
Demostración: Sean 6 y 6 dos gratos it
somorfos, entonces existe e:V(6 2 ) + V(62 ) y
por el teorema 1 30
d(e(v)) =
✓ v e V(G) Sea v e V(6) entonces existe
un único u e Y(G) tal que e(u) = v, como
d(u) = r = d(e(u)) = d(v) el teorema queda
demostrado m
Corolario 1 32: Si los vértices de un grato 62 tienen grado
d
5 d 5
5 d
n y los vértices de un
grato 82 tienen grado 1= 25 c 2 5 5 c n
Si
d Oc,para algún 1515n, entonces 6
t
y 62 no son isomorfos
Demostracidma Sean 6
y 6 grafos cuyos
t
vértices tienen grado d 5 d 5 S d
y
t
2
respectivamente
C < C S S C
Sea
z
-16-
elV(6 )
V(62 ) tal que e(ta ) = v, a = 1,n
y además, d ( u ) = d l , y d(v) = c l
Supongamos que 61 y 62 son isomorfos por
eyque dl Oc l para algún 1515n
Entonces por el teorema 1 30 d(o(u )) =
d(v) para todo u en V(6), esto es
1
d
C
para todo 15i5n, lo cual es
=
L'
una contradicción •
Definición 1 33: El grato complemento del grato 6, denotado
por á, es un grato cuyo conjunto de
vértices es V(6) y su conjunto de aristas
E(a) contiene todas las aristas que le
hacen falta a E(6) para que 6 sea regular
de grado p-1
Definición 1 314: Un grato bipartito es un grato 6 cuyo conjunto de vértices V(8) puede ser dividido
en dos subconjuntos disJuntos no vacíos
V(6) y V (6) de manera tal que, cada arista
de 6 tenga un vértice en V(6) y el otro en
V (8)
Teorema 1 35:
Un grato no trivial 6 es bipartito
sólo si todos sus ciclos son pares
SI
y
-17-
Demostración:
v v un ciclo en un grafo biSea v v 2
n I
t
partito 8, y asumamos que, v i e
v e V3 (8), y n deberá ser par
Supongamos que 8 es conexo, con ciclos
pares solamente Consideremos a v o e V(8)
e V(8)/ d(u,vo ) =
fijo Sea Y
= 0,1,
n Entonces n es finito y 8
es conexo, y Vo,VIL ,
conjunto V(G)
Vo partxciona el
Ahora, ningún par de
vértices en V son adyacentes, puesto que 8
no contiene ciclos de orden 3 También,
ningún par de vértices en V o son adyacentes, o 8 deberá contener un ciclo de longitud 3 o un ciclo de longitud 5 En efecto,
cada arista en O es de la forma (u,v),
dondeueV r veV 1.44 e para algún= 0,1,
, n-1 V será la unión de los V para i
impar, y Va será la unión para i par, así 8
es bipartito u
1 3 OPERACIONES SOBRE GRAFOS.
Definición 1 38: Consideremos los gratos 8 1 y
ea en donde
V(8 ) n V(8) = 0 Definimos las siguieni
tes operaciones entre 8 1 y So:
-18-
a Sea 8 = 6 u 8 con
I
a
V(6) = Y(S) u V(6
y
)
2
E(S) = E(0) u E(8 2
)
Así por ejemplo,
26
=Gu6
n6 = (n-1)8 u 6, n 2 3
b
c
gratos
8 = 6 +6 es la suma de dos
t
a
donde V(6) = V(6 ) u V(62 ) y
t
E(6) = E(8 t) u E(6a ) u
fu v / u e V(6) y v e V(8))
I j
1
1
a
j
6 = 6 x 6 es el producto
cartesiano
1
a
de dos gratos para el cual
V(8) = Y(0) x V(8)
t
a
E(0) = ((Cu ,v),(u ,v )]/u
1.
y
1.
r
1
= u
t
vv e E(8), si v = v
2
: Y
i
y
tatmi e E(61 ))
y
d
3
Si 6 = GIS
]
es la composición de
dos
gratos entonces
V(6) =
Y(S) x V(63 ) y
t
E(S) = «(u ,v ),(u ,v )1/
a
j
r
a
E(8 ) ó
1
U1 = u1 y v v
ll ti e
i. i
J
y
e E(8 ))
a
Ejemplo 1 37: Las operaciones descritas en la definición
anterior aparecen :lustradas en la figura
14 y 1 5
-19-
VI
G2
Ci
V3
Vi
Vi
Ui
v
Vi
.I 1
VI
Va
vi
•
•
•
V3
UI
GI
(ui
vi)
a
(u1
en X Ca
en
taz
VI)
figura 1.4
•
tia P2)
T
(132
.1)
ftla n)
-20--
bu
vi)
en (Gil
(vital)
G2 (Cul
(vi tal)
(vi tal)
figura 1.5
-21-
Nótese que en general 6 1 [62 3 0 Eiz (6 1 ) (ver figura 1 5)
(Ibservese además que mientras podemos hacer ne, no es posible hacer + 6 +
+6 n veces
Definición 1 30: a
P
b
C
c
K
d
Rn
n
n
denota el camino de longitud n-1
denota el ciclo de longitud n
denota el grato completo sobre n
n
vértices; este grato tiene (:) aristas
denota el grato totalmente discone-
xo sobre n vértices, esto es E(R) = 0
e
K
K
In.n
man
denota el grato bipartito completo,
=k m +Rn
Equivalentemente,
K man
está
definido
denota un grato
n-partito
por Rmn = Km U Kn
f
Kpi ppit ,
, pn
completo
KPI .P2 ,
plan = gPs
RPa
RPfl y
una suma iterada En el caso especial
de que pz = p z = = p = m, nosotros
diremos que el grato es n-partito color
pleto regular
mm. a = K n(Rm
g On denota el grato n-cubo definido
recursivamente por
O =K
a
0=0 xK ,
a
í
na2
-22-
En la figura 1 6 se ilustra de manera sencilla algunos
grafos descritos en la definición 1 38
4:::
a—
!—
.—
-e
e
cd
1
•
•
•
e
Ka
figural.6
CAPI TULO 2
EL GRUPO ASOCI ADO A UN GRAFO
-24-
En este capitulo se muestra que existe una estrecha
relación entre la teoria de gratos y la teoría de grupos
Aqui se presenta el grupo asociado a un grato arbitrario,
esto es, el grupo de automorfismos del grato Se introducen además, algunas operaciones que se pueden realizar con
los grupos de automorfismos y que son pertinentes a este
trabajo
2 1 DEFINICIONES.
