matematica cpu web - UNAJ - Universidad Nacional Arturo

CURSO DE PREPARACIÓN UNIVERSITARIA ALGUNOS TEMAS PARA REPENSAR LA MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL ARTURO JAURETCHE
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ALGUNOS TEMAS PARA
REPENSAR LA MATEMÁTICA
cpu
Leonardo Lupinacci, Fernando Bifano, Rosa Ferragina ,Alejandra Almirón,
Liber Aparisi, Carlos Pérez Medina, Paula Putica Sinatra, José Villella
CURSO DE PREPARACIÓN UNIVERSITARIA
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Universidad Nacional Arturo Jauretche
Algunos Temas para repensar
la Matemática
Autores
Leonardo Lupinacci
Fernando Bifano
Rosa Ferragina
Alejandra Almirón
Liber Aparisi
Carlos Pérez Medina
Paula Putica Sinatra
José Villella
ÍN DICE
Prólogo (José Villella)............................................................................9
Tema 1: Un recorrido por los números (Alejandra Almirón, Fernando
Bifano, Leonardo Lupinacci y Paula Putica Sinatra)
1.1. Introducción ...............................................................................13
1.2. Conjuntos numéricos.................................................................14
1.2.1. Los números naturales............................................................14
1.2.2. Los números racionales.......................................................... 17
1.2.3. Los números enteros...............................................................23
1.2.4. Los números irracionales........................................................26
1.3. A modo de cierre........................................................................29
Tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor (Rosa
Ferragina y Leonardo Lupinacci)
2.1. Introducción............................................................................... 31
2.2. Cuando los números se reemplazan por letras.......................... 31
2.3. Cuando la cantidad de letras aumenta.......................................39
2.4. Más actividades.........................................................................40
Tema 3: Forma y Figura (Carlos Pérez Medina)
3.1. El problema de la distancia entre dos puntos.............................43
3.2. El problema de la distribución de superficies............................48
3.3. Otros problemas para resolver...................................................52
Tema 4: Es probable (Fernando Bifano y Liber Aparisi)
4.1. Introducción...............................................................................55
4.2. Entre lo probable y lo posible....................................................56
4.3. Una definición clásica de probabilidad......................................57
4.4. Es poco probable........................................................................58
4.5. Sucesos excluyentes...................................................................59
4.6. Sucesos independientes..............................................................61
4.7. Sucesos dependientes: la probabilidad condicionada.................63
4.8. Más problemas...........................................................................65
4.9. Esto no es todo: solo es el comienzo..........................................67
Bibliografía.........................................................................................69
Los autores..........................................................................................73
PRÓLOGO
José Villella
Cuando se pensó en este material para el Curso de Preparación
Universitaria (CPU), nos preguntamos: ¿qué es importante que los
estudiantes que ingresan a la Universidad sepan y sean capaces de
hacer en situaciones en las que está presente la matemática? Y la
respuesta se vio rápidamente vinculada a proponerles situaciones
para razonar matemáticamente y utilizar conceptos, procedimientos,
datos y herramientas matemáticas para describir, explicar y predecir
fenómenos; para así, de esta manera, ayudarlos a darse cuenta de la
importancia que tiene lo que aprendieron, para emitir juicios y tomar
decisiones bien fundadas que, como ciudadanos comprometidos y
reflexivos, necesitan.
En las páginas que siguen encontrarán situaciones agrupadas
en temas que serán desarrollados a lo largo del CPU. En ellas se les
propone formular modelos para solucionar problemas; emplear
conceptos, datos, procedimientos y tipos de razonamiento matemático
e interpretar los resultados obtenidos, usando la matemática que ya
estudiaron en la escuela, para relacionar el contexto de un problema
con los contenidos matemáticos y, de ese modo, resolverlo.
En el proceso de formulación matemática de las situaciones,
ustedes decidirán qué contenidos de la disciplina necesitarán para
analizar, plantear y resolver el problema. Realizarán una traducción
de un escenario del mundo real al área de la matemática, dotando al
problema de estructura, representación y especificidad matemática,
razonando e interpretando las limitaciones y los supuestos del
problema. Deberán identificar los aspectos matemáticos de
un problema situado en un contexto del mundo real y caracterizar
las variables significativas que en él intervienen; reconocer la
estructura matemática (incluidas las regularidades, las relaciones
9
Algunos Temas para repensar la Matemática
y los patrones) en los problemas o situaciones; simplificar una
situación o problema para que sea susceptible de análisis matemático;
identificar las limitaciones y supuestos que están detrás de cualquier
construcción de modelos y de las simplificaciones que se deducen
del contexto; representar matemáticamente una situación, utilizando
las variables, símbolos, diagramas y modelos adecuados; representar
un problema de forma diferente (incluida su organización según
conceptos matemáticos y formulando los supuestos adecuados);
comprender y explicar las relaciones entre el lenguaje específico del
contexto de un problema y el lenguaje simbólico y formal necesario
para representarlo matemáticamente; traducir un problema a
lenguaje matemático o a una representación; reconocer los aspectos
de un problema que se corresponden con problemas conocidos o
conceptos, datos o procedimientos matemáticos, y utilizar la
tecnología (como una hoja de cálculo, la calculadora de bolsillo o
la del teléfono móvil, o un software de geometría) para representar
una relación matemática inherente a un problema contextualizado.
Lo anterior será posible si pueden aplicar conceptos, datos,
procedimientos y razonamientos matemáticos en la resolución de
problemas con el fin de llegar a conclusiones matemáticas. En este
proceso realizarán cálculos aritméticos; resolverán ecuaciones;
seguirán deducciones lógicas a partir de supuestos matemáticos;
extraerán información matemática de tablas y gráficos; representarán
y manipularán formas en el espacio de dos dimensiones y analizarán
datos. Trabajarán sobre un modelo del problema, establecerán
regularidades, identificarán relaciones entre entidades matemáticas
y elaborarán argumentos matemáticos.
Así, estarán en condiciones de reflexionar sobre soluciones,
resultados o conclusiones matemáticas e interpretarlas en el
contexto de los problemas de la vida real, lo que significa traducir
10
Prólogo
las soluciones matemáticas o razonar de nuevo sobre el contexto
del problema y determinar si los resultados son razonables y tienen
sentido en dicho contexto.
De esta manera podrán elaborar y comunicar explicaciones y
argumentos en el contexto del problema, reflexionando tanto en
el proceso de construcción de modelos como en sus resultados:
reinterpretando un resultado matemático en el contexto del mundo
real; valorando la razonabilidad de una solución matemática
en el contexto de un problema del mundo real; comprendiendo
el modo en que el mundo real afecta a los resultados y cálculos
de un procedimiento o modelo matemático para realizar juicios
contextuales sobre la forma en que los resultados deben ajustarse
o aplicarse; explicando por qué un resultado o una conclusión
matemática tiene o no tiene sentido dado el contexto de un problema;
identificando el alcance y los límites de los conceptos y las soluciones
matemáticas, y analizando e identificando los límites del modelo
utilizado para resolver un problema.
¿Parece mucho? ¿Suena difícil? Como dicen Reuben Hersh
y Vera John-Steiner en la página 8 de su libro Matemáticas: una
historia de amor y odio, publicado por Crítica en Buenos Aires en
el año 2012.
Qué duda cabe, la experiencia matemática avanza entre los polos gemelos
de la exaltación y de la desesperación. Si bien es cierto que los principiantes
son quienes mejor conocen la desesperación, y que la exaltación está más
asociada a los grandes descubridores, es cierto también que estas emociones
opuestas permanecen a la espera y ocultas durante cualquier dificultad
matemática y a cualquier nivel.
11
Algunos Temas para repensar la Matemática
Los temas que siguen a estas páginas los invitan a lograr la
exaltación del descubrimiento de que aquello que estudiaron durante
tanto tiempo tiene un nivel de aplicabilidad que quizás no pensaron.
El tema 1 les propone un recorrido por los números. Allí
encontrarán situaciones para reflexionar acerca de por qué multiplicar
no siempre supone aumentar; que medir y contar se relacionan con
números que pertenecen a distintos conjuntos numéricos, o que el
cero no siempre se recitó antes que el uno en las escalas.
El tema 2, ecuaciones, algo más que encontrar un valor,
los invita a discutir sobre qué significa que a + b = c y cuánto de
distinto tiene a escribir 4 + 3 = 7. ¿Qué relación tienen las letras
con los conceptos matemáticos que usan? ¿Son caprichos de los
descubridores o recursos diseñados por estos para hacer más
comprensible la traducción a un modelo de una situación?
El tema 3 los convoca a usar la belleza geométrica de la forma y la
figura para entender el espacio que nos rodea. ¡Cuánto razonamiento,
cuánta investigación resumida en una fórmula que se repite y no se
sabe muy bien para qué!
El tema 4 los desafía a pensar que lo posible no siempre es
probable y que lo imposible quizás tenga una medida: ¿cómo puede
una compañía de seguros calcular la probabilidad de mi muerte y así
estimar la póliza del seguro de vida que me venderá?
Disfruten del material haciendo su propio recorrido de invención
y recuerden que de principiante a descubridor, solo hay un
escalón, aquel que ustedes estén dispuestos a atravesar.
12
T EM A
1
Un recorrido por
los números
Alejandra Almirón, Fernando Bifano,
Leonardo Lupinacci y Paula Putica Sinatra
1.1. Introducción
Nuestra vida está rodeada de números: los necesitamos para
comprar, cocinar, medir, leer el resultado de un estudio médico, viajar,
hacer funcionar una computadora… Estos objetos matemáticos
no tienen nada de naturales: al utilizarlos cotidianamente a veces
invisibilizamos sus leyes de composición: con solo diez símbolos
distintos podemos representar cualquier cantidad, a partir de un
orden y de una serie de reglas prestablecidas, convenciones que
se han impuesto sobre otras existentes a través de la historia, que
determinan, de esta manera, el sistema de numeración que todos
conocemos como un producto de nuestra cultura. Muchos afirman
que esta imposición tiene que ver con su carácter decimal, lo que
conlleva un accidente fisiológico (Dantzig, 1954) al tener las
personas diez dedos en las manos, se facilita, de esta manera, el
conteo y las agrupaciones.
Estos números han nacido con el objeto de contar y comparar la
cantidad de elementos cuando se encuentran agrupados. A lo largo
de la historia, diversas necesidades de los seres humanos han dado
lugar a la aparición de otros números con otros usos. En este capítulo
les proponemos revisar cómo y por qué fueron creados los distintos
conjuntos numéricos.
13
Algunos Temas para repensar la Matemática
1.2. Conjuntos numéricos
1.2.1. Los números naturales
1. Analicen el siguiente fragmento del texto de Isaac Asimov, De
los números y su historia (2000, 106-107).
Al comienzo los hombres solo aceptaban los números naturales: 1, 2, 3,
etc. Estos son adecuados para contar objetos que se consideran como unidades.
