Practico 10

Cálculo 1 para fı́sica - año 2009
Cmat
1
Practico 10
1. Integrales de primera especie. Clasificar y hallar la suma en caso de convergencia
Z +∞
Z +∞
Z +∞
2
dx
dx
(a)
x3 e−x dx
(c)
(b)
x + e−x
x
+
1
e
0
0
0
2. Clasificar las siguientes integrales impropias, discutiendo según el valor de a > 0.
Z +∞
Z +∞
dx
dx
,
.
a
x(ln x)
x ln x(ln ln x)a
2
3
3. Integrales de segunda especie. Cuando tenemos una función no acotada en un extremo de un intervalo
Rb
[a, b], por ejemplo en x = a, y queremos calcular a f (x)dx definimos
b
Z
b
Z
f (t)dt.
f (x)dx = lı́m
x→a−
a
x
Clasificar las siguientes integrales impropias de segunda especie:
Z 1
Z 1
1
1
(a)
dx,
(b)
dx,
2
x
x
0
0
Z
1
1
√ dx.
x
(c)
0
Clasificar, discutiendo según a > 0 la siguiente integral:
Z 1
1
dx
a
x
0
Nota importante: Para las integrales impropias de segunda especie, cuando los integrandos son no
negativos, son válidos los criterios de comparación y del equivalente.
4. Integrales mixtas. Cuando se trata de una función que tiene más de un punto con lı́mite infinito, o se
incluye una integral en toda la recta, o ambas situaciones, la integral se descompone en suma de integrales,
descomponiendo el intervalo de integración en sub-intervalos, en cada uno de los cuales resulte una integral
de primera o segunda especie. Se dice que la integral es convergente cuando todas las integrales impropias
en los sub-intervalos son convergentes.
Clasificar:
+∞
Z
√
(a)
0
Z
1
(e)
−1
Z
1
(i)
0
5. Probar que
6.
R +∞
dx
x2 − 1
x2
√
dx
1 − x2
+∞
2
e−x dx
(b)
Z
−∞
1
Z
(f )
0
Z
(j)
1
ln x
√ dx
x
+∞
+∞
(c)
−∞
Z
+∞
(g)
sin2 x
dx
x
0
Z
(k)
+∞
e−x
dx
x
(d)
0
Z
+∞
(h)
−(x2 + x12 )
1
Z
x
dx
cosh x
cos x
√ dx
x
e
√
x
e−
√
0
Z
dx
x
dx
1
(l)
−1
0
√
3
dx
x2 − 1
a2
x2 )
dx converge y calcularla.
R 1 ln(x)
R +∞
a) Probar que las integrales impropias 0 1+x
2 dx y
1
R +∞ ln(x)
b) Deducir el valor de 1
1+x2
0
ln(1 +
Z
xdx
x4 + 1
ln(x)
1+x2
dx convergen y relacionarlas entre si.
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7. Hallar el valor de k, real, para que la integral
Z
+∞
(
1
x
k
−
) dx
2x2 + 2k x + 1
sea convergente.
8. Clasificar:
R +∞ sin(t)
dt
a) 1
t
R +∞ sin(t)
b) 1
dt
t2
R +∞
1
c) 0 sin(t2 ) dt. (Sugerencia: escribir sin(t2 ) = 2t sin(t2 ) 2t
y usar partes.)
R +∞ |sin(t)|
dt
d) 1
t
Observación: La convergencia de la integral de c) es sorprendente, en vista del gráfico de la función, que
se ve abajo:
1
0.75
0.5
0.25
5
2.5
-0.25
7.5
10
-0.5
-0.75
-1
Figura 1: Gráfico de la f (x) = sen(x2 )
9. Determinar los valores de α para que las siguientes integrales imporpias converjan
Z
(a)
0
+∞
xα−1
dx
x+1
Z
(b)
0
1
xα−1
dx
ln x
Z
(c)
2
+∞
sin x
dx
lnα x
Z
(d)
0
+∞
dx
(ex2 − 1)α
10. Integrales impropias con SAGE. SAGE calcula integrales impropias. Si son de primera especie escribimos
infinity en el lugar del lı́mite de integración:
integral(1/x**2,x,1,infinity)
Si son de segunda especie, las escribimos sin problema
integral(1/sqrt(x),x,0,1)
En la página de integrales, pueden, al final, ver ejemplos sorprendentes de integrales impropias:
https://sage.cmat.edu.uy:8000/home/pub/24/