Apuntes Geometría

GEOMETRÍA
I. Ecuaciones de la recta y el plano
•
LA RECTA
 Nociones básicas: vector dirección
 Formas de la ecuación de la recta:
- Vectorial
- Paramétrica
- Continua
- Intersección de dos planos
•
EL PLANO
 Nociones básicas: vectores dirección, vector director
 Formas de la ecuación del plano:
- Vectorial
- Paramétrica
- Implícita
 Haz de planos que pasan por una recta
⇒ CUESTIONES
1. Obtener puntos y el vector dirección de una recta dada en cualquier forma.
Pasar de una forma a otra cualquiera la ecuación de una recta.
2. Obtener puntos y el vector director de un plano dado en cualquier forma.
Pasar de una forma a otra cualquiera la ecuación de un plano.
3. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
4. Ecuación del plano que pasa por tres puntos.
5. Ecuación de un plano conocido un punto y un vector director.
6. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es paralela a una recta dada.
7. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano dado.
8. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpendicular a dos rectas dadas.
9. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpendicular a una recta dada cortándola.(*)
10. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpendicular a dos rectas dadas.
11. Ecuación de la recta es perpendicular a dos rectas dadas cortando a ambas.(Perpendicular común)(*)
12. Ecuación de la recta que pasa por un punto y corta(se apoya) a dos rectas dadas.(*)
13. Ecuación del plano que pasa por un punto y es perpendicular a una recta dada.
14. Ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a un plano dado.
15. Ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a dos rectas dadas.
16. Ecuación del plano que pasa por un punto y contiene a una recta dada.
17. Ecuación del plano que contiene a dos rectas dadas que se cortan.
18. Ecuación del plano que contiene a dos rectas dadas paralelas.
19. Ecuación del plano que contiene a una recta dada y es paralelo a otra recta.
20. Ecuación del plano que contiene a una recta dada y es perpendicular a un plano dado.
21. Punto simétrico de un punto respecto a un punto.
22. Punto simétrico de un punto respecto a un plano.
23. Punto simétrico de un punto respecto a una recta.
Geometría. Matemáticas II
1
II. Productos de vectores
1. Módulo
Sea

Propiedades
1.
2.
3.
r
u = 0 ⇔
r
r
k .u = k . u
r r
r
u+ v ≤ u +
r
u (u1 , u2 , u3 ) entonces
r
u =
u12 + u22 + u32
r
u = ( 0, 0, 0 )
con k ∈ ¡
r
v Desigualdad triangular
2. Producto escalar
Se define

r r
r r
r r
¶
u • v = u . v .cos u
,v
(
)
Propiedades
1.
r
u =
r r
u •u
r r
u •v
r r
¶
2. cos u , v = r r
u .v
( )
r r r
u, v ≠ 0
r r
r
r u •v
r
r
3. Sea p el vector proyección de u sobre v , entonces p = r
v
r
r r
r r
r r
4. u ⊥ v ⇔ u • v = 0
u, v ≠ 0
r r r r
5. Conmutativa u • v = v • u
r r
r r
( k.u ) • v = k. ( u • v )
6. Asociativa
r r r
r r r r
7. Distributiva u • ( v + w ) = u • v + u • w

Expresión analítica del producto escalar
Si
r
r
u (u1 , u2 , u3 ) , v (v1 , v2 , v3 ) entonces
3. Producto vectorial
r
r
Si u (u1 , u2 , u3 ) , v (v1 , v2 , v3 ) se define

Propiedades
r r r
1. u × v ⊥ u
2.
3.
4.
5.

r r  u
u× v =  2
 v2
u3
u
,− 1
v3
v1
u3 u1
,
v3 v1
u2 
v2 
r r r
, u× v ⊥ v
r r
r r
r r
u × v = u . v .sen u¶
,v
r r
r r
u × v = − ( v × u)
No conmutativo
r r r
r r r
r r r r r r
Los vectores de la base î , j , k se relacionan: i × j = k , j × k = i , k × i = j
r r
r r
( k.u ) × v = k. ( u × v )
( )
{
6. No asociativa
7.
r r
u • v = u1 .v1 + u2 .v2 + u3 .v3
Distributiva
}
r r r
r r r r
u × ( v + w) = u × v + u × w
Superficie del triángulo de vértices
A,ByC:
S=
→
1 →
. AB× AC
2
Geometría. Matemáticas II
2
4. Producto mixto
Sea define

r r r
u • ( v × w)
Expresión analítica del producto mixto
Si

r r r
[ u , v , w] =
r
r
u (u1 , u2 , u3 ) , v (v1 , v2 , v3 ) entonces
Volumen del paralelepípedo determinado por
r r r
u, v, w
r r r
[ u , v , w] =
u1
v1
w1
u2
v2
w2
u3
v3
w3
u1
r r r
V = [ u , v , w] = v1
w1
u2
v2
w2
u3
v3
w3
(en valor absoluto)
III. Ángulos
1. Entre dos rectas
Dadas dos rectas
r r
r •s
cos ( r , s ) = r r
r .s
r
r
r y s con vectores dirección r y s se tiene
2. Entre dos planos
Dados dos planos Π y Π´ con vectores directores
r
r
u y v se tiene
r r
u •v
cos ( ∏ , ∏ ´) = r r
u .v
3. Entre una recta y un plano
r
r
Dadas la recta r y el plano Π con vectores dirección y director u y v se tiene
sen ( r , ∏
)
r r
u •v
= r r
u .v
IV. Distancias
1. Entre dos puntos
Dadas los puntos A ( a1 , a2 , a3 ) , B ( b1 , b2 , b3 ) entonces
→
d ( A, B ) = AB =
( b1 −
a1 ) + ( b2 − a2 ) + ( b3 − a3 )
2
2
2
2. Entre un punto y una recta
r
Dada recta r y el punto P , siendo R un punto de r y r su vector dirección,
d ( P, r ) =
→
r
RP× r
r
r
3. Entre un punto y un plano
Dado el plano Π de ecuación ax + by + cz + d = 0 y el punto P ( p1 , p2 , p3 ) ,
d ( P, ∏
)
=
a. p1 + b. p2 + c. p3 + d
a 2 + b2 + c 2
4. Entre dos rectas
r
r
Dadas dos rectas r y s con vectores dirección r y s , y los puntos R ∈ r y S ∈ s ,
 → r r
 RS , r , s 


d ( r, s ) =
r r
r× s
Geometría. Matemáticas II
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