Serie_geom_trica - universidad francisco de miranda (unefm)

Serie geométrica
En matemáticas, la serie geométrica es la serie con un cociente constante
entre sucesivo términos. Por ejemplo, la serie es geométrico, porque cada
término es igual a la mitad del término anterior. Suma de esta serie está 1,
según lo ilustrado en el cuadro siguiente:
Las series geométricas son los ejemplos más simples de serie infinita con
sumas finitas. Esto los hace importantes adentro filosofía, a donde
proporcionan una resolución matemática Paradojas de Zeno. Históricamente, la
serie geométrica desempeñó un papel importante en el desarrollo temprano
de cálculo, y continúan siendo centrales en el estudio de convergencia de la
serie. Las series geométricas se utilizan a través de matemáticas, y tienen usos
importantes adentro física, ingeniería, biología, economía, y finanzas.
La serie armónica
En algún post de Gaussianos se ha hablado ya de la serie armónica:
En este post vamos a ver una sencilla demostración de la divergencia de esta
serie1. Además veremos también una demostración (algo más complicada) de
la divergencia de la serie de los inversos de los números primos, hecho que
además del interés que tiene por sí mismo sirve de demostración (una más)
de la infinitud del conjunto de los números primos.
Demostración de la divergencia de la serie armónica
La demostración que vamos a ver sobre la divergencia de la serie armónica
es bastante sencilla y al parecer se la debemos a Nicolás Oresme:
Hemos obtenido que la serie armónica es mayor que una serie que es
claramente divergente. Por tanto la misma serie armónica debe ser también
divergente.
Divergencia de la suma de los inversos de los números primos
Aclarando desde este momento que si una suma o producto tiene como
índice nos referiremos al conjunto de los números primos vamos a
demostrar que
es divergente. Como se tiene que:
no podemos utilizar de forma tan directa la divergencia de la serie armónica
para comprobar este resultado, aunque este hecho será importante para
dicha demostración. Otro resultado fundamental para la misma es lo que se
conoce como fórmula del producto de Euler, que establece lo siguiente:
La demostración de este hecho podéis verla aquí.
Tomando
en esta fórmula obtenemos la igualdad que vamos a utilizar
en nuestra demostración:
Vamos ya con nuestra demostración:
Utilizando ahora que Taylor y sus desarrollos en serie nos dicen
que
para
:
siendo
una cierta constante ya que esa serie sí es convergente (en
este último desarrollo hemos sustituido
por y hemos utilizado la
fórmula de la suma de una progresión geométrica).
Tomando límite ahora obtenemos el resultado perseguido:
Es decir, la suma de los inversos de los números primos es divergente.
Extra
Como dijimos anteriormente este resultado nos sirve como demostración de la
infinitud de los números primos. ¿Por qué? Pues muy sencillo. Si esa serie
tiene como límite
significa, entre otras cosas, que está formada por
infinitos términos. Como cada término corresponde a números primos
distintos obtenemos que existen infinitos números primos.
Serie alterna
Serie cuyos términos son alternadamente positivos y negativos, como
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ...
Una serie alterna es convergente si el valor absoluto de cualquier término es
menor que el precedente y el límite de los términos es 0. Por ejemplo:
Sn = -1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - ... + (-1)n/n
Una serie alterna se puede tratar como la suma de dos series, una sólo con
términos positivos y otra sólo con términos negativos. Si ambas son
convergentes por separado, la serie alterna es convergente. El valor absoluto
de cada término en la siguiente serie alterna no siempre es menor que el del
término precedente. Sin embargo, aún así es convergente porque las dos
series, una sólo con términos positivos y la otra sólo con términos negativos,
son convergentes.
S =1/21 -1/30 + 1/22 - 1/31 + 1/23 - 1/32 + 1/24 - 1/33 + ...
es convergente porque
S1 = 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + ...
y
S2 = -1/30 - 1/31 - 1/32 - 1/33 - ...
son convergentes.