resumen y ejercicios de funciones

RESUMEN Y EJERCICIOS DE FUNCIONES
Concepto de función: Una función es una correspondencia entre dos conjuntos
numéricos, de tal forma que a cada elemento (que llamamos origen) del conjunto inicial
le corresponde un elemento (que llamamos imagen) y sólo uno del conjunto final.
A los elementos del conjunto inicial (orígenes) se les asigna la letra “x” y reciben el
nombre de variable independiente. Y a los elementos del conjunto final (imágenes),
se les asigna la letra “y” y se le llama variable dependiente ya que no toma sus
valores al azar sino que dependen del que toma “x”. Es decir: y es función de x lo
expresamos de la forma: y= f(x)
En general partimos de que tanto el conjunto inicial como el final, son el conjunto de
los números reales, R, Pero, dependiendo de la forma que tenga la función, no todos
los elementos del conjunto inicial tendrán imagen y no todos los elementos del conjunto
final, tendrán origen.
El subconjunto del conjunto inicial formado por los elementos que tienen imagen se
llama dominio o campo de existencia de la función, y se designa como D(f)
•
D(f) = {x
/
f (x)}
El subconjunto del conjunto final formado por los elementos que tienen origen se llama
recorrido de la función, y se designa como R(f)
•
R(f) = {f (x) / x
D}
El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen mientras que el recorrido es
el conjunto de elementos que son imágenes. Para calcular el dominio, nos tenemos que
fijar en si las operaciones que hay que hacer con el valor de x para calcular su imagen,
son posibles o no. Por ejemplo: dividir por cero, calcular una raíz de índice par de un
número negativo.. Si la variable x es una magnitud física, habrá que añadir además, las
restricciones que conlleve la propia magnitud (no hay distancias negativas ni
temperaturas inferiores a -273ºK….)
Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y
sus imágenes correspondientes.
G(f) = {x, f(x) /x
D(f)}
Para estudiar el comportamiento de una función, resulta muy útil su
representación gráfica sobre los ejes cartesianos. Se puede representar una
función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo su
punto
correspondiente del plano (x,f(x)), marcando en el eje de abscisas los valores de
la variable “x” y en el eje de ordenadas, sus correspondientes imágenes.
Propiedades de las funciones
Continuidad:
La primera idea de función continua es que es aquella que se puede representar de
un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel.
Cuando en algún punto esto no sucede, decimos que la función no es continua en ese
punto. Una función no es continua se dice que presenta alguna discontinuidad. Esto
puede ocurrir por varios motivos:
• Hay un "agujero" en la gráfica, bien porque la función no está definida en el punto,
bien porque su valor queda separado del resto.
• Presenta un salto.
• El valor de la función crece (o decrece) indefinidamente cuando nos acercamos al
punto.
Simetrías:
La gráfica de algunas funciones puede presentar algún tipo de simetría que si se
estudia previamente, facilita su dibujo.
• Una función es simétrica respecto
al eje OY cuando :
•
f(-x)=f(x).
En este caso la función se dice que es PAR
Ejemplo: f(x) = x2 es par, es decir, su gráfica es simétrica respecto al eje OY
•
Una función es simétrica respecto
al origen de coordenadas cuando
•
f(-x)=-f(x).
En este caso la función se llama IMPAR
Ejemplo: f(x) = x3, es impar, es decir, su gráfica es simétrica respecto al origen de
coordenadas. (si giramos alrededor de un eje que pasa por el origen, las dos ramas de
la gráfica se superponen).
Tasa de variación de una función
La tasa de variación o incremento de una función es el aumento o disminución que
experimenta una función al pasar la variable independiente de un valor a otro.
•
TV[x1,x2]=f(x1)-f(x2)
De más utilidad resulta calcular la llamada tasa de variación media, que nos indica la
variación relativa de la función respecto a la variación de la variable independiente:
•
Crecimiento y decrecimiento
Una característica de las funciones que se puede visualizar fácilmente en las gráficas
es la monotonía, es decir, el crecimiento o decrecimiento de la función. Cuando al
aumentar el valor de x aumenta el valor de y=f(x), la gráfica "asciende" y se dice que la
función es creciente. Si por el contrario al aumentar x disminuye y, la gráfica
"desciende", y la función decrece.
Una función es creciente en un intervalo, cuando dados dos puntos cualesquiera del
mismo se verifica que:
•
Si x1<x2 entonces f(x1)<f(x2)
Y la función será decreciente en el intervalo cuando:
•
Si x1<x2 entonces f(x1)>f(x2)
Máximos y mínimos
Dada una función continua en un punto x=a, se dice que presenta un máximo
relativo, si a la izquierda de dicho punto la función es creciente y la derecha la función
es decreciente.
