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Especialización Superior en Enseñanza de la
Matemática para el Nivel Primario
Seminario de Aritmética I - Problemas para estudiar (tercera cohorte)
Problema 1
a) Analizar la validez de los siguientes criterios de divisibilidad no tradicionales:
i) Un número es divisible por 6 si es divisible por 6 el número que resulta de
sumar todas las cifras menos la de las unidades, multiplicar ese resultado
por 4 y sumarle la cifra de las unidades.
ii) Un número de cuatro cifras es múltiplo de 7 si el doble del número que se
forma al “juntar” la cifra de las unidades de mil y la de las centenas, más
el número que se forma al “juntar” las decenas y las unidades, es múltiplo
de 7.
iii) Un número de cuatro cifras es divisible por 6 si es par y la suma de sus cifras es múltiplo de 6.
iv) Un número es divisible por 15 si al sumar todas sus cifras y multiplicar
esa suma por 10, resulta un múltiplo de 15.
b) Inventar y justificar un criterio de divisibilidad por 7 para números de tres
cifras.
c) Explicar qué es un criterio de divisibilidad.
d) Explicar el criterio de divisibilidad por 11.
e) ¿Valdría igual la prueba del 9 si en vez del número 9 se consideraran los
restos en la división por 3? ¿Y por 4? ¿Y por 5? Discutir cuál será el criterio
por el cual se privilegia la prueba del nueve.
Problema 2
Estudiar la validez de las siguientes conjeturas referidas a números de hasta
cuatro cifras.
a) Un número cualquiera y el número que resulta de sumar sus cifras, siempre
tienen el mismo resto en la división por 9.
b) Un número cualquiera y el número que resulta de sumar sus cifras, siempre
tienen el mismo resto en la división por 3.
Especialización Superior en Enseñanza de la Matemática para el Nivel Primario - Tercera Cohorte
Escuela de Capacitación - CePA
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c) Un número cualquiera y el número que resulta de sumar sus cifras, siempre
tienen el mismo resto en la división por 4.
Problema 3
Al dividir un número a por 172, el cociente es c y el resto r.
a) Consideremos ahora la división del número a+171 por 172, estudiar cómo
varían c y r al hacer esa división.
b) Si se suma ahora 172 al número a, estudiar cómo varían c y r al hacer la
división de a+172 por 172.
c) Si se suma ahora 173 al número a, estudiar cómo varían c y r al hacer la
división de a+173 por 172.
Problema 4
a) Encontrar cuentas de dividir en las que el divisor es 32 y el resto 27. ¿Cuántas hay? ¿Se pueden cambiar el 32 y el 27 por otros números de manera
que
i) no haya solución?
ii) haya 3 soluciones?
iii) haya infinitas soluciones?
b) Encontrar cuentas de dividir en las que el cociente es 43 y el resto 27.
¿Cuántas hay? ¿Se pueden cambiar el 43 y el 27 por otros números de manera que
i) no haya solución?
ii) haya 3 soluciones?
iii) haya infinitas soluciones?
c) Encontrar cuentas de dividir en las que el dividendo es 67 y el resto es 7.
¿Cuántas hay? ¿Se pueden cambiar el 67 y el 7 por otros números de manera que
i) no haya solución?
ii) haya 3 soluciones?
iii) haya infinitas soluciones?
iv) ¿Cuántas cuentas hay si el dividendo es 167 y el resto 147?
d) En cada caso, describir las condiciones para que haya solución y dar un
procedimiento para obtener todas las soluciones.
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Problema 5
a) Hallar dos números a y b de modo que los números a, a+b y a+2b, tengan
todos resto 9 al ser divididos por 11.
b) Estudiar la validez de la siguiente afirmación:
Si en una división al dividendo se le suma el divisor, el cociente aumenta
1 y el resto queda igual.
c) Sabiendo que 8562 = 34 x 251 + 28, explicar cómo se pueden encontrar el cociente y el resto de hacer 8562 ÷ 34 y 8562 ÷ 251 sin hacer
las cuentas de dividir.
d) Sabiendo que 1 261 541 = 4897 x 257 + 3012, explicar cómo se pueden encontrar el cociente y el resto de hacer 1 261 541 ÷ 257 y 1 261
541 ÷ 4897 sin hacer las cuentas de dividir.
Problema 6
a) Se tienen varias tablas de las que sólo se conocen algunos números de una
columna. ¿Se puede saber cuántas columnas tiene cada tabla?
i)
8
...
30
...
52
...
74
...
ii)
1
...
14
...
27
...
41
...
iii)
9
...
