PDF (Capítulo X: Diferenciación de los componentes tensoriales)

CAPITULO X
DIFERENCIACION DE LAS COMPONENTES TENSORIALES
A-
INTRODUCCION
Estudiaremos en este artículo la diferenciación aplicada a los tensores:
en general se puede decir que el conjunto de derivadas de las componentes de un tensor con respecto a una de las coordenadas..x c. no forman un tensor, esto es, sus componentes no se transforma'n como se transforman las componentes de un tensor; para apreciar es to supongamos que
tenemos el tensor contravariante
de 1 er Orden A":
definido en el sis,
tema curvilíneo
l
(i= 1,2
n) , si cambiamos al sistema curvilíneo
Xl' (i= 1, 2 .. n) la relación de las At: (componentes en .1<: ) con
las ÁL (componentes en :x.': ) es la siguiente:
o
o
J
o
ox~
I (_
A -
o.
A'"
) diferenciando a ambos lados con res-
djct.
pecto a
obtenemos:
,
o
aA~-=.
ax J
i
B
• ,aA~:= (aZ ,;;l~-;
10 -1' a x.J
8.Jci a;(J
•
o
d
)
f)A_
.
t- (
d j.D
La cantidad cuya componente genérica es
2J2.:;Ll __\ d'[8
a j.'c;) 1 () ) axi
é)A~
no e s un tensor ya que
so-
é)j13
bra el 20.
sumando de la derecha para que esa componente
~l..tlo
forme como tensor; solo si
d jex. d 'j {3
=O
A~
.9 JO
.d
se trans-
podemos decir que la deriva-
da de un vector contravariante es un tensor mixto de 20. Orden es decir solo
cuando la tTansformación ' de coordenadas es lineal ( la llamada transformación
t.
•
•
afin 'j::
):,J) la derivada de un tensor es otro tensor; el mismo resultado se
obtiene si tomamos otro tensor de cualquier orden y lo derivamos; por ejemplo,
•
dado Ajl(' este tensor (sus componentes! ) se transforman así:
(.l'
'dx5(
.'
x-'f
resulta:
.
•
?~~.P~C~
C> X fYY\ ~ .x. N'\
derivando con respecto a
86
•
t'
Vemos nuevamente que la derivada de, Aj'J(
no es un tensor, sobra todo el
término que está multiplicando a A Ji< ' Veremos a continuación 'que de todos
modos es posible definir una cierta operación de diferenciación ( llamada diferenciación covariante) de modo que al derivar de esta manera cualquier tensor
el resultado sea otro tensor; esta operación es por lo tanto de mucha importancia porque nos permite plantear ecuaciones tensoriales ( y por lo tanto válidas
para ~odo sistema coordenado) en términos de derivadas de tensores y es sabido que en la física y en las matemáticas las derivadas desempeñan siempre un
papel de primera importancia.
B-
DIFERENCIACION COVARIANTE
.
'
Para introducimos en es te tipo de diferenciación tomemos un tensor contravariante de orden 1 (vector) AL ; en general las componentes A~,
de este tensor son funciones del sistema coordenado xi (i= 1,2,3).
De la ecuación 9-16 obtenemos:
~
l-~.!3
_
r).
- 'j~"
ox l a'1~ ~ + a1. ~)._ ax~
¿;'j). ax«'
é);tB
d~d.x.!Jd~l
;)J .....
;;.x(-
Multiplicando esta ecuación a ambos lados por
r:
x
I
x
l
.é)
é)'Xt.'
CIt.]}
Q(lj
"éJXt' -
~
$;:'
r~ '" '"
t'
a1.. j
).
J}..
,,!}
~
a x ,.
x..
eX"
+ al
r\.
é?X~
d'j~ d'J'"' -t- $"'" ;;;'1.) .. ~
.J .L4."<J.z..d... a x.. 13
A á..rc(c)x!3
r).
J ~
t'
eL jJ
* ;t
J' ': c';) ; (
a.x. c;i. •dA. IJ
d
d
:=i)
\:e', _
a;:( l'
&).."""" = O
-;-
-?:r:
JxO(Q.x~ 3'J)' .3-X t '
dA l '
r}.
11'
T
'j::- .~y~ a J' ':.
dXO(
= 1 Y para m
011 ~ =
l
_
á.xqé}x,j -
oC; X':
J IA.."
