Notas de clase. La circunferencia

Notas de clase. La circunferencia 2011
La Circunferencia
Definición: La circunferencia1 es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un
punto fijo O, llamado centro.
Los elementos de una circunferencia son:

Radio: Es la longitud del segmento que une el centro de la circunferencia con uno de sus
puntos. Geométricamente, se llama radio de una circunferencia a cualquier segmento que
una su centro con uno de los puntos de la circunferencia. Es claro que todos los radios son
congruentes entre sí.

Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Arco: Es la porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Tangente: Es la recta que corta a la circunferencia en un único punto.

Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
En la figura son:
Radios, los segmentos OA, OB, OC ; diámetro, el segmento AB ; cuerda, el segmento DE .
secante, la recta MN ; tangente, la recta GF
1
De otro modo: Sea P un punto del plano dado y r un número positivo. La circunferencia de centro en P y radio r es
el conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia r de P .
1
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E
C
D
B
O
A
N
M
F
G
Figura 1
Definición: Dos circunferencias de radios congruentes son congruentes.
Teorema C1: Por tres puntos no alineados pasa una circunferencia y solo una.
Hipótesis: Sean A, B y C tres puntos no colineales.
Tesis: Por los puntos A, B y C pasa una única circunferencia.
Demostración:
m
B

'
A
O
C
Figura 2
1. Sean A, B y C puntos no colineales.
2. Sean , ' y m las mediatrices de los segmentos AB, BC y AC respectivamente.
y ' se cortan en el punto O. Si y ' son rectas paralelas, entonces los puntos A,
B y C son colineales y no habría centro posible.
2
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3. El punto O equidista de los puntos A, B y C por el numeral 2 y por pertenecer a la
mediatriz m del segmento AC .
4. El centro O es único, pues por equidistar de los tres puntos A, B y C debe estar en las
mediatrices de los segmentos que determinan, coincidiendo con su único punto de
intersección.
En conclusión, por los puntos A, B y C, no alineados, pasa una circunferencia y sólo una.
Nota: Una circunferencia no puede tener tres puntos alineados.
Lugar geométrico de Tales
Dado un triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, rectángulo, con hipotenusa AC , si aplicamos al extremo A, de ésta,
dos simetrías consecutivas cuyos ejes son las mediatrices de los catetos obtendremos el extremo
C. Las mediatrices de los catetos de un triángulo rectángulo se cortan en el punto medio de la
hipotenusa. Este punto equidista de los tres vértices.
Figura 3
Así, la circunferencia tiene por diámetro la hipotenusa de un triángulo rectángulo que pasa por
el vértice del ángulo recto.
Recíprocamente:
Todo punto B de una circunferencia de diámetro AC es vértice de un ángulo recto ABC cuyos
lados pasan por los extremos de dicho diámetro.
B
C
O
A
Figura 4
3
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Definición: El lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos, cuyos lados pasan por dos
puntos fijos A y C es la circunferencia E
de diámetro AC .
D
C
Ángulos y polígonos en la circunferencia
A
O
B
Ángulo central: Es un ángulo con vértice en el centro de la circunferencia.
M
A
B
O
O
N
E
D
C
Figura 5
A
O
B
Ángulo
inscrito
: Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados están
contenidos en dos secantes a ella.
M
A
B
O
O
N
Figura 6
Si el vértice A de un ángulo MAN, es punto de un arco y sus lados pasan por los extremos del
mismo, se dice que el ángulo está inscrito en el arco MAN y también en la circunferencia que lo
contiene.
Figura 7
4
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Ángulo semiinscrito: Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados están
contenidos uno en una recta tangente y el otro en una recta secante a ella.
A
M
A
E
D
C
O
A
B
O
O
B
B
O
A
N
M
A
Figura 8
O
B
B
O
O
Ángulo interior: Es aquel cuyo vértice es un punto
interior de la circunferencia.
N
E
D
C
P
M
A
O
B
O
Q
A
N
R
M
A
O
Figura 9
B
O
B
O
Ángulo exterior: Es aquel cuyo vértice es un puntoN exterior de la circunferencia.
P
M
O
Q
N
R
Figura 10
Definición: El arco correspondiente al ángulo central, es el conjunto de puntos de una
circunferencia en la región angular de un ángulo central.
Teorema C2: La amplitud de todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la
amplitud del ángulo central que comprende el mismo arco.
5
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Hipótesis: Sea C una circunferencia de centro en el punto O, MON un ángulo central de la
circunferencia y MAN un ángulo inscrito de la misma.
Tesis: amp MAN 
1
amp MON .
2
Demostración:
Figura 11
1. Sea MAN un ángulo inscrito y MON un ángulo central de la circunferencia con centro en
el punto O.
2. Supongamos que uno de los lados del ángulo MAN pasa por el centro de la circunferencia y
sea ∆𝑀𝐴𝑂
3. En el triángulo ∆𝑀𝐴𝑂 , OA  OM . Por ser radios de la circunferencia
4. El ángulo central MON que abarca el mismo arco es exterior al triángulo isósceles ∆𝑀𝐴𝑂,
por lo tanto la amplitud de este ángulo central es igual a la suma de las amplitudes de los
ángulos internos ∠𝑀𝐴𝑁 𝑦 ∠𝐴𝑀𝑂.
5. El ángulo MON abarca el mismo arco que el ángulo MAN.
6. amp MON = amp  MAO + amp AMO. Por ser exterior al triángulo ∆𝑀𝐴𝑂 y los ángulos
OAM y AMO, interiores no adyacentes.
7. MAO  AMO . Por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles.
1
8. amp MON = 2  ampMAO ;. amp MAO = ampMON .
2
1
9. Como A-O-M, entonces amp MAN = ampMON .
2
 Si el centro está en el interior del ángulo MAN, puede considerarse éste como la suma de
dos ángulos inscritos MAP y PAN con un lado que pasa por el centro de la
circunferencia, y que es común a los dos ángulos. La amplitud de éstos ángulos inscritos es
igual a la suma de las mitades respectivas de los ángulos centrales MOP y PON, cuya
suma es, a su vez, la amplitud del ángulo central MON, que abarca el mismo arco MPN.
6
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Figura 12
ampMA N  ampMAP  ampP AN =

