Arquímedes, clasificó otros 13 poliedros derivados de los 5
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FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA Los poliedros son las figuras geométricas tridimensionales hermosas que han fascinado a filósofos, a matemáticos y a artistas por milenios. Partiendo de la definición: Un poliedro es un cuerpo geométrico tridimensional cuyas caras se componen de polígonos planos que encierran un volumen. Se observa que en la naturaleza existen formas que se basan en organizaciones poliédricas. Las formas poliédricas de la naturaleza son soluciones exitosas estables, resistentes, armoniosas y funcionales ante los retos del entorno natural (fuerzas, vibraciones, temperatura, fluidos, etc.) y hacen posible que una determinada organización material (inorgánica u orgánica) persista y se mantenga en su ambiente Los poliedros han sido estudiados hace miles de años, Platón por ejemplo estableció 5 sólidos que tienen idénticas caras, vértices y son convexos, con el tiempo los llamaron sólidos platónicos: el tetraedro, el exaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, por tener 4, 6, 8, 12 y 20 caras respectivamente. De los 5 sólidos platónicos tres están construidos en base a triángulos equiláteros (4,8 y 20 lados), uno en base a cuadrados (el cubo de 6 cuadrados) y otro en base a pentágonos (el dodecaedro, 12 lados). En la naturaleza tienen formas de poliedros platónicos: el metano CH4 (tetraedro), la Fluorita, sustancias alcalinas (exaedro), iones FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA lantánidos trivalente (octaedro), pirita (dodecaedro), adenovirus (octaedro). Arquímedes, clasificó otros 13 poliedros derivados de los 5 poliedros platónicos, estos se obtienen por el truncamiento o recorte de sus vértices, así por ejemplo, si un tetraedro formado por 4 triángulos equiláteros que se unen en 4 vértices (cada vértice une tres triángulos a la vez), es truncado en estos cuatro vértices apareciendo 4 nuevos triángulos equiláteros en los vértices, al perder estos vértices los antiguos triángulos se transforman en 4 hexágonos, el nuevo poliedro resultante se llama Tetraedro truncado y tiene 4 triángulos y 4 hexágonos con 12 nuevos vértices. Los poliedros arquimedianos, no tiene caras idénticas (por lo general son dos o tres polígonos diferentes), pero si tienen idénticos vértices y son convexos. Otro caso interesante se da al truncar un icosaedro (20 lados y 12 vértices), los vértices agrupan a 5 triángulos, que al truncarse se convierten en 12 pentágonos, los 20 triángulos al FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA perder sus puntas se convierten en 20 hexágonos, al final se tiene un poliedro de 12+20 = 32 lados que une pentágonos y hexágonos como la clásica pelota de futbol de 32 paños. En 1985 se descubrió que la molécula carbónica del fullereno (C60), tenía una estructura similar a esta pelota de futbol. Otros estudiosos han clasificado y definido otros poliedros como los Prismas y Antiprismas, los poliedros de KeplerPoinsot, los Deltaedros, Los sólidos de Johnson, los poliedros de catalán entre otros. Todos estos poliedros pueden servir de inspiración para obtener formas arquitectónicas. Utilizar un poliedro como base para proponer edificaciones, es una interesante alternativa sobre todo para proyectos con materiales no convencionales como el bambú. Las formas poliédricas aplicadas a la arquitectura ayudan a: a.- Lograr espacios proporcionados y armónicos, la belleza de los polígonos y de la composición en base a vértices iguales b.- Obtener espacios funcionalmente cómodos que puedan albergar actividades, equipamiento y mobiliario que se adapta a las formas o bordes poliédricos con un sentido orgánico, muchas formas poliédricas permiten el ahorro de energía por la relación entre superficie expuesta y volumen contenido. c.- Tener espacios convenientemente estructurados, resistentes y estables ante las fuerzas y cargas estructurales. Los vértices del poliedro se solucionan con nudos de igual configuración (en poliedros platónicos y arquimedianos) y con aristas de tamaño similar lo cual ayuda a una mejor distribución de las cargas y al trabajo conjunto de los componentes como unidad estructural. FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA Algunos proyectos recientes en los que se aplican formas poliédricas, permiten tener espacios arquitectónicos cercanos a lo orgánicos, con proporciones del ser humano, y que al ser diferentes a las edificaciones ortogonales, pueden ayudar a generar nuevas formas de agrupamiento urbano, cambiando en esencia la apariencia de la manzana tradicional y de la ciudad. FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA En este sitio son unos pocos cientos de modelos de papel disponible de forma gratuita. http://www.korthalsaltes.com/es/index.html http://www.youtube.com/watch?v=qu0nlBGvPHk&list=PL155A7C7CEF070D2B&feature=p