Definición 2 1: Una Permutación de un conjunto finito no
vacío X es una biyección de X en si mismo
El conjunto de todas las permutaciones de X forma un
grupo respecto a la composición de funciones Cualquier
grupo cuyos elementos son permutaciones sobre un mismo
conjunto objeto se llama grupo de permutaciones
Definición 2 2 El orden de un grupo de permutaciones
está dado por el cardinal de
r
r
y el grado
del grupo por el cardinal de X
Definición 2 3 Sea
r un grupo de permutaciones de un con-
juntoXyxeX
El conjunto
rx = (y(x)/ y e r>
se llama
órbita de x bajo la acción del grupo
r
-25-
Definición 2 41, Uh grupo de permutaciones
r
es transitivo
si existe una única órbita en la acción de
✓ sobre X Un grupo de permutaciones
regular si es transitivo y si
r es
irl = pc;
r y ro son isomorfos, r ro, si
Definición 2 5: Dos grupos
existe una biyección ear
ro tal que 0(a(3)
= occoo(p), para cualesquiera a y p en
r
La Inyección e se llama isomorfismo
Definición 2 O: Dos grupos de permutaciones
r y ro
(ac-
tuando sobre los conjuntos X y Y respectivamente) son equivalentes si:
a r ro
:O Existe una biyección f de X sobre Y
tal que f(ax) = O(a)/(x), para
cualesquieraxeXyaer; con O un
isomorfismo entre
si r
✓
Teorema 2 7:
y
ro
r y ro
son equivalentes escribimos
ro
El conjunto de todos los automorfasmos del
grato 8 con la composición usual de funciones forma un grupo de permutaciones
llamado el grupo de automorfismos del grato
O, el cual es denotado por A(6)
-26-
Demostración: Sea O un grafo
A(G) 0 O pues idáv) = v, Y v e V(G) es
evidentemente un automorfismo
Sean a, ft automorfismos de A(G) y v i y vz
vértices adyacentes en G
Entonces
(a o (3) (va ) es adyacente con (a o p) (v z )
En efecto
(Uva ) es adyacente con ft(v z ) pués p
automorfismo de A(G)
es un
Finalmente, a(p(v t ))
es adyacente con a(ft(v z )) pués a también es
un automorfismo de A(G), lo cual muestra
que A(G) es estable para la composición
La asociatividad en (A(G), o) es obvia
id
o (v) = v, para todo v e V(6) define un
automorfismo el cual evidentemente es la
identidad de A(G)
Sea a e A(G), entonces ei4 : V(G) • V(S) es
una biyección que preserva la adyacencia
En efecto si v 1 , v II e V(G) son adyacentes
entonces v = a(w ),
v
a(w )
a
a
-1
Luego Cra Vt ° wt y a (v3 ) = w
son
a
adyacentes pues a es un automorfismo de
A(0), y así a-te A(G) Por lo tanto,
(A(G), o) es un grupo m
Nota 2 O:
Todo automorfismo de O induce también una
-27-
permutación en E(G)
Ejemplo 2 9:
Definamos a G por V(G) = (v i , va , v a v 4
y E(G) = Cv l va ,víva ,vav a ,vav4 ,v av4 / cuya
representación gráfica aparece en la figura
21
Vi
Xi
-4111
Vé
11
Vi
Vi
X3
figura 2.1
Los elementos del grupo A(G) son las siguientes 4 permutacione , ; que preservan la
adyacencia
(v )(v 2 )(v )(v )
a
4
(v14
v )(v2 )(v ) y
Teorema 2 10:
A(G)
(v1 )(v 29
v )(v ),
4
(v v )(v v )
14
2
A(Ú)
Demostración:
Sean e A(G)
•
A(&)
y
f V(G). V(IÚ) ambas funciones idénticas, y
observemos que la adyacencia es preservada
-28-
en el grato si y sólo si la no adyacencia
es preservada •
Teorema 2 11:
(Teorema de Cayley)
Todo grupo finito es
isomorfo a un grupo de permutaciones
r
Si el grupo
tiene orden n, entonces
r
es isomorfo a
un subgrupo de Sn
Las operaciones pueden definirse sobre grupos en general, pero para nuestro estudio las definiciones las daremos
en términos de la acción de un grupo sobre un conjunto
objeto especifico
2 2 OPERACIONES SOBRE GRUPOS DE PERMUTACIONES
Sean
r
y
r,
grupos de permutaciones que actuan sobre
los conjuntos objetos X y Y respectivamente Consideremos
las operaciones binarias definidas de la siguiente manera
Definición 2 12:
a)
La suma,
r + r ,
(o producto directo)
actúa sobre la unión disJunta X U Y,
r +r =
ta +a/aer,a er) y
(a + a')(z) = { a(z), si z e X
si z e Y
b) El producto,
r x r, ,
(o producto car-
tesiano) actua sobre X x Y,
-29-
r x re - ((a x a')/a e r, a' ere)
y
(a x &)(a r y) = (ax, a'y)
e) La composición, rcre3, actúa sobre L'Y
como sigue: Para cadaaery cual
r a (donde
quier secuencia al, a:,
d = 11) en ro, existe una única permutación en rcre], escrita como (a; a:,
a'
r a') tal que
a'
,a) (xpy ) = (ax r a'y )
(a; a:, a:,
d
t
t j
Teorema 2 13:
r 4- ro
r x ro
Demostración: Sean r y re dos grupos de
permutaciones que actúan sobre X y Y respectivamente
Sea e r +
rP •
r x re
la función
e(a + a") = a x a'
1) Probemos que e es biyectiva
Supongamos que
0(a+a1 )
=
e(0+0'),
así
axa' = pup,
Luego para todo (x,y)eXxYse tiene que
Coxa/Ma r y) = (0X0 1 )(x,y)
= fix, para todo x e X
lpl Y = ft'y, para todo y e Y
Así fax
y se tiene a = p y a' = pt
Entonces a + a' = fi + pe y e es inyectiva
Por otro lado, ¿Será cierto que para todo
-30-
0130' e rxr°,
existe ata' e
r+re
(lxp , 9
e(a+a , ) =
Sea purre rxrP, podemos elegir
a' =
tal que
a =
pr para obtener Worin) = cOxfr
p
y
Luego,
O es suryectiva
a) Verifiquemos que e es un homomorfismo
Sean a 4. a', p + ir
elementos arbitrarios
de r + rr
Ler(a+a°)o(n*P')] = 0(a+W) o 0(014-(P) 1
En efecto,
((a+c0)0(04.0 9
))(z)
= Carlaw)((p*fir)(z)),
para todo
zeXUY
(~)(fi(z)) si z e X
Carla9
)(p1 (z)) si z e Y
{
(ata') o
ezP(z)
si z e X
a'ffl(z)
si z e Y
cp+p = 00 + a p
Así pues, e((a+av) o
(p+p, )] = e(ap+ampf)
= *(3 x a'011
Por otro lado, (0(a+c0) o (e(0410))(x,y)
= e(a+c0)((fix(r)(x,y))
= e(ata')(0%,ffly)
= (axa')(P(x),0 9
(y))
= (a(OX),a'gry))
Por lo tanto, e(a+a') o ocp+p, › = opxcep,
Luego e es un homomorfismo biyectivo m
Los siguientes teoremas muestran algunas conexiones
entre las operaciones gráficas definidas en el capitulo
anterior y las operaciones de grupo de permutaciones definidas anteriormente Los grupos Gn, An, Zn, y Dn son respectivamente el grupo simétrico, los grupos alternantes de
grado n, el grupo cíclico de orden n, y el grupo dihedrico
de orden 2n
2 3 GRUPOS DE AUTOMORFISNOS PARA GRAFOS E:SPEC1ALES.
