Sobre UV/IR y el Color en el Diccionario Holográfico Alberto Güijosa Depto. de Física de Altas Energías Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM alberto@nucleares.unam.mx Independientemente de sus posibles aplicaciones, la correspondencia holográfica es en sí misma un muy interesante objeto de estudio El diccionario que la implementa NO se conoce por completo, así que seguimos explorándolo En esta charla, haremos 2 pequeñas observaciones sobre un par de entradas del diccionario Plan • AdS/CFT, UV/IR, GKPW • Quarks, Radiación • UV/IR en el caso dinámico [César Agón, AG, Juan Felipe Pedraza] • Coloreando AdS/CFT [AG] D-branas vs. Brana Negra = [Polchinski] N Dp-branas + Espacio Plano p-Brana Negra Tomando p 3 y ultra-bajas energías, E 1/ L 1/ (4 gc N )1/4 lc , E 1/ lc , AdS/CFT x SYM N 4 SU ( Nc ) x z0 z z CuerdasLIIB en AdS S 5 2 5 2 2 2 ds dt dx dz Vacío z 2 L z 4 L 2 r g YM N c 4 lc 2 AdS/CFT x SYM N 4 SU ( Nc ) x z0 z z CuerdasLIIB en AdS S 5 2 Vacío Otros estados 5 ds dt 2 dx 2 dz 2 z 2 Fluctuaciones sobre AdS (pequeñas o grandes) Conexión UV/IR T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S Grupo Conforme SO(4, 2) SO(4, 2) Isometrías de AdS5 SYM N 4 SU ( Ncc ) 5 en particular, dilatación (t , x ) (st , sx) (t, x, z) (st, sx, sz) (que en verdad deja invariante a 2 L ds 2 2 ( dx dx dz 2 ) z Así que z escala como una distancia, 2 L r z escala como una energía… ) Conexión UV/IR 5 SYM N 4 SU ( Ncc ) T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S 2 [Susskind,Witten; Polchinski,Peet] Energía E r / L Distintas rebanadas radiales en AdS describen distintas escalas energéticas en SYM r x UV r AdS5 ( L) IR r 0 Conexión UV/IR 5 SYM N 4 SU ( Ncc ) T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S E 1/ z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet] Energía Distintas rebanadas radiales en AdS describen distintas escalas energéticas en SYM z0 x UV z L2 / r AdS5 ( L) IR z Conexión UV/IR SYM N 4 SU ( Ncc ) Distancia (resolución) 5 T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S d z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet] Distintas rebanadas radiales en AdS describen distintas escalas de distancia en SYM z0 x UV z L2 / r AdS5 ( L) IR z Conexión UV/IR SYM N 4 SU ( Ncc ) Distancia (resolución) 5 T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S d z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet] Implementación geométrica del grupo de renormalización z0 x UV z L2 / r AdS5 ( L) IR z Receta GKPW para Correladores Identifica funciones de partición: ZSYM [ J ] ZTC[d J ] iSSYM i d 4 xO ( x) J ( x) D(TC) exp iSTC D (SYM) exp [Gubser,Klebanov,Polyakov;Witten] ( x , z 0) z 4 J ( x ) En el límite Nc , gYM Nc , el lado derecho se simplifica a capa de masa 2 D(TC)exp iS exp iS TC 1 Oi1 ( x1 ) Oin ( xn ) Z [0] i J i1 ( x1 ) SUGRA i J in ( xn ) Z[ Ji ] Ji 0 Para las 2 observaciones que queremos hacer, necesitaremos quarks… Añadiendo Quarks Antes de límite de bajas energías, teníamos Nc D3-branas I A , CC x1 , x 2 , x3 + fermiones + etc. C , C 1, CC E , Nc 1/ lc ,1/ L Super-Yang-Mills N 4 U ( N ) en 3+1 dim (todos los campos en rep. adjunta) [Witten] Añadiendo Quarks Agreguemos ahora branas adicionales, Nc