Uno puede tener 2 niños, 5 vacas u 8 cacerolas; no tiene mucho sentido tener
2,5 niños, media vaca ni un tercio de cacerola. Pero al medir magnitudes tales
como la longitud o el peso, las fracciones se hicieron imprescindibles. Los
egipcios y los babilónicos se las arreglaron para elaborar métodos que les
permitieron operar con fracciones, [...] pero no faltaron entre ellos eruditos
conservadores que miraban con desprecio a los matemáticos místicos que
creían en un número como el 5 1 ; que no vale ni 5 ni 6.
2
En realidad dichas fracciones son cocientes o razones de números enteros.
Pero los griegos descubrieron que había cantidades definidas que no se podían
expresar como cocientes de números enteros. La primera que se descubrió
fue la raíz cuadrada de dos (
), que es aquel número que multiplicado por sí
mismo da dos. Ese número existe, pero no se lo puede expresar como cociente
o razón; por lo tanto es un número irracional.
La noción de número no se extendió más allá de lo dicho hasta la Edad
Moderna. Así, los griegos no aceptaban que hubiera números menores que el
cero. ¿Cómo puede haber algo que sea menos que la nada? En consecuencia
para ellos la ecuación x + 5 = 3 no tenía solución. ¿Cómo puede uno sumarle
un número al 5 y obtener por resultado un 3? Aun si le suma 5 al “número
más pequeño” (es decir al 0) la suma que se obtiene vale 5, y si usted suma
5 más cualquier otro número (que tendrá que ser mayor que cero) obtendrá
una suma mayor que 5.
14
tema 1: Un recorrido por los números
El primer matemático que destruyó este tabú fue el italiano Gerónimo
Cardano. Después de todo puede haber algo menos que nada. Una deuda es
menos que nada. Dichos números se denominan negativos, lo que proviene
de la palabra “negar”, que se relaciona con la negativa de los griegos de
aceptar la existencia de estos números.
Desde un punto de vista práctico la extensión del sistema de numeración
para que incluya a los números negativos simplifica las operaciones de toda
clase, por ejemplo, las que se utilizan en la contabilidad.
Desde un punto de vista teórico el uso de los números negativos significa
que toda suma de números tiene exactamente un resultado. Ni más ni menos.
En el texto se mencionan algunos conjuntos numéricos, su
surgimiento y algunas aplicaciones.
a) ¿En qué otras situaciones, además de para expresar deudas, se
pueden utilizar los números negativos?
b) Propongan un cálculo que responda a la pregunta: ¿qué se
debe hacer para que, al sumarle a 5 un número, se obtenga como
resultado 3?
c) Escriban una suma entre dos números enteros que dé como
resultado un número negativo.
d) Escriban una suma entre dos números enteros que dé como
resultado cero. ¿Qué particularidad tienen los números usados?
¿Pasó lo mismo en todas las respuestas dadas a la pregunta?
e) ¿Podemos afirmar que todo número natural es entero?
¿Podemos decir que todo número entero es natural? ¿Por qué?
15
Algunos Temas para repensar la Matemática
f) Enuncien por lo menos tres situaciones de la vida diaria en las
que necesitan usar fracciones.
g) Discutan en grupos: ¿pueden las fracciones ser negativas?
¿Por qué?
Los números naturales fueron los primeros en aparecer en las
distintas civilizaciones por la necesidad de contar y comparar
elementos de un conjunto. Los primeros registros escritos de estos
números aparecen alrededor del año 3500 a. C. en Egipto y Babilonia,
y entre el 300 a. C. y el 600 d. C. se desarrolla, en la India, el sistema
numérico que utilizamos actualmente y que, a partir del siglo X, es
adoptado por los árabes; de allí proviene el nombre indoarábigo.
Algunas características de este conjunto numérico son:
-Tiene primer elemento, que es el 1.
-Cada número tiene un sucesor que se obtiene sumándole 1.
-No tiene último elemento.
-Entre dos números consecutivos no existe otro número.
2. Analicen y discutan en grupos si al realizar las operaciones
básicas (suma, resta, multiplicación y división) entre dos números
naturales se obtiene por resultado siempre un número natural.
Propongan ejemplos para explicar sus conclusiones.
16
tema 1: Un recorrido por los números
1.2.2. Los números racionales
Como ya leímos, en las antiguas civilizaciones, los números
naturales resultaron insuficientes para contar y resolver problemas
relacionados con la siembra de los terrenos y las construcciones
arquitectónicas, ya que algunos de los elementos no se encontraban
“enteros”. Así surgieron las fracciones.
Los babilonios y egipcios trabajaban en general con fracciones
de numerador uno como 12 , 14 y 15 . A partir de estas fracciones,
combinándolas y confeccionando tablas, resolvían cálculos
habituales y distintos problemas de mayor dificultad.
Un legado que nos permite acceder a esta información es el Papiro
de Rhind. Veamos, por ejemplo, la forma que utilizan para resolver
la división de 19 por 8:
1
8
2
16
1
4
2
1
2
4
1
1
8
1
2+ 4+
1
8
17
19
Algunos Temas para repensar la Matemática
3. a) ¿Cuál es el resultado que obtenían los egipcios de dividir
19 por 8? Expliquen cómo hacían para resolver las divisiones entre
números naturales.
b) Utilicen este método para dividir 17 por 4.
Durante la Edad Media, las fracciones se usaron de manera
corriente. Sin embargo, la notación de estas era muy diferente a la
nuestra. Las subdivisiones de la unidad más utilizadas provenían
del sistema sexagesimal, influenciados por el cálculo babilónico
transmitido por los matemáticos griegos y árabes, a través de su uso
para cálculos astronómicos. Se encontraron escrituras donde la parte
entera de un número estaba escrita en base diez y la fraccionaria
provenía del sistema sexagesimal.
Recién en el siglo XVII, algunos matemáticos afirman que para
números menores a 1 se puede utilizar la misma estrategia que para
los enteros. Es decir que cada cifra representa 10 veces más de la que
está escrita a su derecha.
François Viète en 1579 fue el primero en escribir:
En matemática los sesentésimos y las secentenas deberían ser de un uso
raro o nulo. Por el contrario los milésimos y los miles, los centésimos y las
centenas, los décimos y las decenas deben ser de uso frecuente o constante.
18
tema 1: Un recorrido por los números
4. a) ¿Qué diferencias encuentran en la escritura decimal y la
sexagesimal? ¿Qué ventajas o desventajas tiene cada una?
b) Piensen algunos ejemplos para mostrar que nuestro sistema
de numeración es decimal. ¿Cómo influye esto en los números
racionales?
La reunión de los números naturales, los números enteros, las
fracciones y el cero es lo que actualmente conocemos como números
racionales.
5. a) ¿Cuál es el primer elemento de este conjunto numérico?
b) ¿Y el último?
1
c) ¿Cuál es la fracción que antecede a 2 ? ¿Y la posterior?
d) ¿Cuál es el número racional que le sigue a 1,2? ¿Y a 1,21?
¿Y a 1,201?
e) ¿Cuál es el número inmediatamente anterior a -5,3?
En la resolución del problema anterior, posiblemente hayan
llegado a la conclusión de que en el conjunto de los números
racionales no se puede hallar ni primero ni último elemento, como
así tampoco tiene sentido hablar de siguiente o antecesor de un
número. Esto se debe a una característica esencial del conjunto de
los números racionales, que es su densidad. Muy por el contrario,
al conjunto de los números naturales se lo considera un conjunto
discreto, porque cada número tiene un antecesor y un predecesor;
en cambio, el de los racionales es un conjunto denso, porque entre
dos números racionales, siempre pueden encontrarse otros infinitos
números racionales.
19
Algunos Temas para repensar la Matemática
6. a) Encuentren, si es posible, tres números naturales entre
el 3 y el 5.
b) Encuentren, si es posible, tres fracciones que estén entre
2
5
y
4
5
.
c) Encuentren, si es posible, tres números racionales entre el 1,5
y 1,51.
Llamamos razón a la división indicada entre dos números
naturales y podemos escribirla mediante una fracción.
Las fracciones se utilizan para expresar la razón de repartos
de cantidades, de mediciones, relaciones entre las partes de una
totalidad, para indicar un porcentaje, etc.
A estos números también se los puede expresar como decimales
extendiendo las características que posee el conjunto de números
enteros. Manteniendo la posición y el valor decimal se define que
1
= 0,1; que 1 = 0,01; que 1 = 0,001; etc.
10
100
1000
7. Escriban a qué expresión decimal equivalen las siguientes
fracciones:
a.
2
10
c.
15
1000
b.
23
100
d.
134
10
20
tema 1: Un recorrido por los números
e.
6
5
g.
f.
1
3
h.
2
7
1
2
Algunos números que no tienen fracciones equivalentes
decimales son los llamados números periódicos, porque sus
cifras decimales se repiten infinitamente. Tal es el caso de 1 , ya
3
que 1:3 = 0,333333….
Las fracciones y las expresiones decimales representan a los
mismos números, pero tienen distintas reglas. Veamos por ejemplo
cómo hacemos para ordenar los distintos números y qué estrategias
se utilizan en cada una.
8. Ordenen de menor a mayor las siguientes expresiones y
expliciten qué estrategias utilizaron en cada caso.
a)
9
4
3
5
5
3
1
2
2
7
b) 2,45 45,2 4,25 2,54 4,52 45,02 Mientras que para ordenar a las expresiones decimales se
necesita ver su valor posicional, para las fracciones se requieren
otras estrategias, como ver si son mayores o menores al entero, qué
relación tiene entre el numerador y el denominador, si son mayores
o menores que 1 , buscar fracciones equivalentes, etc.
2
21
Algunos Temas para repensar la Matemática
9. Ordenen de menor a mayor los siguientes números.
Expliquen qué estrategias siguieron para ordenarlos.
6
72
0,7 100
8
3
4
4
5
Otro caso particular del uso de los racionales es como relación
entre partes son las fracciones con denominador 100, a las que
denominamos porcentaje.
100
100% = 100 = 1
20
20% = 100 = 0,20
Los porcentajes se utilizan para representar una relación entre
partes. En la vida cotidiana solemos utilizarlos en los impuestos,
para realizar descuentos o aumentos, etc.
10. Joaquín compró una remera que cuesta $130.
Debe elegir entre 3 formas de pago:
-En efectivo le hacen un descuento de 5%.
-En 3 cuotas le hacen un recargo de 10% al precio total.
-En 12 cuotas le hacen un recargo de 23% al precio total.
¿Cuánto le sale la remera en cada caso?
11. Mariana compró una computadora por $7011 en 6 cuotas. Al
decidir abonarla en cuotas le hicieron un recargo de 23%. ¿Cuál es
el precio en efectivo de la computadora (sin el recargo)?
22
tema 1: Un recorrido por los números
Existen distintas formas de calcular las cantidades que representan
los porcentajes. Veamos un ejemplo: si 60 unidades representan al
100%, al dividir a 60 por 100 voy a saber el valor del 1%. Si 0,6 es
el 1%; 0,6 x 10 será el 10% de 60; 0,6 x 40 será el 40% de 60; etc.
