TEMA 10: La programación lineal como instrumento para la toma de

Introducción a las Finanzas
3º Curso de Dirección y Administración de Empresas
TEMA 10: La programación lineal como instrumento para la toma de decisiones
de inversión
En la empresa existen una serie de restricciones (recursos, personal, etc.) que motivan
que su gestión tenga que adaptarse a tal circunstancia. Normalmente, las únicas
restricciones que se tienen en cuenta con carácter explícito son las financieras.
Al tratar de los criterios para evaluar la rentabilidad de las inversiones, se procedía a la
jerarquización de las mismas con la finalidad de asignar los recursos limitados a
aquellas inversiones más rentables. Pero este análisis va a resultar insuficiente por
varias razones, entre las que podemos citar:
• No se consideran las restricciones financieras en períodos posteriores al de estudio,
sino sólo en el momento actual. Pero las inversiones generan pagos a lo largo de
varios períodos y hay que tener en cuenta las limitaciones financieras que se puedan
producir en ellos.
• Sólo se considera la posibilidad de inversión en el momento presente y no en
momentos futuros.
Por tanto, nos vamos a encontrar ante un nuevo contexto para el análisis de las
inversiones que se caracteriza por:
• Un conjunto de inversiones que se pueden realizar en el momento actual o retrasarse
a momentos futuros. Es decir, nos vamos a enfrentar a una restricción de
temporalidad.
• Un período de tiempo llamado horizonte temporal que concluye cuando se obtenga el
último flujo del conjunto de inversiones estudiado.
• En cada período se dispone de unos recursos financieros limitados. Estos
compondrán las restricciones financieras.
El problema consiste en determinar que inversiones deben llevarse a cabo y cuántas
veces, así como el momento en que deben ponerse en práctica para que la rentabilidad
total y actualizada del horizonte temporal sea máxima, cumpliendo la condición de que
no sean rebasadas las disponibilidades financieras y que además se verifiquen las demás
restricciones que sean impuestas de tempòralidad, complementariedad y sustitución de
las inversiones consideradas.
El planteamiento de esta problemática se realizará a través de la programación lineal.
El problema fundamental de la programamción lineal consiste en determinar los niveles
de significación o grado de realización (xi) de las distintas variables estudiadas, de
forma que, cumpliendo todas las restricciones impuestas, consigamos optimizar la
función objetivo.
MAX Z ≡ C1 x1 +...+ Cn x n
Sujeto a las siguientes restricciones:
1
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n
∑a
1j
x j ≤ b1
2j
x j ≤ b2
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j =1
n
∑a
j =1
−−−−−−−−
n
∑a
Tj
x j ≤ bT
j =1
Y a la condición de no negatividad de las variables:
( x1 , x 2 ,..., x n ) ≥ 0
El problema a resolver es calcular el nivel de significación de las variables xi que
optimice la función objetivo cumpliendo las restricciones. Para solucionarlo, se han
desarrollado varios algoritmos, dentro de los cuales, el más utilizado es el algoritmo
del símplex desarrollado por Dantzig.
La programación lineal tiene numerosas aplicaciones en el ámbito de la economía, ya
que en definitiva consiste en alcanzar unos objetivos sometidos a restricciones
(producción, ventas, finanzas, etc.).
Planteamiento del modelo de Lorie-Savage
Este es el primer intento de plantear en términos de programación lineal el problema de
la elección de inversiones, teniendo en cuenta la limitación de recursos financieros.
Aunque en un principio sólo consideran el caso de dos períodos temporales,
posteriormente lo generalizan a T períodos anuales.
El objetivo a conseguir con este planteamiento es que el valor capital del conjunto de
inversiones seleccionadas sea máximo sin rebasar las disponibilidades financieras en
ninguno de los períodos, planteando para ello el siguiente modelo:
MAX Z ≡ V1 x1 + V2 x 2 +...+Vn x n
Sujeto a las restricciones:
S11 x1 + S 21 x 2 +...+ S n1 x n ≤ D1
S12 x1 + S 22 x 2 +...+ S n 2 x n ≤ D2
−−−−−−−−
S1T x1 + S 2 T x 2 +...+ S nT x n ≤ DT
Y a la condición de no negatividad de las variables:
( x1 , x 2 ,..., x n ) ≥ 0
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Donde:
• Vj es el valor capital de la inversión j.