21
...
69
...
129
...
iv)
13
...
29
...
¿Para el caso iv), podría decidir si el 125 está en la misma columna que el 13?
b) Estas son dos columnas de una misma tabla.
¿Se puede saber de cuántas columnas es la tabla?
1
...
17
...
33
...
41
...
5
...
21
...
37
...
45
...
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c) i) Si el número 47 está en la fila 5, ¿cuántas columnas puede tener la tabla?
ii) Idem, pero ahora se sabe que el 83 está en la fila 5.
iii) Idem, pero ahora el 243 está en la fila 5.
iv) Idem para el 24 en la fila 5.
v) Sabiendo ahora que el 51 se ubica en la columna del 7, ¿se puede saber
cuántas columnas tiene la tabla?
vi) ¿Y si es el 67 el que está en la columna del 7?
d) Se sabe que el 27 está en la columna 5 y el 46 está en la columna 8 de una
tabla. ¿Se puede saber de cuántas columnas es la tabla?
e) Se sabe que el 282 está en la fila 25, columna 7 de una tabla. ¿Se puede
saber de cuántas columnas es la tabla?
Problema 7
a) Estudiar la validez de la siguiente conjetura:
Si se suman 3 números naturales que tienen el mismo resto al ser divididos por 3, el resultado es un múltiplo de 3.
b) Cambiar en la sentencia anterior, si es posible, el número 3 (todas las veces
que aparece) por otro número, de modo que resulte una proposición verdadera.
c) Cambiar en la sentencia anterior, si es posible, el número 3 (todas las veces
que aparece) por otro número, de modo que resulte una proposición falsa.
En todos los casos fundamentar la verdad o falsedad de las proposiciones.
Problema 8
a) Considerar los números que tienen resto 12 al dividirlos por 30.
i) ¿Cuáles de ellos tienen resto 2 al dividirlos por 5?
ii) ¿Cuáles de ellos tienen resto 3 al dividirlos por 6?
iii) ¿Cuáles de ellos tienen resto 0 al dividirlos por 4?
b) A un múltiplo de 15 se le resta 6. Analizar cuáles pueden ser los posibles
restos al dividir ese número por 3, por 4, por 5, por 15.
c) Considerar los números que tienen resto 6 al dividirlos por 18.
i) ¿Cuáles de esos números tienen resto 2 al dividirlos por 4?
ii) ¿Cuáles de esos números tienen resto 3 al dividirlos por 4?
e) A un múltiplo de 28 se le resta 12. Estudiar cuáles pueden ser los posibles
restos de dividir ese número por 2, por 3, por 8, por 28.
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f) Un número tiene resto 8 en la división por 14. Estudiar los posibles restos
de ese número en la división por 7, por 4, por 3.
Problema 9
a) Un número natural es de la forma 24k+7. Estudiar los posibles restos al dividirlo por 6, por 12, por 16.
b) Un número natural es de la forma 15k+7. Estudiar los posibles restos al dividirlo por 3, por 30, por 9.
c) Un número natural es de la forma 24k-8. Estudiar los posibles restos al dividirlo por 4, por 8, por 6, por 12.
d) Un número natural es de la forma 14k+26. Estudiar los posibles
restos de ese número en la división por 7, por 4, por 3.
e) Un número natural es de la forma 8k+5. Estudiar los restos que puede tener ese número al ser dividido por 4, por 3 y por 5.
f) Un número natural es de la forma 15k–7. Estudiar los restos que puede tener ese número al ser dividido por 10, por 9 y por 5.
Problema 10
a) Se sabe que al dividir por 7 un número A se obtiene resto 5. Encontrar el
resto de la división por 7 de A+86, 2A+86, 3A.
b) A un número natural de la forma 12k+5, se le suma otro número natural y
el resultado de la suma es un múltiplo de 12. Escribir y justificar alguna
afirmación que pueda hacerse respecto de este segundo número natural
que se suma.
Problema 11
a) Estudiar la validez de las tres afirmaciones siguientes. Para cada una, si es
verdadera demostrarla y si es falsa explicar cuáles son los números que la verifican y cuáles no.
i) Si se suman 3 números naturales que tienen restos distintos al
ser divididos por 3, el resultado es un múltiplo de 3.
ii) Si se suman 4 números naturales que tienen restos distintos al
ser divididos por 4, el resultado es un múltiplo de 4.
iii) Si se suman 5 números naturales consecutivos, el resultado es
un múltiplo de 5.