Otro modo de calcularlo es trabajar con el porcentaje. Si el
40
40% = 100 = 0,40; el 40% de 60 podemos calcularlo haciendo
60 x 0,40.
12. Calculen los siguientes porcentajes:
a) el 80% de 158,
b) el 45% de 63,
c) el 132% de 500,
d) el 250% de 48.
1.2.3. Los números enteros
A medida que aumenta la altitud con respecto al nivel del mar,
la temperatura de la atmósfera varía. Esta relación entre altura y
temperatura no es constante, ya que la variación es diferente de
acuerdo con la capa atmosférica considerada: en la tropósfera,
la cual está en contacto con la superficie terrestre, la temperatura
disminuye 6.5°C por cada km que aumenta la altitud hasta llegar
a una temperatura de -45°C, que se mantiene constante a lo
largo de toda la estratósfera. Luego, ya en la mesósfera, se da un
comportamiento particular: la temperatura va paulatinamente en
aumento hasta llegar a los 0°C a, aproximadamente, 50km de altura.
En ese punto, la temperatura comienza a descender hasta llegar a
los -110°C en la mesopausa, ubicada a 80km sobre el nivel del mar
23
Algunos Temas para repensar la Matemática
(división entre la mesósfera y la termósfera). Llegado este punto, la
temperatura comienza nuevamente a subir aceleradamente, al llegar
aproximadamente a 500°C a los 500km de altura.
13. Respondan:
a) ¿Qué significa que en la mesósfera haya una temperatura de
-45°C ?
b) ¿Cuántos grados más de temperatura hay a 500km de altura
con respecto a la temperatura de la mesopausa? ¿Cómo puede
simbolizarse ese cálculo?
c) ¿Cuál es la amplitud térmica entre la mesopausa y la estratósfera?
¿Cómo puede simbolizarse el cálculo? ¿Qué diferencias existen
entre la operación realizada en este ítem y la realizada en el ítem
anterior?
Los números negativos surgen para dar respuesta a la resta
entre dos números naturales, como por ejemplo 5 - 7 o 12 - 17.
Formalmente, un primer paso para suprimir esta restricción entre
números naturales vino dada por la introducción del cero1 mediante
la relación a - a = 0, que condujo posteriormente a la introducción de
los símbolos -1, -2, -3…, junto a la definición b - a = - (a - b). (Courant
y Robbins, 1964). Quedaba así subsanada la restricción de la resta de
naturales, a partir de la utilización formal de los números negativos.
14. La relación b - a = - (a - b) ¿Es válida solo para los números
negativos? ¿Por qué?
Si bien hoy nos resultaría extraño concebir un sistema de numeración que no incluyera
al número cero, existieron en la antigüedad diversos sistemas, como el egipcio, que
no tenía ni necesitaba de un símbolo que lo representara. Fueron los babilonios quienes
lo introdujeron. Culturas como la griega y la romana, conociendo incluso el sistema
babilonio, rechazaban el uso del cero, al no concebir un símbolo que representara el
vacío, la nada. (Seife, 2006).
1
24
tema 1: Un recorrido por los números
15. Otro caso de temperaturas2:
Durante el mes de agosto del año pasado, en Florencio Varela se
registró la temperatura durante 5 días seguidos a la misma hora: 3
de la mañana. Para realizar el estudio se despreciaron los decimales
y se realizaron los redondeos necesarios, por lo que se registraron
únicamente valores enteros. Luego de los 5 registros, se comprobó
que la temperatura había sido distinta todos los días.
a) Si multiplicamos entre sí los valores de las 5 temperaturas
registradas, ¿el resultado puede dar 12? ¿Por qué? En caso afirmativo,
¿habría una única posibilidad para cada uno de esos valores?
b) Si el resultado de la multiplicación fuese 30, ¿es posible saber
cuáles fueron las 5 temperaturas registradas? ¿Y si fuese -8?
Analicemos un poco lo trabajado con otro ejemplo: si sabemos
que la multiplicación de 2 números enteros da por resultado 6,
¿cuáles podrían ser esos dos números enteros? Podríamos decir
inmediatamente 3 y 2, ya que 3 . 2 = 6. Pero también tendríamos otra
posibilidad: -3 y -2 ¿Por qué?
Por un lado podríamos pensar que, en números enteros, el producto
de 3 . 2 significa sumar3 dos veces tres: 3 + 3 = 6. Análogamente el
producto 3. (-2) puede interpretarse como restar dos veces tres:
-3 - 3 = -6.
Sobre una idea de Adrián Paenza publicada en Matemática… ¿estás ahí? La vuelta al
mundo en 34 problemas y 8 historias. Buenos Aires, Siglo XXI, 2010.
3
Nótese que el sentido de la multiplicación como suma reiterada solo tiene sentido en
el conjunto de los enteros o al multiplicar un entero por un racional no entero. Si se
multiplican dos racionales no enteros, esta interpretación carece de sentido.
2
25
Algunos Temas para repensar la Matemática
Finalmente, el producto (-3) . (-2) puede interpretarse como restar
dos veces menos tres: (-3) . (-2) = -(-3) - (-3) = 6. Esto es lo que
comúnmente se llama regla de los signos, en la que el producto
de dos números de igual signo será positivo, y el producto de dos
números de distinto signo será negativo. Regla definida de tal
manera para que las características de las operaciones aritméticas
con números naturales se conserven en la extensión del dominio de
trabajo que supone el conjunto de los enteros. Como afirman Courant
y Robbins (1964), la regla de la multiplicación de enteros negativos
es una consecuencia del deseo de conservar las propiedades de las
operaciones entre naturales, entre ellas la propiedad distributiva.
Así, la extensión del concepto de número fue posible a partir de la
construcción de nuevos símbolos y números, los que recién durante
el siglo XVII fueron aceptados con el mismo estatus de los enteros
positivos, aunque no sin cierto recelo.
1.2.4. Los números irracionales
Los números racionales, aquellos que trabajamos en el inciso
1.2.2., son aquellos que pueden expresarse como una razón entre
números enteros. ¿Todos los números pueden expresarse de esa
manera? Para dar respuesta a esta pregunta, los invitamos a leer
fragmentos de un artículo de Leonardo Moledo, titulado “El terror
del teorema de Pitágoras”, publicado en el diario Página 12, el 17
de diciembre de 1999:
26
tema 1: Un recorrido por los números
Pitágoras es un personaje misterioso y se sabe muy poco de él: se conjetura
que nació en la isla de Samos, cerca de Mileto, tan luego, hacia la mitad del
siglo VI (a. de C.) y que luego se trasladó a Crotona, en los territorios griegos
del sur de Italia.
El asunto es que la figura de Pitágoras está rodeada por la leyenda, porque
la escuela pitagórica funcionaba como una secta mística y hermética, como
un grupo mancomunado por creencias y prácticas religiosas (…).
Los pitagóricos rechazaron los fenómenos y el “discurso de las cosas”.
A la pregunta ¿cuál es el origen de las cosas?, respondieron: los números.
(…) Incluso se pasaron un poco de rosca: identificaron a la Justicia
con el número 4 por tratarse del primer número cuadrado; al matrimonio
con el 5, que representaba la unión del macho (3) con la hembra (2). Pero
además analizaron muchas propiedades de los números y trabajaron sobre
los poliedros regulares, las medias aritméticas, geométricas y armónicas.
(…) Naturalmente, la gran gloria de la escuela es el famoso e inmortal
“teorema de Pitágoras”, que establece que en un triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos,
una relación que no es para nada evidente, y que, a primera vista, no tendría
por qué suceder (la relación, sin embargo, era conocida por los matemáticos
babilonios y egipcios, y aplicada por los albañiles para construir ángulos
rectos).
Sin embargo, ese mismo teorema los llevó a tropezar con un obstáculo
catastrófico, letal: si construimos un cuadrado de lado 1 y aplicamos el
teorema de Pitágoras, su diagonal mide raíz cuadrada de 2.
Y la raíz cuadrada de dos no correspondía a ningún número, a ninguna
fracción que los pitagóricos pudieran imaginar. La raíz de 2 es inexpresable,
no se puede decir, no es un número.
La raíz cuadrada de dos produjo verdadero terror entre los pitagóricos:
ellos suponían que todo consiste en números y que el conocimiento expresa
relaciones entre números (enteros o fraccionarios). Pero he aquí que una
entidad, que ciertamente pertenece a la ciencia, la diagonal de un cuadrado,
no puede ser expresada con números enteros. Nada, no puede existir. Es decir,
tenemos algo concreto y ese segmento, que está ahí, no es un número, no es
27
Algunos Temas para repensar la Matemática
nada. Y la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 tampoco es
nada. No existe. ¡Pero la diagonal de ese cuadrado está ahí! ¿Cómo puede ser
que a un segmento no corresponda ninguna longitud?
Un ejemplo del terror que produjo ver que algo tan simple como la raíz
cuadrada de 2 era un irracional es la leyenda según la cual un pitagórico,
Hipaso, divulgó el secreto y pereció ahogado como castigo divino por su
acción.
Y es que el problema con que se enfrentaron no es fácil de resolver, la
raíz de 2, como descubrieron los pitagóricos, desde ya no es una fracción:
no hay número entero ni fraccionario alguno que multiplicado por sí mismo
nos reproduzca exactamente al 2. Actualmente escribimos raíz cuadrada de
2 como 1,14142135624 y agregamos una serie de puntos suspensivos que
significan que la fracción decimal no tiene fin, que el número de decimales
(no periódicos) es infinito. Es lo que ahora llamamos (quizás en homenaje a
Pitágoras) un número irracional.
Construyeron todo un edificio científico, místico, que les parecía muy
sólido y de repente aparece este asunto que amenaza con precipitar toda la
escuela en el abismo. Los pitagóricos se enfrentan a este dilema y no lo pueden
resolver. Han fracasado. ¿Y entonces? El terreno del pensamiento parecía
seguro, sin la engañosa cualidad de los sentidos. ¡Y ahora resultaba que no
era tan seguro! ¿Entonces habrá que recurrir nuevamente a los dioses? No.
Pero, indudablemente, era necesario tomar otro camino. El propio teorema,
fruto dorado de la escuela, la precipitó en el abismo.
16. a) En el artículo se menciona y enuncia el teorema de Pitágoras.
Probablemente trabajaste con él a lo largo de la educación secundaria
¿Cómo podrías explicarlo con tus palabras? ¿Cómo podrías
simbolizarlo? b) La medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 se establece
en el texto como ( 2 ). Comprueben que es así. ¿Alcanza con dibujar
un cuadrado de lado 1 y medir su diagonal para comprobarlo?
¿Por qué?
28
tema 1: Un recorrido por los números
c) Si un triángulo rectángulo es isósceles y las medidas de sus
catetos iguales son números racionales, ¿la hipotenusa también lo
es? ¿Por qué? ¿Cómo se podría justificar la respuesta?
d) ¿Puede tener un triángulo rectángulo lados que midan 13, 5 y
12? ¿Y lados que midan 48 , 1 y 7?
e) Otros números irracionales “difundidos”, entre otras cosas
por sus aplicaciones, son el número pi (π) y el número e. ¿Los has
utilizado alguna vez? ¿Cuándo?
