Elementos de la circunferencia y del círculo

Elementos de la circunferencia y del círculo
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de
un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no
pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del
centro y un radio.
Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o
área interior
Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de
vaso, la orilla de un plato, etc.
Perímetro de la circunferencia:
2·r
·d
Elementos de la circunferencia
Rectas en la circunferencia
Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia
con cualquier punto de ella.
El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.
La medida del radio es constante.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Las cuerdas tienen distintas medidas.
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia.
El diámetro es la cuerda de mayor medida.
El diámetro se nombra con la letra “d”.
El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r
Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la
circunferencia.
r = d/2 .
Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.
Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos
puntos de ella.
Ángulos en una circunferencia
Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de
ella.
Figura
Características
Vértice en el centro de la circunferencia
Lados que contienen radios de ella
Medida
m (< AOB) =
m (arco AB)
Ejemplo:
(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio
de la circunferencia. Calcular el ángulo
X))
Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del
centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de
360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.
360º : 3 = 120º
< SOR = 120º
Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para
todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la
mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
Figura
Características
Medida
< ABC inscrito que
subtiende arco AC
< AOC del centro que
subtiende arco AC
Vértice en la
circunferencia.
Los lados son cuerdas de
ella.
< ABC subtiende arco
AC.
El centro de la
circunferencia está en el
interior del ángulo.
m ( <ABC)
=½m
(<AOC)
(Debe
leerse:
medida del
ángulo
(ABC) es
igual a la
mitad del
ángulo
(AOC)
Ejemplo:
Si ángulo y es igual a 54 grados
Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?
El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito que
subtiende un arco común con el ángulo del centro (AB), por lo tanto, se debe
aplicar el Teorema del ángulo inscrito.
Por Teorema: x = 1/2 y
x = 1/2 · 54 = 54/2 = 27º
Caso Especial:
Si un ángulo inscrito subtiende una
semicircunferencia, entonces es recto.
α = 180º
β = 90º
CIRCULO O REGION CIRCULAR: Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..
REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CIRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro, CD, etc
AREA DEL CIRCULO:
 · r2
Elementos del círculo
Segmento circular: es cada una de las partes en que se
divide un círculo cuando se traza una cuerda (A - B). Si la
cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo.
Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos
radios y un arco.
Corona circular: es la porción del plano comprendida
entre dos circunferencias concéntricas.
Sectores y segmentos de círculos
Trozos de círculos
Hay dos tipos de "trozos" de círculo:
Un trozo "de pizza" se llama sector.
Y un trozo marcado por una cuerda se
llama segmento.
Sectores comunes
El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:
Un cuarto de círculo se llama
cuadrante.
Medio círculo se llama
semicírculo.
El área de un
sector
Puedes calcular el área
de un sector
comparando su ángulo
con el ángulo de un
círculo completo.
Nota: aquí estoy
escribiendo los
ángulos en radianes.
Este es el razonamiento:

Un círculo tiene ángulo 2π y área

Así que un sector con ángulo
πr2
θ (en vez de 2π) debe tener área (θ/2π) ×
πr
2

Esto se puede simplificar: (θ/2) × r2
θ × r2
Área del sector = ½ ×
= ½ × (θ
×
π/180) × r2
(si
θ está en grados)
Longitud de arco de un sector o
segmento
Razonando de la misma manera, la
longitud de un arco (de un sector o
segmento) es:
Longitud de arco "L" =
= (θ
×
π/180) × r
(si
grados)
Área de un segmento
El área de un segmento es el área de un
sector menos el trozo triangular (en el
dibujo está en azul claro).
Calcular la fórmula lleva un rato, pero el
resultado es una fórmula parecida a la del
sector:
Área del segmento = ½ × (θ - sin
= ½ × ( (θ
×
π/180) - sin θ) × r2
(si
θ ) × r2
θ está en grados)
θ×r
θ está en