Primer teorema

ACTIVIDAD PROPUESTA. Busca información sobre el método que
usó Tales para calcular la altura de una pirámide y la distancia de
un barco a la costa. Explica detalladamente como lo realizó y que
teoremas geométricos debía conocer para realizarlos.
Existen dos teoremas que reciben el nombre de Teorema de Tales, ambos
atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer
que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes
iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales
recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:
Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la
condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema
de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los
lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin
embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se
deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a
raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Corolario
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre
ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados.
Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo
se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del
teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a
modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo
pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo
grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son
semejantes, se cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es
evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su
teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En
cualquier caso, el teorema per se demuestra la semejanza entre dos
triángulos, no la constancia del cociente.
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es
otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si
las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los
segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
Una aplicación inmediata de este teorema sería la división de un
segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a números dados
(con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).
Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría
particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias
y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos
cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una
circunferencia.
Demostración: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r
el radio de la circunferencia. Por lo tanto
y
son isósceles. La
suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π
(radianes).
Dividiendo
por
dos,
se
obtiene:
(o 90º).
Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con
la bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa² = C² + C², es decir
AB²=CA²+CB².
En conclusión se forma un triángulo rectángulo.