En el texto se define al número irracional como aquel que tiene un
número de decimales no periódicos infinitos. Esta característica es la
que hace que estos números no puedan obtenerse como la razón entre
dos números enteros o, lo que es lo mismo, que no sean racionales. Al
no ser racionales es que reciben el nombre de irracionales; juego de
palabras entre la no pertenencia a dicho conjunto y a la irracionalidad
que suponía su existencia.
Estos nuevos números dieron lugar a la construcción de los
números reales. El conjunto de los números reales puede concebirse
como la unión de los conjuntos de los números racionales e
irracionales.
1.3. A modo de cierre
Hemos visto cómo algunos conjuntos numéricos han surgido a
lo largo de la historia para dar respuesta a situaciones concretas del
quehacer humano: los naturales, para contar y comparar cantidades;
los enteros, para dar respuesta a operaciones que no tenían solución
en el contexto de los números positivos; los números racionales,
para medir; los irracionales, para la representación de cantidades o
medidas inconmensurables.
29
Algunos Temas para repensar la Matemática
A partir de la teoría de conjuntos (siglo XX) muchas definiciones
y propiedades se formalizaron, y de allí podemos definir a los enteros
como la unión de los naturales, el cero y los opuestos de los números
naturales; a los racionales, como el conjunto de todas las razones
entre números enteros; a los irracionales, como aquellos números
que no pueden ser expresados como razón de dos números enteros; y,
a los reales, como la unión de los conjuntos de los números racionales
e irracionales.
Existen también otros conjuntos numéricos, como los complejos
o los hiperreales, que van surgiendo muchas veces por necesidades
históricas propias de la evolución de la matemática como ciencia.
Por ejemplo, el caso de los números complejos que se transforman
en una creación humana para “resolver el problema” de las raíces
de los números negativos. O el caso de los hiperreales, de “reciente”
creación, allá por 1970, que se han construido matemáticamente
como una “extensión” de los números reales, y cuyas aplicaciones
hoy se pueden ver en el mundo ingenieril. Evolución que claramente
no se detiene y puede que, con el correr de los años, nos ofrezca
nuevos aportes.
30
T EM A
2
Las ecuaciones, algo
más que encontrar
un valor
Rosa Ferragina y Leonardo Lupinacci
2.1. Introducción
Los símbolos de la aritmética tienen una conexión determinada entre
ellos; por ejemplo, 4 es siempre 2 + 2, cualesquiera que sean las cosas
mencionadas, cm, mm, etc. En álgebra tomamos símbolos para números
sin incluirlos en conexiones determinadas. En álgebra razonamos,
pues, sobre números en general, y obtenemos conclusiones que son
igualmente verdaderas para todos los números. (Jourdain, 1994).
Al reemplazar un número por una letra, ¿se mantienen las mismas
condiciones de viabilidad en las relaciones establecidas? Con este
interrogante comenzaremos el desarrollo del capítulo.
2.2. Cuando los números se reemplazan por letras
Analicemos si los siguientes pares de igualdades son verdaderas,
considerando que las letras representan números.
9+5
a) = 9+
2
2
5
2
m+n
p
b) 8 + 7 + 4 – 7 = 8 + 4
=
m
p
+
n
p
m +n + p – n = m + p
31
Algunos Temas para repensar la Matemática
c)
7.6
3.6
=
7
3
m.n
p.n
=
m
p
d) 8. 3 > 5
m.n>p
e) 52 = 5
m2 = m
f) ( ̶ 3)2 = - 3
m2 = m
g) 5 + 3 = 8 5 + x = 8
Nos preguntamos, ¿cómo verificamos si es verdadera
una igualdad entre números?, ¿es similar a conocer la veracidad
de la igualdad si hay letras que representan números?
Por ejemplo, en el ítem d), ¿qué valores de m, n y p cumplen la
condición?, ¿cuáles no?
Distinguimos entonces que toda expresión sobre la cual se puede
establecer su valor de verdad, sea este falso o verdadero, se llama
proposición. Entonces, “entre -1 y 1 no hay ningún entero” tiene un
valor de verdad que es falso; mientras que “el número 2 es primo”
tiene un valor de verdad verdadero.
Expresiones del tipo “¿Cómo lo realizaste?” o “¡Cerrá la puerta!”,
es decir, preguntas u órdenes no son proposiciones, no se les puede
asignar un valor de verdad.
= m + n no tienen siempre el
Pero, expresiones como m+n
p
p
p
mismo valor de verdad, porque si p = 0 resulta verdadera, caso
contrario (p = 0) resultará falsa. A estas expresiones se las llama
32
tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor
funciones proposicionales, porque su valor de verdad depende del
valor asignado a la letra (que también se la suele llamar
indeterminada/variable).
Las funciones proposicionales del tipo 5 + x = 8, que conocemos
con el nombre de ecuaciones, las “resolvemos” o “hallamos el valor
de la incógnita” realizando “pasajes de términos”, son una visión
incompleta, porque solo se busca el valor de la letra y dejamos
de lado si esa condición de igualdad establecida primeramente
5 + x = 8 puede ser verdadera o no para algún valor de x.
Del mismo modo, para la función proposicional o ecuación:
2x +3 = x + 5 se está pidiendo analizar si existe algún valor de x
para que esa igualdad resulte verdadera, que será así si x = 2, caso
contrario resultará falsa.
Para la función proposicional t2 = 4, existen dos valores de t para
que resulte verdadera, t = 2 o t = 2. Al valor o valores asignados a la
letra para que la igualdad resulte verdadera, se llama raíz y conforma
su solución.
No resulta difícil encontrar ejemplos de funciones proposicionales.
«x es humano» es una función proposicional; no será verdadera ni
falsa mientras x permanezca indeterminada, pero se convertirá en una
proposición verdadera o falsa en cuanto se atribuya valor a x. Toda ecuación
matemática es una función proposicional. Mientras no se otorgue el valor
un valor definido a las variables, la ecuación solo es una expresión que
espera la determinación para convertirse en una proposición verdadera o
falsa. En el caso de una ecuación con una variable, esta pasa a ser verdadera
cuando se identifica a la variable con una raíz de la ecuación, de lo contrario
pasa a ser falsa; pero si se trata de una «identidad» será verdadera cuando
la variable sea un número cualquiera. (Bertrand Russel, 1989: 138).
33
Algunos Temas para repensar la Matemática
1. a) Decidamos cuáles de las siguientes expresiones son
proposiciones y cuáles funciones proposicionales.
“Hoy es martes y tengo clase de Matemática”.
“Este año es el año del Bicentenario de la Patria”.
“a - 3 = 7”
“¿Puedo pasar al patio?”.
“2x - 4 = 2(x - 1)”
“El número dos es irracional”.
“23 - 7 < 5”
“El doble de siete es un número par”.
“3t + 8 = 3(t +3)”
“x3 = 8”
“y > 5”
b) Para las funciones proposicionales encuentra el o los valores
de la variable para que resulten verdaderas.
2. Las funciones proposicionales 2x +3 = x + 5, 2x - x = 5 - 3 son
equivalentes porque tienen la misma raíz x = 2.
Las funciones proposicionales -3(2x +3) = x + 5, 2(3 – x) = - 5x
también son equivalentes. Escribí el porqué.
34
tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor
3. La igualdad -4(x + 1) = -4x - 4, ¿es verdadera para x = 0? ¿Y
para x = ½? Encontremos, de ser posible, todos los valores de x para
que resulte verdadera.
4. Analicemos el valor de verdad de las siguientes proposiciones
y justifiquemos las respuestas.
a) “La igualdad 2x – 3 = x – 1 es solo verdadera si x = -2”.
b) “La igualdad 2 (x – 5) = -10 + 2x es siempre falsa”.
c) “Las igualdades 3x – 7 = x + (-1)3 y -7 – (-1)3 = -3x + x resultan
verdaderas para el mismo valor de x”.
5. a) Decidamos qué valor tienen que adoptar las letras para hacer
verdaderas las siguientes igualdades:
-(2x - 1) = 2(6,5 + x) 6x - 9 = 30
3(-x + 8) = x - 2
b) ¿Existe equivalencia entre algunas de esas ecuaciones?
6. Escribamos las siguientes condiciones como una ecuación y
analicemos para qué valores resultan verdaderas.
a) ¿Puede ser que si a un número lo multiplicamos por nueve, le
sumamos dos, le sumamos quince y le restamos treinta, se obtenga
como resultado el doble de ese número?
b) ¿Puede ser que si a un número lo multiplicamos por cuatro, le
restamos siete, le sumamos trece y le sumamos ocho, se obtenga el
mismo resultado que si a ese número le restamos nueve, le sumamos
siete, le sumamos cinco y finalmente le sumamos once?
35
Algunos Temas para repensar la Matemática
c) ¿Puede ser que si a un número lo dividimos por seis, le sumamos
dos, le sumamos ocho y al resultado lo multiplicamos por tres, se
obtenga la mitad de ese número?
d) ¿Puede ser que si a un número le sumamos dos, lo multiplicamos
por tres, le sumamos siete veces el número pensado y le sumamos
seis, se obtenga el mismo resultado que si al doble de ese número
le sumamos tres, multiplicamos el resultado por cinco y luego le
restamos tres?
7. Analicemos la siguiente expresión: x2 - 6x = -5
a) ¿La expresión es verdadera si x = 2? ¿Y si x = 5?
b) ¿Existe algún otro valor de x para que la expresión sea
verdadera?
8. Una solución de la x2 - x - 3,75 = 0 es x = 2,5.
a) Compruébenlo.
b) Existe otro valor de x que hace que la expresión anterior sea
verdadera, ¿cómo podemos obtenerlo? ¿Son válidas las técnicas
empleadas hasta este momento?
Ciertas funciones proposicionales son equivalentes a expresiones
del tipo: ax2 + bx + c = 0, que también reciben el nombre de
ecuaciones cuadráticas. Las letras a, b y c son números dados y
reciben el nombre de coeficientes. La letra x representa un valor que,
al reemplazarlo por un número, hace que la función proposicional
sea verdadera o falsa.
En estas ecuaciones, para encontrar esos valores de x
que cumplen la igualdad, se utiliza una relación entre los
36
tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor
coeficientes
, conocida como fórmula resolvente. ¿Qué
representa el símbolo ? Las ecuaciones cuadráticas poseen dos
raíces. Utilizando la expresión alternadamente con el signo + y con
el signo – es posible encontrarlas.
9. Dada la igualdad 2x + x2 = -1:
a) ¿Cuál es el valor de cada uno de sus coeficientes a, b y c?
b) ¿Cuántas y cuáles son las raíces de esta expresión? ¿Cómo se
puede explicar eso?
Todas las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado tienen dos
raíces. Cuando el valor numérico de ambas es el mismo, se dice que
es una raíz doble.