Si, por el contrario, la función es decreciente a la izquierda de x=a y creciente a la
derecha, decimos que la función presenta un mínimo relativo en x=a.
Si se verifica que f(a)>f(x) para cualquier valor x del dominio, y no sólo para los valores
de "alrededor", se habla de máximo absoluto en x=a.
Y análogamente se dice que en a hay un mínimo absoluto si f(a)<(f(x) para cualquier
x del dominio.
Periodicidad
Una función se dice que es periódica de periodo T para todo entero z se verifica que:
•
f(x) = f(x+zT)
Ejemplo: La función f(x) = sen x es periódica con T=2π
EJERCICIOS
1º) Indica el dominio de las siguientes funciones:
a) f(x) = 14x + 2
e)
f x =
b)
f x =
f) f x = √x − 2
c) f x = √x + 2
d)
g)
h)
f x =
√
f x =
=
Sol:
a) Como es un polinomio, su dominio es: D(f)= R
b) buscamos los valores de x que puedan hacer cero el denominador para excluirlos.
x-1=0
x=1 por tanto: d(f) = R-{1}
c) el dominio serán todos los valores de x que hagan positivo o cero el radicando
x+2≥0
d) x2+1=0
e) x2-4=0
x≥-2 por lo que d(f)= [-2,∞)
x2=-1 lo cual es imposible. D(f)= R
x= ±√4 = ±2.
x2=4
D(F)= R- {-2,2}
f) como el índice es impar, la raíz existe tanto si el radicando es positivo como
negativo, por lo que D(f)= R
g) El radicando debe ser positivo y el numerador distinto de cero por lo que:
x-5=0
x=5, hay que quitar el 5;
será:
D(f)= [3,5) U (5,∞)
2x-6≥0
x≥3
[3,∞) por lo tanto el dominio
h) Como el radicando es un cociente, estudiamos cuándo un cociente es positivo. lo será
cuando numerador y denominador sean positivos a la vez o cuando sean negativos.
(1)
x − 3 ≥ 0 x ≥ 3
$
y
1 − x > 0 x < 1
o
(2)
x − 3 ≤ 0 → x ≤ 3
$
y
1−x<0→ >1
de (1) no obtenemos ningún resultado pues no hay ningún valor de x que satisfaga las
dos desigualdades a la vez
de (2) obtenemos: (1,3]
D(f) = (1,3]
2º) Escribe la función que representa la siguiente tabla y dibújala:
x
f(x)
-2
-3
-1
-1
0
1
1
3
2
5
sol:
y
Es la recta
x
y = 2x + 1
y
3º) A partir de la gráfica dada, escribe
la función que la representa y di su
dominio y su recorrido. (Cada cuadrado
de la gráfica representa una unidad)
x
Solución:
La gráfica pertenece a la recta: y = -x + 2
Dom(f) = [-2,4)
Rec(f) = (0,3]
4º) Dibuja una gráfica con las siguientes características:
y
Dom [-5,7] ; Rec(-∞,4];
Ptos de corte (-3,0), (1,0) y (0,2);
sol:
x
Discontinuidad en x = 4; Máximo en (6,4);
sin mínimos, no periódica y no simétrica.
(Esta o cualquier otra que cumpla las características)
5º) Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
b) y = x2 - 16;
a) y = x - 3;
Solución:
a) (0,-3) y (3,0)
b) (-4,0);
c) y = 2x + 4
(4,0) y (0,-16)
c) (0,4) y ( -2,0)
Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro.
Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de
kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe
debemos abonar?
(Sol: y=0,3x + 100; 190 euros)
6º)
7º) Representa la parábola que corta al eje X en los puntos x=3 y x=-2
sol: y= x2-x-6
v(
,
8º) Cuando se excava hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta a razón de
0,01 grado por cada metro a partir de la corteza terrestre. Si la temperatura exterior es
de 15º, calcula:
a) La función que nos da la temperatura (en ºC) en función de la profundidad (en m)
b) Representa dicha función y di el dominio y el recorrido de la función.
c) ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad?
d) ¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura de 100 ºC?.