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b) Se suman siete números naturales, cada uno de los cuales tiene un resto
diferente cuando se lo divide por 7. ¿Será cierto que el resultado es múltiplo de 7? ¿Siempre? ¿A veces? ¿Nunca?
c) Se tienen seis números naturales con restos distintos en la división por 6.
Se suman todos los números y se divide esa suma por 6. ¿Qué restos se
pueden obtener?
d) Se suman 6 números naturales consecutivos.¿Es posible que el resultado
sea múltiplo de 5? ¿Bajó qué condiciones?
Problema 12
Supongamos que un número A es el resultado de la suma de cuatro números
consecutivos:
1. ¿Qué resto se puede obtener al dividir A por 4?
2. ¿Puede ser que A resulte múltiplo de 3?
3. ¿Puede ser que A resulte múltiplo de 6?
4. ¿Puede ser que A resulte impar?
Problema 13
Se multiplican 6 números naturales consecutivos.
a) ¿Es cierto que este producto es siempre múltiplo de 8? Redactar una explicación que fundamente la respuesta.
b) ¿Es cierto que este producto es siempre múltiplo de 20? Redactar una explicación que fundamente la respuesta.
c) ¿Puede ser que el producto resulte múltiplo de 25? Redactar una explicación
que fundamente la respuesta.
d) Proponer otras 3 afirmaciones del mismo estilo de las anteriores que resulten verdaderas.
Problema 14
Estudiar la validez de cada una de las siguientes afirmaciones. Para cada una
de ellas, si es verdadera, demostrarla, y si es falsa, explicar cuáles son todos
los pares de números que no la cumplen.
a) Si se multiplican dos números a y b, ninguno de los dos múltiplo de 7, el
producto a·b no será múltiplo de 7.
b) Si se multiplican dos números a y b, ninguno de los dos múltiplo de 14, el
producto a·b no será múltiplo de 14.
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Problema 15
a) Se quieren distribuir 1541 bolillas en 32 cajas, de manera que en cada caja
haya una cantidad impar de bolillas. (No se pide que haya la misma cantidad de bolillas en cada caja). ¿Cómo podrá hacerse el reparto?
b) Estudiar el problema del reparto (en partes no necesariamente iguales) de
bolillas en cajas según que la cantidad de bolillas sea par o impar, la cantidad de cajas sea par o impar, y la cantidad de bolillas por caja sea par o
impar.
Problema 16
a) Si n designa un número par, ¿es posible establecer si es par
n–1, n+1, n+2, n+3, n-6, 2n, 3n, 45n, n/2 ?
b) Idem si n es impar.
Problema 17
Decidir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
a) La suma de dos números naturales consecutivos es impar.
b) La suma de tres naturales consecutivos es par.
c) Un natural por su consecutivo da siempre par.
d) La suma de tres naturales consecutivos es múltiplo de tres.
e) La suma de cuatro naturales consecutivos es múltiplo de cuatro.
f) Estudiar la misma afirmación que en d) y e) para otras cantidades.
Problema 18
Estudiar la validez de las siguientes conjeturas:
a) la suma de dos números impares consecutivos es múltiplo de 4.
b) la suma de tres números impares consecutivos es múltiplo de 3.
c) la suma de tres números impares consecutivos es múltiplo de 6.
d) la suma de tres números impares consecutivos es múltiplo de 9.
e) el producto de dos números pares consecutivos es múltiplo de 8.
f) el producto de tres números consecutivos es múltiplo de 6.
g) el producto de tres números consecutivos es múltiplo de 8.
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Problemas para profundizar
Problema 19
a) Encontrar cuentas de dividir en las que el divisor es 191 y el cociente 19.
¿Cuántas hay? ¿Y si el divisor es 19 y el cociente es 191, ¿cuántas hay?¿Qué
números se pueden elegir para el divisor y el cociente para que haya cinco
cuentas?
b) Encontrar cuentas de dividir en las que el dividendo es 129 y el resto es 9.
¿Cuántas hay? ¿Y si el dividendo es 129 y el resto 68, ¿cuántas hay?
c) Encontrar cuentas de dividir en las que el dividendo es 243 y el cociente 5.
¿Cuántas hay? ¿Y si el dividendo es 243 y el cociente es 23, ¿cuántas hay?
¿Y si el dividendo es 382 y el cociente 10? ¿Y si el dividendo es 382 y el cociente 37?
d) Proponer, si es posible, números para el dividendo y el cociente, de modo
que haya
i) una sola cuenta
ii) ninguna cuenta
iii) exactamente tres cuentas.