layer_detailpage ESCALA: http://www.youtube.com/watch?v=Fn_rY8JcwEE&feature=player_embedded http://www.youtube.com/watch?v=qgqYoAGHEyQ&feature=player_embedded Construir diferentes polígonos regulares NÚMERO DE LADOS NOMBRE 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA 7 Heptágono 8 Octágono 9Nonágono 10 Decágono 11Endecágono 12Dodecágono FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA http://www.korthalsaltes.com/es/model.php?name_en=t wisted decagonal prism Geometria Construir diferentes polígonos regulares ¿Qué es un polígono regular? Tu primera respuesta quizá sea: un polígono donde todos sus lados tienen la misma longitud; sin embargo, también hay polígonos irregulares que tienen todos los lados de la misma longitud. FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA Entonces, ¿cuál es la definición de polígono regular? ¿Y qué propiedades podemos usar para construir pentágonos, hexágonos u octógonos regulares? I. Definición de poligono regular Un polígono regular es un polígono cuyos lados tienen todos la misma longitud y cuyos ángulos tienen todos la misma amplitud. La figura 1 muestra cinco polígonos regulares. Para todos los polígonos regulares hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices. Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia circunscrita al polígono. El centro de esta circunferencia es el centro del polígono. II. Ejemplos de construcción 1. Construir un pentágono a partir de su circunferencia circunscrita Propiedad práctica: en un polígono regular con centro en O, todos los ángulos centrales formados por dos radios de la circunferencia circunscrita que se unen a dos vértices consecutivos del polígono, deben tener la misma amplitud. Si el polígono tiene n lados, este ángulo, medido en grados, es igual a . Ejemplo: un pentágono tiene 5 lados, así que la medida de cada uno de sus ángulos centrales es: . La figura 2 nos muestra las etapas en la construcción de un pentágono. FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA 2. Construir un octógono a partir de la longitud de uno de sus lados Propiedad práctica: A, B y C son tres vértices consecutivos de un polígono con centro en O. El ángulo del polígono y el ángulo central son suplementarios. Además, el segmento OB es la bisectriz del ángulo . Observa esta propiedad en un cuadrado: Ejemplo: Queremos construir un octógono regular con una longitud concreta para su lado, que llamaremos AB. Un octógono tiene ocho lados, por lo que la amplitud de cada uno de sus ángulos centrales es: . Nos ayudaremos de las tres figuras siguientes para visualizar mejor la medida de los ángulos en un octógono. FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA Usando la propiedad anterior (180º = ángulo interior + ángulo central) podemos calcular lo que mide cada ángulo interior del octógono: 180° – 45° = 135°. Podemos ver así que la mitad de cada ángulo interior es: . Para construir ahora el octógono, comenzamos trazando el lado AB del octógono de la longitud que queramos, y a continuación construiremos un triángulo isósceles donde . El punto O deberá ser el centro del octógono. La figura 7 nos muestra los pasos a seguir en la construcción del octógono. FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA Nota: también podemos construir las sucesivas caras del octógono sin necesidad de usar la circunferencia circunscrita, ya que sabemos que cada ángulo interior del octógono mide 135º, pero este método de construcción nos llevaría mucho más tiempo. 3. Construir un hexágono regular usando el compás Un hexágono tiene seis lados, de manera que cada ángulo central mide . Por lo tanto, cada ángulo interior del hexágono mide 180° – 60° = 120°. Y, en consecuencia, vemos que la mitad del ángulo correspondiente a cada vértice tiene una amplitud de: hexágono regular. . En la figura 8 vemos las medidas de los ángulos en un De esta manera, podemos comprobar que los triángulos formados al unir el centro y dos vértices consecutivos, son equiláteros (es decir, el radio de la circunferencia circunscrita y el lado del hexágono miden lo mismo). Sabiendo esto, podemos construir un hexágono regular a partir de su circunferencia circunscrita: trasladando la longitud del radio seis veces a lo largo de la circunferencia. FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA Ver mas artículos relacionados en construir poligonos http://www.tareasfacil.info/matematicas/geometria/construir-poligonos.html#ixzz2GifPSafI Under Creative Commons License: Attribution FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA http://www.youtube.com/watch?v=9DAqMQmKUSA&feature=player_detailpage piramide base hexagonal http://www.youtube.com/watch?v=KahHD5at2VY&feature=player_detailpage FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA FORMAS POLIEDRICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA