parte 001 - A la Sala

RESUMEN PSU MATEMATICA
I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0)
Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,…} se denominan “números
naturales”. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero,
obtenemos lN0 = {0, 1, 2,…} llamado “conjunto de los números cardinales”.
NÚMEROS ENTEROS (Z)
Los elementos del conjunto Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan
“números enteros”
Algunos subconjuntos de Z son:
Z+ = {1, 2, 3,…} enteros positivos
Z 0 = {0, 1, 2,…} enteros no negativos
Z- = {-1, -2, -3,…} enteros negativos
Z 0 = {0, -1, -2, -3,…} enteros no positivos
1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121,
144, 169, 196, 225, 256, …
2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000,
… y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …
MÚLTIPLO Y DIVISOR
En la expresión a = b ⋅ c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b
y de c o bien b y c son divisores o factores de a.
REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número entero es divisible:
Por
Cuando
2
Termina en cifra par.
3
La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
4
Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o
bien son Ceros.
5
La última cifra es cero o cinco.
6
Es divisible por dos y por tres a la vez.
7
La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que
forman las Cifras restantes es múltiplo de siete.
8
Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o
bien son Ceros.
9
La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
10
Termina en cero.
11
La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares
pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
1
NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores
distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, …
Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no
son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,
18, 20, 21, …
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de
aquellos números que cumplen con la propiedad de ser factores de números
primos
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.
CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
PRIMOS
Se descomponen los números en factores primos:
1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de
existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes
considerando aquel que posea el exponente menor.
OPERATORIA EN Z
ADICIÓN
i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos
conservando el signo común.
ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta
el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor
absoluto.
MULTIPLICACIÓN
i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.
ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre
negativo.
OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.
VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0
Álvaro M. Sánchez Vásquez
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2
n, s i n  0
DEFINICIÓN: n  
 n s i n  0
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Si D: d = c, entonces D = d • c + r
r //
D = dividendo
d = divisor
c = cuociente o cociente
r = resto
OBSERVACIONES:
1. 0 ≤ r < d
2. La división por cero no está definida.
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
1. Resolver los paréntesis.
2. Realizar las potencias.
3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.
RELACIÓN DE ORDEN EN Z
Si a y b son números enteros, entonces diremos que:
i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.
ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.
iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).
iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).
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3
EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resulta
A) – 2
B) 2
C) 4
D) – 4
E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de
las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 =
A) m + n + 1
B) 10m + n + 1
C) 100m + n + 1
D) 100m + 10n + 1
E) 10(m + 1) + n
EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de
–nm –(n + m)?
A) -11
B) -5
C) 5
D) 7
E) -7
EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para
repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de
golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la
misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
A) 11
B) 20
C) 21
D) 0
E) 7
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4
EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y
horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto
dinero tiene ahora Claudia en el banco?
A) $ 8p
B) $ 10p
C) $ 12p
D) $ 16p
E) $ 14p
EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la
siguiente regla: el último número de cada fila es la suma de los tres
números anteriores y el último número de cada columna es la suma de
los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?
A) 5
B) 7
C) 8
D) 9
E) 16
x
4
8
24
4
9
16
20
13
55
EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia
de figuras:
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos
II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá
un número impar de círculos
III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos
figuras consecutivas es 2
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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5
EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de
$10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que
hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de
monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) En total hay 27 monedas
II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero
III) En el monedero hay $600
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-9: Se define a  b  ab  b y a # b = 2a - 4b, para a y b
números enteros, el valor de (2  5) # (-2) es:
A) 82
B) 66
C) 60
D) 38
E) 22
EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la
secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11),. . ., resulta
A) 41x - 2
B) 61x + 25
C) 41x - 109
D) 41x + 109
E) 41x - 21
EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en
forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 o
$ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?
A) De 1 forma
B) De 2 formas
C) De 4 formas
D) De 3 formas
E) De 6 formas
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6
EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en
100 días más, a partir de hoy?
A) Viernes
B) Sábado
C) Lunes
D) Miércoles
E) Jueves
EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar
exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si
quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno?
A) $280
B) $200
C) $120
D) $100
E) $ 40
EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1),
$(n-2) y $(n -3), respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por
un artículo M, dos artículos N y tres artículos T?
A) 6n - 14
B) 6n – 6
C) 5n – 14
D) 3n – 14
E) 3n - 6
EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r
son enteros positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es
divisible por q?
A) p = nq + r
B) q = np + r
C) q = np
D) p = nq
p
1
E)
1
q
q
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7
EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje
corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se
descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje
corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?
A) 8
B) 6
C) 9
D) 10
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a
A) -12
B) -7
C) -2
D) 4
E) 12
EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si
ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y
N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 1
EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los
puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero,
como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado
del triángulo que se obtiene es:
1.000
A)
12
 1.000 
B) 6  

 2 
1.000
26
1.000
D)
6
1.000
E)
25
C)
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8
EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es
siempre:
I) divisible por 3
II) divisible por 6
III) divisible por 9
Es(son) verdadera(s):
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es
0. Con respecto a estos números, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
I) La suma del menor y el mayor es 0
II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor
III) El mayor menos el menor es 0
EJEMPLO PSU-22. Un grupo de amigos tiene dinero para comprar 20
bebidas de $ 200 cada una. Si el precio sube a $ 250 cada una,
¿cuántas bebidas pueden comprar con el mismo dinero?
A)
B)
C)
D)
E)
1
8
16
26
80
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9
EJEMPLO PSU-23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que en
el cuadrante sólo pueden colocarse los números 1, 2, 3 y 4 de manera
tal que en cada fila y columna pueden ir sólo una vez cada número
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-24. La distancia en la recta numérica entre a y b es c.
esto se expresa como:
A) a  b  c
B) a  b  c
C) a  b  c
D) b  a  c
E) Ningunade la s a nte rio re s
EJEMPLO PSU-25. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando un
cartón de una caja en que aparece una operación, en el cual tienen que
reemplazar la letra X por el número que les dictan (para todos el
mismo). La persona que tiene el cartón con el menor resultado gana. Si
se sacan los siguientes cartones:
P
Q
X-1
R
X+1
1-X
S
1 – (-X)
T
-X
¿Quién gana cuando dictan – 3?
A) Q
B) P
C) R
D) S
E) T
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10
EJEMPLO PSU-26. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) Un número entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dígitos
es divisible por 3.
B) Si la suma de dos números es par, entonces ambos son pares o
ambos son impares.
C) La suma de todo número divisible por 3 con todo número divisible
por 6, es divisible por 3.
D) El cuadrado de todo número divisible por 3 es divisible por 6.
E) El producto de todo número divisible por 4 con todo número divisible
por 6, es divisible por 12.
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11
II. NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son todos aquellos números de la forma
a
con a y b
b
números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se
representa por la letra Q.
a

Q   / a, b  Z y b  0
b

2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a c
Q, entonces:
,
b d
a c ad  bc
 
b d
bd
a c ad  bc
 
b d
bd
OBSERVACIONES
1. El inverso aditivo (u opuesto) de
como
a
o
b
a
a
es - , el cual se puede escribir también
b
b
a
b
2. El número mixto A
b
se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
c
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a c
Q, entonces:
,
b d
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
OBSERVACIÓN
El inverso multiplicativo (o recíproco) de
a
 a
es  
b
b
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1

b
, c on a  0
a
12
RELACIÓN DE ORDEN EN Q
OBSERVACIONES
1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes
procedimientos:
a. igualar numeradores.
b. igualar denominadores.
c. convertir a número decimal.
2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se
obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito
semiperiódico.
a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de
cifras decimales.
Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales
b. Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por
la parte entera y el período.
Ejemplo: 0,444.... = 0, 4
c. Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados
por la parte entera, un anteperíodo y el período.
Ejemplo: 24,42323... = 24,4 2 3
OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES
1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números
decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las
comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria
respectiva.
Así por ejemplo: 0,19
3,81
+ 22,2
26,20
2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números
decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el
resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales
tengan los números en conjunto.
Así por ejemplo: 3,21 ⋅ 2,3
963
642
7,383
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3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede
transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una
potencia en base 10.
Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100
224: 120 y se dividen como números enteros
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el
número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como
cifras decimales tenga dicho número.
Por ejemplo: 3,24 =
324
100
2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas
las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras
tenga el período.
Por ejemplo: 2, 1 5=
2 1 5 2
99
3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia
entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas
las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves
como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el
anteperíodo.
534 53
Por ejemplo: 5,3 4 =
90
APROXIMACIONES
Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una
aproximación con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente.
REDONDEO
Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dígito
que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es
mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito
que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como
ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los números 4,748 y
9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente.
TRUNCAMIENTO
Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a
la derecha dela última cifra a considerar.
De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 2,5698
resulta 2,56.
ESTIMACIONES
Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas
por redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros,
dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es
una cifra).
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14
 0,05 
EJEMPLO PSU-1: 5  

 0,5 
A) 0,5
B) 0,05
C) 0,005
D) 50
E) 500
EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a =
5
3
2
, b =
y c =
de
3
6
8
menor a mayor es
A) a < b < c
B) b < c < a
C) b < a < c
D) c < a < b
E) c < b < a
EJEMPLO PSU-3: 40 - 20  2,5 + 10 =
A) 0
B) -20
C) 60
D) 75
E) 250
EJEMPLO PSU-4:
9 3
 
8 5
A) 0,15
B) 0,5
C) 0,52
D) 0,525
E) 2
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15
EJEMPLO PSU-5: Si a
A) 
5
1
se le resta resulta:
3
6
1
2
1
2
2
C)
3
4
D)
3
2
E)
9
B)
EJEMPLO PSU-6:
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
 0,75
8

1
3
 0,25
8
15
3
16
3
16

3
4
8
3
EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces
t r
=
r
A) 80,89
B) 80,9
C) 88,9
D) 89
E) Ninguno de los valores anteriores
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1
1 1

 , si P y R se reducen a la
P Q R
mitad, entonces para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se
debe
EJEMPLO PSU-8: En la igualdad
A) duplicar.
B) reducir a la mitad.
C) mantener igual.
D) cuadruplicar.
E) reducir a la cuarta parte.
EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención.
Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por
media hora en Internet, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool
II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet
III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a
internet
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-10:
1 1 1
  
x x x
A) 3
1
x3
3
C)
x
1
D)
3x
3
E) 3
x
B)
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17
EJEMPLO PSU-11: Si P 
A)
B)
C)
D)
E)
2P
R
R

2P
2P

R
2R
P
R
2P
EJEMPLO PSU-12:
A)
B)
C)
D)
E)
1
RH , entonces H-1 es igual a:
2
1 1 1
  
3 6 2
5
12
2
15
1
9
2
3
1
4
EJEMPLO PSU-13:
A) 
2,6  2  3,8

2,6  6  3,8
1
3
5
19,4
5
C)
19,4
2,28
D)
19,4
7,6
E)
9,8
B) 
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18
EJEMPLO PSU-14:
1

3
2
1
1
4

3
2
1
B)
3
11
C)
6
D) 1
A)
E) 3
50
 0,5
100

EJEMPLO PSU-15:
(0,5)  2
A) 10
B) 1
C) 0,1
D) 0,25
E) 0,75
EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha
caminado 7.850 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?
A) 4,45 km
B) 4,55 km
C) 5,55 km
D) 5,45 km
E) 6,62 km
EJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la
3
3
3
t
r
relación correcta entre las fracciones: p 
a1
a1
a
A) p <t < r
B) r < p < t
C) t < r < p
D) r < t < p
E) p < r < t
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19
EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un
licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b,
¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?
ab
3
ab
$
5
$(2a  3b)
3a  2b
$
18
5  (3a  2b)
$
18
A) $
B)
C)
D)
E)
EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad,
1
llenado hasta los 2 litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?
3
1
3
2
B) 2
3
3
C) 2
2
1
D) 3
3
2
E) 1
3
A) 2
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20
EJEMPLO PSU-20:
A)
B)
C)
D)
E)
1 1 2
  
3 4 3
1
2
1
4
1
5
1
12
4
21
EJEMPLO PSU-21: Se define a  b =
a:
A)
B)
C)
D)
E)
1
, entonces a  (b  c) es igual
ab
1
abc
a
bc
bc
a
ab
c
c
ab
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21
EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí
a
a
y distintos de cero. Si P = + d y Q = + d, ¿cuál(es) de las siguientes
b
c
igualdades es (son) siempre verdadera(s)?
I) P - Q  0
P c
II)

Q b
a2
 d2
III) P · Q =
bc
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
1
EJEMPLO PSU-23:
1
1
1
5
2
2
B)
5
C) 1
3
D)
5
1
E)
2

1
11
A)
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22
EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier
cronometró 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2
segundos.
¿Cuál(es)
de
las
siguientes
afirmaciones
es(son)
verdadera(s)?
I) Javier llegó después de Marcelo
II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de
diferencia al llegar a la meta
III) Arturo llegó primero
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se
necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para
n personas, ¿por cuál número se debe multiplicar n para obtener
cuántos gramos de azúcar se necesitan?
A) 33, 3
B) 200
C) 1.200
D) 6
E) 0,03
EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si
a a
S   , entonces S 1 es:
b d
A)
B)
C)
D)
E)
bd
2a
ad  ab
bd
bd
a
bd
2a
bd
a(b  d)
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23
EJEMPLO PSU-27: (0,2)2 =
A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
1
E)
5
3 2
EJEMPLO PSU-28. 3     
7 3
58
21
68
B)
21
5
C)
21
5
D) 
21
E) Ninguna de las anteriores
A)
EJEMPLO PSU-29. Se tienen dos cajas: una con seis botellas de
3
de
4
1
de litro, todas llenas
4
también. ¿Cuál es el número de botellas de medio litro con las que se
puede envasar todo el líquido?
litro, todas llenas y otra con cuatro botellas de 1
A) 5
B) 9
C) 10
D) 19
E) 20
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24
EJEMPLO PSU-30. Sea n un número entero, ¿cuál de las afirmaciones
siguientes es (son) siempre verdadera(s)?
n3
I)
es racional
n2
n3
II)
es una fracción impropia
n2
n3
1
III)

n2
2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) Ninguna de las anteriores.
EJEMPLO PSU-31. Se define la operación [m, n, r] 
2m  8n
, ¿cuál es
2r
1 3 5 
el valor de  , ,  ?
2 4 3 
3
A) 
2
2
B) 
3
24
C) 
5
6
D) 
5
E)  1
EJEMPLO PSU-32.
n  (n  (n))
?
n
A) – 2n
B) – n
C) n
D) 1
E) – 1
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25
EJEMPLO PSU-33. ¿Cuántos séptimos son equivalentes a 2
5
?
7
A) 19
B) 17
C) 14
D) 10
E) 5
EJEMPLO PSU-34. El número racional
A) 10  0,7
B) 0,10  0,7
7 3
C) 
3 4
3
D) 7 
7
1 1
E) :
7 10
10
es igual a:
7
EJEMPLO PSU-35. Juan tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de
esta cantidad más un dulce. Si al hermano de Juan le regalan 3 dulces y
éste, a su vez, regala 2 dulces, ¿con cuántos dulces queda el hermano
de Juan?
a
1
2
B) C on a  2
A) C on
a
3
2
a
D) C on  4
2
a
E) C on  2
2
C) C on
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mt
, con m > 0 y t > 0.
mn
afirmaciones es (son) siempre
EJEMPLO PSU-36. Dada la fracción
¿Cuál(es) de
verdadera(s)?
las
siguientes
I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fracción aumenta en 2.
II) Si el numerador de la fracción se duplica y su denominador se
divide por 2, entonces la fracción queda igual.
III) Si el denominador de la fracción se divide por 3, entonces la
fracción se triplica.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-37. Se define la operación a#b  a  b en los números
reales. ¿En cuál(es) de las siguientes operaciones el resultado es igual a
8?
I) 4 # 2
II) 16 #
III) 8 # 0
A) Solo en III
B) Solo en I y en II
C) Solo en I y en III
D) Solo en II y en III
E) En I, en II y en III
1
2
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III. POTENCIAS EN Z
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
1. 0n = 0, si n Z+
2. 1n = 1
3. Si n es par, (1) n = 1
4. Si n es impar, (1) n = -1
P os itivo s i a  0 y n es par
Signos de una potencia: a n = 
Negativo s i a  0 y n es impar
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean a y b  Z, m y n  Z+
1.- Multiplicación de potencias de igual base
2.- División de potencias de igual base
3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente
4.- División de potencias de distinta base e igual exponente
DEFINICIÓN
OBSERVACIÓN:
0 0 no está definido
POTENCIA DE UNA POTENCIA
POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
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28
POTENCIAS DE BASE 10
10 0 = 1
10 1 = 10
10 2 = 100
1
=0,1
10
1
10 2 =
=0,01
100
1
10 3 =
=0,001
1000
10 1 =
10 3 = 1000
Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes
formas:
1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅ 10 n
, en que 1 ≤ k < 10 y n  Z.
2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n,
en que p es el menor entero y n  Z.
3. Un número está inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa
como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho
número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena,
unidad, décima, centésima...) abcde = a ⋅ 10 2 + b ⋅ 10 1 + c ⋅ 100 + d ⋅ 10 1 + e ⋅
10 2
EJEMPLO PSU-1:
A)
B)
C)
D)
E)
3 1  4 1

5 1
12
35
35
12
7
5
5
7
5
12
EJEMPLO PSU-2:
0,0009  0,0000002

6  0,0003
A) 10-15
B) 10-12
C) 10-7
D) 10-6
E) Ninguno de los valores anteriores
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29
EJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M
N = 45,1 10 5 y P = 451 10 7 , de menor a mayor, es
=
4,5110 6 ;
A) M, N, P
B) P, M, N
C) N, M, P
D) P, N, M
E) M, P, N
1

EJEMPLO PSU-4:  a 2 
2

3

A) 8a6
B) 8a 5
1 5
a
2
1
D) a 6
8
1 6
E) a
2
C)
EJEMPLO PSU-5: Si 2 2 x = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9?
A) 6
9
B)
2
C) 3
3
D)
2
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-6: 4 2  2 3  2 4 
A)
B)
C)
D)
E)
1
8
1
4
1
6
8
6
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30
EJEMPLO PSU-7: (2a)3  (3a)2 =
A) 72a2
B) 72a5
C) 6a5
D) 36a6
E) 36a5
EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 2 6 ?
A) 25
B) 23
C) 16
3
1
D)  
2
1
E)  
2
6
EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)
siempre verdadera(s)?
I) an  an  a2n
II) a2n  an  an
III) (2an )2  2a2n
A) Solo I
B) Sólo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como
resultado 41?
I) 2 4  5 2
II) 6  7  6 0  7 0
III) 7 2  2 3
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II, III
E) Ninguna de ellas
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EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión
3 1
4  18n
es
 6 2n1  2 n
A) 2n
B) 4 2n
C) 2
D) 6
E) 36
EJEMPLO PSU-12:
3,6  106  0,00006

20.000.000
A) 1,08  104
B) 1,08  105
C) 1,08  106
D) 1,08  107
E) 1,08  1015
EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 4n  4n  4n  4n  2 44 , el valor de n
es:
11
2
B) 11
C) 21
D) 22
E) ninguno de los valores anteriores
A)
EJEMPLO PSU-14: (0,2)
–2
=
A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
E) 5
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32
EJEMPLO PSU-15:
9
7
8  10
B) a b
a6b 15

a 2b  5
A) 
C) a4b  20
D) a 3b 3
E)  9
EJEMPLO PSU-16: Si 9  9  3 x . Entonces x=
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 27
EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20
minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que
hay al término de 3 horas es:
A) 5.000  33 bacterias
B) 5.000  34 bacterias
C) 5.000  39 bacterias
D) 5.000  360 bacterias
E) 5.000  3180 bacterias
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta
(s) cuando x=-3?
1
I) 4 x 
64
x
II) 4  4 3  1
III) (4 1 )x  64
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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33
EJEMPLO PSU-19: Si p  5,2  103 y q = 2  10 3 , ¿cuál(es) de las
siguientes igualdades se cumple(n)?
I) p  q  7,2  10 3
II) p  q  1,04  10 5
III) p  q  3,2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
EJEMPLO PSU-20: Si 3x  3x  P , entonces 9 x  9 x es igual a:
A) P2
B) P2 + 2
C) P2 – 2
D) P2 – 1
E) 3P
EJEMPLO PSU-21. Ordenados de mayor a menor los números:
P  2444; Q  3333 : R  5222 son:
A) Q, R, P
B) Q, P, R
C) P, R, Q
D) R, P, Q
E) P, Q, R
EJEMPLO PSU-22. ¿Cuál es el valor de la expresión 15  22  70 ?
A) 5
B) 6
C) 10
D) 12
E) 16
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34
EJEMPLO PSU-23. (2t  3s3 )2 =
A) 36ts 3
B) 36t 2 s 6
C) 6ts 5
D) 6t 2 s 6
E) 24t 2 s 6
EJEMPLO PSU-24. ¿Por qué factor hay que multiplicar x 2 para obtener
x2 ?
A) Por x 4
B) Por  1
C) Por x 1
D) Por x4
E) Por ninguno de los factores anteriores
EJEMPLO PSU-25. ¿Qué valor tiene x en la ecuación 25
x 3
3
 5?
17
2
15
B)
2
9
C)
2
D) 8
A)
E)
7
2
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35
IV. ALGEBRA y FUNCIONES
EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores
numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va
siempre entre paréntesis.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras,
y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos
y mantener su factor literal.
USO DE PARÉNTESIS
En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.
Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los
signos de los términos que están dentro del paréntesis.
Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando
los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.
Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su
vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones
que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera.
OPERATORIA ALGEBRAICA
ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de
términos semejantes y uso de paréntesis.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí,
usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un
producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir,
a  (b  c) = (a  b)  c
MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Es decir, a (b + c + d) = ab + ac + ad
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36
POLINOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo
polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.
PRODUCTOS NOTABLES:
∗ Cuadrado de binomio:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2
∗Producto de binomios:
(x + a) (x + b) = x2
∗ Cubo de binomio:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
+
(a + b) x
+ ab
∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac
∗ Suma de cubos:
(a + b) (a2 – ab + b2) =
a3 + b 3
∗ Diferencia de cubos:
(a – b) (a2 + ab + b2) =
a3 – b 3
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37
EJEMPLO PSU-1:
La expresión a4  b 4 se puede escribir como
A) (a  b)4
B) (a  b)2 (a  b)2
C) (a3  b3 )(a  b)
D) (a2  b2 )(a2  b2 )
E) (a  b)(a3  b3 )
EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a ⋅ b =
A)
B)
C)
D)
E)
np
2
4
n  p4
4
2
n  p2
4
np
4
4(n  p)
EJEMPLO PSU-3: La expresión
xy  x ay  a
:
es igual a:
y
y2
A) 0
B)
a
xy
C)
ax
y
D)
xa(y  1)2
y3
E)
xy
a
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EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser
simplificada(s) resulta(n) 1?
2a  3
I)
3  2a
a2  b 2
II)
(a  b)2
III)
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
(b  a)2
a2  b 2  2ab
EJEMPLO PSU-5: El doble de   (a  (b))
A) 2a + 2b
B) a - b + 2
C) a + b + 2
D) a + b
E) -2a - 2b
EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su
perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo?
A) 2x + y
B) 4x + 2y
C) 7x + 4y
D) x + 2y
E) x + 2y
EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2x 2 + 2x - 24. Si uno de
sus lados mide (x - 3), el otro lado mide
A) (x + 8)
B) 2(x + 8)
C) 2(x - 4)
D) 2(x - 3)
E) 2(x + 4)
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39
EJEMPLO PSU-8: Si a 
1
9 y
b
a2b 2  1
 36,
b2
entonces a 
1
b
A) -9
B) 6
C) 4
D) 3
E) 1
EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son)
divisor(es) de la expresión algebraica 2x 2 − 6x − 20 ?
I) 2
II) (x − 5)
III) (x + 2)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide
z
, entonces ¿cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene igual área
2
que el triángulo?
z
4
z
2
B)
2
C) z
z
D)
2
z2
E)
4
A)
EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( 2x 2 − 3) =
A) − 45
B) − 75
C) 15
D) 75
E) 105
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40
EJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0,
x y
entonces
 
y x
x2  y2
xy
xy
B)
xy
C) 1
A)
2x  2y
xy
E) 2
D)
EJEMPLO PSU-13: (3w  2)2  2(2w  3)(2w  3) 
A)
B)
C)
D)
E)
w 2 – 12w - 14
w 2 – 12w + 22
w 2 – 12w -5
w 2 – 12w + 13
w 2 – 12w + 14
EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:
A) 9
B) 16
C) 18
27
D)
10
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de
k2 + k – 6?
A) k + 1
B) k + 2
C) k – 6
D) k – 3
E) k – 2
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EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2
II) El área de la región achurada es (a + b)2
III) El área de AEFD es b2 + ab
las
siguientes
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de
un rectángulo se expresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes
opciones puede representar a sus lados?
A) (x – 1) y (x – 5)
B) (x + 2) y (x – 3)
C) (x – 1) y (x + 6)
D) (x + 1) y (x – 6)
E) (x – 2) y (x – 3)
EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión x2 y2  x2 y  xy  x , ¿cuál(es) de
las siguientes expresiones es (son) factor(es) de ella?
I) xy + 1
II) x + 1
III) y + 1
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
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42
EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión

equivalente a 3n  3  3n  2

2
es:
A) 2  32(n3)
B)  2  3(n3)
C) 4  32(n3)
D) 16  32(n3)
E)  8  32(n3)
EJEMPLO PSU-20: a  [a  a  (a  a)  a  a] : a 
A) –a2
B) –a
C) a
D) 2a
E) a - 2
EJEMPLO PSU-21:
5a  4 2a  6


3a  6 2a  4
2a  13
3(a  2)
2a  5
B)
3(a  2)
2a  5
C)
3(a  2)
A)
D)
2a  3
3(a  2)
E)
3a  2
a  10
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43
EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=
A) 1
1
B)
m
1
C) 2
m
1
D) 3
m
1
E) 4
m
EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a)
A) 1 - a
B) a
C) 0
D) –a2
E) a2
EJEMPLO PSU-24: Si a  b  10 y a2  b2  29, entonces el valor de
(a – b)2 es:
A) 9
B) 19
C) 29
D) 49
E) No se puede determinar el valor
EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
(m  n)2 – 4mn?
A) (m – n)2
B) m2 – 2 + n2
C) m2 – 4mn + n2
D) 2m – 4mn + 2n
E) 2m – 2mn + 2n
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44
EJEMPLO PSU-26: Sea m  0, al simplificar la expresión
m  mr
2m
resulta:
A) 0
r
2
1r
C)
2
mr
D)
2
1  mr
E)
2
B) 
EJEMPLO PSU-27: Al sumar
x
x
con m se obtiene
, entonces ¿cuál
t2
t
es el valor de de m?
A) 0
B)
2x
t(t  2)
x
t2
 2x
D)
t(t  2)
C)
E)
2
t(t  2)
2
EJEMPLO PSU-28: (30 + 5) – (30 + 5)(30 – 5) =
A) 0
B) 50
C) 300
D) 350
E) 450
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45
EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b).
El primero le costo $a y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costó el
tercero?
A) $ a
B) $ 7a
C) $ (3a – b)
D) $ (3a + 2b)
E) $ (a + 2b)
EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su
antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es:
A) 6
B) 7
C) 8
D) 14
E) Ninguno de los anteriores
EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es
3x
y el largo es el
2
doble del ancho. ¿Cuánto mide su perímetro?
9x 2
A)
2
B) 3x
9x
C)
2
D) 9x
E) 6x
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46
EJEMPLO PSU-32: Si a 
1
1
1
,b
y c
, entonces la expresión
2x
4x
6x
x – (a + b + c) equivale a:
A)
B)
C)
D)
E)
12x 2  11
12x
2
x 7
12x
11x
12
11
12x
7
12x
EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:
Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área achurada.
II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de
lado a y el lado de b.
2
2
III. a(a + b) > a + b
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas
cuatro cuadrados de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?
A) 8 – x
B) 64 – 4x2
C) 64 – x2
D) 8 – x2
E) 64 – x4
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47
EJEMPLO PSU-35: Si ab  (a  b)2 y a# b  (a2  b2 ) , ¿a cuánto
equivale la expresión 3(mp)  5(m# p) ?
A) -2m2 + 8p2
B) -2m2 + 6mp + 8p2
C) 8m2 + 6mp – 2p2
D) -2m2 + 3mp + 8p2
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual
a:
A) -10
B) 10
C) 13
D) -25
E) 25
EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro
veces el volumen de otro cilindro P, entonces
I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del
cilindro P y los radios deben ser iguales.
II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del
cilindro P y las alturas deben ser iguales.
III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio
del cilindro P y las alturas deben ser iguales.
Es (son) verdadera(s)
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo III.
D) sólo I y II.
E) sólo I y III
EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n2 
n
 3n es igual a:
3
A) 6
B) 9
C) 14
D) 17
E) 18
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48
2
 2

