Caso II. Cuando f(x) tiene forma exponencial

METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 1
METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para encontrar la solución de la Ecuacion diferencial de orden n definida por
𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ … . +𝑎1 𝑦 / + 𝑎0 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Donde los 𝑎𝑖 son constantes y f(x) es un función diferente de la función
constante cero. Se deben realizar dos procesos.
1) Buscar la solución de la Ecuacion diferencial homogénea o complementaria,
denotada por 𝑦𝑐
𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ … . +𝑎1 𝑦 / + 𝑎0 𝑦 = 0
2) Encontrar una solución particular de la ecuación diferencial dada , denotada
por 𝑦𝑝
𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ … . +𝑎1 𝑦 / + 𝑎0 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Siendo la solución general de la ecuación diferencial de la forma: 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 .
Ahora, la función f(x) puede ser cualquiera de las siguientes funciones:
a) Una función constante, es decir f(x) = K
ejemplo : f(x) = 3
; f(x) = 7
; f(x) = 1
b) una función polinomial, es decir 𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑖=0 𝑏𝑖 𝑥 𝑖
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 4 ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥 − 8
c) una función exponencial, 𝑓(𝑥) = 𝑒 ∝𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 ; 𝑓(𝑥) = 𝑒 4𝑥
d) funciones senos o cosenos 𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥 , 𝐶𝑜𝑠𝛽𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 ; 𝑓(𝑥) = 4 𝐶𝑜𝑠 5𝑥 ; 𝑓(𝑥) = 2 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 3𝑥
e) o una combinación finita de sumas y productos de estas funciones, es decir
𝑓(𝑥) = 𝑒 ∝𝑥 ∑𝑛𝑖=1 𝑏𝑖 𝑥 𝑖 ; 𝑓(𝑥) = 𝑒 ∝𝑥 𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥 ; 𝑓(𝑥) = (∑𝑛𝑖=1 𝑏𝑖 𝑥 𝑖 )𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥 entre otras.
𝑓(𝑥) = 𝑒 3𝑥 𝐶𝑜𝑠4𝑥 ; 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 3)𝑆𝑒𝑛3𝑥 ; 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝑒 2𝑥 𝐶𝑜𝑠4𝑥
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 2
Para determinar la forma de la solución particular se debe identificar el tipo de
función como esta definida f(x) en la ecuación diferencial que se desea
desarrollar y tomar 𝒚𝒑 tienen en cuanta las siguientes casos.
CASI. 1 CUANDO LA EXPRESION f(x) TIENE LA FORMA DE UN POLINOMIO.
Al resolver la ecuación diferencial
𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ … . +𝑎1 𝑦 / + 𝑎0 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Si f(x) tiene la forma de un polinomio de grado n, la solución particular tiene la
forma tiene la forma de un polinomio del mismo grado 𝑦𝑝 = 𝑃(𝑥).
EJEMPLO. SOLUCIONAR LA SIGUIENTE ECUACION DIFERENCIAL
𝑦 // + 5𝑦 / + 6𝑦 = 2𝑥 + 3
,
Se encuentra primero la solución de la ecuación homogénea, es decir
𝑦 // + 5𝑦 + 6 = 0
Cuya ecuación característica es: 𝜆2 + 5𝜆 + 6 = 0 la cual tiene como raíces los
números 𝜆 = −2 ; 𝜆 = −3 , siendo la solución de la ecuación:
𝑦𝐶 = 𝐶1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥
Ahora, buscamos la solución particular. Para ello se debe tener presente que
como la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 , la forma 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵Para encontrar los valores de las constantes A y B, derivamos la solución
particular tantas veces como lo indique la ecuación diferencial, luego
realizamos una sustitución en la E.D dada y encontramos las Constantes de la
solución particular, así
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵
𝑦𝑝 / = 𝐴
𝑦𝑝 // = 0
Luego,
0 + 5𝐴 + 6(𝐴𝑥 + 𝐵 ) = 2𝑥 + 3
6𝐴𝑥 + (5𝐴 + 6𝐵) = 2𝑥 + 3
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 3
6𝐴 = 2
; 5𝐴 + 6𝐵 = 3
𝐴=
1
2
; 𝐵=
3
9
De donde
1
2
𝑦𝑝 = 𝑥 +
3
9
Con lo que la solución de la ecuación diferencial dada es:𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝
1
2
𝑦 = 𝐶1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 + 𝑥 +
3
9
NOTA. Si en la ecuación diferencial carece del termino correspondiente a la
variable dependiente ( 𝑎0 𝑦 ) y la forma de f(x) es de una función polinomica ,
la solución particular toma la forma 𝑦𝑝 = 𝑥 𝑃(𝑥) donde P(x) es un polinomio del
mismo grado que f(x).