Teorema 2 141
Si G es un grafo conexo, entonces A(nO)
E
(A(8)1
Demostración: Sea 8 un grato conexo, A(8)
su grupo de automorfismos asociado y G n el
grupo de permutaciones sobre n elementos
El grafo ne está constituido por n componentes conexas iguales a G Indiquemos por
(k,v) el vértice de v de la k-ásima componente de ne Un automorfismo a en A(nG)
actúa sobre (k,v) de la siguiente forma:
a(k,v )= (a(k),a k (V)) donde a e Sn y
os, e A(G)
Definamos 0:8 CA(8)1 • A(nO) por la regla
e(cucti ,a21
v a ) = a donde
a V(nG) • V(n8) está definida por
-32-
a(k,v) = (a(k), al (v)), a e S
osce A(0)
Como a es
que
una Inyección se tiene claramente
permuta los vértices de V(n0), demos-
a
trando así que
está bian definida
e
Ahora bian,
amn )
(ct,a ect2
= («ya"
o (fi,(3 efik
49n )(1,v j )
")(011),p(v2)
= (a(P(1)),atku (pfv?))
= ((cooft)(i),(a_
p(t)
o
p t mv»
j
Luego,
0((apa a
e 2
A ) o
cp,(3 t 43a
))
= ((aop)(k),aptifl oak (v j
a 0(02, %Ala
n
v1)
ea - oft)(k,v)
p (n) n
= 0(aorta
's oft
/ni) a
= e(ct r a a
I
43 ))(k r
o
mock),p k (V j ))
oari ) o Og3,(3 1 492
,firt ) ( k Vi )
Entonces o preserva los productos
Sean
(oqaeas yan )
Y
(1413 1 02
automorfismos de S CA(G)2 tales que
°(apas an ) =
(k v j )
OCP;fit
Or?
en ~S) es decir:
e(cgal gan )(k,v j ) = e(3,(1 1
(a(k),ak (v j
)
0j, )(k,v)
)) = ((flk),((v j ))
Lo anterior sucede si
= fi ( v
todo
para
a(k) = p(k)
y a
O sea, si y sólo si a = A
k
(v )
j
y
-33-
a =
pk
Sea
a e
Luego e es inyectiva
A(nS) entonces para cualquier
(kpv ) se tiene que:
a(k,v ) = Ca(k)pose (v
))
= e(oucti an )(k,n
)
Luego existe (cgas Atn ) e
SJA(G)2 tal
que °(apas an ) = í
Por lo tanto, e es suryectiva
Sea f:XxV(S) • V(ne) definida por la regla
/(i ' y ) = (i r le
) (el vértice v
J
i
1-ésima componente)
J
f
f((apal
de la
evidentemente es biyectiva Además,
Atri )(1,v))
=
= (a(1),a i (v 3 ))
= e(aicti an )(i,v)
° 0( 04m1 a n )(f(x,v))
Luego A(nS) a Sn EA(3)2 que era lo que se
quería demostrar m
Teorema 2 15:
Si ninguna componente de S I es isomorfa con
una componente de Ga, entonces A(81 u ea )
A(S ) + A(S )
a
En este teorema la hipótesis de que ninguna componente
de S es isomorfa con una componente de S pone en evidencia
el hecho de que los vértices del grato S I no pueden ser
-34-
permutados con los vértices del grafo 6 3 Esto es, cualquiera que sea el vértice v en V(li t u 62 ) una Inyección
a
en
A(13 1 u 8 2 ) deberá permutar el vértice v con v si ambos
pertenecen a 6 1 o si ambos pertenecen a 6 2 por medio de aen
A(8) si v ' V
t
e Y(0) y por p en A(6) si v
,V
J
e V(0 )
2
Entonces t(v) = a(v), si v e Y(0)
(v), si v e V(6 2 )
Y esta lógicamente coincide con el producto directo de
A(13 ) con A(6 )
2
Por otra parte, resulta interesante conocer el grupo
asociado a la unión de varios grafos en los cuales existe
una cantidad finita de ~ponentes isomorfas, por lo que
presentamos el siguiente teorema
Teorema 2 16:
Sea 6 un grato arbitrario, descompongamos a
8 por
8 = npi
u
nsitiau
u
nr6r ,
donde
ni
es el número de componentes isomorfas a Gt
Entonces
A(6) s Sn t [A()3
Eit + SnEA(8 )3+ +SnCA(6)3
a
r
r
Demostración: Sea 8 = nE Un6u u
n 6
I1
1
Z 2
r r
con n igual al número de componentes de G
isomorfas a 6
Consideremos la afirmación
A(6)s J.‘
ZISn LA(6 )3 y procedamos por inducción sobre r
Para r = I, A(8) e
n6
t entonces por el
teorema 2 14 A(S) s Sn [A(6)1
a
a
Verifiquemos la afirmación para r = 2
= n 161 u n 262 y por el teorema 2 15
A(n6) + A ( n262 )
A(nS U n6 )
1 I
22
t1
s Sn a [A(6)1+
Sri 2[A(6 2)]
á
Supongamos que para r = k se verifica:
A(n6 u ne u unyk ) a Sn[A(6 ))+Sn[A(6 )1+
la
aa
t
3
+ Sn [A(6 )1
k
&
Ahora si r = k + 1 tenemos:
A(n tett) na6au
u n 6
)
k ku n k+Arha
s A((n1fi1u-n262u u n k6k )U n 6 ))
Acn9„.nyau Luck )
E
(Teo 2 15)
+Sn [A(61 )3
k
k
)4 aplicando la hipótesis
Sn(A(011))+Sn [A(6 )1+
I
+
I
2
(S
SnWIt(A
k+t
inductiva y el teorema 2 14 nuevamente e
Teorema 2 17:
es isomorfa con
it
entonces
Si_ninguna componente de
una componente de
Eit ,
A(6 + G ) s A(G) + A(S)
£
2
Demostración: Sean g y g ia los grafos
complementarios de S t y Sa respectivamente
Supongamos que ninguna componente de 6
a
es
isomorfa a alguna componente de Elk
Es evidente que S k + Ca = Is
U
az luego
A(6 +6) s A(iu a), además por el teorema
a
t
3
2 11 se tiene que
UNIVERSIDAD DE pANAmA
-36-
A(13+8) a A(8+8 ) asi
I 2
A(8 +8 )
1 2
II
2
E Mg U g )
2
A(Ú) +
(teorema 2 15)
AO3+8 ) e A(8 )+ A(8 ) (teorema 2 10) e
2
1 2
Con respecto a los gratos especiales flK C n
m n
y
K nCKm1 vale el siguiente resultado
Teorema 2 10:
a A(K ) es
b A(C) a D
c A(K ) aíSES 3,
n m= n
2
mm
S +5,mon
n
d A(K CK
1) a S CS 3
n m
n m
Observación:
En el grato Kn cada vértice es adyacente con el resto
de los vértices asl las n' permutaciones que se pueden realizar preservan la adyacencia Entonces resulta evidente
que A(Kn ) a Sn
Realizando el producto cartesiano de V(1( n )xV(Km ) se
observa que los vértices del grato compuesto K n CK2 son
adyacentes todos entre si Por lo tanto, cualquier vértice
de V(( )2V(K ) puede ser permutado de n' maneras con cualquier otro vértice de la misma columna 6 permutado con cualquier otro vértice de otra columna con las n* permutaciones
Este grupo coincide con SnC501
-37-
Consideraciones parecidas se pueden hacer con respecto
a las otras afirmaciones del teorema
2 4. OTROS GRUPOS ASOCIADOS A UN GRAFI).