Problema 20
a) ¿Cuáles son todos los números que al ser divididos por 6, dan un cociente
que es el triple del resto?
b) ¿Cuáles son todos los números que al ser divididos por 8 dan como cociente
el número siguiente del resto?
c) ¿Cuáles son todos los números que al dividirlos por 5 dan un resto igual al
cociente?
d) ¿Cuáles son todos los números que al dividirlos por 6 dan un resto que es el
doble del cociente?
e) ¿Cuáles son todos los números que al dividirlos por 4 dan un cociente que
es el triple del resto?
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Problema 21
a) Cambiar en la sentencia i) del Problema 11, si es posible, el número 3 (todas las veces que aparece) por otro número, de modo que resulte una proposición verdadera.
b) Cambiar en la sentencia i) del Problema 11, si es posible, el número 3 (todas las veces que aparece) por otro número, de modo que resulte una proposición falsa.
c) Cambiar en la sentencia iii) del Problema 11, si es posible, el número 5 (todas las veces que aparece) por otro número, de modo que resulte una proposición verdadera.
d) Cambiar en la sentencia iii) del Problema 11, si es posible, el número 5 (todas las veces que aparece) por otro número, de modo que resulte una proposición falsa.
Problema 22
a) ¿Cuáles son todos los números naturales que al elevarlos al cuadrado tienen resto 3 al ser divididos por 7?
b) ¿Cuáles son todos los números naturales que al elevarlos al cuadrado tienen resto 4 al ser divididos por 7?
Problema 23
A continuación se proponen dos afirmaciones y, para cada una de ellas, un argumento posible para justificar su validez. Discuta en cada caso la validez tanto de la afirmación como del argumento. Si no está de acuerdo con el argumento, explique detalladamente sus objeciones.
Afirmación 1:
Si un número n y su cuadrado n2 tienen el mismo resto al ser divididos por 6,
entonces el número n es múltiplo de 3.
Justificación:
Sea n de la forma 3 k; entonces n2 = 3 k. 3 k = 9 k.k
Como estamos buscando que n y n2 tengan el mismo resto al ser divididos
por 6, debemos mostrar que la diferencia entre n y n2 es múltiplo de 6:
n2 – n = 9 k. k – 3 k = 3 k ( 3 k – 1) (*)
La expresión (*) es siempre un múltiplo de 6. Efectivamente, si k es par,
entonces 3k es múltiplo de 6. Si k es impar, entonces 3k es impar y 3k – 1
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es par, con lo cual en la expresión hay un factor 3 y un factor 2 y por lo
tanto resulta múltiplo de 6.
Afirmación 2:
No existe ningún número natural cuyo cuadrado termine en 2.
Justificación:
Para validar la afirmación basta con analizar qué sucede con las posibles últimas cifras de un número natural:
Si la última cifra
del número es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
El cuadrado de la
última cifras es
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
El cuadrado del número termina en
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
Por lo tanto ningún número natural al cuadrado termina en 2.
Problema 24
Considerar la expresión n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4), en la que n representa un número natural. Estudiar la validez de cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Cualquiera sea el número natural por el que se reemplace a n en la expresión anterior, se obtiene un número que termina en 0.
b) Cualquiera sea el número por el que se reemplace a n en la expresión anterior, se obtiene un múltiplo de 9.
c) Cualquiera sea el número por el que se reemplace a n en la expresión anterior, se obtiene un múltiplo de 6.
d) Cualquiera sea el número por el que se reemplace a n en la expresión anterior, se obtiene un múltiplo de 7.
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Problema 25
Decidir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
a) Dado un número de una cifra, se lo eleva al cuadrado. Se suman las cifras
del número obtenido y se le suma también el número elegido. El resultado
da siempre mayor que 10.
b) Dado un número de una cifra, se lo eleva al cuadrado. Se suman las cifras
del número obtenido y se le suma también el número elegido. El resultado
da siempre menor que 21.
Problema 26
a) Encontrar un par de números naturales que sumados de 7. ¿Cuántos pares
se pueden encontrar?
b) Encontrar un par de números naturales que restados de 7. ¿Cuántos pares
se pueden encontrar?
c) Encontrar un par de números naturales que multiplicados den 36. ¿Cuántos
pares se pueden encontrar?
d) Encontrar un par de números naturales que divididos den 12. ¿Cuántos pares se pueden encontrar?
Problema 27
Sabemos que el cociente de dividir un número n por 29 es 5 y que si al número n se le suma 10 y se divide ese resultado (n + 10) por 29, el resto es 3.
¿Cuál es el número n? ¿Hay una sola posibilidad?
