Ejercicio 5. – Una partícula de masa 2,0 kg está unida a un resorte

GRUPO I
Ejercicio 1.- Un oscilador consta de un bloque de m = 512 g de masa unido a un resorte. En
t = 0, se estira 34,7 cm respecto a la posición de equilibrio y se observa que repite su
movimiento cada 0,484 segundos. Halle: a) el período, b) la frecuencia, c) la frecuencia
angular, d) la constante de fuerza, e) la velocidad máxima, f) la fuerza máxima ejercida
sobre el bloque, g) la ecuación de movimiento del oscilador (asumiendo que v(0) =0), y, h)
¿En qué factor debe aumentarse la masa del bloque para que se duplique el período de
oscilación?
Ejercicio 2.- Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple de acuerdo con la ecuación:
x(t) = 6,12 cos (8,38t +1,92) con x en metros y t en segundos. Halle:
a) el desplazamiento, la velocidad, y la aceleración en el tiempo t = 1,90s y sus valores
máximos,
b) la frecuencia y el período del movimiento.
c) Si la masa vale m = 0,350 kg, ¿Cuánto vale la energía cinética, y la energía mecánica
Ejercicio 3.- Si la posición, velocidad y aceleración iniciales de un objeto que se mueve con
movimiento armónico simple son x0, v0 y a0, y si la frecuencia angular de la oscilación es ,
a) Demuestre que si la posición del objeto se describe como: x(t) = Acos( t +), entonces
v 
A  x02   0 
 
2
y
tg  
v0
x 0
Si se describe como x(t) = B sen( t +), ¿cuánto valen B y
?
b) Demuestre que la posición y la velocidad del objeto para todo instante puede escribirse
como:
v
x(t )  x 0 cos t   0


 sent y, v(t )   x 0sent  v 0 cost

c) Si la amplitud del movimiento es A, demuestre que v  ax  v0  a0 x0  A 
2
2
2
2
Ejercicio 4.- Existe una relación interesante entre
un sistema masa-resorte y un péndulo simple.
Supongamos que se cuelga una masa M del
extremo de un resorte, y que cuando la masa está
en equilibrio, el resorte está estirado una distancia
h. Demuestre que la frecuencia de este sistema
masa-resorte es la misma que la de un péndulo
simple de masa m y longitud h, aún cuando m ≠ M.
Ejercicio 5. – Una partícula de masa 2,0 kg está unida a un resorte de constante elástica
72 N/m y se mueve a lo largo del eje x en un movimiento armónico simple. Se observa que
en t = 0,0 s la velocidad de la partícula es máxima, igual a 4,2 m/s. Tomando x = 0,0 m
como la posición de equilibrio del sistema, la ecuación de movimiento de la partícula es (con
t medido en segundos y x medido en metros):
GRUPO II
Ejercicio 1.- Dos bloques (m = 1,22 kg y M = 8,73 kg) y un resorte (k = 344 N/m) están
dispuestos sobre una superficie horizontal, sin fricción, como se muestra en la figura. El
coeficiente de fricción estática entre los bloques es de 0,42. Halle la amplitud máxima posible
del movimiento armónico simple sin que ocurra un desplazamiento entre los bloques.
Ejercicio 2.- Un bloque de masa M, en reposo sobre una mesa horizontal sin fricción, está
unido a un soporte rígido por medio de un resorte de constante de fuerza k. Una bala de
masa m y velocidad v golpea al bloque como se muestra en la figura. La bala se queda
empotrada en el bloque. Determine la amplitud del movimiento armónico simple resultante
en términos de m, M, v, y k.
Ejercicio 3.- Un cilindro sólido está unido a un resorte horizontal sin masa de modo que
puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como se ve en la figura. La
constante de fuerza k del resorte es de 2,94 N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una
posición en que el resorte está estirado 23,9 cm, halle
a) la energía cinética de traslación y
b) la energía cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibrio.
c) Demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efectúa un
movimiento armónico simple con un período T  2
3M
, donde M es la masa del
2k
cilindro.
Ejercicio 4.- Un péndulo consta de un disco uniforme de 10,3 cm de radio
y una masa de 488 g unido a una barra de 52,4 cm de longitud que tiene
una masa de 272 g, según figura.
a) Calcule la inercia rotatoria del péndulo respecto al pivote.
b) ¿Cuál es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo?
c) Calcule el período de oscilación para ángulos pequeños.
Ejercicio 5- Una barra de de masa m = 2 kg y longitud L = 1 m está
sujeta en uno de sus extremos de tal forma que puede pivotear alrededor del
punto O (ver figura). Se sabe que su centro de masa está ubicado a 3L/4
respecto al extremo O. Se la aparta un ángulo pequeño de su posición de
equilibrio y se verifica que su período de oscilación es de 2,0 s. ¿Cuánto vale
el momento de inercia de la barra respecto del centro de masa?
GRUPO III
Ejercicio 1.- La figura muestra un pequeño disco delgado de radio r y masa m que está
rígidamente unido a la cara de un segundo disco delgado de radio R y masa M. El centro del
disco pequeño se localiza en el borde del disco grande, el cual está montado en su centro
sobre un eje sin fricción en un plano vertical. El conjunto se hace girar un ángulo  a partir
de su posición de equilibrio y se suelta. a) Pruebe que la velocidad del centro del disco
Rg(1  cos )
pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es v  2
2
M r
 
m R
2
.
b) Muestre que el periodo del movimiento es T  2
( M  2m) R 2  mr 2
2mgR
Ejercicio 2 - Un péndulo se forma haciendo girar varilla homogénea
larga y delgada, de longitud L y masa M, alrededor de un punto de ella que está a una


distancia x  0  x 
L
 de su centro. Si se varía dicha distancia x, el período T para las
2
oscilaciones de pequeña magnitud, varían. ¿Para qué valor de x, es mínimo el período T?
Sugerencia: exprese el período en función de la distancia x, y luego calcule su derivada
respecto a x.
Ejercicio 3.- Un péndulo de longitud L y masa M tiene un resorte
de constante elástica k conectado a él a una distancia h debajo de
su punto de suspensión. Encuentre la frecuencia de vibración del
sistema para valores pequeños de la amplitud . Suponga que la
suspensión vertical de longitud L es rígida, pero de masa
despreciable.
Ejercicio 4.-Una esfera sólida de masa m y radio R rueda sin deslizar en
un canal cilíndrico de radio 5R, como se muestra en la figura.
2
112mR 2  d 
a) Pruebe que la energía cinética de la esfera vale K 

 .
10  dt 
b) Demuestre que para pequeños desplazamientos  desde el punto de
equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera realiza un
movimiento armónico simple con un periodo
T  2
28R
.
5g
Sugerencia: Exprese la energía mecánica para una posición genérica teniendo en cuenta que para
pequeños desplazamientos angulares se verifica:
1  cos  
2
2
, y luego como la misma es constante,
su derivada respecto al tiempo debe ser nula. Tenga en cuenta que:
 
d 2
d
  2
dt
dt
y
d  d 
d d 2

 2
dt  dt 
dt dt 2
2
Ejercicio 5- La figura muestra un disco uniforme de radio R
= 0,800 m y masa M = 6,00 kg, con un pequeño agujero a
una distancia d del centro que puede servir de centro de
pivote. Para un d particular, el período del péndulo físico es
mínimo. ¿Cuánto debe valer la distancia
d, para que el
período valga T = 2,40 s?
GRUPO IV
1.- Dos resortes están unidos a un bloque de masa
m que puede deslizar libremente sobre una
superficie horizontal sin fricción, como se muestra
en la figura. Demuestre que la frecuencia de
oscilación del bloque vale:

1 k1  k2
  12   2 2 ,
2
m
donde 1 y 2 son
las frecuencias a las que oscilaría el bloque si se uniera solamente al resorte 1 o al resorte 2.
2.-Un resorte colgado del techo tiene una longitud L0. Cuando se cuelga del mismo una
masa m, el resorte adquiere un longitud L1. El período de las oscilaciones que verifica otra
masa M = 2m, colgada del mismo resorte es:
3.-- Una bala de m = 6,00 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de M
= 0,500 kg inicialmente en reposo, apoyado en e una mesa sin fricción. El bloque está
conectado a un extremo de un resorte, cuyo otro extremo se apoya en una pared. La bala
penetra el bloque, moviéndolo y comprime el resorte, de modo que el sistema bloque (con la
bala) y resorte entra en un movimiento armónico simple, con una frecuencia f = 6,00 Hz y
una amplitud A = 13,5 cm. ¿Cuánto vale la velocidad de la bala antes de penetrar el bloque?
4.- Un disco de masa M = 2,10 kg y radio R = 20,0 cm está rígidamente unido a una masa
puntual de valor m = 0,200 kg por una barra de masa despreciable y longitud a = 50,0 cm con
extremos en el centro del disco y en dicha masa puntual. Todo el sistema está contenido en un
plano vertical como se muestra en la figura, y puede girar libremente alrededor de ejes
normales al plano por Q o por P, siendo Q el punto del borde del disco ubicado sobre la barra y
P el punto diametralmente opuesto.
P
M
R
¿Cuánto vale el cociente entre los períodos de las pequeñas oscilaciones del sistema en torno a
los dos ejes mencionados por P y Q respectivamente
Q
TP
?
TQ
a
m
5.- Un leño (cilindro de madera) lleva una carga de plomo en un extremo de modo que flota
en posición erecta en el agua. La longitud de la parte sumergida es L = 2,56 m. El leño es
puesto a oscilar verticalmente (se lo hunde un poco de su posición de equilibrio). Pruebe que
la oscilación es armónica simple y halle el período de las oscilaciones. Desprecie el hecho de
que el agua tiene un efecto amortiguador y considere que el leño se mantiene siempre
vertical