Definición 2 10: Dos gratos 6 y H (con conjuntos no vacíos
de aristas) son isomorfos por aristas si
existe una biyección e: E(8)
E(H) que
y
preserva la adyacencia, esto es x e
tienen un vértice común en 6 si y sólo si
0(x), e(y) tienen un vértice común en H
La función e recibe el nombre de isomorfismo por arista
Teorema 2 20:
Si8yHson isomorfos (con conjuntos no
vacíos de aristas), entonces ellos
son
isomorfos por aristas
Demostración: Sean 6 y H dos gratos isomorfos Entonces existe una biyección
enV(6) • V(H) tal que V uy e E(8) se tiene
que e(u)0(v) pertenece a E(H) Supongamos
que uvyvw, upewson dos aristas adyacentes en 8 Como 8 y H son Isomorfos se
tiene que e(u)0(v) y 0(v)0(w) son aristas
en E(H) y como e(u) 0 e(w) las aristas son
adyacentes, luego e preserva la adyacencia
de las aristas
Por lo tanto , e es un isomorfismo por
-38-
arista •
Definición 2 21: Un isomorfismo por arista inducido es un
*
Isomorfismo e :E(6) * E(H) definido por
*
e (uv) = e(u)0(v), donde e V(8) • V(H) es
un isomorfismo entre 8 y H
Definición 2 22: Ut, automorfismo por arista de un grafo 8 no
vacío es un isomorfismo por arista de
sobre si mismo
Teorema 2 23:
El conjunto de todos los automorfismos por
aristas del grato 8 con la composición
usual de funciones forma un grupo de permutaciones llamado el grupo de automorfismos
por aristas del grato, el cual es denotado
por Av(8)
Demostración, Es Inmediata m
Teorema 2 24U
El conjunto de todos los automorfismos por
aristas inducidos del grato 8 con la composición usual de funciones forma un grupo de
permutaciones llamado el grupo de automorfismos por aristas inducido, el cual es
*
denotado por A (6)
Demostración: Sea A(8) = Ce:E(8) •
a
e es un isomorfismo por arista inducido)
-39-
* *
*
Definamos la operación e 00 = <E oe)
2
It
*
Así A (8) 0 O, pues id : E(0) • ECO), es
o
el automorfismo inducido por id a de V(S)
sobre V(8)
•
La asociatividad en A (0) resulta del hecho
siguiente
*
<0 o O ) o e
a
s
*
*
a
= (0 o e )* 00*
2
3
a
= (O o e o e ) *
a
a
í
*
*
= (0 o(e o c ) )
a
la
a
*
*
*
= e o (e o e )
a
a
a
•
La identidad id o : E(S) -. E(S) es el elemento neutro pues
*
*
*
id o a = (id o a) = a
o
o
*
Sea e un automorfismo por arista inducido,
*
(Ø ••5 *
*
o e
entonces id = (e lo e) =
o
Similarmente, id* = (00‘1 ) * = (0) *0(er-1 ) *
o
*
Luego (0* ) -I = (0-1 )
En conclusión, <A * (9)00 es un grupo •
Ejemplo 2 2S:
Considérese el ejemplo de la figura 2 1
El grupo A(S) cuyos elementos son
(V)(V )(V )(V) p(V )(V V )(V),
2
2
1
2 2
(VV
)(v )(v ) y <y v )(vv )
a
3
3
t •
induce las siguientes permutaciones de las
aristas:
(3: )(3: )(a )0: )(x ),
t
2 a • 5
(XX )(XX )(X ),
5
4
5
(X X )(X X )(X ),
•
13 5
2
y
-40-
(x x )Cx x )(x )
1 8
45
2
As!, el grupo de automorfismos por aristas
*
inducidos A (G) está formado por las anteriores permutaciones
Nota 2 20:
Es evidente que A* (G) c Ao(G)
Por
ejemplo en la figura 2 1 la permutación de
las aristas (x 1x )(X )(X)(X) pertenece a
2
8
*
W(G) pero no a A (6)
Teorema 2 27:
*
Sea G un grato no trivial A(0) te A (S) si
y sólo si G no contiene dos o más vértices
aislados y no contiene a Ka como componente
conexa
*
Demostracidma Sea a
la permutación en
*
A (G) la cual es inducida por la
permutación a en A(B) Por la definición
*
de multiplicación en A ce), tenemos que
a *e
ft = (a p,
i para cualesquiera a y
(3
en
MG) Asi que la función eaa -o a. de A(G)
*
en A (G) es un homomorfismo de grupos En
efecto
e(qp) = (ap)* . ote(3*
e(a)0(0)
De aqui que ACG) t A* (0) si y sólo si el
kernel de e es trivial y e es suryectiva
Supongamos que A(0)
A* (0)
Entonces
-41-
a 0 id (la permutación identidad) implica
*
*
que a 0 id
Si 8 tiene vértices aislados v y v , podes
z
mos definir a e A(0) por a(v) = y, a(v2 )
=v v y a(v) = v, para todovque no per.