Ejemplo.
1)
𝑦 // + 5𝑦 / = 2𝑥 + 3
,
Se encuentra primero la solución de la ecuación homogénea, es decir
𝑦 // + 5𝑦 = 0
Cuya ecuación característica es: 𝜆2 + 5𝜆 = 0 la cual tiene como raíces los
números 𝜆 = 0 ; 𝜆 = −5, siendo la solución de la ecuación:
𝑦𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −5𝑥
Ahora, buscamos la solución particular. Para ello se debe tener presente que
como la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 y que la ecuación diferencial no contiene el
termino correspondiente a y. luego la forma de la solución particular es 𝑦𝑝 =
𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵) = 𝐴𝑥 2 + 𝑥𝐵
Para encontrar los valores de las constantes A y B, derivamos la solución
particular tantas veces como lo indique la ecuación diferencial, luego
realizamos una sustitución en la E.D dada y encontramos las Constantes de la
solución particular, así
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 2 + 𝑥𝐵
𝑦𝑝 / = 2𝐴𝑥 + 𝐵
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 4
𝑦𝑝 // = 2𝐴
Luego,
2𝐴 + 5(2𝐴𝑥 + 𝐵 ) = 2𝑥 + 3
10𝐴𝑥 + (2𝐴 + 5𝐵 ) = 2𝑥 + 3
10𝐴 = 2
𝐴=
; 2𝐴 + 5𝐵 = 3
1
13
; 𝐵=
5
25
De donde
1
13
𝑦𝑝 = 𝑥 +
5
25
Con lo que la solución de la ecuación diferencial dada es:𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝
1
13
𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −5𝑥 + 𝑥 +
5
25
Caso II. Cuando f(x) tiene forma exponencial
Al resolver la ecuación diferencial
𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ … . +𝑎1 𝑦 / + 𝑎0 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Si f(x) tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝐾𝑒 ∝𝑥 , la solución particular tiene la forma
𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 ∝𝑥 .
EJEMPLO. Resolver la ecuación diferencial
𝑦 // + 2𝑦 / + 5𝑦 = 24𝑒 3𝑥
,
Se encuentra primero la solución de la ecuación homogénea, es decir
𝑦 // + 2𝑦 + 5 = 0
Cuya ecuación característica es: 𝜆2 + 2𝜆 + 5 = 0 la cual tiene como raíces los
números 𝜆 = −1 + 2𝑖 ; 𝜆 = −1 − 2𝑖 , siendo la solución de la ecuación:
𝑦𝐶 = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛2𝑥)
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 5
Ahora, buscamos la solución particular. Para ello se debe tener presente que
como la función 𝑓(𝑥) = 24𝑒 3𝑥 , la forma 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 3𝑥
Para encontrar los valores de las constantes A y B, derivamos la solución
particular tantas veces como lo indique la ecuación diferencial, luego
realizamos una sustitución en la E.D dada y encontramos las Constantes de la
solución particular, así
𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 3𝑥
𝑦𝑝 / = 3𝐴𝑒 3𝑥
𝑦𝑝 // = 9𝐴𝑒 3𝑥
Luego,
9𝐴𝑒 3𝑥 + 2(3𝐴𝑒 3𝑥 ) + 5(𝐴𝑒 3𝑥 ) = 24𝑒 3𝑥
20𝐴𝑒 3𝑥 = 24𝑒 3𝑥
20𝐴 = 24
; 𝐴=
24 6
=
20 5
De donde
6
𝑦𝑝 = 𝑒 3𝑥
5
Con lo que la solución de la ecuación diferencial dada es:𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝
6
𝑦 = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛2𝑥) + 𝑒 3𝑥
5
NOTA. Si en al analizar la forma de de f(x) se encuentre que esta función
corresponde a la expresión correspondiente a una de las soluciones formadas
por las raíces de la ecuación característica, la solución particular toma la forma
𝑦𝑝 = 𝑥𝐴𝑒 ∝𝑥 .
EJEMPLO.