EJEMPLO PSU-39:  x  y  x  y  
3
 3

4
A) x 2  y 2
3
4
B) x 2  y 2
9
2
C) x 2  y 2
9
4
D) x 2  y 2
6
E) Ninguna de las expresiones anteriores
EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el
área de la región achurada se expresa como:
A) x(z  y)
B) x(y  z)
C) xz
xy
D)
2
x(z  y)
E)
3
xy
xy
 sea positiva, se
EJEMPLO PSU-41: para que la expresión
xy
1
xy
debe cumplir necesariamente que:
1
A) xy < 0
B) x < 0
C) xy > 0
D) y < 0
E) x > y
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49
EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión
x2  x3  x4 ?
A) -9
B) -3
C) -1
D) 1
E) 3
2
EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x – 2xy, si x = 2 e y = – 1?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 0
EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] =
A) –a + b – c
B) a + b – c
C) –a – b + c
D) a – b – c
E) a + b + c
2
EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p) =
2
2
2
2
A) 6m – 10p
B) 9m – 25p
2
2
2
2
2
2
C) 9m – 15mp + 25p
D) 9m – 30mp – 25p
E) 9m – 30mp + 25p
EJEMPLO PSU-46. Si p = -2 y q = - 3 entonces p2  q2 
A) – 13
B) 25
C) 1
D) 5
E) -5
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50
EJEMPLO PSU-47. p = q + 1, entonces p qes :
A) qq1
B) p p 1
C) (q  1)q
D) (p  1)p
E) 
pp
p
EJEMPLO PSU-48. ¿En cuál de las siguientes alternativas, - 24 mn es
un término al desarrollar el cuadrado de un binomio?
A) (3m  8n)2
B) (12n  2m)2
C) (m  12n)2
D) (12m  n)2
E) (m  24)2
EJEMPLO PSU-49. En el rectángulo de la figura AD  x  a , DF  x y
FC  a . Además EF // AD. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones
equivale(n) al área del rectángulo ABCD?
I) x(x  a)  a2
II) x 2  a2
III) (x  a)(x  a)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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51
EJEMPLO PSU-50.
A)
m2  6
(m  3)(m  2)
B)
m2  6m  6
(m  3)(m  2)
m
2


m3 m2
m2  6
C)
(m  3)(m  2)
m2  4m  6
D)
(m  3)(m  2)
E) m2  4m  6
EJEMPLO PSU-51. Si k es un número entero positivo, entonces k + 1
es factor de:
A) 5k 2  2k
B) k 2  k
C) k 2  k
D) k  2
E) k 3  1
EJEMPLO PSU-52. [(m  t)  (m  t)]1 
1
2m
1
B)
2t
1
C) 
2t
D)  2t
E) 0
A)
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52
EJEMPLO PSU-53. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a
4x2  49 :
A) (2x  7)2
B) 4(x  7)2
C) (2x  7)(2x  7)
D) 4(x  7)(x  7)
E) (4x  7)(x  7)
EJEMPLO PSU-54. Si t  1 , entonces la expresión
t2
1

es igual a
t 1 t 1
A) t 2  1
B) t  1
C) t
t2  1
2t  2
E) t  1
D)
EJEMPLO PSU-55. Si en un rectángulo de largo 2a y de ancho a + 2,
se aumenta el largo al doble y el ancho en 3a + 6, entonces el área del
nuevo rectángulo, con respecto al original, aumenta
A) 8 veces.
B) 6 veces.
C) en 16 unidades.
D) en 8 unidades.
E) 16 veces.
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53
V. SIMBOLOGÍA:
∗ Números natural cualquiera = n
∗ El antecesor de un número = n – 1
∗ El sucesor de un número = n + 1
∗ Número natural par = 2n
∗ Número natural impar = 2n – 1
∗ El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2
∗ El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1
∗ El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2
∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1
∗ El inverso aditivo u opuesto de un número =
–n
∗ El inverso multiplicativo o recíproco de un número =
1
n
∗ El triple de un número = 3n
∗ Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y
la cifra de las decenas es d = 10d + u
∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u,
la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u
∗ La razón o cociente entre p y q =
p
q
∗ El valor absoluto de un número =
|n|
p
 k(c onstante)
∗ p es directamente proporcional a q =
q
∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)
EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por:
A) [2(x-3)]2
B) 2(x2 – 32)
C) (2x – 6)2
D) 2(x – 3)2
E) (x2 – 32)2
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54
EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver
el siguiente problema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a
Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4”?
A)
B)
C)
D)
E)
2x
5  4
5
2x
5  x
5
x
9 x
5
2x
9 x
5
x
5  4
5
EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y
este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe
A) d  2d  3d2
B) d  2d  (3d)2
C) (d  2d)  (3d)2
D) (d  2d)  3d2
E) (d  2)  (3d)2
EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su
recíproco, y todo al cuadrado, se expresa como
1

A)  n  
n

2
1
B) n2   
n
2
2
1
C) n   
n
D) n  (n)2
E) n2  (n)2
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55
EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades,
entonces el área del nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas,
como
A) r 2  
B) r 2   2
C)  (r 2   2 )
D)  (r 2   )
E)  (r   )2
EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo
dividido por t”, se escribe
A)
B)
C)
D)
E)
5m  m2
t
m
 m2
5
t
m2
5m 
t
m m2