tenezca a ív,v
Entonces a 0 id pero
*
a= id, lo que es una contradicción
Si K
2 es una componente de 8, tomamos la
arista de K como x = v v
y definimos
2
i a
a e A(8) exactamente como anteriormente
*
para obtener a 0 ad pero a = id, lo que
es una contradicción
Así pués, si A(8)
a A* (8), 8 no contiene
dos o más vértices aislados ni a K como
componente conexa
Supongamos que A(8) no contiene dos o más
vértices aislados y no contiene a K a como
componente de 8 Si A(8) es trivial, entonces A(8) fija cada arista y A * (8) es
trivial, por lo que la afirmación es evidente
Supongamos que existe a e A(8) con a(u) = v
0 u Entonces el grado de u es igual al
grado de v puesto que a es un automorfismo
Además, como u y v no son aislados este
grado no es igual a cero
-42-
Caso 1: u es adyacente a v Sea x = uy
Puesto que K2 no es una componente, el
grado de u y v es mayor que uno
De aquí que existe una arista y 0 x la cual
*
es incidente con u y a (y) es incidente
*
con v Por lo tanto, a (y) 0 y y así
*
m w id
Ceso 2: u no es adyacente a v Sea x una
*
arista incidente con u Entonces a (x) 0 x
*
y así m 0 id
En conclusión, si a 0 id y allw id* entonces
e es inyectiva
La suryectividad de e es evidente m
Teorema 2 29:
Sea E(G) 0 0; entonces AF(G) A* (G) si y
sólo si
1CyK
no son simultáneamente
a
componentes de G, y
2 Ninguno de Kla
x v K4 -
X,
K4 es una
componente de G
El teorema anterior resulta interesante pués pone
en
relieve la existencia de un Isomorfismo entre el grupo de
automorfismos inducidos por aristas y el grupo de
automorfismos por aristas, salvo algunos casos especiales
como lo son los siguientes:
-43-
y C no deben ser componentes de
ID
a
porque si lo fueran se podría considerar el automorfismo por
1 Los gratos K
arista de 8 que muta todas las aristas de K a a con todas las
aristas de C y reciprocamente, dejando fijas las restantes
aristas de 8 Obviamente este automorfismo pertenece a
*
A'(6) pero no a A (0), pues ningún automorfismo de 6 puede
permutar vértices con grados distintos, Así A* (8) 5 AP(13)
2 En el caso del grato completo
K4 9
este se puede conside-
rar como un cuadrado con dos diagonales y obviamente un
automorfismo por arista seria aquel que consiste en permutar
las diagonales y dejar fijas las demás Al quedar fijas el
resto de las aristas los vértices quedan fijos y claramente
este automorfismo es la identidad de A(8) la cual induce la
*
identidad en A (8), por lo tanto el automorffsmo descrito
anteriormente no pertenece a A * (8) y no existe entonces
isomorfismo
3
Sobre el grato K a a + x podemos considerar el
automorfismo por arista que se ilustra en la figura 2 2, el
*
cual pertenece a A , (8) pero no a A (8) pues el automorfismo
no preserva los grados de adyacencia de los vértices
Teorema 2 29: Sea 8 un grato conexo de orden p 2 3,
*
entonces A(8) 1 A' (0) 8 A (S) si y sólo si
8
K + x, K- x, K
s
les
El teorema precedente es consecuencia directa de los teore-
-44--
mas 2.27 y 2.28 y nos facilita trabajar únicamente con el
grupo de automorfismos A(G).
\cZ\v
3
zY
figura2.2
CAPITULO 3
EL GRAVO ASOCIADO A UN GRUPO
-46-
En el capítulo anterior se estudio el grupo asociado a
un grafo arbitrario En el presente capitulo mostraremos en
forma reciproca que a cada grupo se le puede asociar un
grafo, más precisamente el grato de Color de Cayley
3 1 GRAVO DE COLOR DE CAYLEY
Definición 3 1
Sean
r
un grupo y A = (g i,g 2,
junto de
-t
gz
r
de
r
un subcon-
Denotamos por A' = tg::
A es un conjunto de generadores
si cada elemento de
r
se escribe como
producto finito de elementos de ALA' A la
igualdad entre dos productos finitos de
elementos de ALA' se llama relación
Teorema 3 2
Dado un conjunto arbitrario de símbolos A y
un conjunto de relaciones entre estos,
existe (salvo isomorfismos) un único grupo
r
con conjunto generador A y cuya estructu-
ra algebraica depende de las relaciones
dadas
Definición 3 3 Si el grupo
r
es generado por A = (g i ,
fi ) y si cada relación en
r
puede ser
deducida de las relaciones P = P', Q = Q',
R = R' , entonces escribimos
g z,
/P = P', Q = Q' t R = R'
que <g i ,g z ,
r =
<g z,
> y diremos
/P = P I , Q = O t , R = Rt,
-48-
A continuación ilustramos la definición 3 5 describiendo el grafo de color de Cayley asociado al grupo
Se
de
las permutaciones de tres objetos distintos
Ejemplo 3 6:
El grafo C(S 9)
Sean r y s las permuta-
ciones siguientes
r
—•
x2
s
x3
—0
x2
X2
x3
X3 -•
x3 x2
Es fácil verificar que r o 5 -1
=sor
equivalentemente que s -lor=ros
ó
Por
lo tanto, una presentación P de S e está
definida por P(S e) = <r, s/ros -t = sor>
Recordemos que de la tabla de composición
de S
se deduce que
a
S = (id, r
s, s r o s, s o r)
a
Además cada elemento de S
a
se representa de
la siguiente forma:
Id = r o r, id = s il o s, r = id o r,
r=soros e s=iclos,s=sor o r,
z
5
=sol:4s =rosor, ros=ro Se
2
Y' o 5 = 5 o ro Sor =S
o
r,
sor =r osos
De acuerdo con lo anterior el grafo C p(Sa)
consta de seis vértices y doce aristas
-49-
dirigidas tal como se muestra en la figura
3.2.