10. Analicen el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
Justifiquen la elección.
a) “La igualdad x2 + 2x = 3 tiene raíz doble”.
b) “La igualdad x2 + 3x = x.(x + 2) + 1 es siempre falsa”.
c) “La igualdad x2- 2x = 4 es verdadera solo para x = -1 y para x= 2”.
d) “La igualdad 2.(x2 + 1) = x2 + 3 es siempre falsa”.
e) “La igualdad x2 + 16 = 8x es verdadera solo para x = 4”.
11. a) Encuentren las raíces de la ecuación x2 = 1. ¿Cuántas raíces
tiene? ¿Es necesario utilizar la fórmula resolvente para encontrarlas?
37
Algunos Temas para repensar la Matemática
b) Encuentren las raíces de la ecuación x2 = -1. ¿Cuántas
raíces tiene?
Como se mencionó en los capítulos sobre conjuntos numéricos,
las necesidades humanas de dar respuesta a ciertas operaciones han
dado lugar a la construcción de nuevos números.
no posee solución en el conjunto de
Por ejemplo, el cálculo
los números reales, ya que no existe ningún número real que elevado
al cuadrado de por resultado -1.
Para dar solución a esta cuestión, se crearon los números
imaginarios. Si bien estos se utilizaron durante años como
herramientas auxiliares de cálculo, recién en 1777 el matemático
Leonhard Euler definió al número i como . Esto dio lugar a la
posterior construcción del conjunto de los números complejos, al
ser aquellos formados por un par ordenado de números, en los que el
primer elemento representa la parte real y el segundo, la imaginaria.
En el ejemplo analizado en el punto 11.b), x2 = -1, por lo que
, entonces
, con lo que la ecuación tiene dos raíces
complejas: i y –i.
12. Dadas las siguientes funciones proposicionales calculemos,
si existen, los valores reales para los cuáles las mismas resultan
verdaderas. Indiquemos cuáles de ellas son equivalentes.
a) 3x2 – 12x = 15
b) 2x2 + 2x = -3
c) 8x + 10 =2x2d) x2 – 5 = 4x
38
tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor
2.3. Cuando la cantidad de letras aumenta
13. La función proposicional 2x + 4 = 2y resulta verdadera cuando
x = 4 e y = 6.
a) Verifiquen que la proposición resulte verdadera para los
valores dados.
b) Indiquen al menos dos pares de valores para los cuáles la
expresión resulte falsa.
c) ¿La expresión resulta verdadera cuando x = 1 e y = 6? ¿Y
cuando x = -1 e y = 1?
d) Encuentren al menos dos pares de valores x e y, de tal manera
que la expresión resulte verdadera. ¿Cuántos pares de valores
cumplen esa condición?
Las funciones proposicionales, como las del problema anterior,
tienen soluciones que son pares ordenados de números (x; y).
Así, aquellos pares de números que al reemplazarlos en las letras
correspondientes hagan que la igualdad resulte verdadera serán
soluciones de la ecuación.
Una forma de analizar el conjunto solución de este tipo de
igualdades es transformarlas en ecuaciones equivalentes donde una
de las letras quede expresada en relación a la otra. Para la expresión
2x + 4 = 2y, una expresión equivalente es y = x + 2.
Así, para cada valor real de x, existe un valor de y, también real,
de modo que se cumpla la igualdad. Por lo que la solución de esta
función proposicional está compuesta por infinitos pares ordenados
(x; y) de números reales.
39
Algunos Temas para repensar la Matemática
14. Dadas las siguientes igualdades:
I) -4x + y = -2 II) x + 1 + y = 4
III) -4x + 2 = 12 – 2yIV) 2.(2x – 1) = y
a) Indiquen para cuál o cuáles de ellas el par (1; 2) es una solución.
b) Indiquen cuáles de ellas son equivalentes. ¿Alcanza con que
posean una solución en común para que lo sean? ¿Por qué?
2.4. Más actividades
15. Expliquen si son verdaderas o falsas las siguientes
afirmaciones:
a) x2 es siempre positivo o nulo.
b) x3 es siempre positivo o nulo.
c) Si x<0,
indica un número complejo.
d) x-1 es negativo si lo es x.
e) -x2 es siempre negativo.
f) El cuadrado de un número es siempre mayor que ese número.
g) Si a2 = b2 es posible afirmar que a = b.
h) Si a3 = b3 es posible afirmar que a = b.
40
tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor
16. Analicen el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
Justifiquen la elección.
a) “La igualdad x2 + 8 = 9x es verdadera para x = 1 y x = 8”.
b) “El par (3; 5) es solución de 3x + y – 4 = x + 1”.
c) “La ecuación 2x2 + 4 + 3x = 0 no tiene raíces reales”.
d) “La raíz de
es 1”.
e) “La expresión 2.(x+1) + x = 3x + 2 es siempre falsa”.
f) “La expresión 3x + y = y + 6 tiene infinitas soluciones”.
g) “La expresión 2x2 – 4 = -2x y la expresión 5x + 5x2 = 10 son
equivalentes”.
h) “3x + 4y = 10 es verdadera solamente cuando x = 2 e y = 1”.
i) “La expresión 5.(x – 1) - 2x = 5 + 3x es verdadera para cualquier
valor de x”.
j) “0,5x2 – 3x + 4,5 = 0 tiene una raíz doble”.
41
T EM A
3
Forma y figura
Carlos Pérez Medina
3.1. El problema de la distancia entre dos puntos
En una pequeña población ubicada alrededor de una laguna, se
han localizado dos puntos A y B sobre dos caminos que la bordean,
como se muestra en la figura. Se busca una manera de calcular la
distancia que hay entre estos dos puntos, ya que la medición directa
no es posible porque la laguna los separa.
Para dar solución a la situación, una persona observa el mapa de
la ciudad y propone localizar tres puntos auxiliares con condiciones
particulares: un punto O en la intersección de los dos caminos que
pasan por A y B, a igual distancia de cada uno de ellos; un punto A'
en la continuación del camino que pasa por A, a igual distancia de O
que A; y un punto B' en la continuación del camino que pasa por B,
a igual distancia de O que B.
43
Algunos Temas para repensar la Matemática
1. ¿Cuál es la estrategia de solución de esta persona? ¿Por
qué localizó los tres puntos auxiliares O, A' y B'?
En la figura se muestra una representación gráfica de la propuesta
sugerida.
Los pares de puntos A y O, O y A', B y O, y O y B' se han unido
mediante una línea de la que ellos son sus extremos. Una figura
geométrica con estas características es la representación gráfica de
un segmento: es la parte de una recta determinada por dos puntos.
Las rectas, semirrectas (parte de
la recta que con origen en un punto,
pasa por otro que determina la
dirección) y segmentos se designan
por letras, que son los nombres de
los puntos que los determinan. En la
figura están marcados la recta AB,
las semirrectas OA y OB (origen
O y sentidos determinados por A y
B, respectivamente) y los segmentos
Para el caso de la figura del problema, se tienen entonces
los segmentos
y por las condiciones
'
'.
impuestas
44
tema 3: Forma y figura
2. Verificá con la regla cuál es la medida de estos segmentos.
¿Podrías haber usado otro instrumento de geometría para hacerlo?
¿Por qué?
En la representación gráfica de la solución propuesta, también
y
,y
y
se puede identificar que los pares de segmentos
coinciden entre sí en un mismo punto que es O, y delimitan una
abertura entre ellos. Una figura geométrica con estas características
es la representación gráfica de un ángulo: la forma geométrica
formada por dos semirrectas de origen común, o dos segmentos
con un extremo común, que se llaman lados del ángulo, el punto
común es el vértice. Esta forma se suele designar con la letra del
vértice, una letra del alfabeto griego o por tres letras (dos de las
cuales corresponden a un lado del ángulo cada una, y la tercera al
vértice que se ubica siempre en el medio de las otras dos). Para el
caso de la figura del problema, se tienen los ángulos AOB y B' OA',
cuya posición1 es muy particular, porque tienen el mismo vértice
O y los lados de uno son prolongaciones de los del otro,
es la
es la prolongación de
. A dos ángulos
prolongación de , y
en esta posición se les llama opuestos por el vértice y cumplen la
propiedad de tener igual medida. En la figura del problema se tiene
que AOB y B'OA' son opuestos por el vértice y por tanto AOB=B'OA'.
3. Verificá con el transportador cuál es la medida de estos
ángulos. ¿Podrías haber usado otro instrumento geométrico para
hallar esa amplitud? ¿Por qué?
La relación de perpendicularidad se establece respecto de la medida del ángulo que
forman dos rectas que se intersectan. Si uno de los ángulos que se forman entre las dos
líneas mide 90°, las rectas se llaman perpendiculares. En el caso que las rectas no se
crucen, se llaman paralelas.
1
45
Algunos Temas para repensar la Matemática
Las relaciones métricas establecidas entre los segmentos y los
ángulos de la figura geométrica del problema permiten ver cuál es
el fundamento de la estrategia propuesta. Si completamos la figura
y
, este último es el que representa la
con los segmentos
distancia que se quiere medir: quedan delimitadas dos regiones por
la intersección de tres segmentos, los cuales se cortan dos a dos. Una
región corresponde a la que se delimita por los segmentos
,
, y la otra a la delimitada por los segmentos
y
.
Regiones con estas características representan la forma geométrica
triángulo, los segmentos son sus lados, los extremos comunes entre
estos son sus vértices y los ángulos formados por los segmentos
son los ángulos interiores del triángulo. Para el caso de la figura del
problema, se tienen los triángulos AOB y A'OB', en los cuales los
lados
y
son iguales puesto que ambos se oponen a ángulos
iguales (
es el lado opuesto al ángulo AOB en el triángulo AOB,
es el lado opuesto al ángulo A'OB' en el triángulo A'OB'),
y
y también los otros pares de lados son iguales entre sí. Diremos
que en la solución se planteó determinar los tres puntos A', B' y O
con condiciones particulares para formar dos triángulos iguales, de
modo tal que midiendo la distancia entre A' y B', se puede conocer
la medida entre A y B, que es la que se busca. La medición entre A' y
B' sí se puede realizar porque no hay obstáculos entre ellos.
y
4. En la figura del problema, trazá el segmento
medilo. ¿Cuál podría ser una escala adecuada para determinar una
medida entre A y B aceptable en la realidad?
Otros conceptos geométricos para recordar
Los triángulos se clasifican con relación a sus lados y a sus
ángulos. En el primer caso se clasifican en equiláteros, cuando tienen
todos sus lados iguales; isósceles, cuando tienen dos lados iguales,
46
tema 3: Forma y figura
y escalenos, tres lados desiguales. Con relación a los ángulos, se
clasifican en acutángulos, cuando tienen los tres ángulos agudos;
obtusángulos, cuando tienen un ángulo obtuso, y rectángulos2,
cuando tienen un ángulo recto.