• Xj es la variable asociada al proyecto de inversión j-ésimo, a la que se denomina
nivel de significación o nivel de realización del proyecto.
• Sji es la salida de caja originada por la inversión j en el año i.
• Di son las disponibilidades financieras para el año i.
• T es el número de años contemplados en el horizonte de planificación.
Tal como se ha planteado el problema, se está suponiendo que las inversiones son
fraccionables y repetitivas, ya que los xj≥0.
Si queremos plantear el problema suponiendo que los proyectos de inversión sean
fraccionables y no repetitivos, la restricción que se debería imponer para el valor de
las variables sería:
0 ≤ xj ≤ 1
Pudiéndose integrar en el programa lineal de la siguiente manera:
MAX Z ≡ V1 x1 + V2 x 2 +...+Vn x n
S11 x1 + S 21 x 2 +...+ S n1 x n ≤ D1
S12 x1 + S 22 x 2 +...+ S n 2 x n ≤ D2
−−−−−−−−
S1T x1 + S 2 T x 2 +...+ S nT x n ≤ DT
x1 ≤ 1
x2 ≤ 1
−−−−
xn ≤ 1
Y con la condición de no negatividad de las variables:
( x1 , x 2 ,..., x n ) ≥ 0
El dual de Lorie-Savage
A todo programa lineal, que llamaremos primal, le corresponde un programa dual con
las siguientes características:
1. El dual tiene tantas variables como restricciones tiene el primal.
2. El dual tiene tantas restricciones como variables tenga el primal.
3. Los coeficientes de la función objetivo del dual son iguales a los términos
independientes de las restricciones del primal.
4. Los términos independientes de las restricciones del dual son iguales a los
coeficientes de la función objetivo del primal.
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5. El sentido de la desigualdad de las restricciones del dual es inverso de las
restricciones del primal. Por tanto, el dual de una maximización es una
minimización, o viceversa.
6. El dual del dual es el primal.
El teorema fundamental de la dualidad postula que: la solución óptima de un primal y
su dual coinciden.
El dual del programa lineal de Lorie-Savage será:
MIN Z ' ≡ D1u1 + D2 u2 +...+ DT uT
S11u1 + S12 u2 +...+ S1T uT ≥ V1
S 21u1 + S 22 u2 +...+ S 2 T uT ≥ V2
−−−−−−−−
S n1u1 + S n 2 u2 +...+ S nT uT ≥ Vn
Y la condición de no negatividad de las variables:
(u1 , u2 ,..., uT ) ≥ 0
El precio dual ui con i=1, 2, ..., T es una medida de la rentabilidad marginal de los
recursos financieros disponibles en el período i . Sería lo que aumentaría el valor de
la función objetivo si se tuviera una unidad adicional de recursos financieros en el
período i para invertir. También se puede plantear desde la perspectiva de un coste de
oportunidad, ya que sería lo que dejaría de ganar la empresa por no disponer de una
unidad monetaria adicional para invertir en el período i.
Si consideramos las inversiones como fraccionables y no repetitivas, el dual se
planteará como:
MIN Z ' ≡ D1u1 + D2 u2 +...+ DT uT + uT +1 + uT + 2 +...+ uT + n
S11u1 + S12 u2 +...+ S1T uT + uT +1 ≥ V1
S 21u1 + S 22 u2 +...+ S 2 T uT + uT + 2 ≥ V2
−−−−−−−−
S n1u1 + S n 2 u2 +...+ S nT uT + uT + n ≥ Vn
Y la condición de no negatividad de las variables:
(u1 , u2 ,..., uT , uT +1 ,..., uT + n ) ≥ 0
Los precios duales u1, ..., uT, siguen siendo la rentabilidad marginal de los recursos
financieros Di . Ahora, estos ui con i=1,...,T serán menores porque tenemos un primal
más restrictivo porque la no repetitividad frena la rentabilidad de la inversión vista en
su conjunto.
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Los duales uT+j con j=1, ...,n expresan el coste de oportunidad (lo que se deja de ganar)
al introducir las restricciones de no repetitividad de proyectos.
Por tanto, al introducir las restricciones de no repetitividad:
• Disminuye el valor de los ui .
• Disminuye el valor total del primal ya que al introducir nuevas restricciones se
reduce la región de soluciones posibles.
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