Introducción al algebra Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52 . El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a 2 + b 2 = c 2 . Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32 ; de la misma manera, a × a es igual que a 2 .El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas. Historia La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas. Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que significa ‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático alJwārizmī; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2. En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwārizmī fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación Definición Álgebra (del árabe: «al-jebr») es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Puede definirse como la generalización y extensión de la aritmética.1 2 A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables) o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general.3 El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis. Signos y símbolos más comunes Los signos y símbolos son utilizados en el álgebra — y en general en la teoría de conjuntos — con los que se constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando. Signos del Álgebra 12 Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y signos de agrupación. Signos de operación En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a × b. Signos de relación Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. >, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”. <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b + c”. Signos de agrupación Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y bdebe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ (a + b) - c] ⋅ d} indica que el resultado de la suma de a + b debe restarse a c y el resultado de esto multiplicarse por d. Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones. A los valores indeterminados se les suele llamar variables. Conceptualización Una variable es una letra que representa cualquier número de un conjunto dado de números. Si combinamos variables como (x, y, z), algunos números reales y operadores básicos como los de la suma, resta, multiplicación y división, obtendremos una expresión algebraica. x + 9y2 Ejemplos de expresiones algebraicas son: Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo. Axioma 1. Pedagogía en Matemáticas e Informática Educativa Prof. Jorge Ávila Contreras 28 de marzo de 2011 Álgebra I AXIOMAS DE CUERPO EN R 2. Definiciones preliminares AXIOMAS: afirmaciones que se asumen como verdaderas por su trivialidad. TEOREMAS: afirmaciones o proposiciones no triviales y muchas veces poco intuitivas, que se demuestran utilizando axiomas u otros teoremas ya demostrados. COROLARIOS: consecuencias inmediatas que se deducen de un teorema. 3. Axiomas de cuerpo en R Existen dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto ( ): Si “x” e “y” R, entonces (x + y) R, y (x y) R. Y se verifica que: Existe conmutatividad en la suma y en el producto: x + y = y + x ; x y = y x. Existe asociatividad en la suma y la multiplicación: (x + y) + z = x + (y + z) ; (x y) z = x (y z). Existe distributividad del producto respecto a la suma: x (y + z) = x y + x z. Existe un elemento de R, llamado elemento neutro aditivo , denotado por 0 , tal que x + 0 = 0 + x = x para todo x R. Para todo x R, existe el inverso aditivo de x ( opuesto de x ) , denotado por (-x) R , tal que x + (-x) = x – x = 0. Existe un elemento de R, llamado elemento neutro multiplicativo , denotado por 1 , tal que x 1 = 1 x = x , para todo x R. Para todo x R, x 0, existe inverso multiplicativo de x , denotado por tal que 4. Axiomas de cuerpo en R (con una presentación más sintética y simbólica) Existen dos operaciones internas suma (+) y producto ( ) que cumplen con la propiedad de clausura en R. Y se verifican los siguientes axiomas: Respecto a la suma: Respecto a la multiplicación: 5. Ejemplos de consecuencias de los axiomas de cuerpo en R Demostración, de la propiedad 1: a 0 = a 0 + 0 ; por axioma del elemento neutro aditivo = a 0 + (a + ( a)) ; por inverso aditivo = (a 0 + a ) + ( a) ; por asociatividad = (a 0 + a 1 ) + ( a) = a (0 + 1) + ( a) ; por distributividad de con respecto a la + = a 1 + ( a) ; por elemento neutro aditivo = a + ( a) ; por elemento neutro multiplicativo = 0 ; por inverso aditivo ; por elemento neutro multiplicativo Proposición: Si a y b son números reales, entonces: a 0 = 0 ( a) = a (a ) = a (ab) = a b 1 1 1 1 1 a 0 = 0 q.e.d. 6. Demostración, de la propiedad 2: ( a) = ( a) + 0 ; por axioma del elemento neutro aditivo = ( a) + (a + ( a)) ; por inverso aditivo = ( a) + ( ( a) + a ) ; por conmutatividad = ( ( a) + ( a) ) + a ; por asociatividad = 0 + a ; por inverso aditivo = a ; por elemento neutro aditivo Demostración, de la propiedad 3: = 1 a ; por inverso multiplicativo = a ; por elemento neutro multiplicativo ( a) = a q.e.d. 1 1 (a ) = 1 1 (a ) 1 ; por elemento neutro multiplicativo = 1 1 (a ) ; por inverso multiplicativo 1 ( a a ) = 1 1 ((a ) ; por asociatividad 1 a ) a (a ) = a q.e.d. 1 1 Teorema El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero. Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando con las multiplicidades, exactamente n raíces. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales. Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra. Postulado Un postulado es una afirmación lógica que se acepta como verdadera (generalmente por resultar evidente) y se emplea como base para construir la matemática, por ejemplo, los 5 postulados de Euclides para la geometría. Aunque muchas personas piensan que un postulado es exactamente lo mismo que un axioma, existe una gran diferencia entre ambos términos. Los axiomas pueden ser verdades demostrables (incluso pueden no resultar evidentes), aunque no se tomen como tales en la teoría que desarrollan. Un ejemplo de esto son los axiomas de los números reales; estos axiomas son demostrables mediante el álgebra superior, empleando álgebra de conjuntos (conjuntos inductivos y relaciones de equivalencia), y sin embargo, en cálculo se admiten como axiomas, es decir, no se demuestran. Los postulados, en cambio, por su propia naturaleza no son demostrables, pero se admiten como ciertos debido a que resultan evidentes o a que, si no se admiten como ciertos, surgen situaciones raras en las matemáticas. Un caso curioso es el quinto postulado de Euclides. Este dice que "dado un punto P exterior a una recta L, existe una y solo una recta paralela a L que contiene a P". Desde que se postuló (valga la redundancia), los matemáticos han objetado que esta afirmación no resulta una verdad evidente, y que debería poder demostrarse y convertirse en teorema. Durante muchos siglos los matemáticos se han roto la cabeza sin éxito tratando de demostrar este postulado, y en dos de esos intentos, los matemáticos Lobatchevsky y Riemann encontraron que, si no tomaban en cuenta el 5to postulado como tal, surgían situaciones interesantes en la geometría, y como resultado dieron origen a lo que hoy conocemos como las geometrías no-euclidianas. Corolario Un corolario (del latín corollarium)1 es un término que se utiliza en matemáticas y en lógica para designar la evidencia de un teorema o de una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente que no necesita demostración. A menudo se trata de una inferencia, si bien la distinción entre teorema y corolario es tan subjetiva como entre lema y teorema. Organizadores graficos Bibliografía http://html.rincondelvago.com/algebra_4.html http://www.educlas.cl/Matematicas/Introduccion%20al%20Algebra.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra#Signos_de_agrupaci.C3.B3n http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Expresiones_algebraicas http://www.slideshare.net/pablox16/axiomas-de-algebra