Los triángulos corresponden a un tipo particular de polígonos,
formas geométricas que son porciones de plano limitadas por
segmentos que se unen dos a dos, y forman una línea quebrada
cerrada, también llamada línea poligonal. A la longitud de esta línea
poligonal, para cualquier polígono, se le llama perímetro.
5. Enunciá ejemplos de polígonos que recuerdes y describí
algunas de sus características.
Al igual que en los triángulos, para cualquier polígono, los lados
son los segmentos que forman la línea poligonal; los vértices, los
extremos de estos segmentos y los ángulos internos, los que forman
dos lados consecutivos en el interior del polígono. Para el caso de
polígonos de cuatro lados o más, otro elemento son las diagonales,
segmentos cuyos extremos son dos vértices no consecutivos. El
perímetro de cualquier polígono se calcula sumando las medidas de
sus lados. Se llama polígono regular al que tiene todos sus lados y
ángulos iguales.
6. ¿Qué cuadriláteros recordás haber estudiado? Escribí sus
nombres y hacé un dibujo que los represente.
En los cuadriláteros se llaman lados opuestos a los que no tienen
vértice común; vértices opuestos, a los que no pertenecen a un
2
En este caso, los lados del triángulo reciben nombres especiales, los que forman el
ángulo recto se llaman catetos, y el tercero, que se opone al ángulo recto, hipotenusa.
47
Algunos Temas para repensar la Matemática
mismo lado, y ángulos
opuestos, a aquellos cuyos
vértices son opuestos. En
la figura: A y C, y B y D son
pares de vértices opuestos.
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, si ambos
pares de lados opuestos son paralelos; trapecios, si tan solo un par
de lados opuestos son paralelos, y trapezoides, cuando ningún par
de lados opuestos son paralelos. De los paralelogramos, los más
conocidos son el cuadrado, aquel que es paralelogramo regular;
el rectángulo, que tiene sus ángulos rectos; el rombo, el que tiene
sus lados iguales, y el romboide, cuyos lados y ángulos contiguos
son desiguales.
7. Escribí las definiciones y algunas características de los
trapecios y realizá una figura geométrica que las represente. ¿Por
qué tu respuesta y la de tus compañeros pueden ser diferentes?
8. ¿Sucederá lo mismo si el pedido es respecto de los
paralelogramos? ¿Por qué?
3.2. El problema de la distribución de superficies
El cómo distribuir los muebles en nuestra casa es una situación
común a la que nos vemos enfrentados la mayoría de las personas
en algún momento de nuestras vidas. En la mayor parte de las
ocasiones, para tomar decisiones sobre el lugar que debe ocupar un
mueble, nos guiamos por la comodidad que nos da que el objeto esté
en una ubicación determinada. Hay algunas otras ocasiones en las
48
tema 3: Forma y figura
que el criterio de la comodidad queda en un segundo lugar, y el que
resulta primordial es el del aprovechamiento del espacio disponible:
tenemos que organizar varios objetos en un espacio reducido.
9. Describí qué criterios usás y cómo tomás las decisiones
cuando tenés que organizar los muebles de tu casa en un espacio
reducido.
Supongamos que tenemos
que organizar los muebles de las
habitaciones, la sala y el comedor
de un departamento cuyo plano,
con las medidas de cada ambiente
en metros, es el de la figura.
Sabemos que los muebles son
cuatro camas de una plaza (2m
× 0, 90m × 0,85m ), dos sillones
de un cuerpo (0,80m × 0,75m ×
0,70m), un sillón de tres cuerpos
(2,30m × 0,75m × 0,70m), una mesa para la televisión y el equipo
de música (0,65m × 0,80m × 0,45m) y una mesa comedor para seis
personas (2m × 1m × 0,75m).
10. Si para determinar la organización de los muebles te
piden el dato de la cantidad de superficie total que ocupan, ¿cómo
calcularías el área total del mobiliario descrito para el departamento?
11. Hacé algunos dibujos que muestren cómo distribuirías
los muebles dentro del departamento usando el plano dado.
49
Algunos Temas para repensar la Matemática
12. Si la mesa que se va a colocar fuese de 1,5m de diámetro,
¿qué otras condiciones deberías tomar en cuenta para ubicarla en el
espacio disponible? ¿Por qué?
Área de figuras geométricas
13. Sigamos con las casas. ¿Cuántas tablas de 3,5m de largo por
0,25m de ancho se necesitan para entablar un salón de 2m de largo
por 9m de ancho? Muestren cómo llegaron a la respuesta.
En la práctica, el cálculo del área de una figura se efectúa de manera
indirecta, esto es, se mide la longitud de algunos de sus elementos
y se realizan ciertas operaciones para obtener el resultado. Veamos
cómo se calcula el área de cada una de las figuras geométricas que
hemos estudiado.
Cálculo de área de figuras geométricas
En el triángulo, el área es el
semiproducto de la base y la altura.
Cualquier lado del triángulo se puede
tomar como base, y la altura es la
medida del segmento perpendicular
a la recta a la que pertenece la base
desde el vértice opuesto.
50
tema 3: Forma y figura
En los paralelogramos, el área
En los paralelogramos, el
es el producto de su base por
área es el producto de su base
su altura (o de su largo por su
por su altura (o de su largo
ancho). A = b x h
por su ancho).
A=bxa
A = b2
En el caso del rombo, una
forma más sencilla de calcular
su área es usando las medidas
de sus diagonales. El área es
semiproducto de sus diagonales.
A=
Dxd
2
En el trapecio, el área es el
producto de su altura por la
semisuma de sus bases. Las
bases son los lados paralelos;
y la altura, la longitud del
segmento perpendicular desde
uno de los extremos de la base
menor a la base mayor.
51
Algunos Temas para repensar la Matemática
En los polígonos regulares de
cinco o más lados, el área es
el semiproducto del perímetro
por su apotema. La apotema
es la longitud del segmento
perpendicular del centro a uno
cualquiera de sus lados.
En el círculo, el área es el
producto de π por el cuadrado
del radio.
3.3. Otros problemas para resolver
14. Resolvé cada problema y explicá cómo llegás a la solución.
a) Una vereda de 1,8m de ancho rodea un terreno rectangular
de 150 m de largo por 45m de ancho. Hacé un dibujo y calculá
su área.
b) Calculá el perímetro de un terreno cuadrado de 7482,25m2.
c) Si se disminuye en 6m el lado de un cuadrado, se obtiene otro
de 144m2 menos que el primero. ¿Cuánto mide el lado del primero?
52
tema 3: Forma y figura
d) ¿Qué medida ha de tener el lado de una mesa
de superficie cuadrada para que sea equivalente a otra mesa de
superficie rectangular, que tiene 4,05m de largo por 1,2m de ancho?
e) Si la escala de un plano es de 2mm: 1km, ¿cuál es el área de
un terreno en forma de trapecio cuyas bases y altura miden, en el
plano, 4,5mm, 3mm y 2,8mm respectivamente?
f) ¿Cuál es la altura de un triángulo de 15m de base,
si es equivalente a otro que tiene por base y altura 20m y
12m respectivamente?
g) Calculá la base y la altura de un triángulo que tiene 180m2
2
de área, si la altura es los de su base.
5
h) Hallá las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su área
es de 10cm2 y la razón de sus dimensiones es 4.
3
i) ¿Cuánto cuesta la pintada de un zócalo de 0,25m de alto en
una sala de 8,25m de largo por 8m de ancho, si el metro cuadrado
vale $15?
j) En ambas figuras ABCD es un cuadrado de lado 10cm.
Calculá el área de la región blanca.
53
Algunos Temas para repensar la Matemática
k) En el siguiente triángulo, el cuadrado construido sobre uno
de los lados es equivalente a la suma de los cuadrados construidos
sobre los otros dos lados. Verificá cuáles son los cuadrados
correspondientes y expresá la relación3.
Esta relación se verifica para todos los triángulos rectángulos y es reconocida como el
teorema de Pitágoras.
3
54
T EM A
4
Es probable
Liber Aparisi y Fernando Bifano
4.1. Introducción
Una persona gana un premio de un millón de dólares y decide
no cobrarlo. ¿Les parece muy probable, poco probable, nada
probable? Imagínense que tiran 6 veces un dado, ¿cuál de las
siguientes series creen que es más probable obtener: 1-3-2-6-5-3,
1-1-1-1-1-1 o 1-2-3-4-5-6?
¿En la comisión donde cursan el CPU es posible que 2 compañeros
cumplan años el mismo día? ¿Será nada probable, poco o muy
probable? ¿Qué piensan?
Analicemos esta última cuestión. Si en el aula hubiera 366
compañeros, seguramente habría coincidencia (en este punto, les
sugerimos detenerse y reflexionar hasta conseguir una explicación
que los satisfaga. ¿Por qué podríamos decir que, necesariamente,
en un aula con 366 alumnos, al menos 2 coincidirán en la fecha de
su cumpleaños?).
¿En qué se apoyarían o cuál es la razón para decidir sobre la
probabilidad de que algo así suceda (nada, algo, mucho), en el aula
donde hoy están cursando Matemática del CPU en la UNAJ?, ¿lo
intuyen?, ¿es una corazonada?, ¿les parece razonable?, ¿creen que
es algo esperable?, ¿es natural que así sea?, ¿lo calcularon?
55
Algunos Temas para repensar la Matemática
Este problema del cumpleaños también conocido como
paradoja del cumpleaños (aunque estrictamente no se trata de una
paradoja desde el punto de vista de la lógica matemática, porque
no es una aparente contradicción) lleva como enunciado original
la reflexión sobre un grupo de 23 personas y se puede calcular que
habrá poco más de un 50% de probabilidad que 2 de ellas cumplan
años el mismo día.
Y algo que les va a sorprender: en un grupo de 40 personas
(¿cuántos son en la comisión?) la probabilidad aumenta a un 89%.
4.2. Entre lo probable y lo posible
Seguramente conocen el juego de apuestas Quini 6, que se trata
de apostar a 6 números (del 1 al 46). ¿Saben cuál es la probabilidad
de ganar? 1 entre 9.366.819.
Alguno de nosotros seguramente piensa que resulta improbable
ganar. Aunque sabemos que es posible que alguien lo gane. O por lo
menos altamente probable, ya que es frecuente que haya un ganador.
Aun sabiendo que puede existir un ganador, nosotros o el mismo
ganador no lo cree como posible, porque piensa que es un milagro o
suerte, ya que la probabilidad que tenía a favor era casi cero.
Existe una diferencia entre lo probable y lo posible. Algo es
posible o no lo es. Mientras que lo probable admite graduaciones
que van desde lo poco probable a lo altamente probable. Piensen
que cuando decimos que algo es casi seguro de que pase, estamos
indicando que ello es muy probable que suceda. Utilizar el término
probable es relacionarlo con la incertidumbre, la incerteza.
56
tema 4: Es probable
4.3. Una definición clásica de probabilidad
Podemos dar una primera definición de probabilidad como una
medida de la incertidumbre de la ocurrencia de sucesos aleatorios
(sucesos en los que no se puede prever con certeza el resultado que
va tener lugar al observar el fenómeno o al realizar el experimento.