5
t
m
 2m
5
t
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56
EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la
edad de Juan (J). Si hace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las
siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que
permiten calcular las edades de María y Juan?
A) M  2 
B) M  2 
C) M  2 
D) M  2 
E) M  2 
J
y J  2  10
4
J
y J  2  10
4
J
y J  2  10
4
J
y J  10
4
J
y J  2  10
4
EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años.
¿Cuál será la suma de sus edades en a años más?
A) (11 + 3a) años
B) (11 + 2a) años
C) (11 + a) años
D) (8 + 3a) años
E) (5 + 3a) años
EJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es
igual al cuadrado del doble de (3 – b)” se representa como:
A) 2(3  b  2(3  b)2
2
B) 4(3  b)2  4(3  b)2
C) 2(3  b  2(3  b)(3  b)
2
D) 2(3  b)2  2(3  b)2
E) 2(3  b)2  2(3  b)
2
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57
EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su
ancho. Si el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica
que representa su perímetro es:
A) (4x + 16) metros
B) (2x + 8) metros
C) (2x + 16) metros
D) (4x + 8) metros
E) (4x + 32) metros
EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros
consecutivos es igual a 291. ¿Cuál de las siguientes expresiones
representa al planteamiento algebraico de este problema?
A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291
B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291
C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291
D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291
E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291
EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea
igual a 18, le faltan 4 unidades”, se expresa como
A) 2a + c + 4 = 18
B) 2(a + c) – 4 = 18
C) 2(a + c) + 4 = 18
D) 4 – 2(a + c) = 18
E) 2a + c – 4 = 18
EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg
más de té que de café en $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg
de café más 1 kg de té, en función de x?
A)
B)
C)
D)
E)
36.000 48.000

x
x  40
36.000 48.000

x
x  40
x
x  40

36.000 48.000
x
x  40

36.000 48.000
36.000 48.000

x
40
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58
VI. RAZONES y PROPORCIONES
RAZÓN es el cociente entre dos cantidades. Se escribe
a
o a: b.
b
Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.
PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe
y
x
ó x: a = y: b

a b
Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se
denominan medios.
TEOREMA FUNDAMENTAL
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los
medios.
(x : a = y : b)  (x · b = y · a)
OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada
constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre
sus valores correspondientes es constante.
OBSERVACIONES:
En una proporción directa, si una cantidad
aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta
(disminuye) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad directa
corresponde a una línea recta que pasa por
el origen
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus
valores correspondientes es constante
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = ..........= xn · yn = k
k : constante
OBSERVACIONES:
En una proporcionalidad inversa, si una
cantidad aumenta (o disminuye) n veces,
la otra disminuye (o aumenta) el mismo
número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad inversa
corresponde a una hipérbola equilátera
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59
EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla:
A
B
10
3
15
x
20
1,5
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:
I. A y B son directamente proporcionales.
II. El valor de x es 2.
III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando
8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I.
4 electricistas harán el trabajo en 3 días,
trabajando 8 horas diarias.
II. Los electricistas y las horas son directamente
proporcionales.
III. La constante de proporcionalidad es 3.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos
que suman en total 300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre
los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces ¿cuántos duraznos hay en la
quinta?
A) 54
B) 77
C) 84
D) 126
E) 210
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60
EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x,
cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =
1
2
1
B)
4
C) 2
A)
D) 4
E) 9
EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres
trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto
mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas?
A) 180 mm
B) 420 mm
C) 320 mm
D) 510 mm
E) Ninguna de
120 mm 90 mm
180 mm 120 mm
240 mm 160 mm
120 mm
90 mm
las medidas anteriores
EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al
1
número
y cuando a toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el
b
valor 6, entonces el valor de b es:
A) 10
8
B)
5
5
C)
8
1
D)
10
15
E)
4
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61
EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él
corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre
dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es
A) 50 km
B) 65 km
C) 67,5 km
D) 62,5 km
E) ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales
entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si
M aumenta al doble, entonces N
A) aumenta al doble.
B) disminuye a la mitad.
C) aumenta en dos unidades.
D) disminuye en dos unidades.
E) se mantiene constante.
EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a
a
1
, según los datos registrados, el valor de
, es:
c
y
A) 256
B) 16
1
C)
16
D) 64
1
E)
64
z
8
a
1
1
4
y
2
4
16
b
EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la
distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre
ellas?
A 1,75 km
B 17,5 km
C 175 km
D 1.750 km
E 17.500 km
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
62
EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la
razón entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =
A) 4: 7
B) 4: 3
C) 7: 4
D) 3: 7
E) 3: 4
EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal
PV
de un gas es
= constante, donde P es la presión del gas, V su
T
volumen y T su temperatura absoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
A volumen constante la presión es directamente
proporcional a la temperatura
II)
A temperatura constante la presión es inversamente
proporcional al volumen
III) A presión constante el volumen es inversamente
proporcional a la temperatura
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta
de modo que sus volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del
segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos litros tiene la mezcla total?
A 6 litros
B 10 litros
C 12 litros
D 14 litros
E 16 litros
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
63
EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre
mujeres y hombres es m: h. ¿Cuál es la expresión que representa el
número de mujeres?
A)
B)
C)
D)
E)
40m
mh
40(m  h)
m
40(m  h)
h
40h
mh
40m
h
EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una
proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La constante de proporcionalidad es 36
II) El valor de t1 es 9
III) El valor de m1 es 36
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había
4 mujeres por cada 3 hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento?
A) 8
B) 21
C) 24
D) 28
E) 32
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
64
EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un
día, ¿cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día?
hx
50
50x
B)
h
x
C)
50h
h
D)
50x
E) Ninguno de los valores anteriores
A)
EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes
permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es
residente permanente, ¿cuántas personas hay en febrero?
A) 416
B) 4.000
C) 12.500
D) 15.000
E) 17.500
EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es
directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y
w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad
8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas variables
representan este hecho?
x
2 yw  v=8
u
B) x – u = 2 y w + v = 8
w
8
C) x  u = 2 y
v
D) x + u = 2 y w – v = 8
E) x + w = 10
A)
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65
EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días
en hacer un jardín, otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el
mismo jardín, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 días. ¿Cuántos
días se demorará Y trabajando solo?
A) 30
B) 28
C) 25
D) 20
E) 15
EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es
inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en
que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos índices se
cumple:
A) D = 0,5C
B) D = C2
0,5
C) D =
C
D) D = 0,125C
0,125
E) D =
C
EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un
cierto número de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se
demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuál(es) de las
siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días,
trabajando 8 horas diarias
II) El número de electricistas y el número de días son variables
directamente proporcionales
III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
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66
EJEMPLO PSU-23. Un trabajador hace un trabajo en 60 días, mientras
que cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 días. ¿Cuál de los
siguientes gráficos representa mejor la relación trabajadores - días
EJEMPLO PSU-24. n y m son directamente proporcionales y su
constante de proporcionalidad es 3. ¿Cuál de las siguientes tablas
representa dicha relación?
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
67
EJEMPLO PSU-25. Según el grafico obreros versus el tiempo que
demoran en construir una casa del tipo M se puede afirmar
correctamente que:
A) Dos trabajadores construyen
una casa del tipo M en un año
B) Tres trabajadores construyen
una casa del tipo M en cinco
meses
C) b trabajadores construyen
más casas del tipo M que c
trabajadores en un año
D) (c – b) trabajadores
construyen una casa del tipo M
en ocho meses
E) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un año
EJEMPLO PSU-26. La mitad de una parcela de 10.000 m2, está dividida
en dos partes que están en la razón 1: 4. La parte menor será utilizada
para cultivo, ¿cuántos metros cuadrados serán usados para este fin?
A) 625
B) 2.000
C) 400
D) 1.250
E) 1.000
EJEMPLO PSU-27. Entre tres hermanos compran un número de rifa
que cuesta $ 1.000. Juan aporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosa
aporta el resto. El premio es de $ 60.000 Deciden, en caso de ganarlo
repartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno,
¿Qué cantidad de dinero le correspondería a Rosa?
A) $ 30.000
B) $ 18.000
C) $ 24.000
D) $ 20.000
E) $ 40.000
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68
TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de
los términos de la proporción es 100:
P: Es el tanto por ciento
C: Es la cantidad de referencia
Q: Es el porcentaje
El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es
P% de C =
P
C
100
OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS
i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar
a% de C  b% de C = (a  b)% de C
ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de
los tantos por cientos
El a% del b% de C =
a
b