𝑦 // + 4𝑦 / + 3𝑦 = 20𝑒 −3𝑥
,
Se encuentra primero la solución de la ecuación homogénea, es decir
𝑦 // + 4𝑦 + 3 = 0
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 6
Cuya ecuación característica es: 𝜆2 + 4𝜆 + 3 = 0 la cual tiene como raíces los
números 𝜆 = −1; 𝜆 = −3 , siendo la solución de la ecuación:
𝑦𝐶 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥
Ahora, buscamos la solución particular. Para ello se debe tener presente que
como la función 𝑓(𝑥) = 20𝑒 −3𝑥 ,pero
𝑒 −3𝑥
corresponde a una parte de la
solución complementaria, entonces la forma de la solución particular es 𝑦𝑝 =
𝑥𝐴𝑒 −3𝑥
Para encontrar los valores de las constantes A y B, derivamos la solución
particular tantas veces como lo indique la ecuación diferencial, luego
realizamos una sustitución en la E.D dada y encontramos las Constantes de la
solución particular, así
𝑦𝑝 = 𝑥𝐴𝑒 −3𝑥
𝑦𝑝 / = 𝐴𝑒 −3𝑥 − 3𝑥𝐴𝑒 −3𝑥
𝑦𝑝 // = −6𝐴𝑒 −3𝑥 + 9𝑥𝐴𝑒 −3𝑥
Luego,
−6𝐴𝑒 −3𝑥 + 9𝑥𝐴𝑒 −3𝑥 + 4(𝐴𝑒 −3𝑥 − 3𝑥𝐴𝑒 −3𝑥 ) + 3(𝑥𝐴𝑒 −3𝑥 ) = 20𝑒 −3𝑥
−6𝐴𝑒 −3𝑥 + 9𝑥𝐴𝑒 −3𝑥 + 4𝐴𝑒 −3𝑥 − 12𝑥𝐴𝑒 −3𝑥 + 3(𝑥𝐴𝑒 −3𝑥 ) = 20𝑒 −3𝑥
−2𝐴𝑒 −3𝑥 = 20𝑒 −3𝑥
−2𝐴 = 24
; 𝐴=
20
= −10
−2
De donde
𝑦𝑝 = −10𝑥𝑒 −3𝑥
Con lo que la solución de la ecuación diferencial dada es:𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝
𝑦 = 𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝐶2 𝑒−3𝑥 − 10𝑥𝑒 −3𝑥
𝑦 = 𝐶1 𝑒−𝑥 + (𝐶2 − 10𝑥)𝑒 −3𝑥
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 7
CASO III.
CUANDO LA FUNCION f(x) TIENE LA FORMA DE UNA
FUNCION SENO , COSENO A UNA COMBINACION DE AMBAS
Al resolver la ecuación diferencial
𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ … . +𝑎1 𝑦 / + 𝑎0 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Si f(x) tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝐾1 𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥 ; 𝑓(𝑥) = 𝐾1 𝐶𝑜𝑠𝛽𝑥 , 𝑜 , 𝑓(𝑥) = 𝐾1 𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥 +
𝐾2 𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥
, la solución particular tiene la forma
𝑦𝑝 = 𝐴𝐶𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐵𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥
Ejemplo.
𝑦 // + 16𝑦 = 18 𝑆𝑒𝑛5𝑥
Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea,
𝜆2 + 16 = 0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜆 = ±4𝑖
Lo que nos indica que la solución de la ecuación homogénea es de la forma.
𝑦𝐶 = 𝐶1 𝐶𝑜𝑠4𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛4𝑥
Ahora, para determinar la solución particular, observamos que la función f(x)
es una de función trigonométrica, lo que nos indica que se deben tener en
cuenta dos soluciones particulares a saber:
𝑦𝑝 = 𝐴𝐶𝑜𝑠5𝑥 + 𝐵𝑆𝑒𝑛5𝑥
𝑦𝑝 / = −5𝐴𝑆𝑒𝑛5𝑥 + 5𝐵𝐶𝑜𝑠5𝑥
𝑦𝑝 // = −25𝐴𝐶𝑜𝑠5𝑥 − 25𝐵𝑆𝑒𝑛5𝑥
Reemplazando en la ecuación diferencial.