D3-branas S S , 1 C 2 C+ fermiones + etc. C 1, E , Nc 1/ lc ,1/ L x1 , x 2 , x3 Ns D7-branas x 4 , x5 , x 6 , x 7 Teoría con Quarks D7-branas [Karch, Katz] r rm 5 SYM N 4 SU ( Nc ) Cuerdas IIB en AdS5 S Nc sabores de materia + Ns + N s D7-branas 3 5 (N 2 ) en representación (enrolladas en S S ) fundamental 2 g rm YM N c m 2 2 lc 2 zm Quark Quark con masa m (teoría NO confina) D7-branas z zm Cuerda c/extremo en zm 0 m m 1 2 gYM Nc 2 zm (ignorar S5 ) Quark 2 GKPW Tr F , T , , h , Quark con masa m Cuerda c/extremo en r [Maldacena] P.ej., Tr F ( x , t ) 2 q 32 x 2 4 [Danielsson,Kruczenski,Keski-Vakkuri] Perfil tipo Coulomb (como se espera por invariancia conforme) Quark y Antiquark Quark y Antiquark superpuestos 2 Cuerdas c/orientación opuesta Quark-Antiquark Quark-Antiquark 2 Tr F ( x, t ) qq | x | L 1 Cuerda c/AMBOS extremos en z 0 15( 14 )4 L3 8(2 ) x [Callan,AG] 5 7 (cf. L2 x 6 ) [Klebanov,Maldacena,Thorn] Quark-Antiquark Quark-Antiquark 1 Cuerda c/AMBOS extremos en z 0 Extremos Quarks , Cuerda Campo Gluónico (+etc.) Por la conexión UV/IR, segmentos de la cuerda que se encuentran más adentro de AdS codifican porciones más distantes (más IR) del campo gluónico Quark con Masa Finita 2 Tr F , T , Quark con m / 2 zm GKPW , h , z zm Cuerda c/extremo en zm 0 Quark con Masa Finita zm 2 m 2 5 2 m x 1 2 2 Tr F ( x , t ) 1 4 2 q 2 5/2 32 x 2 m x 1 [Hovdebo,Kruczenski,Mateos,Myers,Winters] Quark con Masa Finita Lo que sería un quark aislado Quark con Masa Finita Lo que sería un quark aislado está siempre rodeado de una nube de gluones virtuales que aparecen y desaparecen Quark con Masa Finita grosor de nube gluónica para el quark vestido zm 2 m 2 5 2 m x 1 2 2 Tr F ( x , t ) 1 4 2 q 2 5/2 32 x 2 m x 1 [Hovdebo,Kruczenski,Mateos,Myers,Winters] Conexión UV/IR SYM N 4 SU ( Ncc ) Distancia (resolución) 5 T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S d z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet] z0 d zm x UV z L2 / r IR z Conexión UV/IR SYM N 4 SU ( Ncc ) Distancia (resolución) 5 T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S d z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet] z0 d zm x UV z L2 / r IR z Quark con Masa Finita grosor de nube gluónica para el quark vestido zm 2 m Notar que desde lejos, |x| zm el quark parece puntual 2 5 x 1 2 zm 2 Tr F ( x , t ) 1 4 5/2 q 32 2 x x 2 1 zm [Hovdebo,Kruczenski,Mateos,Myers,Winters] Quark Estático Quark en reposo Cuerda vertical en x 0 Quark Empujado v v Quark con v constante Cuerda vertical con v constante Quark Acelerado x (t ) x (t ) Para un quark acelerado, cuerda cuelga detrás del extremo y codifica radiación gluónica emitida por el quark Quark Acelerado x (t ) x (t ) X ( z, t ) Para un quark acelerado, trayectoria de la cuerda X ( z, t ) se determina extremizando la acción de Nambu-Goto S NG 1 dtdz 2 2 lc 2 2 X X X X 2 Quark c/Masa Infinita x ( ) x ( ) x Solución para trayectoria tipo tiempo arbitraria (!!) ( ) dx ( ) X ( , z ) z x ( ) [Mikhailov ] d tiempo propio Esta solución es „retardada‟ (or „puramente saliente‟) Quark c/Masa Infinita x (t ) v (t ) x (t ) v (t ) Solución para trayectoria tipo tiempo arbitraria (!!) x (t ) X (t , z ) z tz v (tret ) 1 v (tret ) 2 1 1 v (tret ) 2 x (tret ) [Mikhailov ] tret Quark c/Masa Infinita x (t ) v (t ) x (tret ) v (tret ) x (t ) v (t ) X (t , z ) Solución para trayectoria tipo tiempo arbitraria (!!) x (t ) X (t , z ) z tz v (tret ) 1 v (tret ) 2 1 1 v (tret ) 2 x (tret ) [Mikhailov ] tret Quark c/Masa Infinita x (t ) v (t ) x (tret ) v (tret ) x (t ) v (t ) X (t , z ) Solución para trayectoria tipo tiempo arbitraria (!!) x (t ) X (t , z ) z tz v (tret ) 1 v (tret ) 2 1 1 v (tret ) 2 x (tret ) [Mikhailov ] tret Radiación Quark c/Masa Infinita x (t ) x (t ) X ( z, t ) Teniendo una solución para el encaje X ( z, t ) , la receta GKPW requiere que calculemos el dilatón producido por la cuerda cerca de la frontera, ( x, z) dt dz Propagador( x, z; x, z) Nambu-Goto(t , z) Radiación Quark c/Masa Infinita x (t ) x (t ) X ( z, t ) Teniendo una solución para el encaje X ( z, t ) , la receta GKPW requiere que calculemos el dilatón producido por la cuerda cerca de la frontera, para extraer 1 Tr F ( x) lim 3 z ( x, z ) q z 0 z 2 (o gravitón para obtener tensor de energía-momento) Radiación Quark c/Masa Infinita Tr F ( x) 2 q 16 x x( 0 ) v( 0 ) 2 4 con 1 solo tiempo retardado x x( 0 ) 0 2 [Chernicoff,AG,Pedraza ] ¡Este resultado coincide exactamente (salvo normalización) con el de Lienard-Wiechert! En el perfil de T ( x) q (calculado usando el gravitón) se encuentra básicamente el mismo acuerdo con electro clásico [Hatta,Iancu,Mueller,Triantafyllopoulos] Quark c/Masa Finita x ( ) x ( ) x ( ) zm 0 Generalizar a masa finita imponiendo c. de borde en z zm Solución requerida puede verse como porción z zm dx ( ) de solución de Mikhailov X ( , z ) x ( ) z d Quark c/Masa Finita x ( ) x ( ) x ( ) zm 0 Generalizar a masa finita imponiendo c. de borde en z zm Solución requerida puede verse como porción z zm dx ( ) de solución de Mikhailov X ( , zm ) x ( ) zm d x ( ) Radiación Quark c/Masa Infinita 2 Tr F ( x) q 32 x x v 2 2 zm x x (v azm ) 5 2 x x v zm3 1 x x a 3 3 zm x x v 2 x x (2a 4 j zm szm2 ) a2 zm2 2 zm2 x x v 4 4( x x a) 2 2 x x j zm 3( x x j ) 2 zm2 x x szm2 a2 zm2 x x a 8 x x (2 j szm ) zm a2 zm2 con 1 solo tiempo retardado x x( 0 ) 2 zm2 [Chernicoff,AG,Pedraza ] Masa Finita vs. Infinita x ( ) x ( ) x ( ) zm 0 La diferencia entre ambos casos es que, para masa finita, a la cuerda le falta la porción UV 0 z zm Por la conexión UV/IR, esperamos entonces que ambos resultados coincidan si | x | zm ¡Pero al comparar, podemos ver que NO coinciden! Radiación Quark c/Masa Infinita 2 Tr F ( x) q 32 x x v 2 2 zm x x (v azm ) 5 2 x x v zm3 1 x x a 3 3 zm x x v 2 x x (2a 4 j zm szm2 ) a2 zm2 2 zm2 x x v 4 4( x x a) 2 2 x x j zm 3( x x j ) 2 zm2 x x szm2 a2 zm2 x x a 8 x x (2 j szm ) zm a2 zm2 con 1 solo tiempo retardado x x( 0 ) 2 zm2 [Chernicoff,AG,Pedraza ] Conexión UV/IR Dinámica x ( ) x ( ) x ( ) zm 0 Para tener acuerdo se requiere x x azm x x j zm2 x x szm3 zm , , , x x v x x v x x v x x v es decir, zm x x , zm a , zm2 j , zm3 s 1 1 (se obtiene la misma conclusión a partir de T ( x) q ) Conexión UV/IR Dinámica x ( ) x ( ) x ( ) zm 0 Trabajos potencialmente relacionados: [Czech,Karczmarek,Nogueira,Van Raamsdonk; Hubeny,Rangamani] zm x x , zm a , zm2 j , zm3 s 1 (se obtiene la misma conclusión a partir de T ( x) q ) ¿Color en AdS/CFT? SYM N 4 SU ( Ncc ) T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S 5 Simetrías: Simetría R SU (4) SO(6) 16+16 supersimetrías Grupo de Norma SU ( Nc ) ¡ Nada ! Grupo Conforme SO(4, 2) SO(4, 2) Isometrías de AdS5 SO(6) Isometrías de S5 32 supersimetrías ¡ Nada ! Difeomorfismos 9+1 dim Estas 2 últimas no son en realidad simetrías, sino redundancias de la descripción La correspondencia opera al nivel de cantidades físicas, que son por tanto invariantes de norma ¿Color en AdS/CFT? SYM N 4 SU ( Ncc ) T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S 5 Pero… de las transformaciones SU ( Nc ) i I I A ( x) AI ( x)tCC exp i I ( x)t A ( x) exp i I ( x)t I gYM ( x) ( SC) ( x) exp i I ( x)t I ( x) C , C 1, , N c I 1, , N c2 1 las que en verdad son solo redundancias son las locales, es decir, aquellas que se reducen a la identidad ( I ( x) 0 ) en el infinito Las transformaciones globales ( I ( x) / 0 en el infinito) son verdaderas simetrías Es por esta parte global que Noether da el color como carga conservada ¿Color en Teorías No Abelianas? Las teorías no abelianas con la que estamos más familiarizados son QCD y YM, que son teorías que confinan: NO hay estados con color Pero en una teoría que no confina, como SYM N 4 , nada prohibe que existan estados con color No debemos confundir la exigencia de que los estados físicos sean invariantes de norma con la ausencia de color: la invariancia de norma se refiere solo a la parte local ¿Color en Teorías No Abelianas? En este respecto, la situación es exactamente análoga al caso abeliano, como QED: La invariancia bajo el grupo de norma U (1) NO impide que existan estados FÍSICOS con carga eléctrica, que es la carga de Noether asociada al U (1) global electron; p , sz ¿Color en Teorías No Abelianas? En este respecto, la situación es exactamente análoga al caso abeliano, como QED: La invariancia bajo el grupo de norma U (1) NO impide que existan estados FÍSICOS con carga eléctrica, que es la carga de Noether asociada al U (1) global (Pero, lo que en ambos casos sí podemos notar es que, contrario a lo que normalmente parece decirse, ( x) 0 NO es un estado de quark/electrón, porque no es invariante de norma Necesitamos vestirlo p.ej. con una línea de Wilson, x P exp i dy A ( y ) ( x) 0 ) ¿Color en AdS/CFT? SYM N 4 SU ( Ncc ) T. de Cuerdas IIB en aAdS5 S En la correspondencia, debe entonces existir del lado de gravedad un grado de libertad discreto C 1, , Nc que es dual al color Esta entrada del diccionario es de interés en sí misma, y relevante además para al menos una aplicación: la búsqueda de una implementación holográfica de la superconductividad de color (condensado con carga de color) Ver p.ej. [Basu,Nogueira,Rozali,Stang,Van Raamsdonk] 5 ¿Color de Quark en AdS/CFT? x ( ) x ( ) Quark pesado corresponde a cuerda macroscópica, y por ello nos da un buen caso de estudio para entender la implementación del color en AdS/CFT Dado que el extremo superior ( z zm ) es dual al quark, parece el lugar natural donde debiera residir el índice de color Pero varias líneas de evidencia apuntan a otra conclusión Quark-Antiquark a T Finita N N 1 N 1 v v 2 Par quark-antiquark en singulete v v Cuerda en forma de