-
~j~ _ ~NW\
L'
Si m=).
T).
J ':': _
resulta:
por lo tanto
(F 1~ . -=/
éJx:t- ax..~
a 1 '"'_
~
él-x O(
0::( .B
'1 11.
-:=)
87
¡
,
Esta ecuación que nos relaciona la 2a. derivada de las coordenadas cur•
•
J
vilíneas 'j l (con respecto a las coordenadas curvilíneas :r ) con los
símbolos de Christoffel de 2 a. Clase fué deducida por primera vez por
el mismo Crhistoffel en el añ o de 1869. Similarmente obtenemos (in ter•
•
cambiando los papeles de J L Y "y'J ):
10-2)
(En esta expresión s, m, n
dt..x (• _
d'jt(.djt)
S'i en 10-1 reemplazamos
suIta:
son índices mudos) .
por su valor obtenido en 10-2 re-
1 ,
l
aA
.
,
~
dX J -
-:::::'?
10-3)
En el segundo término de la derecha oL. y..5 son índices mudos por lo tan",
to los podemos intercambiar quedando e s te term1no
a S1:
~
A' Dl j
~
a::LJ'
I
t>(.
él X 4:
5g ;) 'J~
En el último término a la derecha el producto
es igual
1\'\
5J
y
vale 1 para n= j
por lo tanto este
término queda:
Pero
I
A. . . . = '7
10-4)
a
88
+
Vemos de es ta ecuación que la expresión
,
,
J"
coordenado
+
se transforma en
AS
L.H1
o'-
en el sistema
:1
A""'"
en el sis tema
Xl..
•
según una ley de transformación que es la de los tensores mixtos de 20. Orden por lo tanto el conjunto de cantidades 10-4a : dA~ -+- Td.. A.s son los comaJa
J f)1
ponentes de un tensor mixto
• Este tensor lo llamamos derivada cova•
riante del t.ensor contravariante de orden 1, AL.. Vamos a consi.derar a continuación otra forma de llegar a la misma definición de derivada covariante y
que tiene la ventaja de que nos permite obtenerla de una manera más sencilla.
En el cálculo diferencial ordinario se utiliza el operador 10-4)
-da~
+-
; este operador se puede aplicar a escala-
res (obtenemos el gradiente del escalar), o a vectores ( se obtiene la divergencia o el curl
del vector según que la multiplicación sea escalar o vectorial) ;
consideremos ahora cual es el resultado de aplicar V a tensores; para un sistema coordenado curvilíneo cualquiera ')1.' en n-dimensiones se presentan en cada
punto de ese espacio n- dimensional dos bases vectoriale s; la directa y la recíproca (los ~
ylos"f:
);definamos 10-S)"l =~t: ::;1.:
(i, ' índice
'-1
L'
mudo, = 1, 2 , .. n); en el caso de que.J sean coordenadas cartesianas en tres
dimensiones, las bases directas y recíprocas son iguales (ve r cap . 2) y formadas por los vectores i, ji k
convirtiéndose 10.5) en 10-4).
Apliquemos la definición general de
,
-~L
, d
dj"
a un tensor contravarian-
te A t ; cada coordenada
de . este tensor (ve ctor) esta adscrita a un vector ba-?
......
J ~
se covariante ~, (ver 5-1 S a) es to es: A
A ~J
. Entonces:
gA ~
3 ~1~' eA ~
1
'
J
J
')
'
I
por lo tanto:
lO-Sa}
Pero de 9-2 S):
r
Iun-
( COI)
•
ción de los
>
En el 20. término de la derecha
den intercambiar obteniendo:
10-6'
V
'J e
}.