C
100 100
INTERÉS SIMPLE
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad
de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada
por la fórmula:
i 

CF  C1  n 
1
0
0

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando,
al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso
el capital permanece inalterable.
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Prof. Matemática y Física
69
INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada
unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una
nueva cantidad.
La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:
i 

C F  C 1 
100 

n
OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto
cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se
añaden al capital para producir nuevos intereses.
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70
EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y
reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son
supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, ¿cuál es el total de
trabajadores?
A) 108
B) 72
C) 180
D) 90
E) 54
EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana
$157,5. Calcular el interés simple anual.
A) 5%
B) 5,25%
C) 5,5%
D) 5,75%
E) 15,75%
EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen
$ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más
pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y
por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón.
Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de
zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?
A) $ 45.000
B) $ 50.000
C) $ 57.150
D) $ 72.000
E) $ 81.900
EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes,
más un 8% de las ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar
$ 317.000 en el mes?
A) $ 254.625
B) $ 532.000
C) $ 1.275.000
D) $ 1.812.500
E) $ 3.962.500
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71
EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían
10 vasos para llenar el jarro.
II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se
necesitarían 4 vasos para llenar el jarro.
III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para
40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos
simultáneos; él A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena
sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s) ?
I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B.
II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A,
habría quedado en éste, menos del 50% de sus asientos vacíos.
III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios
superan en 1.000 a la capacidad de B.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
EJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25%
de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay
que agregar
A) 4 litros.
B) 24 litros.
C) 40 litros.
D) 60 litros.
E) ninguno de los valores anteriores.
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
72
EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las
ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene
un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. ¿Qué nota debe obtener en
la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1?
A) 5,0
B) 5,1
C) 5,2
D) 6,0
E) 6,3
EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo
isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo
porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el
área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original?
A) Se mantiene igual.
B) Aumenta en un 4%.
C) Disminuye en un 4%.
D) Aumenta al doble.
E) Disminuye a la mitad.
EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde
a calcular el 12,5% del precio de un artículo?
1
I) del precio del artículo
8
II) El precio del artículo multiplicado por 12,5
III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
73
EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2
de cerámica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el
metro cuadrado de cerámica cuesta $P y el metro cuadrado de piso
flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el costo total es
de:
A)
B)
C)
D)
E)
$ 145P
$ 170P
$ 175P
$ 245P
$ 195P
EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el
b
valor de es:
a
A)
B)
C)
D)
E)
400
7
35
8
18
35
35
18
8
35
EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente
por una actividad extraprogramática: las tres cuartas partes de los
estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro.
¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de
estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?
A) Menos del 91%.
B) Entre el 91% y el 93%.
C) Entre el 93% y el 95%.
D) Entre el 95% y el 97%.
E) Más del 97%.
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Prof. Matemática y Física
74
EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60
m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe
usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un
60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el costo
total C en alfombras?
A) C = 1,6  p  100 + p  100
B) C = 0,6  p  100 + p  100
C) C = 0,6  p  60 + p  40
D) C = p  60 + 0,6  p  40
E) C = 1,6  p  60 + p  40
EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a
clases 9 de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)
verdadera(s)?
I) Faltó la cuarta parte del curso
II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los
presentes
III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa
el 25% del curso
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El
porcentaje de aumento es:
1
%
5
1
B)
%
6
C) 3%
D) 20%
A)
E) 30%
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
75
EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es
geometría, el 10% es álgebra y el resto astronomía. Luego las páginas
dedicadas a la astronomía son:
A) 4
B) 8
C) 10
D) 12
E) 28
EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un
15% de la mitad del precio marcado de una mercadería. Si la
mercadería tiene un precio marcado de $ 600, ¿cuánto me descuentan?
A) $ 555
B) $ 510
C) $ 255
D) $ 45
E) $ 90
EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo
siguiente: “Antes $ 400, ahora $ 300”. Con respecto al precio original,
¿cuál es el porcentaje de rebaja?
4
%
3
B) 10%
C) 25%
D) 33, 3 %
E) 75%
A)
EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los
que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente.
¿Qué porcentaje practica teatro en relación al total del curso?
A) 20%
B) 80%
C) 16,6…..%
D) 83,3…..%
E) No se puede determinar
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76
EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la
siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del
mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 más un 2% de las
ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes,
vende $ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto
recibe como sueldo, ese mes, cada empleado?
M
P
A) $ 288.000
$ 72.000
B) $ 288.000
$ 172.000
C) $ 388.000
$ 172.000
D) $ 960.000
$ 240.000
E) $ 960.000
$ 340.000
EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del
100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31
de diciembre de ese mismo año habrá en la cuenta, en pesos,
100
A) 1.000 + 1.000 
12
 100 
B) 1.000 + 1.000  

 12 
C) 2.000
100
D) 1.000 
12
100 

E) 1.000  1 

12 

12
12
EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que
corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
4
T
I) Las gallinas que no son blancas son
5
II) El 20% de las gallinas son blancas
III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces
el número de gallinas que son blancas
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
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Prof. Matemática y Física
77
EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en
un 15%. ¿Por cuál número se deben multiplicar los precios antiguos
para obtener el nuevo precio?
A) Por 15%
B) Por 0,15
C) Por 1,5
D) Por 1,15
E) depende del precio de cada artículo
EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por
ciento de interés compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en
nt
1 

