Wilson Herrera 1 Guı́a de Lı́mites y Continuidad. Prof. Wilson Herrera. x2 − 5x + 10 x→5 x2 − 25 (x + 2)2 x→∞ x2 + 1 12. lı́m 1000x x→∞ x2 − 1 13. lı́m x2 − 5x + 1 x→∞ 3x + 7 14. lı́m 2x2 − x + 3 x→∞ x3 − 8x + 5 15. lı́m (2x + 3)3 (3x − 2)2 x→∞ x5 + 5 16. lı́m 2x2 − 3x − 4 √ x→∞ x4 + 1 17. lı́m 2x + 3 √ x→∞ x + 3 x 18. 1. lı́m 2. lı́m 3. lı́m 4. lı́m 5. lı́m 6. lı́m 7. lı́m x2 √ x→∞ 10 + x + x x √ 3 x2 + 1 9. lı́m x→∞ x + 1 √ x 10. lı́m q p √ x→∞ x+ x+ x 8. lı́m x3 + 1 x→−1 x2 − 1 11. lı́m x2 − 1 x→−1 x2 + 3x + 2 x2 − 2x x→2 x2 − 4x + 4 x3 − 3x + 2 x→1 x4 − 4x + 3 x2 − (a + 1)x + a x→a x 3 − a3 19. 20. 21. 22. (x + h)3 − x3 h→0 h 1 3 lı́m − x→1 1 − x 1 − x3 √ 1+x−1 lı́m √ x→0 3 1 + x − 1 √ x−1 lı́m x→1 x − 1 √ x−8 lı́m √ 3 x→64 x−4 √ 3 x−1 lı́m √ 4 x→1 x−1 Wilson Herrera 2 √ √ 3 x2 − 2 3 x + 1 23. lı́m x→1 (x − 1)2 √ 2− x−3 24. lı́m x→7 x2 − 49 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 41. lı́m x→a cos x − cos a x→a x−a 42. lı́m x−8 43. lı́m √ 3 x→8 x−2 √ 44. 3− 5+x √ lı́m x→4 1 − 5−x √ √ 45. 1+x− 1−x lı́m x→0 x √ √ 46. x+h− x lı́m h→0 h √ √ 47. 3 x+h− 3x lı́m h→0 h √ √ 48. x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 lı́m x→3 x2 − 4x + 3 49. √ √ x+a− x lı́m x→+∞ 50. hp i lı́m x(x + a) − x x→+∞ 33. lı́m x→+∞ √ x2 − 5x + 6 − x sin x − sin a x−a 1 − cos x x→0 x2 lı́m tan πx x→−2 x + 2 lı́m sin(x + h) − sin x h→0 h lı́m sin x − cos x 1 − tan x lı́mπ x→ 4 lı́m x sin x→0 1 x lı́m x sin x→∞ 1 x πx x→1 2 π −x lı́m cot 2x cot x→0 2 lı́m (1 − x) tan 1 − sin x2 x→π π − x 51. lı́m √ 2 34. lı́m x x + 1 − x 52. lı́mπ sin x 35. lı́m x→2 x 53. lı́m sin x 36. lı́m x→∞ x 54. lı́m sin 3x 37. lı́m x→0 x 55. lı́m sin 5x 38. lı́m x→0 sin 2x 56. lı́m sin πx 39. lı́m x→1 sin 3πx π 40. lı́m n sin( n→∞ n 57. lı́m x→ 3 1 − 2 cos x π − 3x x→+∞ cos mx − cos nx x→0 x2 x→0 tan x − sin x x3 arcsin x x→0 x arctan 2x x→0 sin 3x 1 − x2 x→1 sin πx x − sin 2x x→0 x + sin 3x 58. lı́m Wilson Herrera 3 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. cos πx √2 lı́m x→1 1 − x √ 1 − cos x lı́m x→0 x2 √ √ 1 + sin x − 1 − sin x lı́m x→0 x k x lı́m 1 + x→∞ x 2 + x x lı́m x→0 3 − x x − 1 x+1 lı́m 2 x→1 x − 1 2x 1 x+1 lı́m x→∞ x2 x2 − 2x + 3 sinx x lı́m x→0 x2 − 3x + 2 x2 + 2 x2 lı́m x→∞ 2x2 + 1 1 n lı́m 1 − n→∞ n 2 x lı́m 1 + x→∞ x x x lı́m x→∞ x + 1 x − 1 x+2 lı́m x→∞ x + 3 x n lı́m 1 + n→∞ n lg (1 + 10x) 73. lı́m x→0 x 74. lı́m 1 x x→0 r ln 1 + x 1−x h i 75. lı́m x ln (x + 1) − ln x x→+∞ 76. lı́m x→0 ln cos x x2 ex − 1 77. lı́m x→0 x √ 78. lı́m n( n a − 1) n→∞ eax − e−bx x→0 x 79. lı́m 1 − e−x x→0 sin x 80. lı́m sinh x x→0 x 81. lı́m cosh x − 1 x→0 x2 x 83. lı́m √ x→−∞ x2 + 1 82. lı́m 84. lı́m tanh x x→−∞ 85. lı́m tanh x x→+∞ 86. lı́m+ x→0 87. lı́m− x→0 1 1 1 + ex 1 1 1 + ex ln (1 + ex ) 88. lı́m x→−∞ x 1. Una función está dada por las formulas x2 − 4 cuando x 6= 2, f (x) = Ax − 2 cuando x = 2. ¿Cómo debe elegirse el valor de la función A = f (2), para que la función Wilson Herrera 4 f (x), completada de esta forma, sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de la función y = f (x). 2. El segundo miembro de la igualdad f (x) = 1 − x sin 1 x carece de sentido cuando x = 0. ¿Cómo elegir el valor de f (0) para que la función sea continua en este punto? 3. La función f (x) = arctan 1 x−2 carece de sentido cuando x = 2. ¿Puede elegirse el valor de f (2) de tal forma, que la función completada sea continua cuando x = 2? 4. La función f (x) es indeterminada en el punto x = 0. Determinar f (0) de tal forma, que f (x) sea continua en este punto, si: (1 + x)n − 1 (n es un número natural) x 1 − cos x f (x) = x2 ln (1 + x) − ln (1 − x) f (x) = x ex − e−x f (x) = x 1 f (x) = x2 sin x a) f (x) = b) c) d) e) f ) f (x) = x cot x 5. Averiguar si son continuas las funciones: a) y = x2 x−2 1 + x3 1+x √ 7+x−3 c) y = x− 4 b) y = d) y = x |x| e) 1) y = sin π x 2) y = x sin π x Wilson Herrera 5 x sin x g) y = ln cos x 1 k ) y = e x+1 f) y = 1 l ) y = e − x2 1 h) y = ln | tan | x 1 i ) y = arctan x j ) y = (1 + x) arctan m) y = 1 1 − x2 1 1 1 + e 1−x 2 x cuando x ≤ 3, n) y = 2x + 1 cuando x > 2. 6. Demostrar, que la función de Dirichlet χ(x), que es igual a cero cuando x es irracional e igual a uno cuando x es racional, es discontinua para cada uno de los valores de x. 7. Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos funciones discontinuas puede ser una función continua. 8. Una función f está definida como sigue: sin x si x ≤ c, f (x) = ax + b si x > c, siendo a, b, c constantes. Si b y c están dados, hallar todos los valores de a (si existe alguno) para los que f es continua en el punto x = c. 9. Resolver el ejercicio anterior si f se define de este modo: 2 cos x si x ≤ c, f (x) = ax2 + b si x > c.