Problema 28
a) El resto de dividir un número a por 152 es 141, y el de dividir otro número
b por 152 es 78. ¿Es posible saber el resto de dividir por 152 a los números
a+b
a-b
a·b ?
b) Proponer conjeturas basadas en las relaciones producidas a partir de la resolución del punto a), y validarlas.
Problema 29
¿Cuál es el mayor número natural con la propiedad de tener el mismo cociente
al ser dividido por 120 que al ser dividido por 144?
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Problema 30
a) Si n es un número impar que no es divisible por 3. ¿Se puede saber cuál es
el resto de dividir n2 por 24?
b) Si n es un número natural de la forma 60 k – 27. ¿Se puede saber el resto
de dividir n por 3, por 4, por 5, por 10 y por 15?
Problema 31
Al dividir por 12 catorce números enteros consecutivos se obtuvieron tres cocientes diferentes. ¿Cuáles son los restos de dividir por 12 al menor y al mayor
de dichos números?
Problema 32
Dos números m y n (m<n) difieren en 110. El resto de dividir m por 9 es mayor que el de dividir n por 9, y ninguno de los dos es múltiplo de 9. ¿Se puede
saber cuáles son los restos de m y n?
Problema 33
Se tiene una disposición rectangular de bolitas, como muestra el dibujo:
Problema 33
◦
◦
◦
…
◦
◦
◦
◦
◦
◦
…
◦
◦
◦
◦
◦
◦
…
◦
◦
…
… … … … … …
◦
◦
◦
◦
…
◦
◦
◦
◦
◦
◦
…
◦
◦
a) Se sabe que si se agrupan las columnas de a 30, sobran 9 columnas y si se
agrupan las filas de a 30, sobran 2 filas. Se decide empaquetar las bolitas
en cajas de a 30. ¿Es posible saber cuántas sobrarán?
b) Se sabe que si se agrupan las columnas de a 30, sobran 9 columnas y si se
agrupan las filas de a 30, sobran 4 filas. Se decide empaquetar las bolitas
en cajas de a 30. ¿Es posible saber cuántas sobrarán?
Problema 34
a) Se sabe que al dividirlos por 30, un número a tiene resto 9 y otro número b
tiene resto 2. ¿Es posible saber el resto de a·b (en la división por 30)?
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b) Se sabe que al dividirlos por 43, un número a tiene resto 13 y otro número
b tiene resto 7. ¿Es posible saber el resto de a·b (en la división por 43)?
Problema 35
a) Se tiene un número, se lo eleva al cuadrado y se obtiene un múltiplo de 4.
¿Cuáles son todos los números que cumplen esto?
b) Se tiene un número, se lo eleva al cuadrado y se obtiene un múltiplo de 8.
¿Cuáles son todos los números que cumplen esto?
c) Se tiene un número, se lo eleva al cuadrado y se obtiene resto 4 al dividirlo
por 5. ¿Cuáles son todos los números que cumplen esto?
Problema 36
Estudiar la validez de cada una de las siguientes afirmaciones. Si no son correctas, “ajustarlas” para que resulten verdaderas:
a) Para cualquier número natural n, n2 –1 es múltiplo de 8.
b) Si se multiplican tres números consecutivos, se obtiene siempre un múltiplo
de 24.
c) Si se toman 6 números que tengan distinto resto en la división por 6 y se
los eleva al cubo, se vuelven a obtener 6 números con restos distintos.
Problema 37
a) Analizar la validez de los siguientes enunciados:
i) Si un número a divide a otro P y un número b divide a otro Q, entonces la
suma a+b divide al número P+Q.
ii) Si un número a divide a otro P y un número b también divide a P, entonces la suma a+b divide a P.
iii) Si un número a divide a la suma de otros dos, entonces divide a alguno
de ellos.
iv) Si un número a divide a dos números, entonces divide a la suma de los
dos.
b) Inventar un enunciado verdadero y otro falso.
Problema 38
a) Estudiar para qué valores de a son ciertas las siguientes afirmaciones:
i) Si a divide a un número, necesariamente divide a cualquier múltiplo de
ese número.
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ii) Si a divide al producto de dos números, entonces necesariamente divide
a alguno de los dos.
iii) El producto de a números naturales consecutivos es múltiplo de a.
b) Estudiar qué condiciones deben cumplir dos números a y b para que sean
ciertas las siguientes afirmaciones:
iv) Si a y b dividen a un mismo número, entonces el producto a·b también
lo divide
v) Si un número a divide a otro P y un número b divide a otro Q, entonces
el producto a·b divide al número P·Q.
vi) El producto de los divisores de un número es una potencia del número.
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