U c/extremos incialmente coincidentes [Herzog,Karch,Kovtun,Kozcaz,Yaffe; Chernicoff, AG ] Quark-Antiquark a T Finita N N 1 N 1 v v 2 v v Par quark-antiquark en Cuerda en forma de V c/extremos representación adjunta incialmente coincidentes [Chernicoff, AG ] Quark-Antiquark a T Finita N N 1 N 1 v v 2 Par quark-antiquark en singulete v v Cuerda en forma de U c/extremos incialmente coincidentes [Herzog,Karch,Kovtun,Kozcaz,Yaffe; Chernicoff, AG ] SIN carga de color NO toca el horizonte Quark-Antiquark a T Finita N N 1 N 1 v v 2 v v Par quark-antiquark en Cuerda en forma de V c/extremos representación adjunta incialmente coincidentes [Chernicoff, AG ] CON carga de color SÍ toca el horizonte No Confinante vs. Confinante Quark y Antiquark superpuestos Con color (por separado) 2 Cuerdas c/orientación opuesta Cada cuerda toca el horizonte No Confinante vs. Confinante Quark-Antiquark Sin color 1 Cuerda c/AMBOS extremos en z 0 No toca el horizonte No Confinante vs. Confinante z zconf Quark-Antiquark 1 Cuerda c/AMBOS extremos en z 0 En teorías con confinamiento, la geometría tiene un „piso‟ en el IR, y la cuerda debe tener AMBOS extremos en la frontera [Witten; Sonnenschein et al.; …] No puede haber color neto No existe horizonte AdS Poincaré vs. Global Espacio máximamente simétrico con curvatura negativa, definido como (cubierta universal de) hiperboloide en R 4,2 : X X X X X X L 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 AdS Poincaré vs. Global Espacio máximamente simétrico con curvatura negativa, definido como (cubierta universal de) hiperboloide en R 4,2 : X X X X X X L Coords. globales: 0 , , 0 A 1 2 0 2 1 2 2 X 0 L cosh cos 2 3 2 4 2 5 ( A 1, 2 , 4, A A 1) X A L senh A X 5 L cosh sen ds 2 L2 cosh 2 d 2 d 2 senh 2 d 32 AdS Poincaré vs. Global Espacio máximamente simétrico con curvatura negativa, definido como (cubierta universal de) hiperboloide en R 4,2 : X X X X X X L Coords de Poincaré (u horosféricas) 0 r , t , x 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 L2 r 2 2 2 2 X 0 1 4 L x t , 2r L r X x L L2 r 2 2 2 2 X 4 1 4 L x t , 2r L r X5 t L 2 2 r L ds 2 2 dt 2 dx 2 2 dr 2 L r 2 AdS Poincaré vs. Global Coords de Poincaré cubren solo un pedazo de AdS Teoría dual es SYM en Minkowski 3+1 Observadores a z=cte. comparten un horizonte de aceleración en z=0 (como en Rindler) AdS Poincaré vs. Global Coords globales cubren todo AdS Teoría dual es SYM en S3 x R Sobre 3-esfera, ley de Gauss prohibe carga neta AdS Poincaré vs. Global Coords de Poincaré Teoría dual es SYM en Minkowski 3+1 Quark aislado (con color): cuerda termina en horizonte AdS Poincaré vs. Global Coords globales Teoría dual es SYM en S3 x R Quarkantiquark (sin color): cuerda termina en frontera (no hay horizonte) Amplitudes de Dispersión Dispersión de gluones (divergente en IR) D3 z 1/ Dispersión de cuerdas abiertas sobre D3 regularizadora [Alday,Maldacena; Berkovits,Maldacena; etc.] Gluones tienen color (Ver también Ambos extremos de las cuerdas terminan en el horizonte [Gubser,Gulotta,Pufu,Rocha; etc.]) Color de Quark en AdS/CFT x ( ) x ( ) Conclusión: el color reside no en z zm (extremo de sabor) sino en el horizonte z ( z 1/ T ) En restrospectiva, esto es consistente con conexión