LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIA
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Si P=(x,y) es un punto genérico de dicho lugar geométrico y C=(a,b) es el centro, se cumplirá que d(P,C)=r siendo r la
distancia a la que equidistan.
Entonces
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r de donde : ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 ecuación general de una circunferencia
de centro (a,b) y radio r.
Si desarrollamos la ecuación anterior queda x2-2ax+a2+y2-2by+b2-r2=0 y llamando A=-2a, B=-2b y C=a2+b2-r2 queda
x2+y2+Ax+By+C=0 que es otra forma de la ecuación general.
2
2 2
Cuando el centro es el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a x +y =r
Determinación de la ecuación de una circunferencia
Nos encontramos con dos formas de determinar la ecuación de una circunferencia:
a) Dando como datos el centro y el radio.
En este caso basta con sustituirlos en la ecuación general (x-a)2+(y-b)2=r2 y desarrollar.
b) Dando como datos , 3 puntos por los que pase la circunferencia. (ya que por tres puntos no alineados pasa una única
circunferencia)
b1)En este caso se sustituyen las coordenadas de los puntos en la ecuación x2+y2+Ax+By+C=0 obteniéndose un
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas A,B y C que una vez resueltos se sustituyen en la ecuación
general.
b2) También se puede utilizar el hecho de que las mediatrices de cada dos puntos de la circunferencia se cortan en
el centro.
Intersección de una circunferencia con una recta
Resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones se puede obtener:
* 2 soluciones distintas ⇒ se cortan en dos puntos ⇒ secantes
* 1 solución (2 iguales) ⇒ se cortan en un punto ⇒ tangentes
* sin solución (imaginarias) ⇒ no se cortan en ningún punto ⇒ exteriores
También se puede obtener la posición relativa utilizando la distancia del centro de la circunferencia a la recta y
comparándola con el radio:
d(C,s)<r ⇒ secantes ; d(C,r)=r ⇒ tangentes ; d(C,r)>r ⇒ exteriores
Intersección de dos circunferencias
Resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones podemos obtener:
* 2 soluciones distintas ⇒ se cortan en dos puntos ⇒ secantes
* 1 solución (2 iguales) ⇒ se cortan en un punto ⇒ tangentes
* sin solución (imaginarias) ⇒ no se cortan en ningún punto ⇒ exteriores
También podemos conocer la posición relativa utilizando la distancia entre sus centros y comparándola con la suma de
los radios:
d(C,C')<r+r' ⇒ secantes ; d(C,C')=r+r' ⇒ tangentes ; d(C,C')>r+r' ⇒ exteriores
Potencia
Potencia de un punto P=(p1,p2) respecto de una circunferencia C≡ x2+y2+Ax+By+C=0 es el valor constante de los
productos de las distancias entre dicho punto P y los puntos de corte de la circunferencia con cualquier secante trazada
desde P.
La potencia se halla sustituyendo las coordenadas del punto P en la ecuación de la circunferencia Pot C
P=p12+p22+Ap1+Bp2+C
2 2
Si d es la distancia de P al centro de la ciscunferencia se tiene Pot C P=d -r y entonces podemos saber la posición
relativa de un punto y una circunferencia utilizando la potencia.
Pot C P>0 ⇒ exterior; Pot C P=0 ⇒ incidente; Pot C P<0 ⇒ interio
Eje radical
Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya potencia respecto de ambas
circunferencias coincide. Su ecuación es (A-A')x+(B-B')y+(C-C')=0 (Es la ecuación de una recta)
Se puede comprobar que el eje radical es perpendicular a la recta que una los centros
1
LA ELIPSE
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante.
Los puntos fijos F y F' se llaman focos de la elipse.
La distancia d(F,F')=2c se llama distancia focal.
AA' es el eje principal ( eje donde están los focos).
BB, es el eje secundario.
Los puntos A, A', B y B' son los vértices de la elipse.
El punto O es el centro de la elipse.
