Primer Examen Selectivo 2009 - Olimpiada de Matemáticas en

XXIII OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMÁTICAS
EN GUANAJUATO
PRIMER EXAMEN SELECTIVO
21 de Marzo de 2009
Los resultados de este examen se publicarán a más tardar el día 23 de Marzo en nuestra página de internet:
ommgto.wordpress.com
PROBLEMAS:
Problema 1. En la siguiente figura, todos los triángulos son equiláteros. El triangulito del
centro mide 1cm por lado. ¿Cuánto mide el lado del triángulo más grande?
Problema 2. Tenemos tres cubetas, con capacidades de 2, 4 y 7 litros. Para llenar un tinaco
de 100 litros disponemos una toma de agua cerca del tinaco. ¿Cuál es el mínimo número de vueltas
que debemos realizar entre el tinaco y la toma de agua para llenar el tinaco, de forma que no sobre
agua en las cubetas si en cada vuelta podemos cargar máximo dos cubetas?
Problema 3. En la figura, el cuadrilátero BDEC es un paralelogramo. El ángulo EBC vale el
doble del ángulo EBD y el ángulo BAC mide el doble del ángulo EBC, además el ángulo ABC
tiene una medida de 61°. ¿Cuánto vale el ángulo BEC?
Problema 4. En una escuela, hay computólogos y matemáticos. Sabemos que los
computólogos siempre mienten, mientras que los matemáticos a veces mienten y a veces dicen la
verdad. El otro día, Abraham aseguró que él era computólogo, Beto dijo que Abraham era
computólogo, Carlos declaró que Beto era matemático, David aseguró que Abraham era matemático
y Ernesto dijo que todos eran matemáticos. Con estas afirmaciones ¿quiénes podemos asegurar que
son matemáticos?
Problema 5. En una extraña ciudad, los números de teléfono tienen siete dígitos. Los
primeros dos dígitos de izquierda a derecha pueden ser sólo 10 o 73. Además los números siempre
son múltiplos de 5 y contienen exactamente un dígito par. ¿Cuántos números de teléfono hay con
estas condiciones?
Problema 6. Orlando, Alfredo, Héctor, Trinidad y Rodrigo salieron a jugar partidos de
tenis. Como sólo llevaban cuatro raquetas, en cada partido sólo jugaron cuatro de ellos. Orlando
jugó 5 partidos y fue el que menos jugó, mientras que Trinidad jugó 8 partidos y fue el que más
partidos jugó. ¿Cuántos partidos se jugaron en total?
Problema 7. En la figura, se muestra un hexágono regular al que se le han añadido dos
triángulos equiláteros. Los triángulos negros, también equiláteros, tienen lados iguales a la mitad
del lado del hexágono. ¿Qué fracción del área de la figura está coloreada de negro?
Problema 8. Karel, el robot, ejecuta el siguiente programa: iniciando con un entero mayor
que uno x, el robot escribe una sucesión de números x1, x2… como sigue. El primer número es x. El
siguiente número es la mitad del anterior si el número anterior es par y es el anterior menos uno, si
el anterior es impar. La sucesión se termina cuando llega a 1 (por ejemplo si x=56 la sucesión es 56,
28, 14, 7, 6, 3, 2, 1). Sabemos que con el número que empezó, la sucesión tiene 9 términos
(contando al número inicial y al 1) ¿Cuál es el número más grande con el que pudo haber empezado
Karel?
Problema 9. Verónica tiene seis dados, cada uno con los números del 1 al 6 escritos en sus
caras. Los tira todos y multiplica los resultados de los dados y obtiene un número mayor a 99 y
menor a 126. ¿Cuántos números pueden ser el número que obtuvo Verónica?
Problema 10. En la figura se muestra una cuadrícula de 3x3 y algunas maneras de colorear
algunos de los cuadritos, de manera que la región coloreada tenga un perímetro de 8. ¿De cuántas
maneras podemos colorear algunos de los cuadritos de forma que la región coloreada tenga
perímetro de 8?
Problema 11. Si n es un entero positivo, escribimos d(n) como el número de divisores de n.
Por ejemplo si n=10, d(10)=4. ¿Cuánto vale d(1)+d(2)+…+d(20)? Los puntos suspensivos indican
que la suma se realiza desde el 1 hasta el 20.
Problema 12. En la figura, los triángulos ABC y EDC son triángulos rectángulos e isósceles.
Sabemos que AE=24
y ¿Cuánto mide BD?
Problema 13. Treinta niños numerados del 1 al 30 están sentados en un círculo. Hay diez de
sus profesores numerados del 1 al 10, cada uno con treinta dulces. El primer profesor le reparte un
dulce a cada niño; el segundo profesor le reparte a un niño sí, un niño no; el tercer profesor les
reparte un niño sí, dos niños no y así sucesivamente hasta el décimo profesor que reparte un niño sí,
nueve niños no. Cada profesor sigue este proceso hasta que reparte todos sus dulces. ¿Cuántos
dulces recibe el niño que recibe más dulces?
XXIII OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMÁTICAS
EN GUANAJUATO
PRIMER EXAMEN SELECTIVO
21 de Marzo de 2009
Hoja de Respuestas
INSTRUCCIONES:
i)
ii)
Escribe tus datos en la hoja de respuestas.
Lee cuidadosamente cada uno de los problemas y escribe únicamente la respuesta en la hoja de
respuestas.
iii)
Cuando termines el examen, entrega únicamente tu hoja de respuestas.
iv)
Solamente está permitido el uso de lápiz, sacapuntas, pluma, borrador y juego de geometría.
v)
Si tienes alguna pregunta sobre la redacción de algún problema del examen, levanta tu mano e
indícale a tu cuidador que tienes una pregunta.
vi)
El examen tendrá una duración máxima de 4 horas. Cada problema vale 1 punto.
vii)
Los resultados de este examen se publicarán a más tardar el día 23 de Marzo en nuestra página
de internet: ommgto.wordpress.com.
DATOS:
Sede: Celaya( )
Guanajuato( )
Moroleón( )
Pénjamo( )
Irapuato( )
León( )
San Luis de la Paz( )
Salamanca( )
Silao( )
Salvatierra( )
Nombre: ______________________________________________________________________
Escuela: _________________________________ Ciudad de Origen: ______________________
Correo Electrónico: ______________________________________________________________
Escolaridad: Primaria( ) Secundaria ( ) Bachillerato ( ) Grado: 1( ) 2( ) 3( ) 4( ) 5( ) 6( )
RESPUESTAS:
1. _________________________________
7. _________________________________
2. _________________________________
8. _________________________________
3. _________________________________
9. _________________________________
4. _________________________________
10. _________________________________
5. _________________________________
11. _________________________________
6. _________________________________
12. _________________________________
13. _________________________________