El resultado depende del azar).
La definición de Laplace o definición clásica de probabilidad es
la que nos permite relacionar el número de casos favorables con el
de casos posibles:
p=
número de casos favorables
número de casos posibles
1. Según la definición laplaciana de probabilidad, comparen el
resultado de ganar el Quini 6 con la probabilidad de acertar el “gordo
navideño” comprando un solo billete (los billetes son de 5 cifras).
¿Qué resulta más probable: ¿acertar el Quini 6 o sacar el “gordo
navideño”? Expliquen cómo logran calcularlo.
Supongamos que se arroja una moneda. ¿Cuál es la probabilidad
de que salga cara? 1 de 2. Podría salir también ceca, es decir, ambos
sucesos tienen la misma probabilidad —equiprobabilidad— de
ocurrencia. Hemos hecho un estudio de carácter teórico.
Si hacemos efectivamente el experimento y sale cara, podríamos
decir que el resultado obtenido no se condice con lo anticipado.
En realidad, deberíamos repetir la misma experiencia varias
veces para ver qué sucedería (los invitamos a hacer esto 10,
20, 50 veces y registrar lo sucedido).
57
Algunos Temas para repensar la Matemática
Cuanto más veces reiteremos la experiencia, más cerca
estaremos de obtener 21 como resultado empírico. Puede resultarles
un contrasentido, pero si experimentáramos el mismo fenómeno
“infinitas” veces, nos aproximaríamos al valor teórico.
Es lo que se conoce como enfoque frecuentista de la probabilidad.
De ahí quizás uno de los valores destacables de la matemática como
ciencia que va más allá de la experiencia.
4.4. Es poco probable
Analicemos ahora hechos poco probables. El matemático francés
Emile Borel estudió este tipo de sucesos y los clasificó en tres
tipos: improbables a escala humana, improbables a escala terrestre
e improbables a escala cósmica. Para el primer caso, debemos
entender que no serán eventos razonables de que le sucedan a una
persona. Para el segundo planteo, no sería razonable que ocurran
alguna vez en la historia de la humanidad. En la última caracterización
de Borel, los hechos no son razonables que acontezcan alguna vez
en la historia del Universo.
En el juego del Prode (juego de pronósticos deportivos muy
famoso en la Argentina y que consistía en asignar local, empate
o visitante al resultado de un partido de fútbol que se daba en una
determinada fecha de juego. Se jugaban 13 partidos y se podía
colocar en dos de ellos, dos posibilidades y en uno de ellos, hasta
tres) la probabilidad de ganar era del 0,000006%. La probabilidad
es muy baja, aunque no es nula. Sabemos que hubo ganadores del
Prode durante décadas.
1
Al tirar un dado, hay una probabilidad de 6 de que salga un número
cualquiera elegido.
58
tema 4: Es probable
Estos dos ejemplos muestran probabilidades que pueden
calcularse. En cambio cuando un estudiante siente que se ve con un
100% de probabilidad de aprobar el examen, decimos que se trata
de una estimación subjetiva, es una “forma de decir” (y de darse
ánimo). El grado de confianza personal asignada a un suceso, basado
en evidencia personal, es lo que llamamos definición subjetiva de
probabilidad.
2. Autoridades provinciales en su balance de movimiento turístico
del año 2013 estimaron que durante el fin de semana de carnaval
ingresaron 230 mil automóviles a la ciudad de Mar del Plata.
Se anunció en los medios que, para agilizar el tránsito, detendrían
solo un vehículo para efectuar un control de la documentación: ¿cuál
sería la probabilidad de que alguno de nosotros, manejando camino
a Mar del Plata, se hubiese detenido en ese control?
3. Se le llama abducción extraterrestre al fenómeno en el que
seres extraterrestres raptan a un ser humano. Desde este contexto
fantástico:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el suceso le ocurra a un
estudiante cualquiera de esta comisión? Expliquen cómo logran
calcularlo.
b) ¿Cuál será la probabilidad de que el total de la comisión sea
abducida? Comparen y analicen los resultados obtenidos en 3.a) y
en 3.b).
59
Algunos Temas para repensar la Matemática
4.5. Sucesos excluyentes
Hasta aquí hemos venido, casi sin nombrarlo, hablando de
cuestiones de azar. Muchas veces en la vida pensamos que las
cosas suceden porque sí, o sin razón aparente. También vimos que
se puede, en muchos casos, calcular esa probabilidad de ocurrencia,
por más azarosa que parezca.
Pero también hay sucesos que ocurren, y que el hecho de su
ocurrencia anula la posibilidad de ocurrencia de otros en forma
simultánea. A estos eventos se los denomina mutuamente excluyentes.
Veamos un ejemplo:
Supongamos que el suceso “mañana llueve” tiene una probabilidad
del 70%. Esto quiero decir que el suceso “mañana no llueve” (que
sería una suerte de suceso complementario al anterior) tiene una
probabilidad del 30%. Esto es así porque ambos eventos se excluyen
mutuamente: no puede llover y no llover a la vez.
La ocurrencia de un suceso junto con su no ocurrencia cubre el
100% del espectro de lo que puede acontecer. Por ello, la suma de
ambas probabilidades resulta 1. Simbólicamente:
p (llueve) = 70%=
70
100
p (no llueve) = 30%=
30
100
p (llueve) + p (no llueve) = 70% + 30%=
60
70
100
+
30
100
=1
tema 4: Es probable
Una observación importante: los valores que toma la probabilidad
de ocurrencia de un suceso o evento oscilan entre 0 y 1, al ser 0 el caso
de no ocurrencia y 1 el mayor grado de certeza. Consecuentemente,
entre la gama de 0 y 1, cuanto más cerca de 0, menos probable será
la ocurrencia de un suceso; mientras que cuanto más cerca de 1, es
más probable que ocurra.
4. Tenemos en una bolsa negra, tres tarjetas: una naranja, una
amarilla y la otra verde.
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta al azar y que esta
sea naranja? ¿Y de que no sea naranja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta al azar y esta sea
amarilla o verde?
5. Propongan otros ejemplos de sucesos excluyentes. En caso de
poder calcular la probabilidad de ocurrencia de tales sucesos, ¿se
verifica que la suma de probabilidades de los sucesos considerados
a priori excluyentes resulta igual a 1?
4.6. Sucesos independientes
En otras circunstancias, hay sucesos cuya ocurrencia
no condiciona de manera alguna la ocurrencia del otro. Por ejemplo,
arrojar un dado al aire y que salga primero un 3 y luego salga otro
número (o incluso nuevamente 3). O también podría ser que en el
sorteo nocturno de la lotería salga el número 1789 y en el sorteo de la
mañana siguiente vuelva a salir el mismo número u otro cualquiera.
61
Algunos Temas para repensar la Matemática
En ambos casos, estamos frente a lo que en términos probabilísticos
se denomina sucesos independientes, y la probabilidad de ambos
eventos se calcula como el producto de cada una de las probabilidades.
6. Expliquen por qué la probabilidad de que sucedan dos eventos
independientes se obtiene como el producto de ambas probabilidades.
7. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 al arrojar un dado al aire
y un 6 entre un mazo de 40 cartas españolas? Las preguntas no se
pueden responder por separado: ¿por qué exigimos esta condición?
Volvamos al problema de la paradoja del cumpleaños. Tratemos
de aplicar lo visto hasta acá para poder analizar los porcentajes antes
mencionados.
Vamos a considerar la situación de que cada persona tenga una
fecha de cumpleaños que no coincida con ninguna de los demás. Si
podemos cuantificar la probabilidad de que todos cumplan años en
días diferentes, el complemento de esa probabilidad será la de que
al menos dos cumplan años en el mismo día (nos servirá pensar en el
caso anterior, donde la probabilidad de que “no llueva” es 1 menos
la probabilidad de que “llueva”).
La primera persona tiene los 365 días “libres” para cumplir años.
La segunda, para cumplir años en un día diferente al anterior, tiene
364 posibilidades sobre 365 días. La tercera tiene 363 posibilidades
de cumplir años en días diferentes a las otras dos. Y así sucesivamente.
La persona número 23 tiene 342 fechas libres posibles (que sale de
restar 23 a 265) de los 365 días del año.
62
tema 4: Es probable
Esto quiere decir que, la posibilidad de que cada persona tenga un
cumpleaños individual, por así decirlo, se calcula como el producto
de cada una de estas probabilidades (porque todos son sucesos
independientes del otro):
La probabilidad de que haya al menos dos personas que cumplan
años el mismo día en un grupo de 23 personas supera el 50%.
8. Una persona en su Facebook tiene 73 contactos, ¿cuál es la
probabilidad de que al menos dos de ellos cumpla años el mismo día?
4.7. Sucesos dependientes: la probabilidad condicionada
Hay circunstancias en los que la probabilidad de ocurrencia de un
suceso se calcula sobre la base de que otro ha ocurrido. Por ejemplo,
2 mazos de 40 cartas cada uno, en uno de los cuales hay un as, y en
el otro están los 4 ases. ¿Cuál es la probabilidad de que habiendo
sacado un as este pertenezca al mazo con un solo as? ¿Es cierto que
la probabilidad de que el as sea del mazo de los 4 ases es el cuádruple
de la anterior?
63
Algunos Temas para repensar la Matemática
Veamos cómo analizar la resolución de este problema:
Primero sería conveniente determinar la probabilidad de sacar un
as entre las 40 cartas para cada uno de los mazos:
Mazo 1:
Mazo 2:
La probabilidad es 1 en 40,
La probabilidad es 4 en 40,
o sea: p(as) =
1
o sea: p(as) =
40
4
40
Luego, la probabilidad de haber sacado un as del mazo que tenía
uno solo se calcula como el cociente entre los casos favorables sobre
1
1
los posibles. Pero sucede que los favorables en realidad son 40 x 2
, porque hay un as entre las 40 cartas, pero salió de alguno de los
2 mazos posibles.
Por otro lado, los casos posibles son sucesos excluyentes (pues
si el as salió de un mazo, no pudo hacerlo del otro). Esto implica que
la probabilidad de as del mazo 1 es:
Lo cual resulta bastante razonable, pues podríamos pensarlo de
otra manera considerando que en total hay 5 ases y uno solo de ellos
pertenece a un mazo y los restantes 4 al otro. Esto quiere decir que
es cierto que las chances son el cuádruple.
64
tema 4: Es probable
Les proponemos pensar y trabajar en este problema:
9. El 70% de los estudiantes de una comisión del CPU resuelve
todos los problemas de este libro. De este porcentaje, el 85% aprueba
la materia; de los que no resuelven todos los problemas del libro (el
30% restante), el 40% aprueba.
¿Si un alumno aprueba la materia, cuál es la probabilidad de que
haya resuelto todos los problemas?
Esta forma de determinar la probabilidad condicionada fue
estudiada por el matemático francés Bayes. De ahí que se conozca
como teorema de Bayes.