m y j son índice s mudos y por lo tanto s e pue-
7i = (~ ~~ r 1:':"J") W'~
-
89
Comparando el término entre paréntesis con 10-4a) notamos que este término
corresponde a la definición que hemos dado de derivada covariante de un vector contravariante; los vectores
colocados a la derecha de este pa-
1(' t
réntesis nos indican que cada componente de VA está adscrita a dos vectores base, uno directo y otro recíproco es decir ( ver arto 6)
VA
es un tensor mixto de orden 2 y por lo tanto el resultado obtenido en 10-6) coincide en
todo con 10-4; para coordenadas cartesianas los símbolos I',.!¡ (ver ejemplo
a) del arto 9) son todos nulos y por lo tanto en este caso las componentes de
la derivada covariante de un vector se convierten en :21 A~
e.s decir en la
';>'1 "
'
derivada parcial tal como se conoce en el cálculo diferencial ordinario ; en el
"
caso de que el sistema sea curvilíneo hay por lo menos algunos r~~.que no
se anulan ( ver ej. b Y c del art. 9 ) Y en este caso la derivada covariante ya
no coincide con la derivada parcial; vemos así que en general a la derivada
parcial se le de be agregar un término para obtener la derivada covariante ,este término es precisamente aquel que nos indica corno varían los vect~r~. ba.~
con respecto a las coordenadas escogidas ( en el caso de 10-5 a) es d
A.Jg l •
Resumiendo, en este tipo de diferenciación no sólo se tiene en cuen-@;¡I.·
ta como varían con las coordenadas las componentes del tensor sino también
como varían los vectores base cuando varían las coordenadas; el cálculo diferencial que se puede levantar sobre esta base se llama cálculo diferencial absoluto quedando reducido el cálculo diferencial ordinario a un caso particular de
aquel (cuando
l.: ~. ;::.. o )"
J
-?ia
Podemos utilizar el operador V:: ~
c0 ~.
J
para obtener la derivada covarian-
te de cualquier otro tensor. Supongamos que tenernos un tensor covariante de
1 er. Orden
Aj' ;encontremos su derivada covariante ; sabemos que cada componente AJ'
está adscrita a un vector base recíproco; J\ ::: Aj ~'¿'
(ver 5-15 a) así que:
t¡
~ (AJ' i~'t ="/
A :;:
1'(
;;J J~
~
'V A -
; pero de 9-26) tenernos:
(con
por lo tanto:
l'
•
J
-~l·
~"~ldNY\
1 '1
t
1
referido al sistema
\(1')
J
90
Los términos
se llaman las componentes del tensor deri-
A
vada covariante de
•
Consideremos. ahora la derivada covariante del tensor mixto
.1 ..' .
Tenemos :
dado
A J· -K
9-:
A·J le' g-#j ~
A/< con respecto a
(ver diferentes componentes de un tensor
arto 8) así que:
_. = _
De 9-25 Y 9-26 obtenemos:
~
.
r~L
~
drtO\
)
@jt'
Intercambiando los índices mudos L m en el 20. término del paréntesis y
k , m en el 3er. término obtenemos:
10-7)
Apreciamos entonces que la derivada covariante del tensor mixto Al' 1( es un
tensor mixto covariante de orden 2 ( recordemos de 5-15 a que a los vectores base contravariantes le corresponden componentes covariantes y a los vectores base covariantes le corresponden componentes contravariantes ) y contravariante de orden l. Las componentes de esta derivada se llaman componentes
de \/
con respecto a jl' (i= 1, 2 I • • n en el espacio n-dimensional) y
las representaremos simbólicamente colocando una coma después del último
subíndice seguida del índice que nos representa la variable con respecto a la
cual está derivada la componente así:
A/'
A~. JJl
~
/(
?"\
a'ji
_ A
K.
I"N\
T ""'"
• •
jl
-\-
A ."""
~
I
K .
"""\
91
Podemos generalizar el procedimiento anterior y obtener así las diferentes
componentes del tensor derivada covariante de cualquier tensor; la derivada co•
variante de una componente dada con respecto a ~r se obtiene así:
a)
Se calcula primero la derivada parcial de esa componente con respecto a
\(
, l'
•
b)
.
'"
Se calculan los productos de e sta componente ( cambiando cada vez uno
de los índices covariantes 'por un índice m que será mudo comenzando
por el 1 er. subíndice)por el símbolo de Christoffel de 2a. clase cuyo 's uperíndice es el índice mudo m y sus subíndices son el índice i de derivación y un índice covariante cada vez comenzado por el primero.
c)
Computamos luego los productos de la componente ( cambiando cada vez
uno de los índices contravariantes por un índice mudo, comenzando por
el 1 er . superíndice) por el símbolo de Christoffel de 2 a. clase cuyo superíndice es un índice contravariante cada vez comenzando por el primero
y sus subíndices son el índice vacío m y el índice de derivación i.
d)
Los productos del paso b se afectan todos con el sig no menos ( -) y
los del paso c con el signo más ( +) .
j'J(~
son las componentes del tensor V A P!J
Estas
y es un tensor cuyo
orden contravariante es igual al del tensor original pero su orden covariante
es mayor en una unidad que el orden covariante del tensor original (ver por
ejemplo el tensor en la ecuación 10-7).