1
1
1
ampMOP  ampP ON  ampNOM .
2
2
2
Si el centro está fuera del ángulo inscrito MAN, la amplitud de éste puede considerarse
como la diferencia de las amplitudes de los ángulos inscritos MAP y NAP los cuales
tienen un lado común AP que pasa por el centro de la circunferencia. La amplitud del
ángulo en cuestión es la mitad de la diferencia de las amplitudes de los ángulos centrales
MOP y NOP, o sea MOP.
ampMA N  ampMAP  ampNAP 
1
1
1
ampMOP  ampNOP  ampMON .
2
2
2
Figura 13
Por lo tanto todos los ángulos inscritos en un mismo arco son congruentes.
Teorema C3: La amplitud de todo ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la amplitud del
ángulo central que abarca el mismo arco.
Hipótesis: Sea C una circunferencia de centro en el punto O, AOP un ángulo central de la
circunferencia y MAN un ángulo semiinscrito de la misma.
Tesis: amp MAN 
1
amp AON .
2
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Figura 14
Al trazar el diámetro PQ perpendicular a la cuerda AN , se tiene que ∠𝑀𝐴𝑁 ≅ ∠𝐴𝑂𝑃, por
tener sus lados respectivamente perpendiculares2. (Completar demostración)
Teorema C4: La amplitud de todo ángulo interior de una circunferencia es igual a la semisuma
de las amplitudes de los ángulo centrales correspondientes a los arcos abarcados por dicho ángulo
y por su apuesto por el vértice.
Hipótesis: Sea C una circunferencia de centro en el punto O, MAN un ángulo interior de la
circunferencia y sean MON y N’OM’ los ángulos centrales correspondientes a los arcos
abarcados por el ángulo MAN y por su apuesto por el vértice.
Tesis: amp MAN 
1
amp MON  amp N ' OM '.
2
Demostración:
2