−25𝐴𝐶𝑜𝑠5𝑥 − 25𝐵𝑆𝑒𝑛5𝑥 + 16(𝐴𝐶𝑜𝑠5𝑥 + 𝐵𝑆𝑒𝑛5𝑥) = 18 𝑆𝑒𝑛5𝑥
−9𝐴𝐶𝑜𝑠5𝑥 − 9𝐵𝑆𝑒𝑛5𝑥 = 18 𝑆𝑒𝑛5𝑥
−9𝐴 = 0 ; −9𝐵 = 18 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 0 ; 𝐵 = −2
𝑦𝑝 = −2𝑆𝑒𝑛5𝑥
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 8
La solución de la ecuación diferencial es:
𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝
𝑦 = 𝐶1 𝐶𝑜𝑠4𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛4𝑥 − 2𝑆𝑒𝑛5𝑥
CASI IV. CUANDO f(x) ESTA FORMADA PÒR UN PRODUCTO DE LAS
FUNCIONES DEFINIDAS EN LCASOS I , II, III.
La solución particular se determina de acuerdo a los siguientes casos
Si la función f(x) esta definida por
Producto de una función
polinomica por una exponencial
(3𝑥 2 + 2𝑥 + 4)𝑒 3𝑥
(2𝑥 + 4)𝑒 3𝑥
(2𝑥 3 + 4)𝑒 3𝑥
Producto de una función
exponencial y una trigonométrica
𝑒 ∝𝑥 𝐶𝑜𝑠𝛽𝑥
Producto de una función
polinomica por una trigonométrica
𝑥 2 𝐶𝑜𝑠𝛽𝑥
Producto de las tres funciones
𝑥𝑒 ∝𝑥 𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥
Tomar como solución particular 𝑦𝑝 la
función definida por
(𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 )𝑒 3𝑥
(𝐴𝑥 + 𝐵 )𝑒 3𝑥
(𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶 )𝑒 3𝑥
𝐴𝑒 ∝𝑥 (𝐶𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐵𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥)
(𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 )𝐶𝑜𝑠𝛽𝑥 + (𝐸𝑥 2 + 𝐹𝑥 + 𝐺 )𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥
𝑒 ∝𝑥 ((𝐴𝑥 + 𝐵 )𝐶𝑜𝑠𝛽𝑥 + (𝐶𝑥 + 𝐷 )𝑆𝑒𝑛𝛽𝑥 )
Ejemplo. Solucionar la ecuación diferencial
𝑦 (3) + 4𝑦 / = 𝑥𝑒 2𝑥
Busquemos primero la solución de la ecuación diferencial homogénea, para ello
se tiene que el polinomio característico es 𝑟 3 + 𝑟 = 0 de donde 𝑟(𝑟 2 + 4) = 0 o
con lo que las raíces son: 𝑟 = 0 ; 𝑟 = ±2𝑖 siendo la solución complementaria
𝑦𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶3 𝑆𝑒𝑛2𝑥
Ahora, como la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 2𝑥 , es decir, el producto de una función
polinomica de grado uno y una exponencial, la solución complementaria toma
la forma
𝑦𝑝 = ( 𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥
Con lo que se tiene que:
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 9
𝑦𝑝 / = 𝐴𝑒 2𝑥 + 2(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥 = (2𝐴𝑥 + 𝐴 + 2𝐵)𝑒 2𝑥
𝑦𝑝 (2) = 2𝐴𝑒 2𝑥 + 2(2𝐴𝑥 + 𝐴 + 2𝐵)𝑒 2𝑥 = (4𝐴𝑥 + 4𝐴 + 4𝐵)𝑒 2𝑥
𝑦𝑝 (3) = 4𝐴𝑒 2𝑥 + 2(4𝐴𝑥 + 4𝐴 + 4𝐵)𝑒 2𝑥 = (8𝐴𝑥 + 12𝐴 + 8𝐵)𝑒 2𝑥
Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene que:
(8𝐴𝑥 + 12𝐴 + 8𝐵)𝑒 2𝑥 + 4(2𝐴𝑥 + 𝐴 + 2𝐵)𝑒 2𝑥 = 𝑥𝑒 2𝑥
(16𝐴𝑥 + 16𝐴 + 16𝐵)𝑒 2𝑥 = 𝑥𝑒 2𝑥
16𝐴 = 1
𝐴=
; 16𝐴 + 16𝐵 = 0
1
16
𝑦𝑝 = (
𝐵 =
−1
16
1
1
𝑥 − ) 𝑒 2𝑥
16
16
Con lo que la solución general de la ecuación diferencial es:
𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝
𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶3 𝑆𝑒𝑛2𝑥 + (
1
1
𝑥 − ) 𝑒 2𝑥
16
16
EJEMPLO. SOLUCIONAR LA ECUACION DIFERENCIAL
𝑦 // − 2𝑦 / + 5𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥
Encontramos la solución de la ecuación homogénea
𝑦 // − 2𝑦 / + 5𝑦 = 0
𝜆2 − 2𝜆 + 5 = 0
Cuyas raíces son 𝜆 = 1 ± 2𝑖 , con lo que la solución complementaria es
𝑦𝐶 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛2𝑥)
Ahora, como f(x) es el producto de una función exponencial y una
trigonométrica se tiene que la solución particular es:
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 10
𝑦𝑝 = 𝑒 𝑥 (𝐴𝐶𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑆𝑒𝑛𝑥)
/
𝑦𝑝 = 𝑒 𝑥 (𝐴𝐶𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑆𝑒𝑛𝑥) + 𝑒 𝑥 (−𝐴𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐵𝐶𝑜𝑠𝑥)
/
𝑦𝑝 = 𝑒 𝑥 (𝐴(𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥) + 𝐵(𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥))
//
𝑦𝑝 = 𝑒 𝑥 (𝐴(𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥) + 𝐵(𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)) + 𝑒 𝑥 (𝐴(−𝑆𝑒𝑛𝑥 − 𝐶𝑜𝑠𝑥) + 𝐵(𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥))
//
𝑦𝑝 = −2𝐴𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 2𝐵𝑒 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
Reemplazando en la ecuación diferencial
𝑦 // − 2𝑦 / + 5𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥
−2𝐴𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 2𝐵𝑒 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 − 2(𝑒 𝑥 (𝐴(𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥) + 𝐵(𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)) )
+ 5𝑒 𝑥 (𝐴𝐶𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑆𝑒𝑛𝑥) = 𝑒𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥
3𝐴𝑒 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 + 3𝐵𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥
3𝐴 = 0 ; 3𝐵 = 1 , 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 =
𝑦𝑝 =
1
3
1 𝑥
𝑒 𝑆𝑒𝑛𝑥
3
Con lo que la solución de la ecuación diferencial es:
𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛2𝑥) +
1 𝑥
𝑒 𝑆𝑒𝑛𝑥
3
Cuando la función f(x) esta formada por una suma de m términos del tipo de
funciones descritas anteriormente, se aplica el principio de superposición, el
cual nos indica que la solución particular 𝑦𝑝 esta formada por la suma de las
soluciones particulares
𝑦𝑝1 , 𝑦𝑝2 , 𝑦𝑝3 , … . . 𝑦𝑝𝑚 , que corresponden a los diferentes
términos de la función f(x).es decir :
𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 + 𝑦𝑝2 + 𝑦𝑝3 + … . +𝑦𝑝𝑚
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 11
EJEMPLO. Encontrar la solución de la ecuación diferencial
𝑦 // − 5𝑦 / + 6𝑦 = 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥 + (3 − 2𝑥)𝑒 2𝑥
Solucionamos la homogénea.
𝑦 // − 5𝑦 / + 6𝑦 = 0
𝜆2 − 5𝜆 + 6 = 0
Cuyas raíces son: 𝜆 = 2 , 𝜆 = 3 siendo la solución
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥
Ahora, como la función f(x) esta formada por una combinación de funciones
trigonométricas del mismo ángulo y un producto de una función polinomica y
una exponencial, se deben buscar dos soluciones particulares.