la cuenta al final de t años está dada por: P  C1 
 .Al invertir
100n 

$50.000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término
de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:
A) 50.000  (1,06)4
B) 50.000  (1,06)3
C) 50.000  (1,18) 4
D) 50.000  (1,015)3
E) 50.000  (1,015) 4
EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale
$ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el
abrigo antes de la liquidación?
A) $ 21.450
B) $ 23.571
C) $ 28.050
D) $ 55.000
E) $ 115.500
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78
EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000
de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa
cantidad. Si el cliente compra un artículo en $ 19.800, ¿a cuánto
asciende el valor de las estampillas de descuento?
A) $ 600
B) $ 750
C) $ 792
D) $ 800
E) $ 19.200
EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los
alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5.
¿Qué porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de
alumnos del curso?
A) 83, 3 %
B) 80%
C) 20%
D) 16, 6 %
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un
capital de $1.000, durante tres años, para obtener una ganancia de
$ 157,5?
A) 5,0%
B) 5,5%
C) 5,27%
D) 5,25%
E) 5,05%
EJEMPLO PSU-30. Si un número n se divide por 6 resulta 2, ¿cuál es
el 50% de n?
A) 18
B) 12
C) 6
D) 4
E) 2
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79
EJEMPLO PSU-31. ¿Qué capital hay que invertir al interés compuesto
del 2% trimestralmente para obtener al cabo de 1 año $ 1.300.000?
A) $ 1.300.000  (1,02)4
1.300.000
1,02
1.300.000
C) $
(1,02)3
1.300.000
D) $
(1,2)4
1.300.000
E) $
(1,02)4
B) $
EJEMPLO PSU-32. Si el caudal de un río es de P metros cúbicos por
segundo, si al recibir un afluente su caudal aumenta en un 15% ¿cuál es
su nuevo caudal en metros cúbicos por segundo? y aumenta en 15% su
nuevo caudal será.
A) P  15
P
B) P 
15
15 P
C)
100
15 P
D) P 
100
E) Ninguna de las expresiones anteriores
EJEMPLO PSU-33. M es el 8% de:
8M
100
100M
B)
8
8  100
C)
M
108
D)
M
100
92
E)
M
100
A)
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80
EJEMPLO PSU-34. Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2%
de interés compuesto mensual. ¿Cuál es el valor más cercano a lo que
ganara al cabo de tres meses, si no hace retiros ni depósitos en ese
período?
A) $ 106.000
B) $ 106.121
C) $ 6.000
D) $ 8.000
E) $ 6.121
EJEMPLO PSU-35. La tabla adjunta muestra los ahorros que posee
Alicia, después de gastar semanalmente la misma cantidad de dinero.
¿Cuál gráfico representa mejor esta situación?
Semana
Ahorro
en $
A)
0
1
2
3
4
5
20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000
C ) Ahorro
B)
0
D)
5
Semana
E)
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81
VII. RAÍCES
Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces
n
a es el único
n
real b, no negativo, tal que b = a
n
a  b  bn  a, b  0
Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces
n
a es el único
n
real b, tal que b =a
n
a  b  bn  a, b  R
OBSERVACIONES
1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces
REAL
n
2. La expresión
3. a
a NO ES
ak , con a real no negativo, se puede expresar como una
potencia de exponente fraccionario
2
n
n
k
a

k
an
 a , para todo número real
PROPIEDADES
Si
n
n
a y
b están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:
MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
a  nb  n ab
DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
n
a
b

n
a
,
b
b0
POTENCIA DE UNA RAÍZ
n
am 
 a
n
m
, a0
RAÍZ DE UNA RAÍZ
nm
a 
nm
a
AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ
n
a  mn am m  Z , a  R 
PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE
n
a  mb 
mn
am  bn , a, b  R 
FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL
b
n
a  n bn  a, b  R 
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Prof. Matemática y Física
82
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una
fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz
a
Fracciones de la forma
b c
a
Fracciones de la forma
p b q c
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83
EJEMPLO PSU-1: 5 12  2 27
A) 16 3
B) 4 3
C) 2 3
D) 3 3
E) No se puede det er min ar
6
EJEMPLO PSU-2:
A)
1
1
4
 5
 8

4
16
25
61
20
7
6 2


2
4
5
151
C)
20
B)
7
20
E) Ninguno de los valores anteriores
D)
6 5 8
EJEMPLO PSU-3:
3
a2x2 
3
ax1 
A) a3x 3
B)
6
a3x 3
C) a3x
D) ax 3
E) ax 1
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84
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, –1?
I)
x 2  x
II)
x2  x
III)
x2  x
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Ninguna de ellas.
EJEMPLO PSU-5: ( 2  2)3 ( 2  2)4  ( 2  2)4 ( 2  2)3 es un número:
A) Racional positivo
B) Racional negativo
C) Irracional positivo
D) Irracional negativo
E) No real
EJEMPLO PSU-6:
A)
3
4
B)
3
2
C)
6
8
D)
6
2
2
3
2
=
E) 1
EJEMPLO PSU-7: Si
2  a,
3 b y
5  c entonces ¿cuál(es) de
las expresiones siguientes es(son) equivalentes a
I) 2bc
II) 4 a4b2 c 2
III)
60
a2bc
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
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85
EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión
2 7  14
7
resulta
A) 2 3
B) 2  14
C) 2  2
D) 2 7  2
E) 4
EJEMPLO PSU-9:
A)
3 2
B)
15
C)
10  5
12  2  8  3 
D) 20  5
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-10: ( 50  512  242) : 2 
A) 10
B) 10 2
C) 8 5
D) 32
E) 40
EJEMPLO PSU-11:
55  55  55  55  55
3
55  55  55  55  55

A) 5
5
6
B) 5
C) 1
2
D) 5 3
3
E) 5 2
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86
EJEMPLO PSU-12: Si
es:
2  3  2  3  t , entonces el valor de t2 – 2
A) 2 3  2
B) 0
C) 2 3
D) 2
E)  2
EJEMPLO PSU-13:
1
A)  
2
1
B)  
2
(0,25)1a 
a
1 a
1
C)  
2

a
2
a
 1 2
D)  
2
1
E)  
2
a
EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son)
solución(es) de y 
x2  5  x2
I) (2,5)
II) (2,-5)
III) (2,-1)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos
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87
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son)
irracional(es)?
I) 2  8
II)
III)
3 3 3
6
24
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-16:
6
2 2

3
2 2

A) 0
B)
3
2 2
C) 6  9 2
D)
69 2
2
E)
63 2
2
EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es
verdadera?
A) x
1
B)
x
1
C)
x
D) x

x

x

x
1
E) x  x
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88
EJEMPLO PSU-18:
3
27x  273 
A) 27 x  27 9
B) 33x  3 9
C) 3 x 3
D) 9 x 3
E) 3 x 3
EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales  3 2 , 
4
11
, 7 , 2 3,
3
1
, al ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el
3
centro es:
A)  2 3
B)  3 2
C)  7
11
3
1
E)  4
3
D) 
EJEMPLO PSU-20: (5 2  3)( 3  5 2) 
A)  25 5
B)
C)
D)
E)
24 5
7
47
0
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89
EJEMPLO PSU-21: El número
216 es igual a:
A) 2 4
B)
C)
32
 2
4
D) 214
E) Ninguno de los números anteriores
2
 5
3 
EJEMPLO PSU-22. Si y  
¿Cuál es el valor de 1 5y  1 ?

 3

5


A) 65
B) 64
64
C)
15
34
D)
15
4
E)
15
EJEMPLO PSU-23. Si p  3 5  2 y q  5  3 , entonces p  q =
A) 9  7 5
B) 8 5  1
C) 3 5  1
D) 7 5  9
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-24.
3
a6n6 =
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90
A) a2n6
B) a2n2
1
C) a 2n2
1
D) a 2n6
E) a6n2
EJEMPLO PSU-25. Para todo m > 0 la expresión
igual a
3
m4  3 m2  m es
A) m
B)
8
m7
m5
C)
D)
5
m7
E)
6
m7
EJEMPLO PSU-26. Si
p
 0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
q
es (son) verdadera(s)?
I)
p 2  q2  p  q
II)
p2 
q2  p  q
III)
p2 
q2  0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
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91