C-
TEOREMA DE RICCI: Nos dice este teorema que la derivada covariante
del tensor métrico ( sea en su forma covariante
~ "J')
contravariante
ca ,'J , o mixta &f ) es cero.
Las componentes
10-8)
g"j,
o ~ ,'1
•
J(
de la derivada covariante de
ca 1'),
son:
92
Ahora; de 9-9:
.
Sumando estas dos expresiones y teniendo en cuenta que:
Q'K
(7'
=
'*-1.'
v~
J
ala
<T;; --
o.
(jJK'='
q"
dJL)
q(J"J
I
obtenernos:
; ahora de 9-12 tenernos:
YK, t]
-....,
Reemplazando e s te valor en 10- 8 obtenemos:
E 3 deci.:-, ,;ada -::omponente del tensor derivada covar.. _.. ite del tensor
"\J W':.1' =O
nula J por lo tanto
•
,-¡ (l';'
'4 Ó
Demostremos ahora que
es también cero; tenemos:
perü
,
va18 uno ó cero; además:
por lo tanto
i
OL, ...
('u
es
=0
porque
-
-,-..,\
_
~
•
(..k
como todas la s componen te s
__
_
valen cero entonces
'VJ/
•
=
O.
Demostrerr.os finalmente que la derivada covariante del tensor métrico escrito
en su fOrITo..1 contrélvariante e:::; cero ó; V8~' = O.
Tenernos
~.h'
ca t"j
_
~f(J
•
; aplicando derivada covariante resulta:
93
; pero hemos demostrado que
I
fuL'
\j ~
vg({
O.
por lo tanto
es difere!lte de cero en general por lo tanto
,'J'
=
OI pero
6!ll'
}
En esta última demostración hemos ·s upuesto que en la derivación covariante
de un producto de tensores se cumple la fórmula de la derivación ordinaria del
productoestoesque si
'j (X)/"'é--=- ~ (:~)
entonces
'1::=
d
('1 ~) _ 1..( ~-'C + Z:- .d::s
.J
dx
d..::L
d..x..
Esta regla se sigue cumpliendo en la rI.erivación covariante de un producto tensorial como lo veremos a continuación .
por lo tanto:
En forma completamente similar se puede demostrar que la derivada covariante de una suma de tensores (recordemos del arto 7 que los tensores a sumar
deben tener todos igual orden covariante e igual orden contravariante) es la suma de las derivadas covariantes de los tensores; por ejemplo:
94
--
o
Como consecuencia del teorema de Ricci podemos tratar en la diferenciación
covariante los tensores métricos como si fueran constantes es decir podemos
sacarlos fuera del símbolo? •
.
\7 {
1(. i
A :!)
= ~ I~'
1 A~
pero
por lo tanto;
D-
DIFERENCTACION INTRINSECA O ABSOLUTA DE UN TENSOR.
En este capítulo hemos estudiado la derivada de un tensor r definido en
un sistema coordenado jL(i =1,2, .. n), con respecto a las coordenadas j lO ; se presenta en algunos problemas. de la física y las matemáticas la dependencia de las coordenadas
con respecto a un parámetro t; este es el caso por ejemplo de la variación con respecto al tiempo del vector velocidad en un fluido o del movimiento de un punto en el
espacio describiéndonos una 'curva} ya que como nos lo enseña la geometría diferencial en este caso las coordenadas de las distintas posiciones del punto móvil son funciones de un solo parámetro t (este parámetro puede ser la longitud del arco, .s ). Vamos a obtener en esta sección la derivada de un tensor con respecto a t.
o
JI..
A'Xj(..
Tomemos un tensor cualquiera por ejemplo
; las componentes de
•
y supongamos que
este tensor son funciones de las coordenadas JI..
.
t.·
a su vez estas J L son funciones de t , o 'jI.. -= ) ~ (-t:: ) .
A! con respecto a t la representaremos
A! / J -r y es igual a:
~
~
~ L =. el A 3 d~ + A
La derivada absoluta de
bólicamente como
.)
$A
Jt
~
1<
(~
_
A A1< (j
d-t
+
A~
k
12
-i>
-1<,. --, \
JZ
K_
sim-
K
1<
d-t::
8--?1( d ~
~1'
.
~~
d
-t:
-=v
en el 20. término de la d e recha i n te rcambia mo s l os índ i ces mudo s El r ~ y en
95
el 3er. término intercambiamos m,
~
- -
•
por lo tanto:
10-9)
Resulta p'.les que la derivada absoluta de un tensor es otro tensor de igual orden que el tensor derivado así, en el ejemplo cada componente de J A ~
~~
es tá adscrita a un vector base directo (
indicándonos es to que
A~t< .
el A~ __ (3 A~ .
•
~
At
~t
)
y a uno recíproco (
f
1
lof
é:-
es un tensor de 20. orden mixto tal y como
lo es el vector
Ahora:
. clk - ;) J i
•
por lo tanto
El término entre paréntesis es la componente
riante de
(ó g A~ ) por lo tanto:
de la derivada cova-
A!
10-10)
; si en vez de
.!!
A 1'<
tomamos
cualquier otro tensor cuyas componentes sean funciones de las coordenadas y
estas a su vez funciones de un parámetro t hubiéramos obtenido el mismo resultado; por ejemplo: el tensor derivada absoluta de A~.~ . . . . ,. ,
con respecto
at es:
-
-
-
-
y sus componentes son por lo tanto:
••
~1'I""t
A d,l
•
En el caso de que todos los T~. , sean nulos ( coordenadas cartesianas) resulta: ~
d.A! o sea la derivada intríns eca de un tensor corresponde a la
~t- -:::: d t
A!
f
96
derivada total en coordenadas cartesianas.
E-
EL TENSOR DE RIEMANN -CHRISTOFFEL (O TENSOR
CURVATURA).
Sabemos que la derivada covariante de un tensor dado es otro tensor; podemos por lo tanto obtener la derivada covariante de la derivada covarian. te :iel tensore.s decir la 2a. derivada covariante.
Tomemos por ejemplo el tensor covariante de orden 1 (vectqr)
componentes de la derivada covariante de AL son:
A(
a
A~··
¡j -:::
é) ~ ;'
-
,,"-L tj
A
<:L
A
l.' •
Las
; si derivamos covariantemen-
te) las componentes de este tensor 2a. derivada son .( ver parte final de
la sección B del presente artículo):
Realizando las derivadas obtenemos:
10-11)
Si calculamos primero A l¡ 1( Y luego por 2a. derivación A 1.·)Kj· el
resultado es el siguiente (basta intercambiar los índices j, k en la ecuación de
A L~ JI< ):
Cll.Al.',
10-12)
+
\ 1
~
K'
:J
97
Restando 10-11) Y 10-12):
Intercambicndo los índices mudos.§..
cha:
d
T.
a..
':K_
J
~
en el 1 er.
y 3er. términos de la dere-
a..
-d T <J' " 1"
d jK
d jJ'
Sabemos que At"Jj"es un tensor covariante de 20. orden por lo tanto A I.'/J'/o(.
es covariante de tercer orden; como Aa es un tensor covariante arbitrario entonces por lo visto en el arto VII sobre el cuociente tensorial concluimos que el término entre paréntesis es un tensor mixto; covariante de orden 3 y contravariante
de orden 1: 1<0J~. Este tensor se llama tensor mixto
de Riemann-Ghristoffe 1 d
,
tensor Riemann- Christoffel de segunda especie o tensor curvatura.
En forma similar podemos obtener la 2 a. derivada de cualquier otro tensor y formar la diferencia de esas derivadas con los índices de derivación trastocados)
por ejemplo si partimos de un tensor doblemente covariante A-:f resulta.
A (.1 / 1< 1!
A
A K J~~;- A J ~ /:-~
) re s ulta nuevamente que
la diferencia de las dos derivadas depende directamente del tensor 1<.L~1< .
_
lJ')
2. K
:=
Ca.
Ct.