( Sol: a: t = 15 + 0.01 h; b) es una recta. D(f)=[0,6300) , R(f)=[15,?) ; c: 16º;
d:8500m. Por supuesto, estas soluciones son teóricas pues está claro que no se puede
llegar al centro de la tierra ni se pueden aguantar temperaturas superiores a 100
grados)
9º) Haz un estudio de las características de la función: y = x − 4x + 3
• Dominio. Función polinómica. ()*
= ℝ
• Puntos de corte:
Si corta al eje OX
0 = x − 4x + 3 → x =
P = 3,0 yP = 1,0
Si corta al eje OY
y =0 −4∙0+3=3
y=0
±,
∙
∙ ∙
x=3 y x=1
x=0
/ = 0,3
•
Vértice:
x0 =
1
2
=
∙
=2
y0 = 2 − 4 ∙ 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
• Máximo o mínimo:
Como “a” es positivo, la parábola tiene la siguiente forma
Luego el vértice es un mínimo
• Recorrido: Imf x = 6−1, ∞ $
• Simetría:
f x = 7 8 − 97 + :
f −x = −x − 4 ∙ −x + 3 = x + 4x + 3
−f x = −x + 4x − 3
f −x ≠ f x noespar
f −x ≠ −f x noesimpar
•
Eje de simetría:
x = x0 → x = 2
•
Monotonía:
Creciente: x0 , ∞ = 2, ∞
Decreciente: −∞, x0 = −∞, 2
10º) Calcular dominios, puntos de corte, continuidad, crecimiento y decrecimiento,
máximos y mínimos de las siguientes gráficas de funciones:
a)
b)
sol:
a) D(f)= [-5,4];
Ptos de corte: con OX: (-4,0); (-1,0); (3,0). con OY: (0,3)
Coninuidad: es continua en su dominio.
Monotonía: Crece xi x∈[-5,-2]U[0,4] y decrece si x ∈ [-2,0]
Máximo en M(-2,2) y mínimo en m(0,3)
b) Dominio ⇒ Dominio f(x): R - { 0 } . En x = 0 la función no existe.
Puntos de corte ⇒ No corta a los ejes
Continuidad ⇒ la función es discontinua en x = 0, hay un salto. Podemos leer función
por la izquierda y por la derecha de x = 0 pero no en x = 0.
Crecimiento y decrecimiento ⇒ Las dos ramas de la función son decrecientes.
Máximos y mínimos ⇒ No tiene, la función es siempre decreciente.
Tendencia ⇒ cuando x tiende a - ∞, y cuando x tiende a + ∞, la función tiende a 0.
10º) Partiendo de una función exponencial de la forma y = ax+b , encuentra los valores
de a y b sabiendo que pasa por los puntos (0,3) y (1,5)
Solución:
Como los dos puntos tienen que verificar la ecuación, se obtiene un sistema de
ecuaciones que permite calcular los valores a y b:
a = 3, b = 2 entonces: y = 3x + 2
11º) Cuenta la leyenda que un hombre muy rico, agradecido por haber aprendido a
jugar al ajedrez prometió al indio que le enseño, aquello que le quisiera pedir. El indio
dijo que, empezando por un grano de trigo, colocase en cada uno de los cuadros del
tablero de ajedrez el doble de granos que en el anterior. El rico a pesar de su fortuna no
pudo cumplir su palabra debido a la gran cantidad de trigo que necesitaba. Expresa cuál
sería la función que expresaría la cantidad de granos de trigo que deberían colocarse en
cada uno de los 64 cuadros del tablero.
Solución:
Se puede expresar mediante una función exponencial de base 2 (ya que en cada
cuadro se multiplica por 2 la cantidad del cuadro anterior) definida entre 1 y 64.
Dom (f) = {1,2,……63,64}
es una progresión geométrica de razón 2 por lo que en e cuadrado enésimo habrá:
f(n) = 2n-1
En el último cuadro del tablero se deben colocar: f(64) = 263 = 1,84 · 1019 granos de
trigo. Aproximadamente unos 18,4 trillones de granos de trigo.
12º) Si un hombre rico decide entregar cada día la mitad de su fortuna a obras
benéficas, ¿cuándo se quedará sin dinero? Encuentra el resultado analizando una
función que exprese la evolución de su fortuna.
Solución:
Llamando c0 al capital inicial:
1er día;
c
1
1
1
1
c = c0 = c0 =   c0
2
2
2
c0
2
2º día; c =
1
11
1
1
c0 −
c0 = c0 =   c0
2
22
4
2
x
El día x tendrá; c =
1
  c0
2
Cuando x se hace muy grande “c” se aproxima mucho a cero pero nunca llega.