Una solución particular para la ecuación
𝑦 // − 5𝑦 / + 6𝑦 = 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝑦𝑝1 = 𝐴𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝐵𝑆𝑒𝑛2𝑥
𝑦𝑝1 / = −2𝐴𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 2𝐵𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝑦𝑝1 // = −4𝐴𝐶𝑜𝑠2𝑥 − 4𝐵𝑆𝑒𝑛2𝑥
Reemplazando en la ecuación diferencial
−4𝐴𝐶𝑜𝑠2𝑥 − 4𝐵𝑆𝑒𝑛2𝑥 − 5(−2𝐴𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 2𝐵𝐶𝑜𝑠2𝑥) + 6(𝐴𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝐵𝑆𝑒𝑛2𝑥)
= 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥
(2𝐴 − 10𝐵)𝐶𝑜𝑠2𝑥 + (10𝐴 + 2𝐵 )𝑆𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥
2𝐴 − 10𝐵 = 1
{
10𝐴 + 2𝐵 = 2
Resolviendo el sistema se tiene que 𝐴 =
11
52
; 𝐵=
−3
52
De donde
𝑦𝑝1 =
11
−3
𝐶𝑜𝑠2𝑥 +
𝑆𝑒𝑛2𝑥
52
52
Y otra solución particular para la ecuación
𝑦 // − 5𝑦 / + 6𝑦 = (3 − 2𝑥)𝑒 2𝑥
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 12
Siendo la solución particular
𝑦𝑝2 = 𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵 )𝑒 2𝑥 = (𝐴𝑥 2 + 𝑥𝐵 )𝑒 2𝑥
𝑦𝑝2 / = (2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥 + 2(𝐴𝑥 2 + 𝑥𝐵)𝑒 2𝑥 = (2𝐴𝑥 2 + (2𝐴 + 2𝐵)𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥
𝑦𝑝2 // = (4𝐴𝑥 + 2𝐴 + 2𝐵)𝑒 2𝑥 + 2(2𝐴𝑥 2 + (2𝐴 + 2𝐵)𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥
𝑦𝑝2 // = (4𝐴𝑥 2 + (6𝐴 + 4𝐵)𝑥 + 2𝐴 + 4𝐵)𝑒 2𝑥
Reemplazando en la ecuación diferencial
𝑦 // − 5𝑦 / + 6𝑦 = (3 − 2𝑥)𝑒 2𝑥
(4𝐴𝑥 2 + (6𝐴 + 4𝐵)𝑥 + 2𝐴 + 4𝐵)𝑒 2𝑥 − 5((2𝐴𝑥 2 + (2𝐴 + 2𝐵)𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥 ) + 6((𝐴𝑥 2 + 𝑥𝐵 )𝑒 2𝑥 )
= (3 − 2𝑥)𝑒 2𝑥
(4𝐴𝑥 2 + (6𝐴 + 4𝐵)𝑥 + 2𝐴 + 4𝐵) − 5((2𝐴𝑥 2 + (2𝐴 + 2𝐵)𝑥 + 𝐵)) + 6((𝐴𝑥 2 + 𝑥𝐵 ))
= (3 − 2𝑥)
Eliminando términos semejantes se llega a
−2𝐴𝑥 + 2𝐴 − 𝐵 = 3 − 2𝑥
−2𝐴 = −2 ; 2𝐴 − 𝐵 = 3 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = 1 ; 𝐵 = −1
Siendo
𝑦𝑝2 = (𝑥 2 − 𝑥 )𝑒 2𝑥
Con lo que la solución de la ecuación diferencial es
𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝1 + 𝑦𝑝2
𝑦 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥 +
11
−3
𝐶𝑜𝑠2𝑥 +
𝑆𝑒𝑛2𝑥 + (𝑥 2 − 𝑥 )𝑒 2𝑥
52
52
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 13
ACTIVIDAD . RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES
DIFERENCIALES
1)
𝑦 // − 𝑦 / − 2𝑦 = −2𝑥 3 + 𝑥 2 + 4𝑥 + 1
2)
𝑦 // − 𝑦 / − 2𝑦 = 16𝑥𝑒 3𝑥
3)
𝑦 // − 7 𝑦 / + 10𝑦 = 10𝑆𝑒𝑛2𝑥 − 50𝐶𝑜𝑠2𝑥
4)
𝑦 // + 4𝑦 = (5𝑥 2 + 4𝑥 − 3)𝑒 𝑥
5)
𝑦 // + 4 𝑦 / + 4𝑦 = 2𝑥 + 6
6)
4𝑦 // − 4𝑦 / + 𝑦 = (4 − 3𝑥)𝑆3𝑛𝑥 − (4𝑥 − 2)𝐶𝑜𝑠𝑥
7)
𝑦 // − 𝑦 / + 2𝑦 = 20𝑆𝑒𝑛5𝑥 + 𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥
8)
𝑦 // − 2𝑦 / − 8𝑦 = 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + (12𝑥 + 10)𝑒 4𝑥
9)
𝑦 /// + 2 𝑦 // = (4𝑥 2 + 6𝑥 − 1)𝑒 2𝑥
10)
𝑦 (4) − 3𝑦 // − 4𝑦 = 4𝑥 5 + 390𝑥