J
Concluimos entonces que en la 2a. derivada covariante el orden de derivación
no es indiferente, en general no es igual A~'~~,.,... que A~'J m,~ ; sabemos sin
embargo que en coordenadas cartesianas todos los símbolos ~~,
son nulos por lo tanto ~;I" = O y en es te caso el orden de derivación no importa.
En el artículo VII, en la sección titulada "propiedad fundamental de los tensores", dijimos que si un tensor cualquiera es nulo para un sistema dado de coordenadas entonces será nulo para cualquier otro sistema; según esto, el tensor
~ :t/<
será nulo para todo sis tema coordenado ya que se anula en el carte,
Slano.
u..
En realidad 7<lj'K.
no es siempre nulo; la aparente contradicción se resuelve
si tenemos en cuenta un hecho que nos enseña la geometría no-euclideana, a
saber: si en un espacio n dimensional no-euclideano tenemos un sistema coordenado :X,t: (i= 1,2 I • • n)) no existe en esas n- dimensiones un sistema cartesiano jI. ( i= 1,2, .. n) con respecto al cual podamos localizar todos los puntos de ese espacio, por ejemplo sobre una superficie esférica ( espaci , no-euclideano de dos dimensiones) no se puede encontrar un sistema cartesiano de dos
dimensiones con respecto al cual se puedan localizar todos los puntos de la es~
fera.
98
•
En general, lo anteriormente afirmaeb quiere decir que si :tI.. son coordenadas
en un espacio no euclideano Y Z~ son coordenadas cartesianas entonces no
existen las ecuaciones
JL' ;::.. JI.' (x 1 ) xl. J _ _ x"') ( i=l, 2 .. n).
Como una consecuencia de esta propiedad de los espacios no-euclideanos surge el hec~o de que si en un cierto espacio n-dimensional es posible encontrar
al menos ..m sistema cartesiano jI.' (i= 1,2, .. n) con respecto al cual queden
localizados todos sus puntos, entonces el espacio es euclideano; así: todos
los puntes de un plano pueden ser localizados con respecto a un sistema de coordenadas polares ( Yj -e- ) pero al mismo tiempo pueden localizarse con respecto
a un sistema cartesiano ( jI, J 1- ) por lo tanto el plano es un espacio euclideano.
En los espacios euclideanos se pueden entonces encontrar las ecuaciones que
nos ligan las coordenadas cartesianas (fe: con cualquier otro sistema .:x lo' Y
la transformación recíproca ,esto es:
10-13)
I.f .: ~J L' ( X)::t..)
I " l . _____ X
O
"",)
I '-( I '1 L
L J , J J
'"1' "" )
J
::l l'
-.,¡ f.'
~.,.oL
-
-- -
-
(i = 1 ,2 ... n) •
Con las anteriores observaciones queda aclarada la aparente contradicción que
se nos presentó con respecto a la nulidad del tensor 'R';ff< ya que si ~n un cierto espacio n dimensional se pueden tomar coordenadas cartesianas JI. (i=1,2 .. n)
entonces J<~I<' vale cero para ese sistema cartesiano y para cualquier otro sistema)l.f (ver ec. 6-4) obtenido a partir de J f.' según ecuacione s del tipo 10-13);
no podemos decir sin embargo que 7<.0-J-.. es cero para un sistema :::t.L' adscrito a
un espacio en el cual no se pueden definir coordenadas cartesianas J l.' ya que
al no existir en este caso las relaciones 10-13 no podemos escribir la ecuación 6-4.
Vemos entonces que el tensor 7<~'K es nulo en espacios euclideanos y es dis-
tinto de cero en espacios no euclideanos; en la geometría diferencial se estudia
el significado geométrico de este tensor y se concluye que 1<tlt. es una medida de la no-euclideanidad del espacio es decir de lo que difiere el espacio considerado con respecto al espacio euclideano; por ejemplo en una esfera 1<.0'1<' es
un tensor cons tante sobre la superficie y nos mide la no-euclidearlidad de la e sfera en un punto es decir la "diferencia" entre la superficie esférica y el plano
tangente de ella en el punto.
Es por esto que el tensor 7<.L:;'1<,
se denomina tensor curvatura, porque nos mide la diferencia del espacia dado con respecto al euclideano, es decir su curvatura.