eil
figura 3.2
-50-
OBSERVACIONES
1 Cuando sea conveniente se denotará el grato de color
de Cayley asociado a la presentación P del grupo
el simbolo C
A
(r),
r
con
donde A es un conjunto de generadores
de r
2 Como un grupo
r
puede tener más de un conjunto de gene-
radores, el grato
C6(r)
depende tanto de
r
como del
conjunto generador A que se escoja
3 Entre los elementos y propiedades de
r
podemos estable-
cer la siguiente correspondencia con su respectiva contraparte en C(r)
Grupo
Grafo de color de Cayley
cán
Elemento
Vértice
Generador
Conjunto de aristas (brigadas del
mismo color
Inversodeungenerador
El numno onurdo de anotas
~ciado a h, pena con dirección
contraria
Producto finito de
elementos de ati U ki
Trayectoria
Producto finito de
elementos del grupo l'
Sucesión de trayectonaa
Producto finito de
elementos de it U A'
que se reduce a la
identidad
Trayectoria cerrada
Solubilidad en A de la
ecuación rx = s
El Stufn Can es un diSsuf°
débilmente conexo
-51-
3 2 AUTOMDRFISMOS
Anteriormente, definimos el automorfismo de un grato G
como una permutación de V(G) que preserva la adyacencia Un
automorfismo de un grato dirigido deberá preservar la adyacencia dirigida; y un automorfismo de un grafo de color de
Cayley también deberá preservar el color correspondiente a
cada adyacencia Veamos la siguiente definición
Definición 3 7 Un automorfismo de un grafo de color de
Cayley
V(C
cr»
gt,g 2
en
ch(r)
es una permutación e de
sobre V(C
r
A
(r)
tal que, para todo
y h en A: g lh = g 2 si y sólo si
e(g i)h = 0(9 2) = E(g ih)
Proposición 3 8: e es un automorfismo de
C6 (r)
si y sólo si
para cadageryhen A, E(gh) = e(g)h
Demostración: Sea e un automorfismo de
CA (r ) y sean g en
r
y h en A
Entonces
49(g h) = 0(g)e(h), pero como e es un automor fismo de C A (r)
e(h) = h, luego e(g h) =
e(g)e(h) = e(g)h
Sea e: V(C
(r»
V(C
(r))
una permutación
tal que e(g)h = E(gh) para cadagery
heA Sean g l ,g2 eryhe A tales que
g = g h Entonces
a
O(g) = e(gh) =
E(g i)h
Similarmente, si 0(9 2 ) = e(g i)h por
la
-52--
propiedad de e, tendremos que e(g t)h =
e(g th), luego e(g 2) = e(g ih)
Así por la inyectividad de eo, g 2 = g ,h m
La proposición anterior implica que el diagrama de la
figura 3 3 es conmutativo, es decir los automorfismos T h y
e conmutan
Th
p. nc(r»
1,
E)
1
e
• vw(r))
vcc w
Th
figurita
Como es de esperarse, la colección de todos los automorfismos de ca(r) es un grupo, llamado el grupo de automorfismos de C
(r)
el cual es denotado por 121(C A cm
El teorema siguiente nos revela que los grupos
r
y
(r)) tienen una relación muy especial, la cual no depenA
de de la presentación de r escogida y por ende tampoco de-
ACC
pende de
A.
Teorema 3 9
Sea CA(r) cualquier grafo de color de Cayley para el grupo finito r;
ACC
A
cr»
r
entonces
(independientemente de la
presentación seleccionada para
r)
-53.-
ACC A cr»
Demostración Definamos a r
e vccticr»
por la regla a(g) = eg donde
vcc Acr»
esta definida por eg(g t) = gg t
Verificaremos primero que eg e
Como
eg es una biyección de
r
AccAcr»
sobre
r,
es
claro que eg permuta los elementos de
vcch (r))
Además, se tiene que eg(g th) =
g(g th) = (gg l )h = 09 (g)h
con lo cual se
muestra que eg es un automorfismo del grato
de rotor C (r) y se prueba así que a está
A
bién definida
Veamos ahora que a preserva los productos
*
*
*
a(gg ) = egg,
en donde egg es definida
*
*
por •gg
(g t ) = gg (g t )
= eg(g *g t )
= eg(e * (g t ))
9
= (s o e *)(g t)
9
9
Así pues a(gg * ) = a(g) * a(g * ,
Sea g e ker a, entonces eg = id
para
todo g t e
dondeg=eer
r
es
decir,
se tiene que gg t = g t ,
de
Concluimos que Kera = Ce>
de donde a es inyectiva
Solo resta probar que a es suryectiva Sea
s e A(C
A
(r)
identidad de
de
r
Sea s(e) = g, donde e es la
r
Como cualquier elemento g *
se representa como un producto finito
-54-
g
*
haya donde los h
hal ti
a
radores de
r
l son geney los aj = ± 1 se tendrá que:
e(g * ) = e(eg * ) = o(e)h> h:á h:m
*
= 0(e) g
= gg
= eg(g * )
Luego e = eg= a(g)
Lo cual prueba que a es suryectiva y se
completa así la demostración del teorema u
Sea
r
un grupo y C 6 (r) su grafo de color de Cayley
asociado donde A = (6 6
í 2
.6)
Considérese el grafo G
construido a partir del grafo de Cayley
cas (r)
de
la
siguiente manera
Reemplazamos cada arista (g ,g ), donde g= g 6
caminot. v,u,u„
v
tj
Lj
J
por un
En el vértice u (u ,) agregau
14
mos un nuevo camino p(p ) de longitud 2k-1(2k) 1 Sk5n
(ver figura 3 4 para el caso k = 2)
si
figura 14
-55-
Observación:
Si en G se tiene una secuencia de vértices del tipo
ti
ti
donde las longitudes de los caminos "verticales" son del
tipo 2k - 1 y 2k entonces g 2 = g 2 452 y 9 2 y g 2 e
Teorema 3 10
r
Todo grupo finito es el grupo de automorfismos de algún grafo
Demostración Considérese el grafo G definido anteriormente y sea A(G) su grupo de
automorfismos Es claro que A(G)
ACC A cr»
=
r
3 3 PROPIEDADES
Es claro que todo grato de color de Cayley es regular y
conexo, el reciproco no siempre es verdadero Basados en el
ejemplo 3 G, en el cual se exhibe el grafo de color de Cayley asociado al grupo S te, describiremos el grafo G cuyo
conjunto de automorfismos es isomorfo a S
ilustrando así el teorema 3 10
a
(figura 3 5),
-56-
Ii
figura 3.5
El grato anterior contiene n(m+1)(2m+1) vértices, donde
m es el número de generadores y n el número de elementos del
grupo Este método es ineficiente para un gran número de
elementos y generadores del grafo
Veamos ahora, algunas propiedades de los gratos de
color Cayley
Teorema 3 11:
r es conmutativo si y sólo si para cada par
de generadores h l y h it , la trayectoria
h ah
es cerrada
Demostración Sea r un grupo conmutativo,
r
á
gg= gg,a en particular para todo
a s
h I ,11 e A, generadores se tiene que hh 2=
es decir, para cualesquiera
g pa e
-57-
h h .
2*
De la tabla de composición tenemos que
id o h =h
h oh =h oh
1
2
id o h = h
z
z
h oh
2
1
=h oh
2
2
1
Además por hipótesis h l o h 2 = h 2 o h i , como
consecuencia el siguiente
subgrafo (figura
r.
3.6) forma parte del grafo asociado a
hz
•
id
hz
figura 3.6
Ahora, veamos el proaucto h h h -th -t •.
t 21 z
idoh = h (Arista dirigida de id a h de
1
1.
1
de color h )
a
h oh = h oh (Arista dirigida de h
1 2
i 2
a
h oh de color h)
a
(h oh )011
1 2
a
2
= h o(h
a
z
l
2 1
= h o(h
= h
a
-t
t
aoh ) = (h oh )oh
a
t t
a
(Arista dirigida
versa de h oh
2
a h
inver-
z
de co-
lor h ).
h
2
oh
-*
= id (Arista dirigida inversa de
a
h
a
id de color h ).
a
Por lo tanto, la trayectoria h h h -l h -lk es
aEa z
-58-
cerrada.
Recíprocamente, supongamos que para cada
par de generadores h a y h 2 la trayectoria
h h h -th -a es cerrada.
121
2
De la tabla de composición tenemos que
id o h =h
1
1
id o h = h
z
a
h oh=h oh
1
h
2
2
1
2
oh=hoh
1
2
a
Veamos el siguiente subgrafo (figura 3.7)
(r).
de C
7
id
h2
010:11
figura 3.7
Como la trayectoria h h h -1 h -1 es cerrada
1 2 1 2
h oh y h oh son el mismo vértice y esto
1
a
2 1
es válido para cualesquierah,h
t
2
así
Definición 3.12:
r
elly
es conmutativo..
Un elemento de un conjunto generador A para
un grupo
r
es redundante si éste puede
escribirse como producto de los restantes
generadores. Un conjunto
minimal si éste no
generador es
contiene generadores
-59-
redundantes
Teorema 3 13
Sea
r
un grupo finito (infinito)
Un gene-
rador h es redundante si y sólo si al eliminar todas las aristas de color h en C A (r)
resulta un grafo dirigido fuertemente
(débilmente) conexo
Demostración Sea
nito) Si C
A
(r)
r
un grupo finito (infies fuertemente ronexo
despues de haber eliminados todas las aristas de color h es porque existe un ramino
h az h an,
desde id a h de la forma h as
s
2
ron h generadores de A y a= ± 1, esto es
h es redundante
Sea C
A
(r)
el grato de color de Cayley de
r
y h un generador redundante en A
Sean g , g vértices de C
cr) '
un camino p
qua va de g t a g, es del tipo
p =
h l>
h:m
donde los
at
son enteros
positivos y los h t son generadores de A
Si h aparece en p, como es redundante se
puede sustituir por un producto finito de
potencias (positivas) de generadores de A
distintos de h Por lo tanto, h no aparece
en el camino y el grafo
C(r)
sin las
aristas de color h es fuertemente conexo m
Teorema 3 14:
Si h no es redundante, al eliminar todas
las aristas de color h resulta una
colección de subgrafos isomorfos disJuntos,
cada uno representando el subgrupo de
r
generado por el conjunto generador de
r
menos h
Demostración Sea
r
un grupo y C A (r) su
grato de color de Cayley asociado Sea h
un generador no redundante en A Al eliminar todas las aristas de rolor h, el grato
se convierte en un grato disconexo porque
las componentes que contienen a la identidad y al generador h son disjuntas Veamos
que cualquier componente C es Isomorfa a
Lci
por lo tanto todas son isomorfas
La biyección e Cld •CV definida por e(g)
= hg t es un homomorfismo En efecto
Si g e g e C La con g = g 6 6 e A\h
0(g ) = e(g 6)
= hg , 6
= (hg l )6
= 0(9 1 )6
Luego e preserva el color (adyacencia)
Por lo tanto, las componentes son isomorfas
y cada una representael subgrupo de
generado por AXhi u
r
-61-
Teorema 3 15:
Sea
r
un grafo finito con un conjunto gene-
rador ~nal
a
r h , phi ), y O un
(pro-
2
piedad necesaria) un subgrupo cuyo conjunto
generador es Ch ,h ,
2
p h ).
r
2
, c k las componentes del
C
hi
(r),
obtenido
eliminación de las
Entonces
n
de
C
r
c ,
t
grafo
dirigido
A
aristas
es normal en
Sea
(r)
de
C
por
a
r
la
color
h
si y sólo si
a
las
aristas dirigidas eliminadas de cualquier
componente c l estaban dirigidas a una misma
componente c
Demostración:
t.) Asumamos las condiciones dadas
C
= n
Sea
la componente que contiene a e, sea
ge C l yrer Mostraremos que rgr -le
b
Escribiremos a r=a
a es un generador de
l
a
r
b
a
2
b
2 a m,
donde
y b = ± 1 Si h
ocurre en r exactamente w veces con b =+1 y
v veces con b =-1, entonces la trayectoria
que corresponde sale de e (en C ) a través
I
de w-v componentes, finalizando en
aew-v
La trayectoria correspondiente a g en
C nos lleva a otro vértice en C
i+v-v
-b
-b -b
24
1
y la trayectoria ala m
a
a
que coa
1
rresponde a r -1 retorna a Ci
ti) Supongamos que las aristas de color hl
-62-
van deCaC y
1
t
aC,10J
(Nuevamente
J
asumimos que e e C 1 )
Entonces existe g e
n
C tal que h -I gh eC , asi que
t
t
t
J
normal en r m
Se deduce entonces que para O normal en
riormente), los elementos del grupo cociente
componentes de
ch(r)
r
no es
(como ante-
Eva
son las
Reduciendo cada una de estas compo-
nentes a un sólo vértice y restaurando las aristas de color
h , se obtiene un grato de color de Cayley de
rió
En general, cuando tenemos un grato de color de Cayley
C (r) con un subgrupo O normal o no, podemos obtener un
A
'
grato lateral derecho (de Schreier) como sigue: los vértices
son las clases laterales a derecha de
arista dirigida de Og a
ny,
n
en
r,
y existe una
etiquetada con 6 e A, si y sólo
si Cg6 = OgP(es decir, si y sólo si ó e Cg ICg' Así que
Cgd es una clase lateral derecho pués las clases laterales a
derecha estan en
r
y particionan a
r
Note que un grato
lateral derecho puede ser un pseudografo, con lazos y/o
múltiples aristas Para el caso especial O = {e} el grafo
lateral derecho es Justamente el grato de color de Cayley
C
A
(r)
En la figura 3 8 se ilustra algunas ideas dadas ante-
riormente Note que O = Z a es normal en So , pero no en A4
Resulta interesante, comparar los grupos Z z X Z 4 y
D4 ,
como en la figura 3 9 Observe que los subgrupos de orden 2
generado por r es normal en Z , pero no en D De manera
2 4
4
-64-
figura 3.10
Nota 3.16:
Todo grafo conexo regular de grado par
determina un grafo lateral de Schreier.