La demostración se hace analizando la situación para cada uno de los siguientes casos:
La cuerda del ángulo pasa por el centro de la circunferencia. El ángulo semi-inscrito es un ángulo menor que un ángulo recto. El ángulo
semi-inscrito es un ángulo mayor que un ángulo recto
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Figura 15
En efecto el ángulo interior MAN es exterior al triángulo AM’N, y por lo tanto, igual a la suma
de las amplitudes de los ángulos internos no adyacentes MM’N y N’NM que son los ángulos
inscritos que abarcan los mismos arcos que el ángulo dado y su opuesto.
ampMA N  ampMM'N  ampN'NM' 
1
1
ampMON  ampN'OM'
2
2
Teorema C5: La amplitud de todo ángulo exterior a una circunferencia es igual al valor absoluto
de la semidiferencia de las amplitudes de los ángulos centrales correspondientes a los arcos
abarcados por sus lados.
Hipótesis: Sea C una circunferencia de centro en el punto O, MAN un ángulo exterior cuyos
lados cortan o son tangentes a la circunferencia y sean MON y M’OP los ángulos centrales
correspondientes a los arcos abarcados por sus lados.
Tesis: amp MAN 
1
amp MON  amp M ' OP .
2
Demostración:
Figura 16
9
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1. Sea el MAN exterior a la circunferencia de centro O.
2. El MAN es interior al triángulo M’AN.
3. amp MM’N = amp M’AN + amp M’NA. Por definición de la amplitud de un ángulo
exterior a un triángulo.
4. amp MAN = amp MM’N - m M’NA. Por transposición de términos.
1
1
5. ampMA N  ampMON  ampM'OP . Por definición de amplitud de un ángulo
2
2
inscrito y porque A- M’ - M
Cuadrilátero inscriptible
Definición: Se llama polígono inscrito en una circunferencia a todo aquel cuyos vértices son
puntos de la misma. En particular el cuadrilátero se llamará inscriptible si puede ser inscrito en
una circunferencia.
Figura 17
En todo cuadrilátero inscriptible (convexo) los ángulos opuestos son suplementarios. En efecto,
son ángulos inscritos en una circunferencia, luego su suma es la mitad de la amplitud de los
ángulos centrales cuya suma es la amplitud de dos ángulos llanos.
Teorema C6: Todo cuadrilátero que tiene dos ángulos opuestos suplementarios es inscriptible.
Demostración. (Ejercicio)
Cuadrilátero circunscriptible
Definición: Se llama polígono circunscrito a una circunferencia a aquel cuyos lados son
tangentes a ella. Todo polígono circunscrito a una circunferencia es convexo. En particular,
llamaremos circunscriptible a todo cuadrilátero que puede ser circunscrito a una circunferencia.
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En este caso se verifica que en un cuadrilátero circunscriptible son iguales las sumas de los lados
opuestos.
A
E
H
B
F
C
G
D
Figura 18
𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐷
𝐴𝐸 + 𝐸𝐵 + 𝐷𝐺 + 𝐺𝐶 = 𝐵𝐹 + 𝐹𝐶 + 𝐴𝐻 + 𝐻𝐷
Teorema C7: Si un cuadrilátero convexo no es circunscriptible no son iguales las sumas de las
amplitudes de los pares de Demostración. (Ejercicio)
Definición: Un polígono regular es aquel que tiene los lados congruentes entre sí y los ángulos
también congruentes entre sí.
Uniendo los puntos de división consecutivos de una circunferencia en n partes iguales (n>2) se
obtiene un polígono regular. Este polígono se llama inscrito en la circunferencia y ésta
circunscrita al polígono.
Teorema C8: Todo polígono regular es inscriptible en una circunferencia y circunscriptible a
otra y existe un punto O llamado centro del polígono que equidista de todos sus vértices y de
todos sus lados.
Demostración. (Ejercicio).
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Puntos notables en el triángulo
Circuncentro: Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo. Éste
es el centro de la circunferencia llamada circunscrita al triángulo.
Figura 19
Ortocentro: Es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.
Figura 20
Incentro: Es el punto de intersección de las tres bisectrices interiores de un triángulo. Existe
una circunferencia interior y solo una, tangente a los tres lados, se llama circunferencia inscrita
en el triángulo.
Figura 21
Baricentro: Es el punto donde concurren las tres medianas de un triángulo.
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Teorema C8: El segmento de cada mediana comprendido entre su pie y el baricentro es un tercio
de la misma.
Demostración. (Ejercicio)
Teoremas relacionados con la circunferencia






Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de
contacto.
La recta perpendicular trazada desde el centro de una circunferencia a una cuerda biseca a
ésta.
El segmento trazado desde el centro de una circunferencia al punto medio de una cuerda es
perpendicular a ésta.
En el plano de una circunferencia, la mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la
circunferencia.
En una circunferencia o en circunferencias congruente, las cuerdas equidistantes del centro
son congruentes.
En una circunferencia o en circunferencias congruentes, dos cuerdas congruentes cualesquiera
equidistan del centro.
OBSERVACIONES:
Son problemas equivalentes la división de una circunferencia en un cierto número de partes
iguales y la construcción de un polígono regular inscrito o circunscrito de igual número de
lados.
Si por los puntos de división trazamos las tangentes a la circunferencia, se cierra igualmente un
polígono regular que se llama circunscrito a la circunferencia y ésta inscrita en el polígono.
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Polígonos regulares estrellados.
1
Polígono
estrellado de
10 puntas
1
Polígono
estrellado de
5 puntas
1
Polígono
estrellado de
8 puntas.
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