UV/IR: z corresponde a IR, sensible a parte global de grupo de norma Color en AdS/CFT Coords de Poincaré Teoría dual es SYM en Minkowski 3+1 Cada extremo de la cuerda en el horizonte tiene un índice escondido C 1, , Nc (un grado de libertad no dinámico) que transforma bajo la parte global de SU ( Nc ) Color en AdS/CFT Coords de Poincaré Teoría dual es SYM en Minkowski 3+1 Cada extremo de la cuerda en el horizonte tiene un índice escondido C 1, , Nc (un grado de libertad no dinámico) que transforma bajo la parte global de SU ( Nc ) D-branas vs. Brana Negra Notar que esto es cierto incluso para las p-branas negras ANTES de tomar el límite de Maldacena: = [Polchinski] N Dp-branas + Espacio Plano p-Brana Negra Chan-Paton Recordando conexión Factor de Chan-Paton I J I , J 1, D-branas múltiples N Dp-branas ,N 1 x, ,x p Branas de Horizonte Coords de Poincaré Teoría dual es SYM en Minkowski 3+1 La existencia del color sugiere la presencia de N c branas de algún tipo en el horizonte Branas de Horizonte Coords globales Teoría dual es SYM en S3 x R La existencia del color sugiere la presencia de N c branas de algún tipo en el horizonte Lo curioso es que su existencia depende del observador Esto recuerda el „paradigma de la membrana‟: ¡parece que decimos que esa membrana es múltiple! Conclusiones Conclusiones La conexión UV/IR es sutil en situaciones dinámicas El color vive en el horizonte Transparencias de Respaldo Lazos de Wilson La equivalencia quark=cuerda conduce entonces de manera natural a una receta para lazos de Wilson: Tr P exp i C dx A ( x) SYM DX exp iScuerda [ X ] X (r ) C [Rey,Yee; Maldacena; Drukker,Gross,Ooguri] C x ( ) x ( ) C Lazos de Wilson La equivalencia quark=cuerda conduce entonces de manera natural a una receta para lazos de Wilson: Tr P exp i C dx A ( x) SYM DX exp iScuerda [ X ] X (r ) C capa de masa exp iScuerda [ X ] 2 en el límite Nc , gYM Nc (La traza del lado izquierdo se toma en rep fundamental del grupo de norma. Trazas en otras reps involucran a cuerdas ligadas a D3- o D5branas) [Drukker,Fiol; Hartnoll,Prem Kumar; Yamaguchi; Gomis,Passerini] Añadiendo Quarks Agreguemos ahora branas adicionales, Nc D3-branas S S , 1 I 2 I+ fermiones + etc. I 1, E , Nc x1 , x 2 , x3 Ns D7-branas x 4 , x5 , x 6 , x 7 1/ lc ,1/ L Super-Yang-Mills N 4 U ( N ) en 3+1 dim + N s comb. de 4 escalares + 2 espinores (hyperm.N 2 ) en rep fundamental del grupo de norma: “quarks” [Karch,Katz] Añadiendo Quarks En límite de bajas energías, la descripción dual reemplaza a D3s con AdS Nc , es posible Si N s ignorar la retroacción de las D7s sobre geometría AdS (= aproximación `apagada‟ de QCD en la red, donde se ignoran lazos de quarks) D7-branas [Karch, Katz] S 3 r rm AdS5 S5 r S 1 2 3 x , x , x 5 Teoría con Quarks D7-branas r rm 5 SYM N 4 SU ( Nc ) Cuerdas IIB en AdS5 S Nc sabores de materia + Ns + N s D7-branas 3 5 (N 2 ) en representación (enrolladas en S S ) fundamental [Karch, Katz] Quark Quark con m / 2 zm D7-branas z zm Cuerda que termina en zm 0 Notar que estamos acoplando el campo gluónico (+etc.) a un quark entendido como partícula clásica (buena aproximación si el quark es pesado): Dx( )DA ( x ') exp iS[ A( x '), x( )] DA ( x ') exp iS[ A( x '), x cl ( )]