3.4. PRODUCTOS.
Veamos ahora la relación entre producto de grupos y producto
cartesiano para grafos.
r a ambas subgrupos del mismo grupo
r,con rton r2 = e) y gh = hg V g
h e r . Entonces el producto directo de
r
a
y ra , rix r2 = Cigh/g e r2 , h e r} es también un subgrupo de r.
Si r = <l< ,..,K /W =...= Wr = e> y
m 1
r a = <K rn+i
/W
=...=
e>,
n r+1
Wr+e=
Definición 3.17: Sea
r
y
{
entonces
r x ra =
<S<
= k . k .k
1. ,J
/W ,=...= W
n 1
r+•
= e, V
es una presentación estándar para
ri xrz .
-65-
Esta operación binaria se puede extender a la clase de
todos los grupos, considerando que
e
a
r
es la identidad de
la identidad de
g e r, h e
r2),
r
),
ra
2
rá =r =
C(g,e)/g e
r,
rz
es
= C(eilmh e
), y definiendo así
rxr3 =
e
((g t h) tal que
con (g 2 ,h 2 )(9 2 , h 2 ) = (9 29 21 (\h 2 ) dada
por
la operación del grupo
Teorema 3 1111
(El teorema fundamental para Grupos ~llanos)
Sea
r
un grupo finito abellano de orden n,
x Z ,
entoncesr=ZxZx
lid
tnz
mr
donde
n m = n,
1
1=t
además, esta descomposición es tuca (Asi
mismo que m>1, al menos que n = 1, en cuyo
m divideamL-t, 1=1 r y
caso m = r = 1)
Definición 3 19 El rango del grupo abelianos r es el
número r del teorema 3 18
El teorema 3 18 especifica la estructura de los grupos
finitos abellanos El próximo teorema especifica, como un
corolario, un grato de color de Cayley para cada grupo
finito abeliano
Definición 3 20: El producto cartesiano,
CAI(r'I) x CM(r)
de dos grafos de color de Cayley está dado
por
V(C
cr )xC (r))
Ata ha
= wccr
za t
V(C(r))
A2 2
y (g,;) está unido a (102 ,9) por una
arista de color h si y sólo si
-67--
Mostraremos que los conjuntos de aristas de
los dos gratos de color Cayley coinciden
(adyacencia dirigida de color)
i) Sea (g egz ) una arista unida a (gl,g;)
por la arista de color h en C(r xr )
P t
Entonces h = k
para algún *5 I. 5 n
Si
t'
ES t 5 m, entonces h es un generador de r t ,
y (91,9) = (9 14.2 )(hpe z ) = (giGgi tt),
así que g; = g th y g; = g zh, es decir,
esta dirigida la arista de
C P(r txr a)
es también en C
color
en
(r)xC cr)
Pa t
Pa a
argumento similar se aplica para ti 5
Un
1
5n,
ast que
EccP crt xr
» 9 Ecc Pcrxr
))
a
t a '
con lo cual se demuestra el teorema •
Puesto que el grupo cíclico Z
n con presentación
n
P Z = <x/x = e>, tiene el grato de color de Cayley
n
C (Z ) = C' (donde C' denota el ciclo dirigido de longitud
P n
n
n
n), este se construye fácilmente usando el teorema 3 18 y
la definición 3 19, un grato de color de Cayley para
cualquier grupo finito abeliano
Teorema 3 22:
Sea
r
un grupo finito abeliano; entonces
C'x C'x xC' es un grato de color de Cayley
m
m
a
par a el grupo r, donder=ZxZx 3cZ
in t
mit
3 5 GRAF05 CAYLEY
Sea A un conjunto generador para el grupo
r
sujeto a
-68-
las siguientes condiciones
O
e e A.
Si 6 e A, 6-1 e A (a menos que 62 = e)
También, adoptaremos la siguiente conveción
O
Si 6 e A, 62 e cada par (g,g6) y (96,g) de aristas
dirigidos son compactadas en una sola arista no diriga
Eg,g6]
Entonces el pseudografo obtenido del grato de color de
Cayley
cit (r)
por la eliminación de las direLciones de todas
las aristas y todas las etiquetas de las aristas (colores)
no tiene lazos (por O y no tiene múltiples aristas (por
LO y (11,0, este es un grato cociente
Definición 3 23 Si A satisface (O, (10 1 y (un.) como
anteriormente, entonces el grato base del
grato de color Cayley C(r) es llamado un
grato Cayley y es denotado por
Gam
Evidentemente que, al pasar de CA (r) a G A (r), se pierden algunas propiedades estructurales
-69-
CONCLUSIONES
Basados
en
los
resultados
en
cbtenidos
esta
investigaLión podemos hacer las siguientes conclusInnes
1
La interacción entre grupos y grafos es un
que
permite utilizar de
mas
favorables
como
ara a
eiemplc
ada
prDbleml
prnblemas
de
instrumentr
metodD1 gias
enumera ión
(Polya) problemas de grafos hamiltonianDs
^
c
En general, Lualquiera que sea el grafo 8 siempre se le
puede
asu lar
un
grupp
de
automprfismos
previa
descomposición En consecuencia, por el iscmorfIsmo
establecido entre los grupos de automorfismos A(G) A*(G) y
A'(G) (salvo algunos casos especiales), podemos ver que en
iltima InstanLia la determinaLivn del grupo de autpm rfismns
del grato se reduce al siguiente problema construir el
grupa de automorfismos de un grafo cpnexo
'
...,
Las conexiones entre las operaciones gráficas definidas
-70-
los grafos y las opera'.. iones entre grupos
sobre
de
permutaciones permiten de manera directa obtener el grupp de
autDmorfismos de algunos grafus espe iales via is mIrfismn
4 Mas Interesante resulta ser el hecho de que podemos ver
al grato de rolar de Cayley,
COM]
una gráfi a
del grupo
y que precisamente el grupo
es el grupo de automorfismos
del
Cayley
grafo
de
color de
(vis
isumnrfism )
Independientemente del conjunto de generadores selercionado
para el grupo
algunas
En esta gráfica del grupo se pueden ubservar
propiedades
del
grupo
cnmo
conmutatividad
normalidad de iertps subgrupns etc Aun más este grupo
resulta ser el grupo de automorfismcs de un grafo construido
a partir del grafJ de color de Cayley
-71-
RECOMENDACIONES
1
En los rursps de teoria de grupp se le debe dar el
adecuado enfásis al estudio de los grupos finitos y de los
grupps de permutaciones
2
Los cursos de teoria de grafos deben profundizar mas los
aspectos Lombinatorios pertinentes
..,
,
Vista
la dificultad en la recopilación
de
la
bibliografia especifica de tepria de grafos se reLDmiends la
adquisición de libros actualizados de este tema
-72-
BIBLIOGRAFIA
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