Este teorema tiene múltiples aplicaciones. En el ámbito
informático, sirve para la determinación probabilística de que un
correo electrónico recibido sea clasificado como spam: cuando
entra un correo a la bandeja de entrada, se le asigna un cierto valor
de probabilidad de que sea spam. Luego, un programa analiza la
información contenida en el correo (lee y cuantifica las palabras) y
esa información se vuelve relevante para aumentar o disminuir su
probabilidad de su clasificación como spam.
Otra aplicación es de corte militar y se utiliza para la localización
de aviones siniestrados.
En ambos casos, se basan en modificar el valor de probabilidad
asignada a un suceso a partir de conocer información relevante para
ese suceso.
65
Algunos Temas para repensar la Matemática
4.8. Más problemas
10. Dar otros ejemplos de sucesos excluyentes, independientes y
dependientes. En cada uno de los casos, justificar la decisión.
11. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 7 al arrojar dos dados
juntos? ¿Es lo mismo que la de obtener cualquier otro número?
Justifiquen con cálculos la respuesta.
12. El juego del truco suele tener dos variantes. Hay jugadores
que prefieren jugar sin flor y otros con ella (para aquellos que no
saben, la flor se forma con tres cartas del mismo palo).
¿Cuál es la probabilidad de que un jugador obtenga flor en un
partido de mano a mano?
Y si el partido es de dos contra dos, ¿la probabilidad de que dos
jugadores de la misma pareja obtengan flor en una mano es más baja
o más alta? ¿Cuánto más?
13. En una empresa de 3500 empleados, el 20% ha faltado por
lo menos una vez durante el 2013. En 2014 se decide despedir a 10
trabajadores al azar.
¿Qué probabilidad tiene un trabajador de ser elegido?
Si los 10 trabajadores despedidos habían faltado por lo menos
una vez durante 2013, ¿se puede inferir que los despidos estuvieron
relacionados con este hecho?
66
tema 4: Es probable
14. Se elige al azar una clave de cuatro dígitos tomados del 1 al 9,
¿cuál es la probabilidad de que la clave comience con 5? ¿Cuál será
la probabilidad de que comience con 5 y, además, todos los dígitos
sean diferentes?
15. Seis amigos se acomodan uno al lado del otro para sacarse
una foto.
¿Cuántas fotografías diferentes pueden sacarse?
Si los seis amigos son en realidad tres parejas que se ubicaron al
azar, ¿cuál es la probabilidad de que hayan quedado uno junto a otro
los miembros de cada pareja?
4.9. Esto no es todo: solo es el comienzo
Hasta aquí hemos desarrollado parte del tema de la teorías de las
probabilidades a partir de considerar tanto su dimensión semántica
como su calculatoria. Y para calcularla, en el caso de ser posible,
hemos distinguido entre la relación que tienen estos sucesos desde su
independencia o influencia de los unos para con los otros y de cómo
impactan estas cuestiones en dichos cálculos.
Para aquellos que sigan con ganas y quieran ahondar más en lo
visto en este capítulo, los invitamos a realizar sus exploraciones
sobre la teoría de probabilidades.
67
Algunos Temas para repensar la Matemática
Seguramente buscarán en la web, a través de un motor de
búsqueda (lo googlearán).
Nosotros, a modo de recomendación, les contamos que el
conocido matemático y periodista, Adrián Paenza, aborda este tema
en su programa Alterados por Pi del Canal Encuentro (temporada 3:
capítulo 8).
También les sugerimos el capítulo Estadística y Probabilidad, de
la Serie Horizontes (Matemática) de Canal Encuentro:
https://www.youtube.com/watch?v=9PlZkS5011U
Aquí encontrarán un recorrido histórico y la contextualización
que da origen a la teoría de las probabilidades, un abordaje y
discusión sobre el azar, casos y ejemplos. Y otra parte donde se trata
la Estadística, tema que trataremos en Matemática Inicial (Estudios
Iniciales, UNAJ).
¿Recuerdan cómo iniciábamos este capítulo? Planteamos allí:
“una persona gana un premio de un millón de dólares y decide
no cobrarlo”. Si les da curiosidad, pueden acceder a esta nota
periodística: http://www.infobae.com/2010/07/02/524345-ungenio-matematico-rechazo-un-premio-us1-millon.
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71
LOS AUTOR E S
JOSÉ A. VILLELLA. Doctor en Didáctica de la Matemática.
Profesor de Matemática y Matemática Aplicada. Licenciado en
Educación. Profesor para la enseñanza primaria. Es docente e
investigador de la Universidad Nacional de San Martín (UNSAM),
donde también ocupó cargos de gestión. Integra el grupo de
investigadores del Centro de Estudios en Didácticas Específicas
(CEDE de la UNSAM) y forma parte del equipo docente de posgrado
de universidades nacionales y extranjeras. Hace investigación y
docencia en la Fundación Cultural Glaux de Buenos Aires, desde
la que asesora en el desarrollo e implementación de proyectos
educativos. Ha sido docente de nivel primario, medio y superior
en formación docente (INSPT- UTN; Escuela Normal Mariano
Acosta). Ha recibido premios y menciones especiales por sus libros
y publicaciones tanto en la Argentina como en el extranjero sobre
su tema de interés: el análisis de la gestión de la clase de matemática
mediada por el docente considerado un profesional de la enseñanza.
Dirige las colecciones de didácticas específicas de las editoriales
Espartaco (Montevideo, Uruguay) y Miño y Dávila en coedición
con Unsam edita. Es asesor científico en el área de Matemática del
Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ.
LEONARDO J. LUPINACCI. Profesor de Matemática y
Matemática Aplicada, INSPT-UTN. Licenciado en Enseñanza de
las Ciencias, orientación Didáctica de la Matemática, UNSAM.
Especialista en Enseñanza de las Ciencias Experimentales y
Matemática y maestrando en la misma orientación, UNSAM.
73
Algunos Temas para repensar la Matemática
Docente y coordinador del área de Matemática del Instituto de
Estudios Iniciales de la UNAJ. Docente investigador de Didáctica de
la Matemática la Escuela de Humanidades de la UNSAM. Profesor
de Didáctica de la Matemática en institutos de formación docente
de la provincia de Buenos Aires. Ha participado en el dictado de
talleres, cursos y en la presentación de comunicaciones en Jornadas y
Congresos Nacionales e Internacionales. Autor de artículos y libros
en colaboración sobre temas de su especialidad.
FERNANDO J. BIFANO. Profesor de Matemática. Lic. en
Enseñanza de las Ciencias, orientación en Matemática, UNSAM.
Maestrando en Enseñanza de las Ciencias Experimentales y la
Matemática por la misma universidad. Doctorando del Programa
Interinstitucional de Doctorado en Educación. Docente y
cocoordinador del área de Matemática del Instituto de Estudios
Iniciales de la UNAJ. Docente investigador de Didáctica de la
Matemática la Escuela de Humanidades de la UNSAM. Profesor de
Didáctica de la Matemática en cursos virtuales, UNSAM y UNRN.
Profesor en institutos de formación docente de nivel medio y
primario de la CABA. Ha participado, dictando cursos y seminarios,
en diversas reuniones científicas tanto en nuestro país como en el
exterior. Tiene publicado artículos y libros en colaboración sobre
temas atenientes a su especialidad.
ROSA A. FERRAGINA. Lic. en la Enseñanza de las Ciencias
con especialidad en Didáctica de la Matemática por la Universidad
Nacional de San Martín (UNSAM). Maestranda en Enseñanza de las
Ciencias Experimentales y la Matemática por la misma universidad.
Profesora de Matemática e Informática, INSPT-UTN. Profesora
en institutos terciarios de formación docente, profesorado en
74
Los autores
Matemática, CABA. Profesora de Didáctica de la Matemática en
modalidad virtual, UNSAM. Integrante del CEDE. Ha participado,
dictando cursos y seminarios, en congresos científicos tanto en
nuestro país como en el exterior. Ha publicado libros de texto para
el nivel medio, preuniversitario y formación docente.
ALEJANDRA ALMIRÓN. Profesora de Matemática, IES
N.° 2 Mariano Acosta. Licenciada en Tecnología Industrial de
los Alimentos. Profesora de Matemática en el nivel medio y en
el nivel medio de jóvenes y adultos. Maestra de Segundo Ciclo
de Matemática y Ciencias Naturales. Miembro del Equipo Técnico
del área de Matemática de la Dirección Operativa de Evaluación
Educativa del Ministerio de Educación del GCBA. Docente de
Matemática en el Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ. Ha
participado y dictado talleres de Didáctica de la Matemática y de
Educación Popular.
LIBER APARISI. Profesor de Matemática. Tesista de
la licenciatura en Enseñanza de la Matemática. Docente de
Matemática del Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ. Docente
de Matemática e Introducción a los Estudios Universitarios por la
EE y N/ Universidad Nacional de San Martín. Investigador en
proyecto y programa de desarrollo 2014-2015 por la Universidad
Nacional de Villa María, Córdoba. Profesor en Formación Docente
en las carreras de Matemática y Tecnología del IES N.° 2 Mariano
Acosta, CABA. Miembro del Equipo TIC en el Instituto Nacional
de Formación Docente. Autor y tutor de cursos y seminarios
ofrecidos por el INFD/ME . Panelista y expositor en congresos
internacionales de Matemática Educativa. Autor de artículos y
libros en colaboración sobre modelización matemática y resolución
de problemas.
75
Algunos Temas para repensar la Matemática
CARLOS ROBERTO PÉREZ MEDINA. Lic. en Matemáticas
por la Universidad Pedagógica Nacional en Colombia (UPN).
Diplomado Superior en Ciencias Sociales con mención en Educación
y Nuevas Tecnologías por FLACSO (Argentina). Doctorando
en Ciencias de la Educación con orientación en Didáctica de la
Matemática en la Universidad Nacional de Córdoba en la Argentina.
Miembro del equipo de investigadores del CEDE de la Escuela de
Humanidades de la UNSAM. Profesor del área de Matemática del
Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ. Fue profesor ayudante
de primera (AyP) de la sede Alto Valle de la Universidad Nacional de
Río Negro (Argentina). Ha participado en proyectos de investigación
sobre temas relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de la
Matemática mediadas por herramientas de software.
PAULA PUTICA SINATRA. Profesora de Matemática por el
Instituto Superior Esteban Adrogué. Licencianda en Enseñanza de
la Matemática, (UTN). Docente de Matemática en el Instituto
de Estudios Iniciales de la UNAJ. Profesora de Matemática en
escuelas secundarias de la provincia de Buenos Aires.
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CURSO DE PREPARACIÓN UNIVERSITARIA ALGUNOS TEMAS PARA REPENSAR LA MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL ARTURO JAURETCHE
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ALGUNOS TEMAS PARA
REPENSAR LA MATEMÁTICA
cpu
Leonardo Lupinacci, Fernando Bifano, Rosa Ferragina ,Alejandra Almirón,
Liber Aparisi, Carlos Pérez Medina, Paula Putica Sinatra, José Villella
CURSO DE PREPARACIÓN UNIVERSITARIA
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