Los segmentos PF y PF' se llaman radios vectores del punto P (para
cada punto P de la elipse)
La suma de distancias d(P,F)+d(P,F') es constante igual a 2a que es la
distancia entre los vértices del eje principal.
2
Relación fundamental de la elipse c
=a2-b2
Ecuación reducida de la elipse (si eje principal el eje x)
con centro en un punto o O=(0,0)
con centro en un punto O'=(x0,y0)
x2 y2
+
=1
a2 b2
Excentricidad
( x − x0 ) 2 ( y − y 0 ) 2
+
=1
a2
b2
e=
Tangente a una elipse por
un punto (x1,y1) de ella
c
<1
a
x1 · x y1 · y
+ 2 =1
a2
b
Si el eje principal es el eje y, se intercambian las variables en la ecuación.
LA HIPÉRBOLA
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias , en valor absoluto, a dos puntos
fijos es constante.
Los puntos fijos F y F' se llaman focos de la hipérbola.
La distancia d(F,F')= 2c se llama distancia focal.
AA' es el eje real (eje donde están los focos) (en la ecuación corresponde al
sumando positico).
BB' es el eje imaginario.
Los puntos A y A' son los vértices de la hipérbola.
El punto O es el centro de la hipérbola.
Los segmentos PF y PF' son los radios vectores del punto P (para cada punto
P de la hipérbola)
La diferencia de distancias |d(P,F)-d(P,F')| es constante igual a 2a (que es la distancia entre los vértices del eje real)
2
La relación fundamental de la hipérbola es c
=a2+b2
La ecuación reducida es (si el eje real es el eje x):
con centro en un punto O=(0,0)
con centro en un punto O'=(x0,y0)
x2 y2
−
=1
a 2 b2
( x − x0 ) 2 ( y − y 0 ) 2
−
=1
a2
b2
Excentricidad
e=
Tangente a una elipse por
un punto (x1,y1) de ella
c
>1
a
x1 · x y1 · y
− 2 =1
a2
b
Si el eje real es el eje y, se intercambian las variables en la ecuación.
Asíntotas de la hipérbola centrada en O=(0,0)
y=
b
x
a
Hipérbola conjugada:
y=−
b
x
a
Asíntotas de la hipérbola centrada en O'=(x0,y0)
y − y0 =
b
( x − x0 ) ;
a
b
y − y 0 = − ( x − x0 )
a
x2 y2
−
= −1
a2 b2
Hipérbola equilátera es una hipérbola en la que a=b: x2-y2=a2
Excentricidad e= 2 , asíntotas: y=x; y=-x
Si la hipérbola equilátera está referida a sus asíntotas como ejes de coordenadas, su ecuación es
xy =
a2
2
2
LA PARÁBOLA
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta dada y a un punto fijo.
La recta r es la recta directriz. El punto fijo F es el foco de la parábola.
El segmento PF es el radio vector del punto P (para cada punto P de la parábola).
La perpendicular a la directriz que pasa por el foco se llama eje de la parábola.
El punto A, donde la parábola corta al eje es le vértice de la parábola.
La distancia d(D,F) (distancia del foco a la directriz) es el parámetro p.
Ecuación reducida (si el eje de la parábola es el eje x):
con vértice en O=(0,0)
con vértice en O'=(x0,y0)
2
y =±2px
Si el eje es el eje y, se intercambian las variables en la ecuación.
(y-y0)2=±2p(x-x0)
Tangente a la parábola por el punto (x1,y1): y0y=px+px0
INTERSECCIÓN DE CÓNICAS
Se resuelve el sistema formado por sus ecuaciones y se obtiene los puntos de intersección.
CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS
Dada una cónica por su ecuación general de la forma:
Ax2+By2+Cx+Dy+E=0
A=B
A≠B; A≠0; B≠0
A=0 ó B=0
signo de A=signo de B
signo de A≠signo de B
Circunferencia
Elipse
Hipérbola
Parábola
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